Derivación. (x c) que pasa por el punto fijo (c, f(c)) y el punto móvil (c + h, f(c + h)) cuando h tiende a 0.
|
|
- Miguel Valdéz Rivas
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Derivación Definición y propieaes básicas Definición. Una función f efinia en un entorno e un punto c R es erivable en c si y sólo si el ite f c = f fc + h fc f fc c := = h h c c eiste y toma un valor finito, que es la erivaa e f en c. Una función f efinia en un intervalo e la forma [c, b es erivable en c por la erecha si y sólo si el ite lateral f c + fc + h fc f fc := = h + h c + c eiste y toma un valor finito. La efinición e erivable en c por la izquiera es similar. Una función f : a, b R es erivable en el intervalo abierto a, b si y sólo si f es erivable en cuaquier punto e a, b. Una función f : [a, b] R es erivable en el intervalo cerrao [a, b] si y sólo si f es erivable en el intervalo abierto a, b, erivable en a por la erecha y erivable en b por la izquiera. Observación. Si una función f es erivable en un punto c, entonces y = fc + f c c es la recta tangente a la gráfica y = f en el punto = c. En particular, la recta tangente tiene peniente m = tan α = f c, one α es el ángulo entre la recta tangente y el eje horizontal. Aemás, la recta tangente es el ite e la recta secante y = fc+ fc+h fc h c que pasa por el punto fijo c, fc y el punto móvil c + h, fc + h cuano h tiene a. Figura. La recta tangente izquiera es el ite e las rectas secantes centro cuano h erecha. Definición. Si el ite que efine f c es infinito, iremos que f tiene peniente infinita en c. Ejercicio. Probar que la función f = n, con n N, es erivable en too R y f c = nc n. Inicación: Desarrollar la epresión c + h n usano el binomio e Newton. Teorema. f erivable en c f continua en c. Demostración. Supongamos que la función f es erivable en un punto c. Entonces [ ] f fc f fc f fc = c = c = f c =. c c c c c c Por tanto, c f = fc, lo cual implica que f es continua en c. Definición. Si f es una función erivable en un intervalo I R, entonces la función f : I R es la primera erivaa e f. Si f vuelve a ser erivable en I, entonces la función f : I R efinia como la erivaa e la erivaa; o sea, f = f := f es la seguna erivaa e f. Y, en general, f n = n f n enota a la erivaa n-ésima e f.
2 Depositao en rafael/erivacioncon.pf Teorema Darbou. Si f es una función erivable en un intervalo I R, entonces su erivaa f no tiene ninguna iscontinuia e salto en el intervalo I. Ejercicio. Probar que la función f = no es erivable en c =. Probar que la función f = es erivable en too R, pero no es os veces erivable en c =. Las funciones elementales simples, las operaciones básicas entre funciones erivables, la composición e funciones erivables y la inversión e funciones erivables biyectivas son erivables:. Derivaas e las funciones elementales simples: k =, n = n n n N, R, e = e, sin = cos, arcsin =, sinh = cosh, argsinh =, + a = a ln a a >, cos = sin, arc cos = cosh = sinh, α = α α α R, >, ln = >,, argcosh =, tan = cos = + tan, arctan = +, tanh = cosh = tanh, argtanh =.. Reglas e erivación: Si f y g son erivables en c y k R, entonces las funciones k f, f ± g, f g y f/g si gc son erivables en c. Aemás, f k f = k f, f ± g = f ± g, f g = f g + f g, = f g f g g g. 3. Regla e la caena: Si f es erivable en y g lo es en f, entonces g f es erivable en y g f = g f f. 4. Derivaa e la inversa: Si f es erivable en e invertible en un entorno e, entonces la función inversa f es erivable en y = f y f f = f o, equivalentemente, f y = f f y. Ejercicio. Deucir la erivaa e la inversa a partir e la regla e la caena. Obtener las fórmulas e las erivaas el logaritmo y el arco seno erivano las relaciones e ln = y sinarcsin =. Finalmente, introucimos el concepto e erivación implícita meiante un ejemplo. Consieramos la función f : [, ] R efinia eplícitamente por la fórmula y = f = o implícitamente por la ecuación + y =. En too este parráfo usaremos que y es una función que epene e la variable ; pues y = f. Para calcular la primera erivaa y = y = f tenemos os opciones: Derivar la fórmula eplícita: y = f = = = f = y. Derivar la ecuación implícita: + y = = + yy = y = y. También poemos calcular las erivaas e oren superior por erivación implícita: +y = = +yy = = +y +yy = = 3y y +yy = = 3y +4y y +yy 4 =, luego espejano las erivaas y, y, y, y 4 obtenemos que y = y, y = + y, y = 3y y, y 4 = 3y + 4y y, y y y Por ejemplo, si = /, entonces y = /, y =, y =, y =, y 4 = 6, etcétera.
3 Depositao en rafael/erivacioncon.pf 3 Gráficas e funciones Definición. Sea f : I R una función efinia en un intervalo I R. La función f es: Creciente en I si y sólo si f f para toos, I tales que < ; Decreciente en I si y sólo si f f para too, I tales que < ; Convea en I si y sólo si f t + t tf + tf, t,, < I; Concava en I si y sólo si f t + t tf + tf, t,, < I. Y iremos que f es estrictamente creciente, ecreciente, convea o concava cuano las esigualaes anteriores sean estrictas. Teorema. Sea f : [a, b] R continua en [a, b] y erivable en a, b. Entonces: f para too a, b f es creciente en [a, b]; f para too a, b f es ecreciente en [a, b]; f > para too a, b f estrict. creciente en [a, b] y f : [fa, fb] [a, b]; f < para too a, b f estrict. ecreciente en [a, b] y f : [fb, fa] [a, b]; f = para too a, b f es constante en [a, b]. Y si f es os veces erivable en a, b, entonces: f para too a, b f es convea en [a, b]; f para too a, b f es concava en [a, b]. f > para too a, b f es estrictamente convea en [a, b]; f < para too a, b f es estrictamente concava en [a, b]; f = para too a, b f es lineal; o sea, f = m + b para algunas m, b R. Ejercicio. Buscar el mayor intervalo I R que contiene al punto = one f = e es biyectiva. Definición. Sea f : I R R una función efinia en un intervalo I y sea c I. El punto c es un: Mínimo global o absoluto e f en I si y sólo si fc f para toa I; Máimo global o absoluto e f en I si y sólo si fc f para toa I; Mínimo local o relativo e f en I si y sólo si fc f si I está cerca e c; Máimo local o relativo e f en I si y sólo si fc f si I está cerca e c; Máimo estricto o mínimo estricto cuano esas esigualaes sean etrictas para c; Etremo global/local e f en I si y sólo si es un máimo o mínimo global/local e f en I; Punto crítico e f si y sólo si f c = o bien f no es erivable en c; Punto e infleión e f si y sólo si f cambia el carácter concavo/conveo en c. Figura. Definición e función convea izquiera y e ejemplos e máimos y mínimos locales y globales erecha.
4 4 Depositao en rafael/erivacioncon.pf Observación. Una función puee pasar e creciente a ecreciente en puntos one no está efinia y que, por tanto, no son etremos. Por ejemplo, f = / en =. Análogamente, una función puee pasar e concava a convea en puntos one no está efinia y que, por tanto, no son puntos e infleión. Por ejemplo, f = / en =. Definición. Los intervalos cerraos y acotaos e la forma I = [a, b] se enominan compactos. Teorema. Si f es una función continua en un intervalo compacto I, entonces m, M I tales que fm f fm para too I. Es ecir, f tiene un mínimo global m y un máimo global M en el intervalo I. El mínimo global m y el máimo global M el teorema anterior pueen no ser únicos o no ser estrictos. Y pueen ser un etremo el intervalo compacto I. El teorema no se cumple si el intervalo no es compacto. Por ejemplo, ninguna e las siguientes funciones tiene mínimos o máimos globales en los respectivos intervalos: f = ln en I =, + ; f = arctan en I = R; f = sin en I =, + ; y f = en I =,. Teorema. Sea f una función efinia en un intervalo abierto I R y sea c I. Si c es un etremo local e f, entonces c es un punto crítico e f; Si f es erivable en I, entonces: c es un etremo local f c = ; Si f es os veces erivable en I, f c = y f c, entonces c es un mínimo/máimo local cuano f c es positiva/negativa. Si f es n veces erivable en I, f c = f c = = f n c = y f n c, entonces: n impar c es un punto e infleión. n par c es un mínimo/máimo local cuano f n c es positiva/negativa. Ejercicio. Encontrar los etremos relativos e las funciones f = /3 y g = /3. Si f es erivable en un intervalo compacto I = [a, b], entonces puee suceer que = a o = b sean etremos aunque f a + y f b. Por ejemplo, f = en I = [, ]. Sólo es recomenable calcular la seguna erivaa f y erivaas e oren superior para caracterizar etremos y puntos e infleión si su cálculo es simple. De lo contrario, es mejor estuiar el signo e la primera erivaa f en un entorno e c. Si f es negativa/positiva cuano se acerca a c por la izquiera/erecha, entonces c es un mínimo local. Si f es positiva/negativa cuano se acerca a c por la izquiera/erecha, entonces c es un máimo local. En cambio, si f c = pero f no cambia e signo en = c, entonces c es un punto e infleión. Ejercicio. Encontrar los etremos absolutos e las siguientes funciones en los intervalos compactos aos: f = 3 3 en I = [, 3]; f = en I = [, ]; f = 3 /3 en I = [, 3]; y f = sin cos en I = [, π]. Ejercicio. Daas las funciones f ± = ± m con m N, eterminar el carácter el punto =. Definición. La recta r { = c} es una asíntota vertical e f cuano los os ites laterales c ± f toman un valor infinito, sin importar ni el signo el infinito ni que coincian los os ites. Y es una asíntota vertical por la erecha respectivamente, por la izquiera e f cuano el ite lateral por la erecha respectivamente, por la izquiera toma un valor infinito. Definición. La recta r {y = b} es una asíntota horizontal e f cuano ± f = b. Y es una asíntota horizontal hacia más infinito respectivamente, hacia menos infinito e f cuano el ite + respectivamente, sea igual a b. Definición. Sea r {y = m + b} una recta tal que m y b R. La recta r es una asíntota oblícua e f cuano ± f m b = o, equivalentemente, cuano f m = ±, b = f m. ± Y es una asíntota oblícua hacia más infinito respectivamente, hacia menos infinito e f cuano estos ites sean válios si + respectivamente,.
5 Depositao en rafael/erivacioncon.pf 5 Figura 3. Función con una asintóta horizontal hacia menos infinito en {y = }, una asintóta vertical en { = } y una asintóta oblicua hacia más infinito en {y = }. Observación. Una asíntota horizontal es una asíntota oblicua con m =. En particular, los os ites m = ± f/ y b = ± f m sirven para calcular ambos tipos e asíntotas, aunque basta calcular el ite ± f cuano la asíntota sólo puee ser horizontal. Ejemplo. Daa una peniente m R, la función f = m + sin cumple ± f/ = m, pero no tiene asíntotas ni horizontales, ni oblicuas, pues ± f m = ± sin. Ejercicio. Dibujar la gráfica e las siguientes funciones: f = 6 + 3, f = + 3, f = 4 +, f = 4. Calcular ominios, rangos, intervalos e crecimiento/ecrecimiento y concavia/conveia, etremos relativos, puntos e infleión y asíntotas. Teoremas funamentales: Rolle, valor meio y Taylor Teorema Rolle. Si f : [a, b] R es una función continua en [a, b] y erivable en a, b tal que fa = fb, entonces eiste algún punto c a, b tal que f c =. Teorema Del valor meio. Si f : [a, b] R es una función continua en [a, b] y erivable en a, b, entonces eiste algún punto c a, b tal que fb fa = f cb a. Demostración. Sea g : [a, b] R la recta que pasa por los puntos a, fa y b, fb; es ecir, g = fa + fb fa a. b a La iferencia h = f g cumple las hipótesis el teorema e Rolle, pues es continua en [a, b], erivable en a, b y ha = = hb. Por tanto, eiste c a, b tal que = h c = f c g c. Es ecir, f c = g c = fb fa /b a o, equivalentemente, fb fa = f cb a. Estos os teoremas tienen interpretaciones geométricas bastante claras. El teorema e Rolle significa que si una función erivable tiene el mismo valor en os puntos iferentes a y b, entonces eiste algún punto intermeio c a, b one su recta tangente es horizontal. El teorema el valor meio significa que si una función es continua en [a, b] y erivable en a, b, entonces eiste algún punto intermeio c a, b one su recta tangente es paralela a la recta que pasa por los punto a, fa y b, fb. A continuación, veremos como aproimar funciones relativamente complicaas por las funciones más simples posibles: los polinomios. La manera e hacerlo es buscar un polinomio que tenga las mismas erivaas hasta un cierto oren N que la función original f en un punto ao c.
6 6 Depositao en rafael/erivacioncon.pf Figura 4. El teorema e Rolle izquiera y el teorema el valor meio erecha. Definición. Si f es una función N veces erivable en un punto c, entonces f n c P N = c n = fc+f c c+ f c c + f c c f N c c N n! 6 N! es el polinomio e Taylor e grao N e la función f en el punto c polinomio e Maclaurin si c =. La iferencia R N = f P N es el resiuo e Taylor e grao N e la función f en el punto c. Ejercicio. Comprobar que P n N c = f n c para too n =,,..., N. Definición. Los coeficientes binomiales son los números α α αα α α n + =, =, α R, n N. n nn n Observación. Los coeficientes binomiales aparecen en la famosa fórmula el binomio e Newton m m a + b m = a m n b n = a m + ma m b + + mab m + b m, n valia para too a, b R y para too eponente m N. Observación. Si f es una función par/impar, entonces sus polinomios e Maclaurin sólo tienen potencias e grao par/impar. Mirar, por ejemplo, las funciones seno y coseno en el cuaro. Teorema Fórmula e Lagrange. Sea f : a, b R una función N + veces erivable, sea c a, b y sea R N = f P N el resiuo e Taylor e grao N e la función f en el punto c. Entonces, para too a, b eiste un punto ξ = ξ c, tal que R N = f N+ ξ N +! cn+. Notación. Este teorema ice que el resiuo R N es e oren N +, lo cual se suele enotar con los símbolos R N = O c N+ [Taylor] o R N = O N+ [Maclaurin]. En particular, escribiremos f = P N + O c N+ [Taylor] o f = P N + O N+ [Maclaurin]. Ejemplo. Vamos a probar que tan = + 3 /3 + 5 /5 + O 7. El esarrollo el coseno es: cos = / + 4 /4 + O 6 = u, one u = / 4 /4 + O 6. Usano que u 3 = O 6 y el esarrollo e / u, resulta que cos = u = + u + u + Ou 3 = O O6 + O 6 = + / + /4 /4 4 + O 6 = + / /4 + O 6.
7 Depositao en rafael/erivacioncon.pf 7 Finalmente, multiplicano los esarrollos e sin y / cos vemos que tan = sin cos = sin cos = O O6 = + / /6 3 + / / + 5/4 5 + O 7 = + 3 /3 + 5 /5 + O 7. Función Polinomios e Maclaurin e n P N = n! = N N! cos P N = n n n! = + 4 N + + N 4 N! sin P N+ = n n+ n +! = n ln P N = = n 3 3 N N n= arctan P N+ = n n+ n + = P N = n = N + α con α R P N = α n = + α + n αα + Cuaro. Algunos polinomios e Maclaurin. + N N+ N +! + N N+ N + αα α Pregunta. Qué pasa cuano el grao e los polinomios e Taylor tiene a infinito? Respuesta: Veremos en el tema sobre Series que algunas veces el ite N + a lugar a la iguala f n c f = c n = fc + f c c + f c c + + f N c c N +, n! N! vália en intervalos aecuaos. Estas epresiones con sumas infinitas son los esarrollos e Taylor. Estos esarrollos pueen integrarse y erivarse término a término. Poemos eucir algunos esarrollos importantes a partir e la iguala = n n, vália cuano < <. Por ejemplo: ln = arctan = t t = t +t = n tn t = n tn t = n n+ n+ = n n n. n t n t = n n t n t = n+ n n n+. Cálculo e ites: Regla e L Hôpital y esarrollos e Taylor Teorema Regla e L Hôpital. Sean f y g os funciones erivables en I \{c}, one I es un intervalo abierto que contiene a c. Entonces: { f c g, } f f & c g = c g = f c g. Esta regla también vale para los ites laterales c ± y para los ites hacia infinito ±. Notación. El símbolo f g cuano + significa que + f/g = ; es ecir, significa que la función f crece mucho más lentamente que la función g cuano +.
8 8 Depositao en rafael/erivacioncon.pf Observaciones. Conviene tener en cuenta las siguientes puntualizaciones sobre la regla e L Hôpital. El símbolo / enota e forma compacta las cuatro posibles ineterminaciones ± / ±. Es usual tener que aplicar varias veces seguias la regla e L Hôpital para poer eshacer la ineterminación. Por ejemplo, para calcular + n e hay que aplicar la regla n veces: n + e = = + n n nn n e = = + e = = = + y quea probao que la función eponencial crece mucho más rápio que cualquier potencia n! e = + = cuano +. Es ecir, n e cuano + para too eponente n N. f La no eistencia e g no implica la no eistencia e f g. Por ejemplo, f = + sin, g = f + g = + sin = + = + sin + =, pero, en cambio, si intentamos aplicar la regla e L Hôpital obtenemos que f + g = + cos = + cos =. + + La regla sólo es vália para las ineterminaciones y. Por ejemplo, si f = e y g =, f + g = e + = e = + = + + = f + g. Esta regla nos permite comparar la velocia e crecimiento e funciones que tienen a más infinito cuano +. Poemos ver que el logaritmo crece más lentamente que cualquier potencia e eponente positivo, las cuales, a su vez, crecen más lentamente que cualquier eponencial e base mayor que uno. Concretamente, si k R, < α < β y < a < b, entonces Ejemplo 3. sin Ejemplo 4. cos Ejemplo 5. ln+ k lnln ln α β a b cuano +. = = cos =. = = sin Ejemplo 6. + ln = + + = = /+ =. = = cos = /. ln / = + = + / / = + =. ln Ejemplo 7. + = = + / = / =, luego ln cuano +. Ejemplo 8. + ln ln = + ln = = / + ln + / = = / + /+/ = /. Ejemplo 9. cos a = = + e ln cos a = e + ln cos a = e a /, pues ln + cos a ln cosa/ = = + / = a sina/ / 3/ cosa/ + / = a / sina/ + cosa/ = [ Cambio: t = a/ ] = a t sin t t cos t = a. Muchos ites se pueen calcular usano los esarrollos e Taylor o e Maclaurin si c = e las funciones implicaas. La mayor ificulta e este métoo consiste en escoger hasta que oren se ebe esarrollar caa función para eterminar el valor el ite. A veces conviene realizar el cambio e variables t = c para trabajar con los esarrollos e Maclaurin, que suelen ser más simples. A continuación calculamos algunos ites e los ejemplos anteriores aplicano este métoo: sin = = +O3 = + O = ; cos = = /+O 4 = / + O = /;
9 ln+ + t + Depositao en rafael/erivacioncon.pf 9 = = +O = + O = ; [ Cambio e variables: ] ln = ln + ln = t = + = t ln+t t + t ln+t = t t t /+Ot 3 = t + t /+Ot 3 t +Ot 3 = /+Ot t + +Ot = /. t t+ot Ejemplo. Las funciones f = tan e /3 y g = ln + 3 se anulan en =, luego el ite f/g arroja una ineterminación. Si aplicamos la regla e L Hôpital, resulta que muchas erivaas e f y g también se anulan en =, lo cual complica el cálculo el ite. Por tanto, cambiamos e estrategia y calculamos los esarrollos e Maclaurin e ambas funciones. El esarrollo e la tangente está calculao en el ejemplo, mientras que los esarrollos e la eponencial y el logaritmo están en el cuaro. Juntánolo too, quea: tan e /3 + 3 /3 + 5 /5 + O 7 + /3 + /3 / + O 6 ln = O 6 = + /3 /3 4 + /5 /8 6 + O O /9 + O 8 = 6 + O 9 = O + O 3 = 7 9.
Cálculo Diferencial en una variable
Tema 3 Cálculo Diferencial en una variable 3.1 Introucción Analizaremos en este Tema los conceptos funamentales acerca e las erivaas e las funciones reales e variable real. En el tema siguiente estuiaremos
Más detalles( ) 2. Pendiente de una Recta Tangente. Sea f una función que es continua en x. 1. Para definir la pendiente de la recta tangente ( )
Derivaa e una Función Ínice.. Introucción.. Peniente e una recta tangente.. Derivaa e una función. 4. Derivaas laterales. 5. Derivaa e una función compuesta (Regla e la Caena). 6. Tabla e erivaas usuales.
Más detallesDERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES
Universia Metropolitana Dpto. e Matemáticas Para Ingeniería Cálculo I (FBMI0) Proesora Aia Montezuma Revisión: Proesora Ana María Roríguez Semestre 08-09A DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES DERIVADAS
Más detalles(f + g) (x) = f (x) + g (x) (α f) (x) = α f (x) (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g. [g(x)] 2 (f g) (x) = f (g(x)) g (x)
Derivaa e una función en un punto: El concepto e erivaa e una función matemática se halla íntimamente relacionao con la noción e límite. Así, la erivaa se entiene como la variación que experimenta la función
Más detallesDEFINICION DE DERIVADA Sea una función definida en un intervalo abierto que contiene a a Diremos que f es Derivable en a si: si este límite existe
DERIVADA DEFINICION DE DERIVADA Sea una función efinia en un intervalo abierto que contiene a a Diremos que f es Derivable en a si: si este límite eiste Dicho límite, cuano eiste, se llama DERIVADA e f
Más detallesInformación importante
Departamento e Matemática Coorinación e Matemática I (MAT01) 1 er Semestre e 010 Semana 1: Lunes 07 viernes 11 e Junio Información importante Durante esta semana se publicarán las notas el Certamen en
Más detalles2.5 Derivación implícita
SECCIÓN.5 Derivación implícita 4.5 Derivación implícita Distinguir entre funciones eplícitas e implícitas. Hallar la erivaa e una función por erivación implícita. E X P L O R A C I Ó N Representación gráfica
Más detallesFUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x =
Función FUNCIONES Es una relación entre dos magnitudes variables, de tal manera que a cada valor de la primera, llamada independiente, le corresponde un único valor de la segunda, llamada dependiente.
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesTema 6: Derivadas, Técnicas de Derivación
Matemáticas º Bacillerato CCNN Tema 6: Derivaas, Técnicas e Derivación.- Introucción.- Tasa e Variación Meia.- Derivaa e una unción en un punto..- Derivaas Laterales...- Interpretación geométrica e la
Más detallesLa derivada de una función en punto a de su dominio está dada por la fórmula. f(x) f(a) x a. x a
3 Derivación 3.. La derivada La derivada de una función en punto a de su dominio está dada por la fórmula f (a) = lím a f() f(a) a El cociente f() f(a) a es la pendiente de la recta secante a la función
Más detallesFunciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x
Funciones. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable real. "Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que
Más detallesAnexo 2: Demostraciones
0 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Aneo : Demostraciones Funciones reales de variable real Demostración de: Propiedades del valor absoluto 79 de la página 85 Propiedades del valor absoluto 79.-
Más detallesTEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial
TEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial En este tema vamos a hacer un estudio preliminar de las funciones de una variable real y el importante concepto de derivada. Comenzaremos recordando las funciones
Más detalles3.1. DERIVADAS DE SEGUNDO ORDEN
.. DERIVADAS DE SEGUNDO ORDEN La erivaa y ' f ' es la primera erivaa e y con respecto a, pero igualmente es posible realizar la erivaa e la erivaa, y y '' f ''. Lo que se conoce como la seguna erivaa e
Más detallesLa regla de la constante. DEMOSTRACIÓN Sea ƒ(x) c. Entonces, por la definición de derivada mediante el proceso de límite, se deduce que.
SECCIÓN. Reglas básicas e erivación razón e cambio 07. Reglas básicas e erivación razón e cambio Encontrar la erivaa e una función por la regla e la constante. Encontrar la erivaa e una función por la
Más detallesTEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
TEMA DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS I º Bac TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación
Más detallesREPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
8 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 86 Descripción de una gráfica. Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES
EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(
Más detalles(x a) f (n) (a) Los polinomios de Taylor en el punto a = 0, suelen denominarse polinomios de McLaurin. n,a(a) = f (k) (a):
0 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Tema 0 Polinomios de Taylor Hemos visto el uso de la derivada como aproimación de la función (la recta tangente) y como indicadora del comportamiento de la función
Más detallesUNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas.
UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas. PROBLEMAS DE CÁLCULO INFORMÁTICA DE SISTEMAS . Cálculo diferencial. Probar que a si y sólo si a a, siendo a >. Utilizar estas desigualdades
Más detallesf(x) f(x 0 ) = L IR h 0 = 0 = f (x 0 ); con lo que f (x) = 0 para todo x IR. (x x = lím x + x 0 = 2x 0 = f (x 0 ), y f (x) = 2x en IR.
Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Tema Funciones derivables. Derivada de una función en un punto Definición 4.- Se dice que f: (a, b IR es derivable en el punto (a, b si f( f( = L IR es decir,
Más detallesESTUDIO COMPLETO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN
ESTUDIO COMPLETO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN Teoría Práctica Los pasos a seguir para el estudio completo y representación de una Función son los siguientes: ) Hallar el Dominio de la función. En dicho
Más detallesx - Verticales. No tiene asíntotas verticales porque f(x) está definida en R y no cambia de criterio en ningún punto. - Oblicuas.
f ( ) + +. Dominio D (f ) R 4. Recorrido Im( f ) [, ). Puntos de corte - Con el eje y, donde 0 y + + y P (0,) - Con el eje, donde y 0 No hay punto de corte con el eje 4. Asíntotas - Horizontales lim +
Más detallesRegla de la cadena. f (x) 1 x 3. d dx x3 1 x 3. (3x 2 ) 3 x. f(x) 3 d dx ln x 3. 1 x. para x70, d dx ln x 1. para x60, d dx ln( x) 1x.
74 CAPÍTULO 3 La erivaa EJEMPLO 4 Diferencie f ()=ln 3. Regla e la caena Solución Debio a que 3 ebe ser positiva, se entiene que 70. Así, por (3), con u= 3, tenemos Solución alterna: Por iii) e las lees
Más detallesEstudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un
Más detallesCOL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS
DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL DEPARTAMENT D ECONOMIA FINANCERA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA LLICENCIATURA EN ECONOMIA LLICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D EMPRESES DIPLOMATURA EN CIÈNCIES
Más detalles3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1
3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1 Una función real de variable real es una aplicación f : D R, donde D es un subconjunto de R denominado dominio de f. La función f hace corresponder
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS DERIVADA INCREMENTOS x = x - x y2 = f(x2) y = y - y y = f(x )
Faculta e Contauría Aministración. UNAM Derivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa MATEMÁTICAS BÁSICAS DERIVADA INCREMENTOS Se eine como incremento e la variable al aumento o isminución que eperimenta,
Más detalles12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una unción, y = () en un intervalo
Más detallesTEMA 5. FUNCIONES DERIVABLES. TEOREMA DE TAYLOR
TEMA 5. FUNCIONES DERIVABLES. TEOREMA DE TAYLOR 5.1 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 5.1.1 Definición de derivada Definición: Sea I in intervalo abierto, f : I y a I. Diremos que f es derivable en a si existe y
Más detallesANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS
ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS INTRODUCCIÓN La noción actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV, cuando empiezan a preocuparse de medir y representar las variaciones de ciertas
Más detallesTema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos
Más detallesf: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y).
TEMA 8: FUNCIONES. 8. Función real de variable real. 8. Dominio de una función. 8.3 Características de una función: signo, monotonía, acotación, simetría y periodicidad. 8.4 Operaciones con funciones:
Más detallesI. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS
Eamen Global Análisis Matemáticas II Curso 010-011 I E S ATENEA SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN ANÁLISIS Curso 010-011 1-I-011 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES
Más detallesJuan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada
FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones
Más detallesCONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función
Más detallesREPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar la gráfica que aparece al principio,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesREPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x
1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN IBJ05 1. Se considera la función f ( ). Se pide: a) Encontrar los intervalos donde esta función es creciente y donde es decreciente. ( puntos) b) Calcular las asíntotas.
Más detalles3 DERIVADAS ALGEBRAICAS
DERIVADAS ALGEBRAICAS DERIVADAS ALGEBRAICAS Entiénase la erivaa como la peniente e la recta tangente a la función en un punto ao, lo anterior implica que la función ebe eistir en ese punto para poer trazar
Más detalles4. Mecánica en la Medicina Derivar e Integrar
4. Mecánica en la Meicina Derivar e Integrar Teoría Dr. Willy H. Gerber Instituto e Ciencias Físicas y Matemáticas, Universia Austral, Valivia, Chile 17.04.2011 W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática
Más detallesINSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS
INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS Las tutorías corresponen a los espacios acaémicos en los que el estuiante el Politécnico Los Alpes puee profunizar y reforzar sus conocimientos en iferentes temas e cara al eamen
Más detallesTema 7. Límites y continuidad de funciones
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está
Más detallesCálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos
Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) - Problemas adicionales resueltos Calcula el ĺımite lím ( n + n + n + ) n Racionalizando el numerador, obtenemos L lím ( n + n + n (n + n + ) (n + ) + ) lím
Más detallesDERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim
DERIVADAS. CONTENIDOS. Recta tangente a una curva en un punto. Idea intuitiva del concepto de derivada de una función en un punto. Función derivada. sucesivas. Reglas de derivación Aplicación de la derivada
Más detallesf( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11
1. y = x + 11 x + 5 a) ESTUDIO DE f: 1) Dominio: Como es un cociente del dominio habrá que excluir los valores que anulen el denominador. Por tanto: x + 5 = 0 x = 5 ) Simetría: A simple vista, como el
Más detallesLímites y continuidad
9 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Tema 9 Límites y continuidad 9. Límite y continuidad de una función en un punto Definición 9.- Un punto IR se dice punto de acumulación de un conjunto A si,
Más detallesEjercicios de Análisis propuestos en Selectividad
Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa
Más detallesSemana 2 [1/24] Derivadas. August 16, Derivadas
Semana 2 [1/24] August 16, 2007 Máximos y mínimos: la regla de Fermat Semana 2 [2/24] Máximos y mínimos locales Mínimo local x es un mínimo local de la función f si existe ε > 0 tal que f( x) f(x) x (
Más detallesUNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas UNIDAD 0. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) de una función () f en un intervalo
Más detallesÁlgebra y Trigonometría Clase 4 Inversas, exponenciales y logarítmicas
Álgebra y Trigonometría Clase 4 Inversas, exponenciales y logarítmicas CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción
Más detallesEJERCICIOS TEMA 1 CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE
EJERCICIOS TEMA CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE EJERCICIOS TEMA EJERCICIOS TEMA 3 CONJUNTOS NUMÉRICOS Ejercicio Demostrar, aplicando el principio de inducción, las siguientes propiedades a) + + 3 +
Más detallesAPLICACIONES DE LAS DERIVADAS
UNIDAD APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Página 98 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f
Más detallesTEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable
TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable Cálculo para los Grados en Ingeniería EPIG - UNIOVI Curso 2010-2011 Los números Naturales I Los números Naturales N = f1, 2, 3, g I Principio de inducción Supongamos
Más detallesTEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
94 TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 1. Representación de funciones 1.1. Dominio 1.. Puntos de corte con los ejes 1..1. Con el eje 1... Con el eje y 1.. Signo de la función 1.4. Periodicidad y simetría
Más detallesEstudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009
Estudio Gráfico de Funciones Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Índice 1. Función 2 1.1. Definición............................. 2 1.2. Clasificación............................
Más detalles4. CÁLCULO INTEGRAL...71
Inice. FUNCIONES..... NATURALEZA Y DEFINICIÓN DE FUNCIÓN MATEMÀTICA..... PRINCIPALES TIPOS DE FUNCIONES...9.. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES.... LÍMITES..... LÌMITE DE UNA FUNCIÒN..... PROPIEDADES DE LOS
Más detalles= 1. x = 3: Lím = Asíntota vertical en x = 3: = 0 ; No se anula nunca. Punto de corte con OY es (0, 3) 3 x
Modelo 4. Problema A.- (Calificación máima: puntos) 4 si Se considera la función real de variable real f ( ) si > a) Determínense las asíntotas de la función y los puntos de corte con los ejes. a. Asíntotas
Más detallesUna función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite. f(x) f(a) Si f y g son derivables en a, entonces fg es derivable en a y
4. Derivabilidad 1 Una función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite f (a) = lím x a f(x) f(a) x a f(a + h) f(a) = lím, h 0 h y es un número real. El número f (a) se denomina derivada
Más detalles11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría
Aplicaciones de las derivadas. Máimos, mínimos y monotonía Piensa y calcula Dada la gráfica de la función f representada en el margen, halla los máimos y los mínimos relativos y los intervalos de crecimiento
Más detalles2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior
SECCIÓN 2.3 Reglas el proucto, el cociente y erivaas e oren superior 119 2.3 Reglas el proucto, el cociente y erivaas e oren superior Encontrar la erivaa e una función por la regla el proucto. Encontrar
Más detallesTEMA 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 7.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
TEMA 7 DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS CCSSI º Bac TEMA 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 7. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Definición : Se llama
Más detallesProblemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 02 - Problemas 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10
página 1/20 Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 02 - Problemas 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10 Hoja 2. Problema 2 Resuelto por Carmen Jiménez Cejudo (diciembre 2014)
Más detallesPruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León
Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES:.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo
Más detallesTEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES
TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Valor Absoluto Trabajaremos en el campo de los números reales, R. Para el estudio de las propiedades de las funciones necesitamos el concepto de valor absoluto de un número
Más detallesEJERCITARIO GENERAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL
UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI EJERCITARIO GENERAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL AÑO 014 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI-014 CAPÍTULO 1: FUNCIONES
Más detallesrepresentación gráfica de funciones
representación gráfica de funciones Esta Unidad pretende ser una aplicación práctica de todo lo aprendido hasta ahora en el bloque de Análisis. En ella nos centraremos en las funciones polinómicas y racionales.
Más detalles9 Funciones elementales
Solucionario 9 Funciones elementales ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Halla las raíces y factoriza los siguientes polinomios. a) P() 4 b) Q() 3 6 a) Se resuelve la ecuación 4 0. Las raíces son 6 y, y P() ( 6)(
Más detallesCONTENIDO PRÓLOGO LAS FUNCIONES... 5
CONTENIDO PRÓLOGO... 1 1. LAS FUNCIONES... 5 1.1 FORMAS DE REPRESENTACIÓN... 5 1.1.1 Representación de funciones... 6 1.1.2 Funciones definidas a trozos... 7 1.1.3 Simetría... 8 1.1.4 Funciones crecientes
Más detalles3. Operaciones con funciones.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente
Más detallesESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 1. Sea f : (0, + ) definida como f () = Ln a) Probar que la función derivada f es decreciente en todo su dominio. b) Determinar los intervalos de crecimiento
Más detallesLogaritmo Natural. Z x. 1 t dt = ln(x) = I 1 1. ln(x) < 0 para x 2 (0; 1) y ln(x) > 0 para x 2 (1; 1)
Logaritmo Natural Si n 6= ya sabemos que R x t n t = n+ xn+ + C, con C una constante. De nición. La regla e corresponencia ln(x) = Z x t t = Z x I e ne una función con ominio D ln = (0; ): A esta función
Más detallesFUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
CAPÍTULO 7 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 7. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Una fnción eponencial es aqella en la qe la variable está en el eponente. Ejemplos e fnciones eponenciales son
Más detallesƒ : {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)}.
SECCIÓN 5. Funciones inversas 5. Funciones inversas Verificar que una función es la inversa de otra. Determinar si una función tiene una función inversa. Encontrar la derivada de una función inversa. f
Más detallesPRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad
PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad Sea f : R R la función definida por f() = e /. (a) En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas?
Más detallesDERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES
UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en
Más detallesTema 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
UAH Funciones reales de variable real 1 Tema FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, una función de A en B es una relación (una ley) que asigna a cada elemento
Más detalles106 Matemáticas 1. Parte III. Cálculo diferencial en IR
06 Matemáticas Parte III Cálculo diferencial en IR Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 0 03 07 Matemáticas : Cálculo diferencial en IR 0. Derivada de una función en un punto
Más detallesCálculo diferencial: Concepto y propiedades de una función. Representación gráfica.
Tema 1 Cálculo diferencial: Concepto y propiedades de una función. Representación gráfica. 1.1. Un esbozo de qué es el Cálculo: paradojas y principales problemas planteados. Los orígenes del Cálculo se
Más detallesGUÍA DE APRENDIZAJE DE CÁLCULO DIFERENCIAL
I N S T I T U T O P O L I T É C N I C O N A C I O N A L C E N T R O D E E S T U D I O S C I E N T Í F I C O S Y T E C N O L Ó G I C O S N o.11 W I L F R I D O M A S S I E U A C A D E M I A D E M A T E
Más detallesTEMA 4: DERIVADAS. En símbolos, la pendiente de la curva en P = lim Q P (pendiente de P Q).
TEMA 4: DERIVADAS 1. La derivada de una función. Reglas de derivación 1.1. La pendiente de una curva. La pendiente de una curva en un punto P es una medida de la inclinación de la curva en ese punto. Si
Más detallesUNIDAD Nº 1: DERIVACION E INTEGRACIÓN. APLICACIONES
Complemento de Matemática UNIDAD Nº : DERIVACION E INTEGRACIÓN. APLICACIONES La derivada Vamos a recordar esta noción que se empezó a estudiar en Matemática de primer año. Definición Sean f una función
Más detallesUNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES
UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES ÍNDICE DE LA UNIDAD - INTRODUCCIÓN 6 - DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 7 - INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA 8 4- CONTINUIDAD
Más detallesUNIDAD 6.- Funciones reales. Propiedades globales (temas 6 del libro)
(temas 6 del libro). EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN - Epresión mediante una tabla de valores La tabla de valores de una unción está ormada por dos ilas o columnas. En la primera ila o columna iguran los valores
Más detalles4.1 MONOTONÍA 4.2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS 4.3 CONCAVIDAD 4.4 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS 4.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA
Cáp. Temas Adicionales de la derivada. MONOTONÍA. MÁXIMOS Y MÍNIMOS. CONCAVIDAD. ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS.6 TEOREMA DE ROLLE.7 TEOREMA DE CAUCHY.8 TEOREMA
Más detallesAPUNTES DE CÁLCULO DIFERENCIAL
PROGRAMA DE CALCULO DIFERENCIAL OBJETIVO(S) GENERAL(ES) DEL CURSO: Plantear y resolver problemas que requieren del concepto de función de una variable para modelar y de la derivada para resolver. UNIDAD
Más detallesTEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS
Tema 8 Límites de funciones, continuidad y asíntotas Matemáticas II º Bach 1 TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 8.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 8.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite
Más detallesAPLICACIONES DE LA DERIVADA
7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece
Más detallesCalcula la tangente de las siguientes curvas en los puntos dados: Calcula la derivada de las siguientes funciones: e) f (x) = x x.
Derivadas Definición Reglas de derivación jercicio Calcula la tangente de las siguientes curvas en los puntos dados: a) y = en el origen + b) y = cos() en ( c) y = + en (3, 0) π, 0) d) y = en (, ) Solución
Más detallesJuan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada
FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida
Más detallesColegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio
A-09 - Incorporado a la Enseñanza Oficial COLEGIO SAN PATRICIO - 0 - Prof. Celia R. Sánchez MATEMÁTICA - TRABAJO PRÁCTICO Nº 8 AÑO FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA - ECUACIONES POTENCIACIÓN: Ejercicio
Más detallesFUNCIÓN REAL, LIMITES Y FUNCIONES CONTINUAS.
FUNCIÓN REAL, LIMITES Y FUNCIONES CONTINUAS. FUNCIÓN. Es toda aplicación entre dos conjuntos A y B formados ambos por números. f A --------> B Al conjunto A se le llama campo de existencia de la función
Más detallesLímites. 1. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 2 2 2 a) lim b) lim c) lim d) lim
Límites CIT_H. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: ( ) + + + a) lim b) lim c) lim d) lim + + + + + e) lim f) lim g) lim h) lim + 0 + + 9 + j) lim k) lim l) lim
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 00-0. MATEMÁTICAS II Opción A Ejercicio opción A,
Más detallesAPLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II
APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II. Estudia si crecen o decrecen las siguientes funciones en los puntos indicados: π a) f() cos en 0 b) f() ln ( arc tg ) en 0 π c) f() arc sen en 0 d) f() ln en 0
Más detallesExpliquemos con exactitud qué queremos decir con valores máximos y mínimos.
Introducción: Ahora que conocemos las reglas de derivación nos encontramos en mejor posición para continuar con las aplicaciones de la derivada. Veremos cómo afectan las derivadas la forma de la gráfica
Más detallesLímites y continuidad
Límites y continuidad.. Límites El ite por la izquierda de una función f en un punto 0, denotado como 0 f() es el valor al que se aproima f() cuando se acerca hacia 0 por la izquierda. De igual forma,
Más detallesTema 7.0. Repaso de números reales y de funciones
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Repaso de números reales y de funciones 47 Tema 70 Repaso de números reales y de funciones El conjunto de los números reales El conjunto de los números
Más detallesGráfica de una función
CAPÍTULO 9 Gráfica de una función 9. Bosquejo de la gráfica de una función Para gráficar una función es necesario:. Hallar su dominio sus raíces.. Decidir si es par o impar, o bien ninguna de las dos cosas..
Más detalles