A y B

Transcripción

1 TIVIDDES DE MTRIES. º HILLERTO Hallar el rango e la matriz: Se observa que el menor e oren formao por la primera y tercera filas y columnas no es nulo sino igual a 8, veamos: 8 Luego rg () es mayor o igual que. Dao que el menor e oren formao a partir el anterior e oren no es nulo: Se puee asegurar que rg () es mayor o igual que. La matriz tiene un único menor e oren cuatro, que es el propio eterminante e. hora bien, este es nulo ebio a que tiene las os primeras filas proporcionales, y en consecuencia, rg () =. alcular el rango e las siguientes matrices: y 7 a) Para obtener el rango e la matriz aa observamos que ; 9 ; Luego el rango e la matriz vale. b) De forma análoga al apartao anterior se observa que: ; ; ; ; 7 Luego el rango e la matriz vale. Hallar la matriz inversa e las siguientes matrices: y

2 TIVIDDES DE MTRIES. º HILLERTO En ambos casos seguiremos los pasos e la regla general e cálculo e matrices inversas. El eterminante es: hora eterminamos la matriz e ajuntos Para calcular finalmente t ( ) sí pues, t ( ) / El eterminante es: hora eterminamos la matriz e ajuntos Para calcular finalmente: t ( ) sí pues, t ( ) / Hallar la matriz inversa e las siguientes matrices: y 7 En ambos casos seguiremos los pasos e la regla general e cálculo e matrices inversas. El eterminante es:

3 TIVIDDES DE MTRIES. º HILLERTO hora eterminamos la matriz e ajuntos: 7 Para calcular finalmente: 7 t ( ) sí pues, 7 t ( ) / El eterminante es: 7 hora eterminamos la matriz e ajuntos: Para calcular finalmente: 7 t ( ) sí pues, t ( ) / Daa una matriz cuaraa qué significa que sea inversible?. Si es inversible, emuestra que su eterminante no es nulo. Si inversible tiene eterminante igual a cuánto vale et ( - )? Razona las respuestas. La matriz cuaraa es inversible si existe una matriz cuaraa, -, tal que - = - = I, sieno I la matriz unia el mismo oren que.

4 TIVIDDES DE MTRIES. º HILLERTO Si es inversible, existe - tal que - = I et ( - ) = et I et et - =. Si et = se llegaría al absuro =, luego et. Si es inversible, existe - tal que - = I et ( - ) = et I et et - = et - = et - =. Halla el rango e la matriz: Observamos que el menor e oren formao por las primera y seguna filas y columnas Por tanto el rango e la matriz es rg () es mayor o igual que. Observemos el comportamiento e ciertos menores e oren formaos a partir el anterior e oren si añaimos la tercera fila y columna en un caso; y la tercera fila y cuarta columna en otro:, c c ( )( ) En consecuencia, rg () =. 7 Obtener el valor e k para que el rango e la matriz sea igual a os sieno: k Para k = - el rango e la matriz será igual a os. 8 Para qué valores e x e la matriz pueen existir matrices cuaraas e oren no nulas tal que =? x Los valores e x serán aquellos que hagan el eterminante =. En caso contrario, existe - y si = O se tenría que: - () = I = O = O

5 TIVIDDES DE MTRIES. º HILLERTO Por tanto, si: x x - = x = ± 9 Daa la matriz: k k veriguar para qué valores el parámetro k, la matriz no tiene inversa. alcular la inversa e cuano k =. La conición para que la matriz tenga inversa es que su eterminante sea istinto e cero. En este caso, el eterminante e es igual a -k + k -, que es nulo para k = y k = ; luego la matriz aa no tiene inversa para esos valores e k. Por tanto, para k =, existe la inversa e. Se tiene que: con Obteniénose: 7 ; ; 8 ; ; ; ; ; ; ; Se verifica que: 7 8 Hallar la matriz, sabieno que satisface la ecuación matricial =, sieno y. Puesto que es inversible (et = -) se puee multiplicar la ecuación por ()-, resultano = (/)-, es ecir: alcular la matriz inversa e la matriz:

6 TIVIDDES DE MTRIES. º HILLERTO 8 Si existe, y como aplicación resolver el sistema e ecuaciones lineales =, sieno la matriz El eterminante e la matriz aa es = -, es ecir, no es nulo, luego existe la matriz inversa e, que poemos calcular empleano la fórmula: t K j K K Que en este caso se reuce a: 8 Multiplicano por la inversa e a la izquiera en la ecuación =, se tiene que, e one la solución requeria es: 8 Resolver, usano la matriz inversa e si existe, la ecuación matricial = sieno 7 ; y x ; El eterminante e es =, luego existe la matriz inversa e. Multiplicano la ecuación aa por - a la izquiera se obtiene - = - y e ahí = -. Sieno: Resulta que: 8 7 on lo que x = - / e y = 8/ Resolver la ecuación matricial = +, sieno:,, Lo que nos interesa es hallar, para lo que será suficiente hallar -, ya que tenieno en cuenta que la multiplicación e matrices es asociativa, poemos escribir - = ( + )- Þ I = ( + )- Þ = ( + )-. alculemos pues, la inversa e. Se tiene que - existe, puesto que el eterminante e no es nulo. omo sabemos que la inversa e una matriz viene aa por la expresión: t j Escribamos:

7 TIVIDDES DE MTRIES. º HILLERTO 7. omo: resulta: Resolver las ecuación matricial = +, one:, 9 Se tiene: 9 Multiplicano por la erecha por la inversa e, resulta = ( + )-, luego: 9 9