2.5 Derivación implícita

Transcripción

1 SECCIÓN.5 Derivación implícita.5 Derivación implícita Distinguir entre funciones eplícitas e implícitas. Hallar la erivaa e una función por erivación implícita. EXPLORACIÓN Representación gráfica e una ecuación implícita Cómo se poría utilizar una herramienta e graficación para representar? He aquí os proceimientos posibles: a) Despejar en la ecuación. Intercambiar los papeles e, ibujar la gráfica e las os ecuaciones resultantes. Las gráficas combinaas presentarán una rotación e 90 con respecto a la gráfica e la ecuación original. b) Configurar la herramienta e graficación en moo paramétrico representar las ecuaciones t t t t t t. A partir e cualquiera e estos métoos, se puee eciir si la gráfica tiene una recta tangente en el punto (0, )? Eplicar el razonamiento. Funciones eplícitas e implícitas Hasta este punto, la maoría e las funciones estuiaas en el teto se enunciaron e forma eplícita. Por ejemplo, en la ecuación 5 Forma eplícita. la variable está escrita eplícitamente como función e. Sin embargo, algunas funciones sólo se enuncian e manera implícita en una ecuación. Así, la función l está efinia implícitamente por la ecuación. Supongamos que se pie calcular la erivaa para esta ecuación. Poemos escribir como función eplícita e, luego erivar. Forma implícita Esta estrategia funciona siempre que se puea espejar como función e en la ecuación, e lo contrario, este métoo no es viable. Por ejemplo, cómo encontrar para la ecuación Forma eplícita Derivaa one resulta mu ifícil espejar como función eplícita e? En tales situaciones se ebe usar la llamaa erivación implícita. Para comprener esta técnica, es preciso tener en cuenta que la erivación se efectúa con respecto a. Esto quiere ecir que cuano se tenga que erivar términos que sólo contienen a, la erivación será la habitual. Sin embargo, cuano haa que erivar un término one aparezca, será necesario aplicar la regla e la caena, a que se está suponieno que está efinia implícitamente como función erivable e. EJEMPLO Derivación respecto e a) Las variables coincien: usar la regla simple e las potencias. Las variables coincien u n nu n u b) Las variables no coincien: usar la regla e la caena. Las variables no coincien c) Regla e la caena:. ) Regla el proucto. Regla e la caena. Simplificar.

2 CAPÍTULO Derivación Derivación implícita Estrategias para la erivación implícita. Derivar ambos laos e la ecuación respecto e.. Agrupar toos los términos en que aparezca en el lao izquiero e la ecuación pasar toos los emás a la erecha.. Factorizar el lao izquiero e la ecuación.. Despejar. Observar que en el ejemplo la erivación implícita puee proucir una epresión para en la que aparezcan a la vez. EJEMPLO Derivación implícita Encontrar ao que 5.. Derivar los os miembros e la ecuación respecto e Agrupar los términos con en la parte izquiera pasar toos los emás al lao erecho. (, ) (, ) (, 0) 5. Factorizar en la parte izquiera. 5. Despejar iviieno entre ( 5). 5 Puntos en la gráfica Peniente e la gráfica (, 0) (, ) 0 0 (, ) No efinia La ecuación implícita 5 tiene la erivaa 5 Figura.7 5 Para ver cómo usar la erivación implícita, consierar la gráfica e la figura.7. En ella se puee observar que no es una función e. A pesar e ello, la erivaa eterminaa en el ejemplo proporciona una fórmula para la peniente e la recta tangente en un punto e esta gráfica. Debajo e la gráfica se muestran las penientes en varios puntos e la gráfica. TECNOLOGÍA Con la maoría e las herramientas e graficación es fácil representar una ecuación que epresa e manera eplícita a en función e. Por el contrario, representar las gráficas asociaas a otras ecuaciones requiere cierto ingenio. Por ejemplo, tratar e representar la gráfica e la ecuación empleaa en el ejemplo configurano la herramienta e graficación en moo paramétrico, a fin e elaborar la gráfica e las representaciones paramétricas t t 5t, t t t 5t, t, para 5 t 5. Cómo se compara el resultao con la gráfica que se muestra en la figura.7?

3 SECCIÓN.5 Derivación implícita + = 0 (0, 0) En una ecuación que no tiene puntos solución, por ejemplo,, no tiene sentio espejar. Sin embargo, si una porción e una gráfica puee representarse meiante una función erivable, tenrá sentio como peniente en caa punto e esa porción. Recorar que una función no es erivable en a) los puntos con tangente vertical b) los puntos en los que la función no es continua. a) b) c) (, 0) (, 0) (, 0) Algunos segmentos e curva pueen representarse por meio e funciones erivables Figura.8 EJEMPLO Representación e una gráfica meiante funciones erivables Si es posible, representar como función erivable e. a) 0 b) c) a) La gráfica e esta ecuación se compone e un solo punto. Por tanto, no efine como función erivable e. Ver la figura.8a. b) La gráfica e esta ecuación es la circunferencia unia, centraa en (0, 0). La semicircunferencia superior está aa por la función erivable, < < la inferior por la función erivable, < <. En los puntos (, 0) (, 0), la peniente no está efinia. Ver la figura.8b. c) La mita superior e esta parábola está aa por la función erivable, < la inferior por la función erivable, <. En el punto (, 0) la peniente no está efinia. Ver la figura.8c. EJEMPLO Cálculo e la peniente e una gráfica implícita Calcular la peniente e la recta tangente a la gráfica e en el punto,. Ver la figura.9. Figura.9 (, ) Por tanto, en,, la peniente es Ecuación original. Derivar respecto e. Despejar términos con.. Evaluar cuano,. NOTA Para observar las ventajas e la erivación implícita, intentar rehacer el ejemplo manejano la función eplícita.

4 CAPÍTULO Derivación EJEMPLO 5 Cálculo e la peniente e una gráfica implícita Calcular la peniente e la gráfica e ( ) l00 en el punto (, ). (, ) ( ) 00 Lemniscata Figura.0 En el punto (, ), la peniente e la gráfica es como muestra la figura.0. Esta gráfica se enomina lemniscata. EJEMPLO Determinación e una función erivable, ( ) La erivaa es Figura. sen (, ) Encontrar implícitamente para la ecuación sen. A continuación, eterminar el maor intervalo e la forma a a en el que es una función erivable e (ver la figura.). sen cos cos El intervalo más grane cercano al origen en el que es erivable respecto e es. Para verlo, observar que cos es positivo en ese intervalo 0 en sus etremos. Si se restringe a ese intervalo, es posible escribir eplícitamente como función e. Para ello, usar cos sen, < < concluir que. Este ejemplo se estuia más aelante cuano se efinen las funciones trigonométricas inversas en la sección 5..

5 SECCIÓN.5 Derivación implícita 5 Al usar la erivación implícita, con frecuencia es posible simplificar la forma e la erivaa (como en el ejemplo ) utilizano e manera apropiaa la ecuación original. Se puee emplear una técnica semejante para encontrar simplificar las erivaas e oren superior obtenias e forma implícita. EJEMPLO 7 Cálculo implícito e la seguna erivaa The Granger Collection ISAAC BARROW (0-77) La gráfica e la figura. se conoce como la curva kappa ebio a su semejanza con la letra griega kappa,. La solución general para la recta tangente a esta curva fue escubierta por el matemático inglés Isaac Barrow. Newton fue su alumno con frecuencia intercambiaron corresponencia relacionaa con su trabajo en el entonces incipiente esarrollo el cálculo. Daa 5, encontrar. Evaluar la primera seguna erivaas en el punto (, ). Derivano ambos términos respecto e se obtiene 0. En, :. Derivano otra vez respecto e vemos que En, : 5 5. Regla el cociente. 5. La curva kappa Figura. (, ) ( ) EJEMPLO 8 Recta tangente a una gráfica Encontrar la recta tangente a la gráfica aa por ( ) en el punto ( ), como muestra la figura.. Reescribieno erivano implícitamente, resulta 0 0. En el punto (, ), la peniente es, la ecuación e la recta tangente en ese punto es.

6 CAPÍTULO Derivación.5 Ejercicios En los ejercicios a, encontrar por meio e la erivación implícita sen cos.. sen tan. 5. sen. cos sen sen cos cot sec. Bifolio:. Folio e Descartes: ( ) 0 Punto: (, ) Punto:, 8 En los ejercicios 7 a 0, a) encontrar os funciones eplícitas espejano en términos e, b) construir la gráfica e la ecuación clasificar las partes aas por las respectivas funciones eplícitas, c) erivar las funciones eplícitas ) encontrar emostrar que el resultao es equivalente al el apartao c) En los ejercicios a 8, encontrar por meio e la erivación implícita calcular la erivaa en el punto inicao , 0,, 9 9,, 5,, 7, 0, tan, 0, 0 cos,, Curvas famosas En los ejercicios 9 a, calcular la peniente e la recta tangente a la gráfica en el punto propuesto. 9. Bruja e Agnesi: 0. Cisoie: 8,,, ( ) 8 ( ) Punto: (, ) Punto: (, ) Curvas famosas En los ejercicios a 0, encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica en el punto ao.. Parábola. Circunferencia Hipérbola rotaa. Elipse rotaa = 7 + = 0 (, ) 7. Cruciforme 8. Astroie 9 = 0 (, ) ( ) = ( 5) (, ) 8 ( ) + ( ) = (, ) / + / = 5 (8, ) (, )

7 SECCIÓN.5 Derivación implícita 7 9. Lemniscata 0. Curva kappa ( + ) = 00( ) (, ). a) Utilizar la erivación implícita para encontrar la ecuación e la recta tangente a la elipse en (, ). 8 b) Demostrar la ecuación e la recta tangente a la elipse a b en (, ) es a 0 b.. a) Utilizar la erivación implícita para encontrar la ecuación e la recta tangente a la hipérbola en (, ). 8 b) Demostrar que la ecuación e la recta tangente a la hipérbola a b en (, ) es a 0. b En los ejercicios, calcular e manera implícita encontrar el maor intervalo con la forma a a o 0 < a tal que sea una función erivable e. Epresar en función e.. tan. cos En los ejercicios 5 a 50, encontrar en términos e En los ejercicios 5 5 usar una herramienta e graficación para representar la ecuación. Encontrar la ecuación e la recta tangente en la gráfica obtenia en el punto la gráfica en la recta tangente. 5. 5, 9, 5. ( + ) = En los ejercicios 5 5, encontrar las ecuaciones e las rectas tangente normal a la circunferencia en el punto inicao (la recta normal en un punto es perpenicular a la tangente en ese punto). Utilizar una herramienta e graficación para representar la ecuación, la recta tangente la normal. (, ), 5, 5 En los ejercicios 57 58, localizar los puntos en los que la gráfica e la ecuación tiene recta tangente horizontal o vertical Traectorias ortogonales En los ejercicios 59 a, utilizar herramienta e graficación para representar las ecuaciones probar que en sus intersecciones son ortogonales. (Dos gráficas son ortogonales en un punto e intersección si sus rectas tangentes en ese punto son perpeniculares entre sí.) ( ) sen ( 9) Traectorias ortogonales En los ejercicios, verificar que las os familias e curvas son ortogonales, sieno C K números reales. Utilizar una herramienta e graficación para representar ambas familias con os valores e C os valores e K.. C, K. C, K En los ejercicios 5 a 8, erivar: a) respecto a ( es una función e ) b) respecto a t ( son funciones e t) cos sen 8. sen cos Desarrollo e conceptos 9. Describir la iferencia que eiste entre la forma eplícita e una ecuación una ecuación implícita. Elaborar un ejemplo e caa una. 70. Con sus propias palabras, establezca las estrategias a seguir en la erivación implícita. 7. Traectorias ortogonales En la siguiente figura se muestra un mapa topográfico realizao por un grupo e ecursionistas. Ellos se encuentran en el área boscosa que está en la parte superior e la colina que se muestra en el mapa ecien seguir la ruta e escenso menos empinaa (traectorias ortogonales a los contornos el mapa). Dibujar la ruta que eben seguir si parten ese el punto A si lo hacen ese el punto B. Si su objetivo es llegar a la carretera que pasa por la parte superior el mapa, cuál e esos puntos e partia eben utilizar? (, ), (, ) (, 0), (5, ) 55. Demostrar que la recta normal a cualquier punto e la circunferencia r pasa por el origen. 5. Dos circunferencias e raio son tangentes a la gráfica e en el punto (, ). Encontrar las ecuaciones e esas os circunferencias. 7 A B