Ecuaciones Diferenciales de primer Orden

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1 4 Ecuaciones Diferenciales e primer Oren Introucción Las palabras ecuaciones y iferenciales nos hacen pensar en la solución e cierto tipo e ecuación que contenga erivaas. Así como al estuiar álgebra y trigonometría se Iinvierte bastante tiempo en resolver ecuaciones, como =0 con la variable, en este tema vamos a resolver ecuaciones iferenciales como y + 3y + y = 0, para eterminar la función y. El escubrimiento inepeniente el cálculo por Newton y Leibniz en el siglo 17 proporcionó el ímpetu para los granes avances que siguieron en las matemáticas, ciencias, e ingeniería. Una e las más importantes y fascinantes ramas e las matemáticas que proporcionó el meio para las formulaciones matemáticas y soluciones e variaos problemas en estas áreas se llama ecuaciones iferenciales. En cálculo aprenimos que la erivaa, /, e la función y= f() es en si, otra función e que se etermina siguieno las reglas aecuaas; por ejemplo, si y=e 2, entonces ê=2e 2. Al reemplazar e 2 por el símbolo y se obtiene: = 2 y El problema que afrontaremos en este curso no se trata e aa una función y=f(), eterminar su eriva. El problema es aa una ecuación iferencial, Hay algún métoo por el cual poamos eterminar a la función y?. 1.2 Conceptos e ecuaciones iferenciales La ecuación que planteamos en (1.1) se llama ecuación iferencial. Antes e avanzar más, veamos algunas efiniciones más precisas e este concepto. (1) Definición 1 Definición 1: [DZ,1] Una ecuación que contiene las erivaas e una o más variables epenientes con respecto a una o más variables inepenientes es una ecuación iferencial.

2 2 Definición 2 Definición 1: [MS,2] Una ecuación iferencial es una ecuación que involucra erivaas e una función esconocia e una o más variables. Si la función esconocia epene sólo e una variable (e tal moo que las erivaas son erivaas orinarias) la ecuación se llama una ecuación iferencial orinaria. Sin embargo, si la función esconoci epene e más e una variable (e tal moo que las erivaas son erivaas parciales) la ecuación se llama una ecuación iferencial parcial. Ejemplo 2.1 Ejemplos: y' + y = 3 y''+5 y'+ 6 y = coshl L 2 i H tl + R i 2 t + 1 i = Ew coshwtl C Toas estas ecuaciones corresponen a ecuaciones iferenciales. Cuano una ecuación envuelve una o más erivaas con respecto a una variable particular, esa variable es llamaa variable inepeniente. Una variable es llamaa epeniente si en la ecuación hay alguna erivaa e esa variable. Por ejemplo: es la variable inepeniente = 2 + y ö y es la variable epeniente 2 t 2-2 t - 15 = 0 ö t es la variable inepeniente es la variable epeniente 1.3 Clasificación e las ecuaciones iferenciales Las ecuaciones iferenciales se clasifican e acuero con su tipo, oren y linealia Clasificación según el tipo 1.- Ecuación iferencial orinaria: Son aquellas ecuaciones que sólo contienen erivaas orinarias e una o más variables epenientes con respecto a una sola variable inepeniente.- Por ejemplo: = 6 +5; 2 t 2 - t = et, y t + t = 3 + y 2.- Ecuación iferencial en erivaas parciales: Son aquellas que contiene las erivaas parciales e una o más variables epenientes, respecto e os o más variables inepenientes. Por ejemplo:

3 3 2 u u y 2 = 0, 2 u = 2 u 2 t - 2 u 2, y u y = - v Las erivaas orinarias tienen iversas notaciones:, 2 y, 3 y 2 3 ö Notación e Leibniz y', y'', y''' ö Notación con primas y, ẏ.,... y ö Notación e Newton o e puntos Clasificación según el oren El oren e una ecuación iferencial es el e la erivaa e mayor oren en la ecuación, por ejemplo: 3 y y y = e ö 3 y 3 2 y 2 Tercer oren Seguno oren Primer oren Clasificación según la linealia Ecuaciones iferenciales lineales: Otra forma e representar una ecuación iferencial es: FI, y, y',..., y HnL M = 0 (2) Se ice que una ecuación iferencial como la (1.2) es lineal si F es lineal en y, y', y'',..., y Hn-1L. Esto quiere ecir que una ecuación iferencial orinaria e oren n es lineal cuano la ecuación (1.2) es a n HL y HnL + a n-1 HL y Hn-1L +...+a 1 HL y'+ a 0 HL y- ghl = 0, o bien a n HL HnL y n + a n-1 HL Hn-1L y +...+a 1 HL n-1 + a 0HL y = ghl En esta última ecuación, vemos las os propieaes características e las ecuaciones iferenciales lineales: a) La variable epeniente y y toas sus erivaas son e primer grao; esto es, el eponente e too término one aparece y es 1. b) Caa coeficiente sólo epene e, que es la variable inepeniente. Las ecuaciones Hy-L + 4 = 0, y'' - 2 y'+ y = 0 3 y y = e son, a su vez, ecuaciones iferenciales orinarias e primero, seguno y tercer oren. (3)

4 4 Término no lineal : coeficiente epene e y Término no lineal : Función no lineal e y H1- yl y'+2 y = e 2 y 2 + SenHyL = Variables Separables En algunas ocasiones las ecuaciones iferenciales se porán resolver usano integración y quizás esta integral requiera e algunas técnicas especiales Solución por integración: Cuano f es inepeniente e la variable y, esto es = ghl Si f g() es una función contínua se resolverá por integración: y = ghl + C Definición 3 Ecuación Separable Se ice que una ecuación iferencial e primer oren, e la forma: = ghl hhyl es separable, o e variables separables. [DZ,1] Para resolver este tipo e ecuaciones iferenciales es necesario: = ghl hhyl 1.- Reescribir la ecuación hacieno un espeje simple: hhyl = ghl i hhyl = phyl 2.- Integramos a ambos laos e la ecuación y nos quea como: phyl = ghl PHyL+C 1 = GHL+C 2 PHyL = GHL + C

5 5 Ejemplo 4.2 Solución e una ecuación iferencial: H1+ L -y = 0 Diviimos ambos laos e la ecuación por (1+)y: H1+ L -y H1+ L y = 0 H1+ L H1+ L y - y H1+L y = 0 y = 0 Lugos pasamos a sumar al otro lao e la iguala el término 1+ : y = 1 1+ Integramos a ambos laos e la ecuación: y = 1 1+ LnHyL + C 1 = LnH1+ L + C 2 Sumamos los valores constantes : LnHyL = LnH1+ L + C Como necesitamos es la variable y necesitamos aplicar la operación inversa al Ln que es la eponencial : y = e LnH1+L+C = e LnH1+L e C = H1+ L e C y = H1+L c Ejemplo 4.3 Obtener la solución e la ecuación iferencial = - y con valor inicial y(4)=-3 Aplicamos lo mismo que en el ejemplo anterior: = - y Integrano en ambos laos : ï y = - y c 1 = - 2 y 2 2 = c 2 + c 2

6 6 Sustituyeno el valor inicial yh4l = -3 H-3L 2 2 = - H4L2 2 + c Despejano a c : 2 c = 9+16 c = Ecuación Diferencial Lineal e primer oren 2 Anteriormente se ijo que una ecuación iferencial es lineal cuano e primer grao en la variable epeniente y en toas su erivaas. Definición 4 Ecuación lineal Una ecuación iferencial e primer oren, e la forma es una ecuación lineal. a 1 HL + a 0HL y= ghl ö Cuano g() es cero, entonces la ecuación iferencial es homogénea, en cualquier otro caso no es homogénea. Teorema 1 La ecuación iferencial lineal e primer oren + PHL y= fhl se puee transformar en una ecuación iferencial separable multiplicano ambos laos e la ecuación por el factor integrante e Ÿ PHL. [ES,2] Solución e una ecuación iferencial e primer oren 1.- Convertir una ecuación iferencial lineal a la forma estánar e una ecuación iferencial: + PHL y = fhl 2.- A partir e la forma estánar, ientificar a P() y a continuación eterminar el factor integrante: e Ÿ PHL 3.- Multiplicar la forma estánar e la ecuación por el factor integrante. El lao izquiero e la ecuación resultante es la erivaa el proucto el factor integrante por la variable epeniente, y; esto es, AeŸ PHL ye = e Ÿ PHL fhl 4.- Se integran ambos laos e esta ecuación.

7 7 Ejemplo 5.4 Obtener la solución e la ecuación iferencial: - 3 y = 0 Aunque esta ecuación iferencial se puee resolver por variable separables, vamos a usar este nuevo proceimiento ya que tiene la forma estánar e ecuación iferencial e primero oren. Aemás vale la pena estacar que es una ecuación iferencial lineal e primer oren homogénea. 1.-Comparamos la ecuación con la forma estánar : - 3 y = 0 ó + PHL y = fhl 2.- Para eterminar el factor integrante usamos : e Ÿ PHL = e Ÿ -3 = e Multiplicamos la ecuación iferencial por el factor integrante a ambos laos : - 3 y = 0 ï e-3-3 e-3 y = 0 IeŸ PHL ym = e Ÿ PHL fhl Ie-3 ym = e -3.0 Ie-3 ym = Integramos ambos laos e la ecuación : Ie-3 ym = 0

8 8 e -3 y = C Despejamos el valor e y y = C = Ce3-3 e Ejemplo 5.5 Obtener la solución e la ecuación iferencial: y = 2 Daa que es una ecuación iferencial e primer oren no homogénea e la forma estánar + PHL y = fhl poemos usar el proceimiento anterior: 1.- PHL = -3 2 fhl = El factor integrante será : e Ÿ PHL = e Ÿ -3 2 = e Multiplicamos la ecuación por el factor integrante : e e -3 y = e -3 2 esto nos quea e la forma Ie-3 ym = e Integramos ambos laos e la ecuación : Ie-3 ym = e -3 2 e -3 y = e -3 2 Cambio e Variable : u = - 3 u = u 3 = 2 e -3 y = e u -u 3 = -1 3 eu + C = -1 3 e-3 + C e -3 y = -1 3 e-3 + C Despejamos a y y = 1 3 e-3 e 3 + Ce 3 Simplificano nos quea y = Ce3 Ejemplo 5.6 Obtener la solución e la ecuación iferencial: - 4 y = 6 e

9 9 Daa que es una ecuación iferencial e primer oren no homogénea pero aún no está escrita e la forma estánar + PHL y = fhl, por lo que primero ebemos llevarla a esa forma: 1.- Reescribimos la ecuación - 4 y = 6 e - 4 y = 6 e Diviimos la ecuación entre Separamos la suma - 4 y = 6 e Simplificamos - 4 y = 5 e 2.- Obtenemos a PHL y fhl PHL = -4 fhl = 5 e 3.- Determinamos el factor integrante e Ÿ PHL = e Ÿ -4 = e -4 LnHL = e LnI-4M = Multiplicamos la ecuación por el factor integrante : y = -4 5 e I-4 ym = -4 5 e esto nos quea e la forma Simplificamos I-4 ym = -4+5 e = e 4.- Integramos ambos laos e la ecuación : I-4 ym = e -4 y = e Integración por parte : u = u = v = e v = e -4 y = u v - vu = e - e = e - e + C -4 y = e - e + C Despejamos a y

10 10 y = -4 e - e -4 + C -4 Simplificamos y = 5 e - 4 e + C 4 Ejemplo 5.7 Obtener la solución e la ecuación iferencial: + y = yh0l = 4 Seguimos los mismos pasos PHL = 1 e Ÿ = e fhl = Factor integrante He yl = e He yl = e e y = e Integración por parte : u = u = v = e v = e e y = u v - Ÿ vu = e - Ÿ e = e - e + C e y = e - e + C Despejamos a y y = e - e + C Evaluamos el valor inicial y(0) = 4 =0 y=4 y = e - e + C 4 = 0. e 0 - e 0 + C 4 = -1 + C C=5 La solución e la ecuación iferencial será: y = e - e Ecuaciones Eactas Definición 5 Ecuación Eacta Una epresión iferencial M(,y) + N(,y) es una iferencial eacta en una región R el plano y si correspone a la iferencial e alguna función f(,y). Una ecuación iferencial e primer oren, e la forma M(,y) + N(,y) = 0 es una ecuación eacta, si la epresión el lao izquiero es una iferencial eacta.

11 11 Por ejemplo una ecuación iferencial eacta sería: 2 y y 2 = 0 one MH, yl = 2 y 3 y NH, yl = 3 y 2 Teorema 2 Criterio para una iferencial eacta Sean continuas M(,y) y N(,y), con erivaas parciales continuas en una región rectangular, R, efinia por a<<b, c<y<. Entonces, una conición necesaria y suficiente para que M(,y) + N(,y) sea una iferencial eacta es que M y = N Ejemplo 6.8 Solución e la ecuación iferencial eacta 2 y+i 2 + 1M = 0 Lo primero que ebemos hacer es comparar nuestra ecuación iferencial con la forma que plantea la efinición e la ecuación iferencial eacta: Y verificamos que realmente es una ecuación iferencial eacta hacieno uso el Teorema 2: M y = N M y N = 2 Ñ = 2 Ñ Por lo que ebe eistir una función f(,y) tal que: f = 2 y H1L Integramos esta ecuación respecto a f y = I2 + 1M H2L Integramos esta ecuación respecto a y Tomamos la primera ecuación : fh, yl = 2 y + ghyl H3L Tomamos ésta última ecuación y la erivamos respecto a y y la igualamos a (2): f y = 2 + g'hyl = 2 + 1

12 g'hyl = g'hyl = 1 Despejamos a g'hyl Integramos respecto a y ghyl = y Sustituimos éste resultao en la ecuación H3L : fh, yl = 2 y + ghyl fh, yl = 2 y + y Ejemplo 6.9 Solución e la ecuación iferencial eacta Ie 2 y - y cos ym +I2 e 2 y - cos y + 2 ym = 0 De la ecuación obtenemos que: MH, yl = e 2 y - y cos y Derivano M y = 2 e2 y - cosy+ysenhyl NH, yl = 2 e 2 y - cos y + 2 y Derivano N = 2 e2 y - cosy+ysenhyl Sabemos que : f = MH, yl = e2 y - y cos y f y = NH, yl = 2 e2 y - cos y + 2 y H1L H2L Ahora integramos la ecuación H2L : fh, yl = I2 e 2 y - cos y + 2 ym y = 2 e2 y 2 - SenHyL + 2 y2 2 + hhl fh, yl = e 2 y - SenHyL+ y 2 + hhl H3L Derivamos la ecuación H3L : fh, yl = e2 y - y coshyl+0+h'hl = MH, yl = e 2 y - y cos y e 2 y - y coshyl+0+h'hl = e 2 y - y cos y Simplificano nos quea : h'hl = 0 Integramos este resultao : hhl = c Sustituimos en la ecuación H3L a hhl fh, yl = e 2 y - SenHyL+ y 2 + c

13 13 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] Dennis Zill y Michael Cullen ECUACIONES DIFERENCIALES, 5ta y 6ta eición. [2] Earl Swokowski, "CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA", 2a eición [3] N. Piskunov, "CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL", 3ra eición [4] Rolan Larson, "CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA", 6ta eición [5] James Stewart, "CÁLCULO MULTIVARIABLE". [6] Murray Spiegel, ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS, 3era eición.

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