ECUACIONES DIFERENCIALES

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1 ECUACIONES DIFERENCIALES Asignatura Clave: FIM6 Número e Créitos: 7 Teóricos: 4 Prácticos: INSTRUCCIONES PARA OPERACIÓN ACADÉMICA: El Sumario representa un reto, los Contenios son los ejes temáticos, los Activos una orientación inicial para resolverlo la síntesis concluente, como Posibilia e integración conceptual corresponerá a lo factible e un punto e vista temático amplio. La visión global e los asuntos resueltos como Titular Acaémico, te ofrecerá oportuniaes e iscusión que se enriquecerán en la meia que intensificas las lecturas, asistes a tu comunia e estuio, te sirves e los asesores analizas la ciberinformación isponible posicionánote e los escenarios informativos aecuaos. Los perioos e evaluación son herramientas e aprenizaje. La acreitación es un consenso e relación con el nivel e competencia. Mantén informao a tu tutor e tus avances acaémicos estao e ánimo. Selecciona tus horarios e asesorías. Se recomiena al titular (estuiante que al iniciar su activia e iluciación, lea cuiaosamente too el teto guión e la asignatura. Para una mejor facilitación, el ocumento lo presentamos en tres ámbitos:.- Relación e las uniaes,.- Relación e activos,.- Principia Temática consistente en información inicial para que esarrolles los temas. COMPETENCIAS: Porá analizar las variables físicas más importantes entro e los fenómenos naturales e los aparatos construios. Desarrollará sus habiliaes e pensamiento complejo Reforzará el pensamiento lógico simbólico Estimulará el pensamiento creativo a partir e las posibiliaes e iversia cambio en la estructura matemática e los fenómenos físicos. SUMARIO: Desarrollar el espíritu científico e asombro, observación, búsquea entenimiento el comportamiento físico e la naturaleza ECUACIONES DIFERENCIALES CONTENIDO: Unia I Clasificación e las ecuaciones iferenciales. Unia II Soluciones en forma eplícita Unia III Soluciones en forma implícita paramétrica Unia IV Solución general solución particular Unia V Ecuaciones iferenciales e primer oren. Unia VI El métoo e variables separables Unia VII Ecuaciones iferenciales homogéneas.

2 Unia VIII Ecuaciones iferenciales lineales. A C T I V O S UNIDAD I CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. I.. - Variable epeniente variable inepeniente. I.. - Ecuación iferencial. I.. - Clasificación e las ecuaciones iferenciales. I.4. - Ejemplos Activia: Realizar la clasificación e las ecuaciones iferenciales que se encuentran al final e la unia según sus características. UNIDAD II SOLUCIONES EN FORMA EXPLÍCITA. II.5. - Solución II.6. - Ientia II.7. - Formas e representar la solución II.8. - Soluciones en forma eplícita II.9. - Verificación e soluciones eplícitas II.. - Ejemplos Activia: Aplicar los conocimientos aquirios para arle solución a las ecuaciones que se encuentran al final e esta unia en forma eplicita. UNIDAD III SOLUCIONES EN FORMA IMPLÍCITA Y PARAMÉTRICA. III.. - Soluciones en forma implícita. III.. - Verificación e soluciones implícitas. III.. - Ejemplos en forma implícita. III.4. - Soluciones en forma paramétrica. III.5. - Verificación e soluciones paramétricas. III.6. - Ejemplos. Activia: Aplicar los conocimientos aquirios para arle solución a las ecuaciones que se encuentran al final e esta unia en forma implícita paramétrica.

3 UNIDAD IV SOLUCIÓN GENERAL Y SOLUCIÓN PARTICULAR. IV.7. - Solución general. IV.8. - Solución particular. IV.9. - Ejemplos Activia: Aplicar los métoos e la solución general la solución particular para solucionar los ejercicios propuestos al final. UNIDAD V ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. V.. - Las formas e epresión. V.. - Forma general. V.. - Forma estánar. V.. - Forma iferencial. V.4. - Paso e una forma a otra. V.5. - Siempre se puee pasar e una forma a otra? UNIDAD VI EL MÉTODO DE VARIABLES SEPARABLES VI.6 - Métoo e variables separables. VI.7. - Ejemplos. UNIDAD VII ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS. VII.8. - Qué es una ecuación iferencial homogénea VII.9. - Solución usano u en la forma iferencial. VII.. - Ejemplos e solución e ecuaciones homogéneas. VII.. - Ejemplos e la forma iferencial: M + N. UNIDAD VIII ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES. VIII.. - Ecuación iferencial lineal. VIII.. - Ecuación lineal homogénea no homogénea. VIII.4. - Estructura e la solución. ESCENARIOS INFORMATIVOS: Asesores Locales

4 Asesores Eternos Disposición en Internet Puntualia en Intranet Fuentes Directas e Inirectas Bibliografía Disposición en Internet: BIBLIOGRAFÍA: GRANVILLE, Smith Longle 999 Cálculo iferencial e integral, Eitorial Uteha AYRES, frank, jr. 998 Ecuaciones iferenciales, Eitorial Mcgraw hill PRINCIPIA TEMATICA:..- Aquí apreneremos algunas formas con las que se cuenta para clasificar las ecuaciones iferenciales, lo cual será mu importante, porque a lo largo e este curso, saber clasificar una ecuación iferencial, nos permitirá reconocer el métoo que aplicaremos para resolverla. Así que prestemos mucha atención. Antes e ver que es una ecuación iferencial, necesitamos recorar como reconocer cual es la variable epeniente cual la variable inepeniente en una erivaa. En una erivaa, la variable epeniente o función es la que aparece arriba en el símbolo que inica la erivaa, la variable inepeniente es la que aparece abajo en tal símbolo. Así en, la variable epeniente es la variable inepeniente es. En, la variable epeniente es la variable inepeniente es. Mientras que en la erivaa parcial las inepenientes t. z, la variable epeniente es z t En la maoría e los problemas que resolveremos en este curso, la variable epeniente será la inepeniente será. I..- Una ecuación iferencial es una ecuación que contiene erivaas o iferenciales e una o más variables epenientes con respecto a una o más variables inepenientes. Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones iferenciales:

5 + f f Note que las erivaas que aparecen en las ecuaciones iferenciales son las que se estuiaron en los cursos previos e cálculo. Las ecuaciones iferenciales son, ante too, ecuaciones. Es ecir, llevan el signo e iguala:. Por esto: Tampoco lo es:. + no es una ecuación iferencial. I..- Veremos cuatro maneras e clasificar las ecuaciones iferenciales. Éstas son: De acuero al tipo. De acuero al oren. De acuero al grao. De acuero a la linealia. Ahora estuiaremos estas formas una por una. De acuero al tipo. De acuero con esta moalia e clasificación, las ecuaciones iferenciales se ivien en: Orinarias: Si contienen una sola variable inepeniente. Parciales: Si contienen os o más variables inepenientes. Veamos algunos ejemplos: Las ecuaciones:, +, son orinarias. En las os primeras ecuaciones las variable inepeniente es, en la tercera no se reconoce a la vista cuál es la variable inepeniente, pero en el conteto el problema el cual surge esta ecuación se ebe entener cual es tal variable. f f La ecuación: es parcial. Las variables inepenientes son.

6 w w La ecuación: + puee consierarse orinaria, a que posee solamente una variable inepeniente. De hecho, puee escribirse: w w +. O más simplemente: w + w. De acuero al oren. Recuere que el oren e una erivaa es el número que inica las veces que se ha erivao. O sea: es e primer oren, es e seguno oren, es e tercer oren, Etc. El oren e una ecuación iferencial lo inica la erivaa más alta e la ecuación iferencial. Es ecir, e toas las erivaas que posea una ecuación iferencial, la e maor oren es la que inica el oren e la ecuación. Ejemplos: La ecuación: erivaa. es e primer oren, porque es primera De hecho, ésta es la única erivaa que eiste en la ecuación, por lo tanto, es la que etermina el oren. La ecuación: + es e seguno oren. Porque e: e:, la más alta es. Note que en tal ecuación aparece la potencia cúbica: pero la ecuación no es e tercer oren, porque no son las potencias las que eterminan el oren sino las erivaas. f f es e seguno oren. La ecuación: es e tercer oren. De acuero al grao:

7 Antes e ver cómo se clasifica una ecuación iferencial e acuero al grao, necesitamos saber que significa que la ecuación está en forma polinomial. Forma polinomial: Una ecuación iferencial está en forma polinomial cuano contiene sólo sumas, restas prouctos e las variables epenientes sus erivaas. Esto implica que puee contener potencias e eponente entero positivo o e eponente cero cuas bases sean las variables epenientes sus erivaas. La maoría e las veces trataremos con ecuaciones iferenciales cua variable epeniente sea. Y por lo tanto, sus erivaas serían:,, etcétera. Entonces, para que una ecuación así esté en forma polinomial, ésta ebe contener sólo sumas, restas prouctos e sus erivaas, como por ejemplo: +,,, etcétera. También puee contener potencias cuo eponente sea positivo o cero 4 cua base sea o sus erivaas, como:, (,, etcétera. En estas circunstancias, no importa la operación que esté hacieno la, ni el eponente que tenga, (no importa como aparezca la. A las que se ebe vigilar es a a sus erivaas. Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones iferenciales escritas en forma polinomial: ( sen. 5 e. iv. Vea que la tiene eponente negativo, pero no importa, porque es la variable inepeniente.. (ln 4. La forma polinomial no contiene potencias e eponente negativo o fraccionario cuas bases sean variables epenientes o sus erivaas, ni tampoco logaritmos, funciones eponenciales, funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas, funciones

8 hiperbólicas, funciones hiperbólicas inversas, etc., que lleven en su argumento a las variables epenientes o a sus erivaas. Por lo tanto, si la ecuación iferencial posee por variable epeniente a por variable inepeniente a, para estar en forma polinomial tal ecuación no ebe contener epresiones como las siguientes: e ( Por qué ésta no?,, (, / (, ( Por qué ésta tampoco?,, cos( +, csc, senh, tanh (. Etcétera. ln, Como ejemplo, las siguientes ecuaciones iferenciales no están escritas en forma polinomial... Esta ecuación no está en forma polinomial ebio a que si se escribe: (, se obtiene una potencia e eponente negativo. sen. sen 4. A veces ocurre que una ecuación iferencial que no está escrita en forma polinomial, puee ser puesta en tal forma, si se manipula algebraicamente. Veamos los ejemplos que siguen.. Vimos que esta ecuación no está en forma polinomial, pero si se multiplica por, obtenemos:, la cual sí está en forma polinomial.. No está en forma polinomial ebio a la presencia e la raíz, pero si la rescribimos el moo siguiente: +, luego elevamos al cuarao: ( ( +, lo cual a: + +. Ésta última sí está en forma polinomial. Clasificación e acuero al grao: El grao e una ecuación iferencial lo inica el eponente a que está elevaa la erivaa e maor oren e la ecuación, siempre cuano la ecuación esté epresaa en forma polinomial. Si la ecuación no se puee epresar en forma polinomial, no tiene grao.

9 Es ecir, el grao lo etermina la misma erivaa que inica el oren. Ejemplos: ( 5 6. Está en forma polinomial. Es e tercer grao, puesto que la seguna erivaa, que es la que inica el oren, está elevaa al cubo. 4 5 ( + sen. Está en forma polinomial. Es e primer grao, porque la tiene al uno como eponente.. Esta ecuación no está en forma polinomial, pero al manipularla algebraicamente a vimos que se puee escribir: + +, la cual es e primer grao porque tiene al uno como eponente. ( ( ln + 5 proucto e sus erivaas. Aemás no se ve cómo puea manipularse la ecuación para escribirla en forma polinomial. Concluimos que no tiene grao.. No está en forma polinomial porque ln( no es De acuero a la linealia: El concepto e linealia requiere también el concepto e forma polinomial. Una ecuación iferencial es lineal si al epresarla en forma polinomial cumple que las variables epenientes sus erivaas son toas e primer grao; los coeficientes e éstas son funciones e las variables inepenientes o constantes. Si la ecuación iferencial no cumple con alguna e las os coniciones anteriores es no lineal. Dese luego, si una ecuación iferencial no se puee escribir en forma polinomial se consiera no lineal. Consierano que la ecuación iferencial posee por variable epeniente a la por variable inepeniente a la, una vez que está escrita en forma polinomial, es lineal si los términos e,,,..., están elevaos a la uno ; los coeficientes e éstos términos son funciones e o constantes. Ejemplos. 5 + ( ln 9e. Primero vemos que sí está en forma polinomial.

10 Luego vemos que es lineal porque cumple con las os coniciones a b e linealia. 5. Esta ecuación está en forma polinomial. Pero es no lineal porque está multiplicaa por, o sea, no se cumple la conición b e linealia. sen + 5e. Es no lineal porque no se puee escribir en forma polinomial. ( 5. Sí está en forma polinomial, pero es no lineal porque es e grao, es ecir, no se cumple la conición a e linealia. 4 t. Está en forma polinomial. Las erivaas e están 4 t toas elevaas a la uno, por lo tanto, se cumple la conición a e linealia. Las erivaas poseen por coeficientes a,, a t, las cuales son constantes o funciones e las variables inepenientes, que son t. Por lo tanto, se cumple la conición b. Esto implica que la ecuación es lineal. w w w. Está escrita en forma polinomial. Pero no cumple la t w conición b e linealia porque el coeficiente e es w, que es la t variable epeniente. Por lo tanto, es no lineal. Una ecuación iferencial orinaria e oren n lineal siempre se puee epresar en la forma: ( n ( n ( n a ( + a ( + a ( + + a ( + a ( g( n n n En esta forma: a (, a (, Κ, a ( n g( son funciones e efinias en algún intervalo común, puieno ser constantes algunas e ellas. Por ejemplo: e tan. Es orinaria lineal e tercer oren. Activia I.-

11 Para caa una e las siguientes ecuaciones iferenciales, etermine cuáles son las variables inepenientes, cuáles son las variables epenientes, el tipo, el oren, el grao, si es lineal o no ( +. ( e. t s ts sen t. ( sen. n r n +. r r r + +. / r +. 7 b 7 p. p 7 b p. p 4t. t u u ( v +. 4 m m kv. 4 t v +. II.5.- Para empezar veamos qué es una solución el importante concepto e i entia. SOLUCIÓN La solución e una ecuación iferencial es cualquier función que no contiene erivaas que al sustituirla en la ecuación iferencial se obtiene una ientia. II.6.- IDENTIDAD Una ientia es una ecuación que se verifica para toos los valores permitios e sus letras. Valores permitios son aquellos para los que están efinios los os miembros e la ecuación. Por ejemplo ( + ( es una ientia, porque cualquier par e valores e e que se sustituan en ella nos arrojan el mismo

12 número en el miembro izquiero e la ecuación en el miembro erecho. Como ejemplo, tomemos, con los que la ecuación nos quea: ( ( + ( 4( 9 88 Otros ejemplos e ientiaes son los siguientes: Por los últimos tres ejemplos anteriores poemos concluir que toa ecuación que posea la misma epresión algebraica en los os miembros es obviamente una ientia. En este último sentio manejaremos nosotros el concepto e ientia en este curso. II.7.- FORMAS DE REPRESENTAR LA SOLUCIÓN Se verán cuatro maneras e epresar la solución e una ecuación iferencial, son: en forma eplícita. en forma implícita. en forma paramétrica. la forma e la solución e una ecuación iferencial parcial. Ahora nos eicaremos a estuiar la primera e estas moaliaes e epresión e las soluciones. II.8.- SOLUCIONES EN FORMA EXPLÍCITA La solución e la ecuación iferencial está en forma eplícita cuano la variable epeniente e la solución se encuentra espejaa II.9.- VERIFICACIÓN DE SOLUCIONES EXPLÍCITAS Para verificar que una función aa efinia en forma eplícita es solución e una ecuación iferencial, primero ebe erivarse tal función tantas veces como oren tenga la ecuación iferencial. Posteriormente se sustituen estas erivaas la función original en la ecuación iferencial. Si se obtiene una ientia es que la función aa es solución e la ecuación iferencial. Si esto no es así es porque no lo es, o porque nos equivocamos en el proceso e probar. II..- EJEMPLOS Ejemplo.

13 Determine si la función: ce + ce + ce + ce 4 ecuación iferencial: iv En la función aa, c, c, c c 4 son constantes. es solución e la Primero ebemos erivar la función 4 veces porque la ecuación iferencial es e 4to. oren: ce + ce ce + ce ce + ce + 4 ce + 4c4e iv ce ce ce ce ce ce ce ce Sustitueno las epresiones e iv, en la ecuación iferencial: 4 ce + ce + 6ce + 6c4e iv + 4( ce + ce + ce + c e Simplificano: 5( ce + ce + 4ce + 4c4e ce + ce + 6 ce + 6c4e 5ce 5ce ce c4e + 4ce + 4c e + 4c e + 4c4e Obtenemos: Debio a que es una ientia, concluimos que la función aa es solución e la ecuación iferencial inicaa. Ejemplo. Determine si sen,, es solución e la ecuación iferencial + cos. Derivano la función una vez: sen ( sen sen ( cos sen Sustitueno éste resultao la epresión e en la ecuación iferencial: cos sen sen + cos

14 Simplificano: cos sen sen + cos cos sen+ sen cos cos cos cos cos La ecuación cos cos es una ientia; por lo tanto, la epresión aa sí es solución e la ecuación iferencial. Ejemplo. Determine si e cos es solución e la ecuación iferencial: + e cos. Derivamos la función os veces: e + e e e cos cos cos sen cos e ( ( ( + e sen e cos e e sen cos De las os epresiones e erivaa, que ha en esta última ecuación, la seguna a la resolvimos (es la misma que la epresión con la que se calculó. Por lo tanto: e sen e sen e cos + ( e e e sen sen sen e cos ( + e cos sen e e sen e cos

15 e cos e sen e sen e cos e cos + e + e + e 4 sen sen cos cos e + e sen 4 Ahora sustituimos tanto como en la ecuación iferencial obtenemos: e cos 4 + e sen e sen e cos e cos e cos + 4 e sen e cos Ahora se trata e saber si esta ecuación es una ientia. Para ello la manipularemos algebraicamente con el fin e simplificarla: 4 e sen e cos + e cos 4 e sen e cos 4 + e cos 4 5 e sen e cos ( 4 5 e sen e cos 4 4 e sen 5e cos Se puee averiguar si esta ecuación es una ientia sustitueno varios valores e en ambos miembros: Por ejemplo, si se tiene: e sen 5e cos e 5 sen e cos ( ( 5( ( 5 Obviamente 5 no es una ecuación veraera. Por lo tanto, para la función no es solución. Ahora tomemos : e sen 5e cos Entonces, para la función no es solución. La tabla siguiente muestra los cálculos obtenios si tomamos otros valores e :

16 sen e 5e cos Por los cálculos mostraos en la tabla, concluimos que la función aa no es solución e la ecuación iferencial. Otra forma como poemos proceer en este caso, es la siguiente. Partiremos e la ecuación que tabulamos, o sea e: e sen 5e cos. Poemos iviir esta ecuación entre e. Esto es posible a que e para cualquier valor e. Tenemos: sen sen 5cos. cos 5 Y como sabemos que la ientia trigonométrica: para toa, poemos concluir que: 5 tan En virtu e la ientia trigonométrica: tan tan( ± nπ sen tan es vália cos, en la que n 5 es un entero positivo o cero, poemos ecir que: tan ± nπ. De lo que se esprene que: ± nπ arctan 5 O bien: 5 arctan ±nπ arctan 5 ± nπ arctan 5 ± nπ ± nπ. Ésta ecuación nos a los valores e para los que la función nos a una ientia. Los cuales pueen obtenerse ano valores a n : Si n ± ( π

17 Si n ± ( π π π Si n ± ( π π π Etc... Puee verse que los valores e obtenios, que son los que hacen que la función nos e una ecuación vália, son aislaos; o sea, están separaos unos e otros. En otras palabras, no forman un intervalo e valores que contenga a toos los números entre sus etremos. Cuano se habla e la solución e una ecuación iferencial nos interesa que tal solución sea vália para too un intervalo e valores e. Por esto, no poemos ecir que la función aa sea solución e la ecuación iferencial. Ejemplo 4. Determine si t e e t+ ce es solución e la ecuación iferencial + e. Note que en este caso la función contiene una epresión integral. Esto se ebe a que la solución e tal integral no se puee epresar en términos e funciones elementales. Que en la función se inclua una integral es permitio, en casos como estos, porque recuere que el requisito e una función para ser solución es que no contenga erivaas (aemás e cumplir con la ecuación iferencial. En la función en la ecuación iferencial aas, la variable inepeniente es la, a que la t es sólo una variable provisional usaa para epresar la integral efinia no resuelta. Derivamos una vez la función con respecto a : t e e t e e t+ ce t + t t e e t + e t + ( e c ( e ( ce

18 t Para efectuar e t recoremos que la erivación la integración inefinia son procesos contrarios, es ecir: ( f f(. En nuestro caso resultaría: t t e t e. Pero, en nuestro problema se trata e una integral efinia. t Supongamos que al efectuar la integral inefinia e t, nos resulta una función e t, igamos F( t (prescinieno e la constante e integración. O sea: e t t F( t. De ésta ecuación poemos ecir que: ( t F t et. O e otro moo (cambiano la letra por otra: ( F e. Por lo anterior, nuestra integral efinia nos quearía: t e t F ( t F( F(. En esta ecuación es obvio que ( F es una constante. Si erivamos esta ecuación con respecto a, tenemos: e t t F( F( Pero a se vio que: ( F e, como F( es constante, su erivaa es cero. Por lo tanto: t e t e + e. Usano este último resultao, la erivaa nos quea: t ee e e t ce e e e t t+ ce Si sustituimos en la ecuación iferencial, resulta: t + + e e t ce e e t t ce e + + t e + + e e t+ ce e e t t ce e e + e e Como esta ecuación es una ientia, entonces la función aa es solución e la ecuación iferencial inicaa. La forma implícita es importante porque cuano se resuelven ecuaciones iferenciales e primer oren, muchas veces la solución se obtiene en forma implícita. III.. - Se ice que la solución e una ecuación iferencial está escrita en forma implícita cuano la variable epeniente no se encuentra espejaa.

19 III.. - Para proceer a comprobar si una relación implícita aa es solución e una ecuación iferencial aa, se tienen los tres proceimientos siguientes: DESPEJANDO LA VARIABLE DEPENDIENTE. Este proceimiento consiste en intentar epresar la relación aa en forma eplícita, es ecir, espejar la variable epeniente luego proceer a erivar sustituir en la ecuación iferencial, lo cual a se eplicó en el capítulo. Este métoo, no puee constituir un proceimiento general porque muchas veces no se puee espejar la variable epeniente o, al menos, es ifícil o no práctico hacerlo. LLEGANDO A LA IDENTIDAD. Este consiste en erivar implícitamente la relación aa tantas veces como el oren e la ecuación iferencial, espejano en caa caso la erivaa, luego sustituir las epresiones e estas erivaas en la ecuación iferencial. Si con esto se logra una ientia, entonces la función aa es solución. LLEGANDO A LA ECUACIÓN DIFERENCIAL. Este métoo consiste en erivar la relación aa tantas veces como oren tenga la ecuación iferencial, luego utilizano la relación implícita original las erivaas obtenias, tratar e que se logre la ecuación iferencial aa, en cuo caso, la función aa es solución e la ecuación iferencial. Note que en este métoo no se sustitue en la ecuación iferencial, sino que ella es eucia a partir e la solución. Los etalles e la aplicación e estos métoos se muestran con los ejemplos siguientes. III..- A continuación se muestran algunos ejemplos que ilustran el métoo antes escrito Ejemplo. Determine si ln es solución e + (. En principio, intentaremos resolveremos este problema por los tres métoos enunciaos. Métoo

20 a Despejano la variable epeniente: Despejar e la función implícita ln se ve ifícil, si no es imposible, por lo que no aplicaremos en este ejemplo el métoo a. b Llegano a la ientia: Derivamos la función implícita ln una vez a que la ecuación iferencial es e primer oren. Se erivará implícitamente con respecto a a que ésta es la variable inepeniente en la ecuación iferencial. Resulta: + Ahora espejamos : ( ( Sustituimos esta erivaa obtenia en la ecuación iferencial: + ( Se obtiene, lo cual es una ientia. Concluimos que la función implícita aa sí es solución e la ecuación iferencial. c Llegano a la ecuación iferencial: La erivaa e la función implícita a se obtuvo en la aplicación el métoo b es: +. De esta ecuación ebemos obtener la ecuación iferencial. Esto lo poemos lograr multiplicánola por : ( La última epresión obtenia es la ecuación iferencial aa, por lo que concluimos que la función implícita proporcionaa es solución e la ecuación iferencial. Ejemplo. / Determine si ( a+ be (. a b son constantes. es solución e la ecuación iferencial

21 a Despejano la variable epeniente: / / Despejano e ( a+ be, tenemos primero que e a + b. Ahora, aplicano logaritmo natural a ambos laos e la ecuación, / resulta: lne ln a+ b. Luego por la propiea e logaritmos que ice n que: loga n loga tenemos: lne ln a+ b. Como lne, entonces: ln a+ b. O bien: ln a+ b. Poemos epresar esta última epresión e una manera más conveniente para ser erivaa, usano la propiea e logaritmos que ice que: log log log, con lo [ ] a a a cual obtenemos: ln ln ( a+ b. Ahora a tenemos la función epresaa en forma eplícita. Proceemos a erivarla os veces: [ ln ln( a+ b ] + [ ln ln ( a+ b ] ( b + [ ( ] ( a b + ln lna + b b a+ b + ln ln a+ b ( a+ b( b bb ( + + b ab b b ( b a b a b ( a+ b a + b ab + b ( a+ b a + b Sustituiremos las epresiones e, en la ecuación iferencial: ab b ( [ ( ] ( a b a b b + a b a b a b ln ln ln ln ab ( a+ b + b ( + + ( + a b b a b ln lna b ln lna b ab ( a+ b + b a + b b a + b Desarrollano el binomio al cuarao el miembro e esta ecuación: 4 ab b b b + ( a b a b a b ( a+ b Eliminano el término miembros: porque está repetio en los os

22 4 ab b b b ( a b a b a b ( a+ b Reacomoano los términos simplificano: 4 4 b b b ab b b a+ b a + b + ab ( a+ b ( a+ b a+ b + ( a+ b ( b b a+ b b b a+ b ( a+ b a+ b a + b La última ecuación es una ientia, por lo que se puee concluir que la función implícita aa es solución e la ecuación iferencial. b Llegano a la ientia: / Derivano implícitamente la función ( a+ be, obtenemos: / ( a+ be + / be De aquí ebemos espejar ; pero antes e hacerlo para simplificar nuestra epresión utilizaremos el hecho, proporcionao por la / función implícita aa, e que ( a+ be. Por lo tanto, tenemos: + be /. Y simplificano: + be /. Ahora sí espejaremos e ésta epresión: be / ( be / / ( be + / ( be + / ( be + / be + Debemos obtener la seguna erivaa, erivano implícitamente esta última epresión: / be + / be + / ( be + ( be / Necesitamos esaparecer e ésta ecuación. Esto lo poemos / lograr usano el hecho e que be +. Hacemos esto: / be + / be be + be / / / be be / ( ( ( / / / ( ( be ( be ( ( be / be / be

23 Sustitueno ahora las epresiones obtenias e en la ecuación iferencial aa, nos resulta: / ( be be / + / / ( be [ be + ] / / ( be ( be / / [ be ] ( be / / [ ] ( ( be be / / ( be ( be Como obtenemos una ientia, concluimos que la función implícita aa es solución e la ecuación iferencial. c Llegano a la ecuación iferencial: Para obtener la ecuación iferencial a partir e la solución, / proceemos a erivar implícitamente ( a+ be. Y a se vio en la aplicación el métoo b, que al hacer esto nos resulta: + be /. Derivaremos implícitamente esta epresión simplificaremos: ( + ( / + be ( + + / be + + / be / + ( be + / + + ( be...( Trataremos ahora e ver si e esta última epresión se obtiene nuestra ecuación iferencial. Lo primero que notamos es que nuestra epresión posee el término be / la ecuación iferencial no; por lo que ebemos eliminarlo e nuestra epresión. Tal cosa puee hacerse si notamos que ese término está presente en la ecuación que resultó al erivar implícitamente la función aa, o sea en: + be /. De aquí / poemos espejar el término, resultánonos: be. Si usamos ésta epresión en la ecuación (, tenemos: + + ( Simplificano:

24 + + ( ( ( ( ( ( Esta última epresión es la ecuación iferencial original. Concluimos que la función implícita aa es solución e la ecuación iferencial. Ejemplo. Determine si + ( b r es solución e la ecuación ( b r son constantes.. Métoo a Despejano la variable epeniente: + b r : Despejano e ( ( b r b± r b± r Tenemos pues, os epresiones para, que son: b+ r b r Primero utilizaremos b+ r para ver si es solución e la ecuación iferencial. Obtenieno : [ + ( ] ( + ( b r / b r / Calcularemos estas os erivaas por separao (espués se entenerá por que: ( b ( ( ( ( r / r / r / ( r Por lo tanto: / r

25 r r Obtenieno : r r Calcularemos espués le cambiaremos el signo al r resultao para obtener. La razón e esto se entenerá más aelante. ( r ( r r r / / r r r ( ( ( ( r r + r r ( ( r + ( r ( r / / / / ( r ( r / / r ( r + ( r ( r r + ( r + ( r ( r ( r / / / r Por lo tanto: r r ( r Ahora sustituiremos las epresiones obtenias para en la ecuación iferencial: r ( r r r r ( ( ( + r r r r ( r ( r r + ( r ( r + r + r

26 r + + ( r ( r ( r / / / Multiplicano esta epresión por ( r / : r r ( / ( r / r ( + + ( r / ( r / ( r r r ( + + Concluimos la función b+ r ecuación iferencial. / / r + + r Ahora probaremos b r. sí representa una solución e la Obtenieno la primera erivaa: [ ( ] ( ( b r / b r / La primera e estas os erivaas es cero la otra a se calculó cuano tratamos con b+ r, nos resultó: ( r /. r Por lo que: r r O sea que ésta es la misma que la anterior, sólo que su signo lo tiene cambiao. Obtenieno la seguna erivaa: r Note que esta erivaa a se calculó anteriormente cuano se trabajó r con b+ r el resultao fue:. Por r ( r lo que: r ( r Igualmente, esta es la misma que la anterior, ecepto por su signo. Ahora sustituiremos estas nuevas epresiones obtenias para en la ecuación iferencial: r ( r r r

27 r ( r ( r r r ( r / / / ( r ( r Multiplicano esta epresión por ( r / : r r ( / ( r / r ( ( r / ( r / ( r r r ( / / r r + Concluimos la función b r e la ecuación iferencial. también representa una solución Poemos ecir, entonces, que la epresión completa b± r es solución e la ecuación iferencial. En consecuencia, la función implícita aa también lo es. b Llegano a la ientia: Derivamos implícitamente la función aa: ( + ( b + b r, obtenieno: Diviieno entre : + ( b Despejano : ( b b ( b + b b Derivamos implícitamente esta última epresión para obtener : ( b( ( b + ( b ( b Debemos eliminar e esta epresión. Logramos esto usano con lo que nuestra epresión quea: b b + b + b b b b + + b b b b b b ( ( ( ( ( Ahora sustituimos los resultaos obtenios para en la ecuación iferencial: b + ( b b b b + ( b ( b b Concluimos que la función implícita aa es solución e la ecuación iferencial. c Llegano a la ecuación iferencial:

28 De la aplicación el métoo b, la primera erivaa implícita e ( + b r resultó: ( + b...( Derivano implícitamente ésta epresión, obtenemos: + ( b +. O bien: ( b ( + + Queremos saber si esta epresión es la misma que la ecuación iferencial., poemos hacer que nuestra epresión también lo tenga multiplicánola por : Como la ecuación iferencial posee un término ( ( ( + b +...( Aemás, la ecuación iferencial aa no contiene la epresión b. Para eliminar ésta epresión e nuestra ecuación (, poemos usar la b, ecuación (, e la que poemos espejar, e una vez ( resultano: ( b. Éste resultao lo sustituimos en nuestra ecuación (, obtenemos: ( + Multiplicano por ésta epresión: + ( Reacomoano los términos: ( Ésta última es la ecuación iferencial por lo que poemos ecir que la función implícita aa es solución e la ecuación iferencial. Ejemplo 4. t Determinar si sen t ln es solución e t + ln sen+ ln. Métoo a Despejano la variable epeniente: t Despejar e sen t ln se ve ifícil, si no es imposible. Por t esto optamos por no aplicar este métoo. b Llegano a la ientia:

29 t Derivano sen t ln implícitamente (con respecto e, a t que es la variable inepeniente: sent sent t t ( + ( + t ln t Recoremos que en el ejemplo cuatro e las soluciones epresaas en t forma eplícita se vio que e t e. En general poemos ecir que ( f tt f (. Por lo que en nuestro caso poemos ecir que sent t t sen sent t ln + + t O bien: sent sen+ t + ln t Despejano : sen sen. Así que nuestra epresión quea: sen sent t sent + t ( + ln t t + ln sent sen+ t t + ln Ahora sustituimos este resultao en la ecuación iferencial, en la que previamente factorizamos : + ln sen+ ln + ( sent sen t t + ln sent sen+ t t + ln ( + ln sen+ ln ( + ln sen+ ln sen + sen+ sent t sen+ ln t sent t sen+ ln t Como la función implícita original nos ice que entonces: sen+ ln sen+ ln + sent t ln, t Esta última epresión es una ientia, por lo que poemos concluir que la función implícita aa es solución e la ecuación iferencial. c Llegano a la ecuación iferencial:

30 t La erivaa implícita e la función sen t ln a la obtuvimos t en la aplicación el métoo b nos resultó: sent sen+ t + ln t De ésta epresión ebemos obtener la ecuación iferencial aa. Tal ecuación iferencial no posee término con integral por lo tanto ebemos eliminarlo e nuestra epresión. Esto poemos lograrlo usano la función implícita aa, o sea: sent t ln, espejano e ésta a tal integral, queánonos: t sent ln t. Y luego sustituimos este resultao en nuestra t epresión: ln sen+ + ln Si ahora multiplicamos por esta epresión, obtenemos: sen+ ln + ln O si ponemos esta ecuación al revés, nos quea: + ln sen+ ln Obtenemos la ecuación iferencial, por lo que poemos concluir que la función implícita aa es solución e la ecuación iferencial. III.4.- Veremos el mecanismo para verificar si un conjunto ao e epresiones paramétricas es solución e una ecuación iferencial. Si se tiene una ecuación iferencial orinaria cuas variables son, la solución e tal ecuación también poseerá tales variables. O sea, será una función e. Se ice que una solución está epresaa en forma paramétrica si está representaa por meio e un par e ecuaciones en las que tanto la como la están escritas en función e una tercera letra, usualmente t, llamaa parámetro. En forma general, tal conjunto e ecuaciones paramétricas se puee representar el moo siguiente: f ( t gt ( En one, se entiene que f g son ciertas funciones e t. III.5.- Para verificar si un conjunto ao e ecuaciones paramétricas es solución e una ecuación iferencial e oren n se ispone e os proceimientos, a escoger. Estos se escriben a continuación. Derivano las ecuaciones paramétricas. Este métoo consiste en calcular primero las n erivaas: n,, Κ, n

31 III.6. - Luego se sustituen estas erivaas junto con las ecuaciones paramétricas en la ecuación iferencial. Si al sustituir se obtiene una ientia, es que la función efinia por las ecuaciones paramétricas es solución e la ecuación iferencial. Convirtieno la solución a ecuación cartesiana. Una manera alternativa e proceer para verificar soluciones aas en forma paramétrica es convertirlas en cartesianas, es ecir, eliminar el parámetro, lo cual no siempre es fácil e hacer, luego proceer como se inicó en el capítulo para las soluciones aas en forma eplícita (si la ecuación cartesiana obtenia está en forma eplícita; o proceer como se inicó en el capítulo para las soluciones aas en forma implícita (si la ecuación cartesiana que se obtiene es implícita. Ejemplo. cost Verifique si es solución e + 4. sent Aplicaremos los os métoos escritos. Métoo I: Debemos obtener a partir e las ecuaciones paramétricas aas. Sabemos que para el caso e las ecuaciones paramétricas f ( t gt (, la regla e la caena establece que t t De t t t cos t tenemos: t cos t. Por lo tanto: t t cost cost sent sent sen t e sen t tenemos: Sustitueno este resultao e en la ecuación iferencial, junto con las epresiones aas que efinen en función e t, en la ecuación iferencial, simplificano: cost sent + 4 cost 4 cost+ 4 cost sent

32 Obtenemos una ientia, por lo que concluimos que las ecuaciones paramétricas aas efinen una solución e la ecuación iferencial. Métoo ii: Para eliminar el parámetro t e las ecuaciones cos t sen t, iviimos entre la ecuación sen t, obtenieno: sen t. Ahora elevamos al cuarao las ecuaciones: resultánonos: cos t t 4 sen. cos t sen t, Ahora sumamos estas os ecuaciones: + cos t+ sen t 4 Sabemos que eiste una ientia trigonométrica que ice que el seguno miembro e esta ecuación es igual a. Aplicano esto último llegamos a: + 4 Esta ecuación no contiene t, por lo que es la ecuación cartesiana buscaa. Multiplicánola por 4 : Poemos probar si esta ecuación cartesiana implícita es solución e la ecuación iferencial aplicano cualquiera e los tres métoos que vimos en el capítulo para verificar tales soluciones. Vamos a aplicar el métoo b e ese capítulo, o sea el e llevar a la ientia. Para ello erivamos implícitamente la ecuación: 4 + 4, llegamos a: 8+. Despejano : Si este resultao e lo sustituimos en la ecuación iferencial aa llegamos a: Llegamos a una ientia por lo tanto concluimos que la ecuación cartesiana implícita por lo tanto también las ecuaciones paramétricas aas son solución e la ecuación iferencial. Ejemplo. Determine si cost e t es solución e +.

33 Métoo i: Para aplicar t necesitamos erivar cos t e t. t t t e e e t sen t. Por lo tanto: t t sent sen t. Sustitueno en la ecuación iferencial: t t t t e e e e + + sent ( cost sent cos t Sabemos que eiste una ientia trigonométrica que ice que: sen t+ cos t. Esta ientia puee escribirse: sen t cos t. Usano este resultao en nuestra epresión: t t t t e e e e + + sent sen t sent sent Como obtenemos una ientia concluimos que las ecuaciones paramétricas aas efinen una solución e la ecuación iferencial. Métoo ii: Debemos eliminar t el conjunto. Para ello poemos espejar t e una e estas ecuaciones sustituir en la otra. Tomemos la ecuación e t. Si le aplicamos logaritmo natural a ambos miembros nos quea: ln lne t. Ahora recoremos que según la n propiea e logaritmos: loga n loga, puee ser bajao el eponente t e nuestra ecuación a multiplicar a ln, queánonos: ln t lne. Y como lne, nos quea: ln t. O bien: t ln. Sustitueno este último resultao en cos t obtenemos: cos(ln. Esta es la ecuación cartesiana buscaa. Se trata e una ecuación implícita. La convertiremos en eplícita, espejano, para luego aplicar el métoo e las soluciones aas en forma eplícita que a se estuió en el capítulo. Le aplicamos arccos a ambos miembros obtenemos: arccos arccos[ cos(ln ] Como se sabe que: arccos(cos u u, entonces, el seguno miembro e nuestra ecuación se transforma la ecuación quea: arccos ln Si ahora aplicamos la eponencial e a ambos miembros, obtenemos: arccos ln e e Pero sabemos que a log a, entonces e ln por lo que nuestra ecuación llega a ser: arccos e

34 O bien: e arccos Esta ecuación a es eplícita. Ahora la erivaremos: ( ( e arccos e arccos arccos e arccos e Sustitueno este resultao e la epresión e en la ecuación iferencial: arccos arccos arccos e e + Concluimos que la ecuación eplícita e arccos por lo tanto también las ecuaciones paramétricas aas son solución e la ecuación iferencial. Ejemplo. lnt+ 4t Determine si t+ 4 4t t > es solución e la ecuación iferencial ( +. Métoo i: En este problema necesitamos obtener. Tenemos que t. t Y como: t+ t ( t t t t t ln t t+ t t t 4 4 Entonces: t 4t t t t t t 4 ( ( t 4 ( 4t 4 ( 4t 4 t 9 t 6t ( t + ( t t( t 4 t + t Para obtener aplicaremos también la regla e la caena el moo siguiente: t t t t t + t t t t t ( t ( t + ( ( t t t 4t t 6 4t t t

35 t 6 4t 4t ( 4t ( t 6 t t ( 4t t 6 t t t 6 t t Ahora sustituimos estos resultaos en la ecuación iferencial: t + t t+ t ( t + + t t + t Obtenemos una ientia; así que poemos ecir que las ecuaciones paramétricas aas efinen una solución e la ecuación iferencial. Métoo ii: lnt+ 4t Eliminar t e las ecuaciones paramétricas t+ 4 4t presenta obstáculos algebraicos. No aplicaremos este métoo. t > Ejemplo 4. ln t Determine si a+ bln t + ct. a, b c son constantes. es solución e la ecuación iferencial Métoo i: En este problema necesitamos obtener hasta la tercera erivaa. Para calcular la primera erivaa con t necesitamos t obtener:, que son: t t ( t ( t t ( t t t t t t / ln ln ln ln t t b a+ bln t + ct a + b ln t + c t + b + c + t t t 4 t 4 t t t Esta es t ( ( ( ( c

36 Por lo tanto: b b + c + c t ( t t b+ ct b+ ct ( t t t La seguna erivaa puee calcularse con la fórmula: t t Y resulta: c ( b+ ct t c 4ct t t t Para calcular la tercera erivaa, la fórmula también puee eucirse e la regla e la caena es: t t t t Por lo tanto tenemos: 4c ( 4ct t 4c 8ct t t t Sustitueno los resultaos e en la ecuación iferencial: 8ct ( 4ct 8ct 8ct Concluimos que las ecuaciones paramétricas efinen una solución e la ecuación iferencial. Métoo ii: Debemos eliminar el parámetro e las ecuaciones paramétricas aas, esto parece más fácil e hacer espejano e la ecuación que efine. Hacieno esto tenemos: t ln t e e ln e t ( e t e t t e Ahora sustituimos este resultao la epresión ln t en la ecuación que efine, o sea en a+ b ln t + ct, queano la siguiente ecuación cartesiana: a+ b+ ce Esta ecuación está en forma eplícita. Poemos verificar si es solución e la ecuación iferencial erivánola tres veces:

37 b+ ce 4ce 8ce luego sustitueno en la ecuación iferencial : 8ce ( 4ce 8ce 8ce Concluimos que la ecuación a+ b+ ce es solución e la ecuación iferencial por lo tanto las ecuaciones paramétricas aas también lo son. IV.7. - La solución general e una ecuación iferencial es una solución que posee tantas constantes arbitrarias como el oren e la ecuación iferencial. Si la solución general tiene una constante arbitraria, ésta se suele representar con la letra: c Si son varias se les istingue numeránolas: c, c, c,... IV.8.- Una solución particular es una solución que se obtiene e la solución general asignánole valores específicos a una, a varias o a toas las constantes arbitrarias. Ilustraremos estas os efiniciones con algunos ejemplos. IV.9.- Ejemplo. Puee verificarse fácilmente que la función: ce + e Es solución e la ecuación iferencial: + e En la solución, c es una constante arbitraria. Como la ecuación iferencial es e oren la solución tiene constante arbitraria, entonces tal solución es la solución general e la ecuación iferencial. Si tomamos c en la solución general, nos resulta: e + e. Ésta es una solución particular e la ecuación iferencial aa. Ejemplo. No es mu ifícil probar que: c c + Es solución e la ecuación iferencial: ( +. Como la solución posee os constantes arbitrarias, c c, tantas como el oren e la ecuación iferencial, entonces es la solución general e tal ecuación. Si tomamos c c 4, los sustituimos en la solución general, obtenemos:

38 + 4 Esta es una solución particular e la ecuación iferencial aa. Si ahora tomamos c c, nos resulta: + ( ± es otra solución particular e la ecuación iferencial. Por cierto que la solución es solución e muchas ecuaciones iferenciales se le llama solución trivial. Ejemplo. Uste puee comprobar que: 5 ce + c Es solución e: La solución posee os constantes, c c, por lo que uno poría pensar que se trata e la solución general; pero veamos que ocurre si manipulamos la epresión algebraicamente el moo siguiente: 5+ c 5 c c 5 ce ce e ( ce e La epresión encerraa entre paréntesis es una constante, a la que poemos llamar, por ejemplo, c, queánonos: 5 ce...( Esta epresión nos inica que la solución aa posee una sola constante arbitraria, por lo que no puee ser la solución general e una ecuación iferencial e oren. Puee uste comprobar que: 5 ce + ce es solución e la ecuación iferencial aa, las constantes que aparecen allí son realmente arbitrarias, por lo que es la solución general e la ecuación iferencial. Si en ella tomamos c, nos quea: 5 ce Ésta epresión fue obtenia e la solución general posee una sola constante arbitraria, que es c, por lo que es una solución particular e la ecuación iferencial. Pero a icha constante también se le puee llamar simplemente c, queano: ce 5, que es la misma que la ecuación (, la cual es a su vez otra manera e escribir la solución aa. Poemos ecir, por lo anterior, que la solución aa, es ecir, la ecuación (, es sólo una solución particular e la ecuación iferencial, a que acabamos e emostrar que puee obtenerse e la solución general. Ejemplo 4. No es mu complicao emostrar que la función: c c e ln / + ce Es solución e la ecuación iferencial:

39 Y ebio a que posee sus tres constantes: c, c c, poría pensarse que tal función es la solución general e la ecuación iferencial aa. Sin embargo, tal función puee rescribirse el moo siguiente: cc e ce c c e ce c c ( ln + ln + + ce c c+ ce ( c c ce + c+ ce En la última epresión se tomó c c c. Por lo tanto, la aparente solución general se ha reucio hasta c+ ce, la cual posee sólo os constantes arbitrarias; una solución con os constantes arbitrarias no puee ser la solución general e una ecuación iferencial e oren tres. La veraera solución general e la ecuación iferencial aa es c + c + ce. Esto puee ser verificao fácilmente por el lector. V..- Ya sabemos que las ecuaciones iferenciales orinarias e primer oren se caracterizan por poseer erivaas o iferenciales e primer oren. Este tipo e ecuaciones puee epresarse en cualquier manera concebible, sólo que entre toas estas, eisten algunas con nombre especial que ahora estuiaremos. Veremos tres maneras e epresar una ecuación e este tipo: La forma general. La forma estánar. La forma iferencial. Estuiemos una por una estas formas. V..- Una ecuación iferencial e primer oren está en su forma general cuano se encuentra igualaa con cero, su forma es: F (,, Ejemplos. Las siguientes ecuaciones están en forma general. ( V..- Una ecuación e primer oren está en su forma estánar cuano la erivaa está espejaa, por lo que su forma es: f(, Ejemplos. Las siguientes ecuaciones están en forma estánar. sen.. ln

40 +. + t. t. La ecuación iferencial e este último ejemplo 5 está a la vez en forma estánar en forma general, porque tiene a la espejaa la ecuación está igualaa con cero. V..- La forma iferencial e una ecuación e primer iferencial e primer oren es: M (, + N(, En esta epresión, M (, N (, son funciones e, o sólo e, o sólo e, o constantes. O sea, una ecuación iferencial está en forma iferencial, cuano se tiene una suma funciones multiplicaas por los iferenciales, e igualao too a cero. Las siguientes ecuaciones iferenciales están en forma iferencial. +. ( En esta ecuación: M(, + que N(, mientras que: N(,. Note, inclue en signo negativo. +. Aquí, M(, N(,.. Esta ecuación se puee rescribir: + e la que se esprene que: M (, N (,. V.4.- La epresión e una ecuación iferencial orinaria e primer oren puee alterarse manipulánola algebraicamente para escribirla en cualquiera e las tres formas que se mencionaron. Ejemplo. La ecuación iferencial ( + + está en su forma general. Escríbala en forma estánar en forma iferencial. Para convertir la ecuación a la forma estánar, espejaremos e la ecuación aa: ( + + Para convertir a la forma iferencial, poemos usar la forma general aa o la forma estánar obtenia. Usano la forma general aa:

41 ( + + ( + + ( + + ( ( ( + Usano la forma estánar que obtuvimos, se llega al mismo resultao: + + ( ( Ejemplo. La ecuación iferencial + + e está en su forma iferencial. Escríbala en forma general en forma estánar. Note que la ecuación aa no está en forma general, porque a pesar e que está igualaa con cero, no contiene o. Para epresarla en forma general iviimos la ecuación entre : + + ( + e ( + e + ( + e + + e Para epresarla en forma estánar, tomamos la forma general obtenia espejamos : ( + e e Ejemplo. La ecuación iferencial ( e está en su forma estánar. Escríbala en forma general en forma iferencial. Escribiénola en forma general: ( ( Escribiénola en forma iferencial: ( ( ( ( ( V.5.- Surge la pregunta: siempre es posible convertir una ecuación iferencial e primer oren e una forma en otra? Tratemos e responer esta pregunta. Veamos lo siguiente: La forma estánar: f (,, puee rescribirse: f (,, la cual es una epresión que en su miembro izquiero posee,, su

42 miembro erecho es cero, por lo que es el tipo: F(,,, que es la forma general. Entonces, siempre es posible pasar e la forma estánar a la general. La forma estánar: f (,, poemos moificarla el moo siguiente: f (, f (, f(, f, + ( Si observamos la última epresión, la poemos comparar con: M, + N, ( ( tomano: M(, f(, N(,. De esto poemos concluir que siempre es posible pasar una ecuación e la forma estánar a la forma iferencial. Una forma iferencial, poemos moificarla el moo siguiente: (, + (, (, (, M(, N(, M(, N(, M N N M La epresión el miembro erecho e esta última ecuación es un cociente e funciones e, e lo cual resulta una epresión que es función también e, la que poemos representar simplemente: f (,, queánonos: f (,, la cual es la forma estánar e una ecuación iferencial. Concluimos que siempre es posible pasar una ecuación iferencial e la forma iferencial a la estánar. La forma iferencial: M(, + N(,, poemos iviirla entre:, queánonos: M(, + N(,. O bien: M(, + N(,. Y si analizamos esta última ecuación, notamos que en su miembro izquiero posee,, su miembro erecho es cero, por lo que es el tipo: F(,,, que es la forma general. Entonces, siempre es posible pasar una ecuación e la forma iferencial a la general. Si e una ecuación iferencial en forma general: F(,,, no poemos espejar, entonces, en ese caso, no poremos escribirla en su forma estánar, como consecuencia, tampoco en su forma iferencial. En conclusión, siempre es posible pasar una ecuación iferencial orinaria e una forma a otra, ecepto el caso en que e la forma general no sea posible espejar la erivaa. VI.6.- Ecuaciones con variables separables:

43 Cuano los términos e una ecuación iferencial pueen isponerse e manera que tome la forma: f ( + F( sieno f ( una función e únicamente F ( una función e únicamente, el proceimiento e resolución se llama e separación e variables la solución se obtiene por integración irecta. Así, integrano esa ecuación obtenemos la solución general: f ( + F( c en one c es una constante arbitraria. De manera frecuente muchas ecuaciones no tienen esta forma pero pueen reucirse a ella meiante la siguiente regla: PRIMER PASO: Quitar enominaores.- se multiplican toos los términos por el iferencial e la variable inepeniente. SEGUNDO PASO: se sacan los iferenciales como factor común, entonces la ecuación tomará la forma: XY + X Y en one X X son funciones e eclusivamente Y Y son funciones e únicamente, iviieno toos los términos por X Y. TERCER PASO: se integra caa parte separaamente. Ejemplo: resuelva la siguiente ecuación: + ( + VII.8.- Ecuaciones homogéneas: Se ice que una ecuación e es homogénea en las variables, si el resultao e reemplazar por λ λ ( sieno λ una constante arbitraria se reuce a la función primitiva multiplicaa por alguna potencia e λ. El eponente e esa potencia e λ se llama el grao e la función primitiva. O sea, se ice que la ecuación iferencial: M +N es homogénea cuano M N son funciones homogéneas e el mismo grao. Tales ecuaciones iferenciales pueen resolverse hacieno la sustitución u. Esto nos ará una ecuación iferencial en u en la que las variables son separables las poremos resolver según el métoo anterior. VIII..- Ecuaciones Lineales: La ecuación iferencial lineal e primer oren en es e la forma: + P Q sieno P Q funciones e únicamente, o constantes. Asimismo, la ecuación: