Derivadas algebraicas

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1 CDIN0_M1AAL1_Algebraicas Versión: Septiembre 01 Revisor: Sanra Elvia Pérez Derivaas algebraicas por Sanra Elvia Pérez Derivaa e una función El concepto e erivaa, base el cálculo iferencial, ha permitio resolver múltiples problemas y hoy en ía continúa vigente; sirve como sustento a muchas isciplinas como: mecánica, electromagnetismo, electrónica, comunicaciones, termoinámica, economía, meicina. Meiante el concepto e erivaa, se pueen resolver problemas que impliquen una variación, por ejemplo en meicina, se puee eterminar la velocia con la que cambia el tamaño e un tumor con respecto al tiempo, puieno eterminar si un tratamiento está ano resultao o el tiempo aecuao para realizar una operación. Otra posible aplicación es eterminar las imensiones óptimas e un conteneor (e forma inistinta) que permita encerrar un volumen máimo utilizano un mínimo e material. Estos y otros problemas pueen ser resueltos meiante la aplicación e la erivaa. Definición El concepto e erivaa, según Purcell y Varberg (000) es el siguiente: La erivaa e una función f es otra función f (léase efe prima) cuyo valor para un número cualquiera c es f ( c + h) f ( c) f ( c) lim h 0 h una vez que icho límite eista (p. 101). Esta efinición es prácticamente la misma que manejan iferentes autores, por ejemplo Zill (1987) efine a la erivaa como sigue: La erivaa e una función f ( ) y con respecto a es f ( ) ( + Δ) f ( ) f Δ 0 Δ Siempre que este límite eista (p. 117). lim Δ 0 lim Δy Δ UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 1

2 CDIN0_M1AAL1_Algebraicas Versión: Septiembre 01 Revisor: Sanra Elvia Pérez Observa que ambas efiniciones son las mismas y sólo se iferencian en las literales que utilizan, en nuestro curso utilizaremos la notación Δ. La efinición e erivaa se puee esarrollar ese istintos puntos e vista, en este curso se lleva a cabo el esarrollo e la efinición ese el punto e vista geométrico por consierarlo más representativo. Ahora observa La epresión ( + Δ) f ( ) f lim0 Δ Δ, la cual se conoce como Regla General e la Derivación. A continuación se analiza un ejemplo el uso e esta fórmula para eplicar cómo se utiliza. Encontrar la erivaa e la función lineal f ( ) + En la fórmula se requiere el término f ( Δ) + Δ. En este caso quea, +. Para hallarlo se sustituye el valor e las ' s por Sustituyeno estas os epresiones en la Regla General e la Derivación obtienes, lim Δ 0 lim Δ 0 f ( + Δ) f ( ) Δ [ ( + Δ) + ] ( + ) Δ Se requiere calcular el límite inicao. Para ello se esarrolla el numeraor con el propósito e simplificarlo. UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato.

3 CDIN0_M1AAL1_Algebraicas Versión: Septiembre 01 Revisor: Sanra Elvia Pérez lim Δ 0 lim Δ 0 lim Δ 0 lim Δ 0 [ ( + Δ) + ] ( + ) [ + Δ + ] ( + ) Δ + Δ + Δ Δ lim Δ Δ 0 Δ En este ejemplo la erivaa e la función f ( ) + es y. La erivaa e cualquier función puee ser eterminaa a partir e la regla general e la erivación, sin embargo entre más complicaas sean las funciones, las operaciones algebraicas que se tienen que realizar se vuelven más etensas y es por ello que se utilizan las reglas e erivación las cuales se muestran a continuación. Derivaas e funciones algebraicas Las fórmulas e erivaas parten e la aplicación e la efinición e erivaa a los iferentes tipos e funciones. De acuero a Fuenlabraa e la Vega (001) las notaciones e las erivaas e acuero al autor pueen ser como se muestran en la tabla 1: Notación Autor Cauchy Lagrange Lagrange Leibnitz Tabla 1. Notaciones y autores (Fuenlabraa e la Vega, 001, p. ). UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato.

4 CDIN0_M1AAL1_Algebraicas Versión: Septiembre 01 Revisor: Sanra Elvia Pérez El siguiente formulario sólo incluye los teoremas sobre erivaas e Funciones Algebraicas. En secciones posteriores se anean las fórmulas e las funciones trigonométricas irectas, funciones eponenciales y logarítmicas Formulario e Derivaas e Funciones Algebraicas C representa cualquier constante. Las literales u, v, w, representan cualquier función. uʼ, vʼ,wʼ representan la erivaa e u, v, w) 1. ( C) 0. ( ) 1. ( c) c ( ) u + v w u + v. n n ( ) n( ) 1. ( cu) c ( u) cu 7. ( uv) uv + vu 8. u vu uv v v 9. n n1 ( u) n( u) u. ( ) w Figura 1. Formulario e erivaas básicas realizao con base en la nomenclatura e Leibnitz y e Lagrange. UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato.

5 CDIN0_M1AAL1_Algebraicas Versión: Septiembre 01 Revisor: Sanra Elvia Pérez Derivaa e una constante Deriva y Usano la regla para erivar una constante, ( C) 0 Tiene que: ( ) 0 Por lo tanto, y 0 Deriva y π En esta epresión aparece la constante π (pi), por lo que π también es una constante ( π ) 0 y 0 Derivaa e la variable inepeniente La regla para la erivaa e la variable inepeniente es 1. ( ) 1 Es importante señalar que la variable puee representar cualquier tipo e variable, sin embargo en los problemas e aplicación frecuentemente se utilizan literales que hacen referencia a la variable que se tiene que manipular, e esta forma si se pretene realizar la erivaa e la velocia con respecto a la velocia es común utilizar la variable v. De esta forma tienes que: v ( v) 1 UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato.

6 CDIN0_M1AAL1_Algebraicas Versión: Septiembre 01 Revisor: Sanra Elvia Pérez Derivaa e la variable inepeniente () multiplicano a una constante Recuera que es común que se represente la variable inepeniente con la letra, sin embargo puee ser cualquier variable (letra) la que esté representaa. Deriva y 7t Usano la regla número 7 ( c) c ( ) y aplicano a la variable t Tienes: ( 7 t) 7 ( t) 7( 1) 7 t t, por lo que: y 7 Observa que en este ejemplo se está erivano t con respecto a t Encuentra la erivaa e y y ( ) (1) Derivaa e una suma e funciones Para realizar la erivaa e una suma e funciones, se aplican las reglas e erivación a caa uno e los términos por separao. Deriva y Usano la regla UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato.

7 CDIN0_M1AAL1_Algebraicas Versión: Septiembre 01 Revisor: Sanra Elvia Pérez ( u + v w) u + v w la erivaa e y es: Deriva y + y La erivaa e y + es y, ( ) ( ) ( ) 0 ( + ) ( ) + ( ) + 0 Ahora observa alguna e las aplicaciones que se pueen tener al realizar las erivaas e funciones lineales. Supón que te proporcionan la ecuación e una línea recta ( y 1) y te pien encontrar el ángulo e intersección en la recta y el eje positivo e las. La geometría analítica proporciona una forma e resolver este problema, pero lo solucionas con erivaas sólo para ejemplificar su aplicación. Derivano y 1 obtienes, ( 1) ( ) + ( 1) + 0 Debio a que la erivaa obtenia también es la peniente e la recta, m y a que la peniente e una recta es la tangente el ángulo e inclinación ( m tanα ), entonces: m Si espejas el ángulo α puees hallar su valor, m tan α tan α ( ). α tan 1, UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 7

8 CDIN0_M1AAL1_Algebraicas Versión: Septiembre 01 Revisor: Sanra Elvia Pérez que es el valor que estabas buscano. La comprensión el Cálculo puee llegar a ser una herramienta muy poerosa en la resolución e problemas pero epene, como casi too, e la estreza que se alcance en su manejo. Derivaa e la variable inepeniente () elevaa a un eponente istinto e 1 Deriva y Usano la regla número n n ( ) n( ) 1, la erivaa e y es: 1 ( ) ( ) ( ) y Deriva y En este ejemplo aunque el eponente es fraccionario, el proceso es eactamente el mismo. 1 y 1 ( ) ( ) 1 Deriva y + + En este ejemplo primero ebes utilizar la regla e la suma y enseguia las reglas anteriores. UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 8

9 CDIN0_M1AAL1_Algebraicas Versión: Septiembre 01 Revisor: Sanra Elvia Pérez y ( + + ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) 1 1 ( ) + ()( ) ( 1) ( ) (0) En los ejemplos anteriores se puee observar que la erivaa e una función el tipo ( ) n f, implica os pasos: 1) Bajar el eponente y colocarlo enfrente e la. ) Restar un 1 al eponente tenieno cuiao e aplicar correctamente las leyes e los signos y e los eponentes. Derivaa el proucto e una función por una constante La regla es la que se usa en los siguientes ejemplos. Este teorema es una ampliación e la regla. ( cu) c ( u) cu Calcula ahora la erivaa e y Observa que en este ejemplo el eponente incluye ecimales, pero el proceso es el mismo La erivaa e y quea: 1 ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) 1 [ ] UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 9

10 CDIN0_M1AAL1_Algebraicas Versión: Septiembre 01 Revisor: Sanra Elvia Pérez 1 Deriva y La erivaa e 1 y es: ( ) ( ) 1 1 [ ] [ ( ) ] y Este último ejercicio es ya un resultao correcto e la erivaa. El resultao obtienes espués e una simplificación e la fracción. lo En muchas ocasiones, simplificar las epresiones ayua a que los resultaos sean más fáciles e obtener, aemás e que permite practicar el uso el Álgebra. Deriva y + +. Observa que este ejemplo es una suma e funciones. ( + + ) ( ) ( ) ( ) ( ) y + Para facilitar el cálculo, resulve caa erivaa por separao. ( ) ( ) ( ) 1 [ ] 1 ( ) ( ) 1 [ ] ( ) ( ) (1) UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 10

11 CDIN0_M1AAL1_Algebraicas Versión: Septiembre 01 Revisor: Sanra Elvia Pérez ( ) 0 De esta manera el resultao final se obtiene sumano los resultaos anteriores, por lo que la erivaa buscaa es: y 1 + Observa que en este tipo e erivaas se usa lo que ya habías estuiao y solamente realizas la suma. Fórmula para erivar un proucto e funciones En la resolución e los siguientes ejemplos será necesario utilizar la regla 7. ( uv) uv + vu y + Deriva ( )( ) Para resolver este tipo e erivaas es recomenable ientificar qué funciones son u y v, y luego calcular sus respectivas erivaas u y v. u v ( + ) ( ) u () + () + 0 v () + ( ) 0 Ahora que ya tienes a u, u, v, v, los sustituyes en la regla e erivación 7, ( + )( ) + ( )( ) UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 11

12 CDIN0_M1AAL1_Algebraicas Versión: Septiembre 01 Revisor: Sanra Elvia Pérez y Deriva ( )( 7 ) Ientifica u, u, v, v u v ( ) ( 7 ) u 0 v 1 Ahora que ya tienes a u, u, v, v, los sustituyes en el teorema 7 ( )( 1 ) + ( 7 )( 0 ) ( ) + ( 10 ) 19 El resultao es entonces: y 19 Conforme avances en el ominio e las erivaas, porás omitir algunos pasos el esarrollo, lo que te ayuará a que encuentres tus erivaas en un tiempo caa vez menor. Como puees observar, en la fórmula el proucto se multiplica una e las funciones por la erivaa e la seguna función y viceversa. UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 1

13 CDIN0_M1AAL1_Algebraicas Versión: Septiembre 01 Revisor: Sanra Elvia Pérez Fórmula para erivar un cociente e funciones u vu uv v v Deriva y observa que este ejemplo correspone a un cociente e funciones. + 1, Para resolver este tipo e erivaas es recomenable ientificar qué funciones son u y v, y luego calcular sus respectivas erivaas u y v. u v ( ) ( + 1) u 1 v u vu uv Aplicano la regla para la ivisión v v El resultao es entonces: ( + 1)( 1) ( )( ) ( + 1) ( + 1) ( + 1) y 7 ( + 1) UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 1

14 UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 1 CDIN0_M1AAL1_Algebraicas Versión: Septiembre 01 Revisor: Sanra Elvia Pérez Deriva y +, observa que este ejemplo correspone a un cociente e funciones. Para resolver este tipo e erivaas es recomenable ientificar qué funciones son u y v, y luego calcular sus respectivas erivaas u y v. ( ) ( ) v u v u + Aplicano la regla para la ivisión v uv vu v u ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y El resultao es entonces: ( ) 8 y

15 CDIN0_M1AAL1_Algebraicas Versión: Septiembre 01 Revisor: Sanra Elvia Pérez Fórmula para calcular la erivaa e una función elevaa a un eponente iferente e 1 n n1 ( u) n( u) u Este teorema es muy similar a la regla e erivación, que permite erivar la variable inepeniente () cuano ésta se encuentra elevaa a una potencia istinta e 1. A continuación se hace una comparación e su uso. n n ( ) n( ) 1 Deriva y. Observa que en esta epresión solamente la está elevaa al eponente. 1 ( ) ( ) y El resultao es y n n1 ( u) n( u) u Deriva y ( ). Aquí se utilizan los paréntesis para ecir que la epresión () está elevaa al eponente y aparece un término aicional: u, que es la erivaa el término 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1( ) 1( ) 7 El resultao es y 7 Tabla. Comparativo e uso e reglas e erivación. Es muy importante que te quee claro cuáno eberás usar una regla e erivación u otra. Analiza los siguientes ejemplos. Deriva y ( + ) En este tipo e erivaas es recomenable ientificar u, u, n, y luego aplicar la fórmula. u! + u " 1! n y " (! + )!1 ( 1! ) Se multiplica el ( 1 ) Por lo tanto el resultao es ( 7 10)( + ) y UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 1

16 CDIN0_M1AAL1_Algebraicas Versión: Septiembre 01 Revisor: Sanra Elvia Pérez Deriva y ( + ) En este tipo e erivaas es recomenable ientificar u, u, n, y luego aplicar la fórmula. u + u ( ) 1 + ( ) ( + ) 1 ( ) n Si se multiplica el término por, puee escribirse: 1 ( + ) 8 Como puees ver en estas os últimas fórmulas, su uso correcto epene el buen manejo e las reglas e erivación anteriores aemás e que su aplicación requiere e un mayor cuiao para no cometer errores. UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 1

17 CDIN0_M1AAL1_Algebraicas Versión: Septiembre 01 Revisor: Sanra Elvia Pérez Referencias Fuenlabra e la Vega, S. (001). Cálculo Diferencial (a. e.). Méico: McGraw-Hill Interamericana. Leithol, L. (1987). El Cálculo con Geometría Analítica (ª. e.; J. C. Vega, Tra.). Méico: Harla. Purcell, E. J. & Varberg, D. (000). Cálculo Diferencial e Integral (a. e.; J. A. Gómez, Tra.). Méico: Prentice Hall. Smith, R. T., & Minton, R. B. (000). Cálculo Tomo 1 (H. A. Castillo y G. A. Villamizar, Tras.). Méico: McGraw Hill. Stewart, J., Relin, L. & Watson, S, (001). Precálculo. Matemáticas para el cálculo. (a. e.; V. González y G. Sánchez, Tras.). Méico: International Thomson Eitores. Zill, D. G. (1987). Cálculo con Geometría Analítica (E. Ojea, Tra.). Méico: Grupo Eitorial Iberoamérica. UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 17