2.5 Derivación implícita

Transcripción

1 SECCIÓN.5 Derivación implícita 4.5 Derivación implícita Distinguir entre funciones eplícitas e implícitas. Hallar la erivaa e una función por erivación implícita. E X P L O R A C I Ó N Representación gráfica e una ecuación implícita Cómo se poría utilizar una herramienta e graficación para representar 4? He aquí os proceimientos posibles: a) Despejar en la ecuación. Intercambiar los papeles e, ibujar la gráfica e las os ecuaciones resultantes. Las gráficas combinaas presentarán una rotación e 90 con respecto a la gráfica e la ecuación original. b) Configurar la herramienta e graficación en moo paramétrico representar las ecuaciones t 4t t t 4t t. A partir e cualquiera e estos métoos, se puee eciir si la gráfica tiene una recta tangente en el punto (0, )? Eplicar el razonamiento. Funciones eplícitas e implícitas Hasta este punto, la maoría e las funciones estuiaas en el teto se enunciaron e forma eplícita. Por ejemplo, en la ecuación 5 Forma eplícita. la variable está escrita eplícitamente como función e. Sin embargo, algunas funciones sólo se enuncian e manera implícita en una ecuación. Así, la función l está efinia implícitamente por la ecuación. Supongamos que se pie calcular la erivaa para esta ecuación. Poemos escribir como función eplícita e, luego erivar. Forma implícita Esta estrategia funciona siempre que se puea espejar como función e en la ecuación, e lo contrario, este métoo no es viable. Por ejemplo, cómo encontrar para la ecuación 4 Forma eplícita Derivaa one resulta mu ifícil espejar como función eplícita e? En tales situaciones se ebe usar la llamaa erivación implícita. Para comprener esta técnica, es preciso tener en cuenta que la erivación se efectúa con respecto a. Esto quiere ecir que cuano se tenga que erivar términos que sólo contienen a, la erivación será la habitual. Sin embargo, cuano haa que erivar un término one aparezca, será necesario aplicar la regla e la caena, a que se está suponieno que está efinia implícitamente como función erivable e. EJEMPLO Derivación respecto e a) Las variables coincien: usar la regla simple e las potencias. Las variables coincien u n nu n u b) Las variables no coincien: usar la regla e la caena. Las variables no coincien c) Regla e la caena:. ) Regla el proucto. Regla e la caena. Simplificar.

2 4 CAPÍTULO Derivación Derivación implícita Estrategias para la erivación implícita. Derivar ambos laos e la ecuación respecto e.. Agrupar toos los términos en que aparezca en el lao izquiero e la ecuación pasar toos los emás a la erecha.. Factorizar el lao izquiero e la ecuación. 4. Despejar. Observar que en el ejemplo la erivación implícita puee proucir una epresión para en la que aparezcan a la vez. EJEMPLO Derivación implícita Encontrar ao que Derivar los os miembros e la ecuación respecto e Agrupar los términos con en la parte izquiera pasar toos los emás al lao erecho. (, ) (, ) (, 0) 5. Factorizar en la parte izquiera Despejar iviieno entre ( 5). 5 Puntos en la gráfica Peniente e la gráfica (, 0) (, ) 0 0 (, ) No efinia La ecuación implícita 5 4 tiene la erivaa 5 Figura Para ver cómo usar la erivación implícita, consierar la gráfica e la figura.7. En ella se puee observar que no es una función e. A pesar e ello, la erivaa eterminaa en el ejemplo proporciona una fórmula para la peniente e la recta tangente en un punto e esta gráfica. Debajo e la gráfica se muestran las penientes en varios puntos e la gráfica. TECNOLOGÍA Con la maoría e las herramientas e graficación es fácil representar una ecuación que epresa e manera eplícita a en función e. Por el contrario, representar las gráficas asociaas a otras ecuaciones requiere cierto ingenio. Por ejemplo, tratar e representar la gráfica e la ecuación empleaa en el ejemplo configurano la herramienta e graficación en moo paramétrico, a fin e elaborar la gráfica e las representaciones paramétricas t t 5t 4, t t t 5t 4, t, para 5 t 5. Cómo se compara el resultao con la gráfica que se muestra en la figura.7?

3 SECCIÓN.5 Derivación implícita 4 + = 0 (0, 0) En una ecuación que no tiene puntos solución, por ejemplo, 4, no tiene sentio espejar. Sin embargo, si una porción e una gráfica puee representarse meiante una función erivable, tenrá sentio como peniente en caa punto e esa porción. Recorar que una función no es erivable en a) los puntos con tangente vertical b) los puntos en los que la función no es continua. a) b) c) (, 0) (, 0) (, 0) Algunos segmentos e curva pueen representarse por meio e funciones erivables Figura.8 EJEMPLO Representación e una gráfica meiante funciones erivables Si es posible, representar como función erivable e. a) 0 b) c) a) La gráfica e esta ecuación se compone e un solo punto. Por tanto, no efine como función erivable e. Ver la figura.8a. b) La gráfica e esta ecuación es la circunferencia unia, centraa en (0, 0). La semicircunferencia superior está aa por la función erivable, < < la inferior por la función erivable, < <. En los puntos (, 0) (, 0), la peniente no está efinia. Ver la figura.8b. c) La mita superior e esta parábola está aa por la función erivable, < la inferior por la función erivable, <. En el punto (, 0) la peniente no está efinia. Ver la figura.8c. EJEMPLO 4 Cálculo e la peniente e una gráfica implícita Calcular la peniente e la recta tangente a la gráfica e en el punto,. Ver la figura.9. Figura.9 (, ) Por tanto, en,, la peniente es Ecuación original. Derivar respecto e. Despejar términos con. 4. Evaluar cuano,. NOTA Para observar las ventajas e la erivación implícita, intentar rehacer el ejemplo 4 manejano la función eplícita 4.

4 44 CAPÍTULO Derivación EJEMPLO 5 Cálculo e la peniente e una gráfica implícita Calcular la peniente e la gráfica e ( ) l00 en el punto (, ). 4 4 (, ) ( ) 00 Lemniscata Figura.0 En el punto (, ), la peniente e la gráfica es como muestra la figura.0. Esta gráfica se enomina lemniscata. EJEMPLO 6 Determinación e una función erivable, ( ) La erivaa es Figura. sen (, ) Encontrar implícitamente para la ecuación sen. A continuación, eterminar el maor intervalo e la forma a a en el que es una función erivable e (ver la figura.). sen cos cos El intervalo más grane cercano al origen en el que es erivable respecto e es. Para verlo, observar que cos es positivo en ese intervalo 0 en sus etremos. Si se restringe a ese intervalo, es posible escribir eplícitamente como función e. Para ello, usar cos sen, < < concluir que. Este ejemplo se estuia más aelante cuano se efinen las funciones trigonométricas inversas en la sección 5.6.

5 SECCIÓN.5 Derivación implícita 45 Al usar la erivación implícita, con frecuencia es posible simplificar la forma e la erivaa (como en el ejemplo 6) utilizano e manera apropiaa la ecuación original. Se puee emplear una técnica semejante para encontrar simplificar las erivaas e oren superior obtenias e forma implícita. EJEMPLO 7 Cálculo implícito e la seguna erivaa The Granger Collection ISAAC BARROW (60-677) La gráfica e la figura. se conoce como la curva kappa ebio a su semejanza con la letra griega kappa,. La solución general para la recta tangente a esta curva fue escubierta por el matemático inglés Isaac Barrow. Newton fue su alumno con frecuencia intercambiaron corresponencia relacionaa con su trabajo en el entonces incipiente esarrollo el cálculo. Daa 5, encontrar. Evaluar la primera seguna erivaas en el punto (, 4). Derivano ambos términos respecto e se obtiene 0. En, 4: 4 4. Derivano otra vez respecto e vemos que En, 4: Regla el cociente. 5. La curva kappa Figura. (, ) ( ) EJEMPLO 8 Recta tangente a una gráfica Encontrar la recta tangente a la gráfica aa por ( ) en el punto (, ), como muestra la figura.. Reescribieno erivano implícitamente, resulta 4 0. En el punto (, ), la peniente es la ecuación e la recta tangente en ese punto es. 4 0