Ecuaciones diferenciales Profesores: Eusebio Valero (grupos A y B) Bartolo Luque (grupos C y D)

Transcripción

1 Ecuaciones diferenciales Profesores: Eusebio Valero (grupos A B) Encargado de responder a todas las preguntas de la asignatura de todas las tutorías. Bartolo Luque (grupos C D) Este no tiene ni idea. No lo molestéis. 1

2 Página del departamento de Matemática Aplicada Estadística (Mejor no subáis, está en la última planta sin ascensor):

3 Página personal para apuntes: 3

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6 Bibliografía principal: Dennis G. Zill Michael R. Cullen Ecuaciones diferenciales Matemáticas avanzadas para ingeniería, vol. 1 Ed. Thomson Paraninfo, 006 Tercera edición M. Cordero M. Gómez Ecuaciones Diferenciales García-Maroto Editores, 008 George F. Simmons Steven G. Krantz Ecuaciones Diferenciales García-Maroto Editores, 008 6

7 1. Introducción a las ecuaciones diferenciales ( Chema Madoz, VEGAP, Madrid 009) 7

8 Qué es una ecuación diferencial? ( ) e 0.1 Función diferenciable en (-, ). Su derivada es: d 0. e 0.1 Ejemplo de ecuación diferencial d 0. Imaginemos que nos dan directamente esta ecuación. Intentaremos contestar preguntas del tipo: Qué función representa ()? Cómo se resuelve semejante ecuación? 8

9 Qué es una ecuación diferencial (ED)? Es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes. d 0. variable dependiente variable independiente Las EDs se clasifican por tipo, orden linealidad. 9

10 Clasificación por tipo: Ecuación diferencial ordinaria (EDO): Una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes de una sola variable independiente. Ejemplo de EDO: d 5 e Una EDO puede contener más de una variable dependiente: dt d dt 10

11 11 t u t u u u u 0 Ecuación diferencial parcial (EDP): Una ecuación que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes. Ejemplos:

12 Notaciones Notación de Leibniz: d/, d /,... Notación con primas: ', '', ''' (n),... Notación de Newton:.,..,...,... Notación de subíndice: u, u, u, u, u, En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál es la variable dependiente la independiente: d 5 e 1

13 Clasificación según el orden: El orden de una ecuación diferencial (a sea EDO o EDP) es el orden maor de la derivadas involucradas en la ecuación. Ejemplo: Segundo orden d 5 Primer orden d 3 4 Luego, es una EDO de segundo orden. e 13

14 Nota: A veces escribiremos las EDOs en forma diferencial M (, ) N(, ) d 0 Por ejemplo, supongamos que es la variable dependiente la independiente en la EDO en forma diferencial: ( ' ) 4d d 4'

15 Forma general de orden n de una EDO: F(,, ',, ) n variables ( n) 0 Forma normal de orden n de una EDO: d n n (,, ',, ( n1) ) n1 variables Por ejemplo, las formas general normal de la EDO son respectivamente: 4, f F(,, ) ( )/ 4 - ( )/ 4 f(, ) 0 15

16 Grado El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de maor orden. Es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la derivada que nos da el orden de la ecuación diferencial. Ejemplo: La siguiente ecuación diferencial: d 3 d 5 4 e es de primer grado, dado que la segunda derivada, que nos da el orden de la EDO, está elevada a uno. 16

17 Ejercicios Determinar el grado de las siguientes ecuaciones: a) 4 d 4 5 d d b) d 6 3 d d 7 NOTA: cuando alguna derivada esté dentro de un radical o en polinomio, que a su vez esté elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que eliminar dicho radical para determinar el grado de la ecuación diferencial. d 7 1 d 3 d 17

18 Ejercicios Determinar el orden grado de las siguientes ecuaciones diferenciales: 3 d d a) b) c) d d d d d d) d d 3 18

19 a Clasificación según la linealidad: Se dice que una EDO de orden n es lineal si F (en la forma general) es lineal en,,,, (n). n a n n1 d d d ( ) an 1( ) a1( ) a0( ) g( ) 0 n n1 n O bien: n n1 d d d ( ) a 1( ) a1( ) a0( ) g( ) n n n1 Dos casos importantes para nosotros serán las EDOs lineales de primer segundo orden. d a1( ) a0( ) g( ) d d a( ) a1( ) a0( ) g( ) 19

20 a n n n1 d d d ( ) a 1( ) a1( ) a0( ) g( ) n n n1 Lineal homogénea: El término independiente g() es nulo. Lineal con coeficientes constantes: Los coeficientes a 0 (),...,a n () son constantes. Lineal con coeficientes variables: Enfatiza el hecho de que al menos uno de los coeficientes a 0 (),...,a n () NO es constante. 0

21 a n n n1 d d d ( ) a 1( ) a1( ) a0( ) g( ) n n n1 En una EDO lineal de orden n: 1),,,, (n) son de primer grado. ) Coeficientes a 0, a 1,, dependen solo de la variable independiente. Si no es lineal, es no lineal :-) Ejemplos de EDOs no lineales: 4 d 4 (1 ) ' 0 El coeficiente depende de. e d Función no lineal de. sin 1 0

22 Ejemplos: Lineales o no lineales? 1) ) 3) 4) 5) 6) ) ( 1 ) ( 1 ) ( t V RC t v RC dt t dv s ( T) T K dt dt a 0 mgsen kl ml d 1 ) sin( ' 3 0 )' (1 '' ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( g a d a d a d a n n n n n n

23 Ejemplo: comprobación de una solución. Comprobar que la función indicada es la solución de la EDO dada en el intervalo (-, ): (a) d/ = 1/. Solución: = 4 /16. Solución: Eiste la derivada d/ = 3 /4 para todo de (-, ). (a) Lado izquierdo : d Lado derecho: 1/ 3 1/ Y la igualdad se cumple para todo de (-, ). 3

24 Ídem, para (b) 0; e Solución: (b) Derivando la solución dos veces: ' = e + e '' = e + e : ( e e ) ( e e ) e Nótese que () = 0 también es solución tanto de este ejemplo como del anterior en el intervalo (-, ). Se conoce como solución trivial. 0 4

25 Solución de una EDO Cualquier función, definida en un intervalo I con al menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reduce la ecuación a una identidad, se considera solución de la ecuación en el intervalo. En otras palabras, posee al menos n derivadas cumple: F(, ( ), '( ),, ( ( )) I Siempre hemos de considerar una solución junto a su intervalo I de definición, también llamado intervalo de eistencia, de validez o dominio de definición. Al proceso de obtención de las soluciones de una EDO se le denomina integración de la ecuación. n) 0 5

26 Una EDO puede tener: Infinitas soluciones: ' cos ; ( ) Ce sint Una única solución: ( ') 0; ( ) 0 Ninguna solución: ( ') 0 6

27 Ejemplo Comprobar que la = + C no es solución de la ecuación diferencial: d Solución Derivando = + C tenemos d Sustituendo el valor de la derivada encontrada en la ecuación diferencial tenemos: 1 Por lo tanto = + C no es solución de la ecuación diferencial d 7

28 Ejercicios Determine si cada ecuación es solución o no de la ecuación diferencial dada: d C; d Asen( 5) Bcos(5); d d C C ; C C 1 ; ' ' 4 cos d e 5 d C; cos C; sen sen cos sen 8

29 Ejemplo: Hagámoslo a la inversa. Encuentre la ED cua solución general es = + C. Solución Observemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general = + C. Así d Como en esta derivada no aparecen constantes de integración, quiere decir que esta es la ED de la solución general propuesta. 9

30 Ejemplo Encuentre la ED cua solución general es = C. Solución Observemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general = C. Así d C Despejamos C de la solución general se sustitue el valor encontrado en la ED. d C Por lo tanto: d es la ED de la solución general, puesto que a no 30 aparecen constantes de integración.

31 Ejercicios Encuentra la ED de cada una de las siguientes soluciones generales: C1e C e tan( 3 C) C 1 C 31

32 Función vs solución La gráfica de una solución de una EDO se llama curva solución. Como es una función diferenciable, es continua en su intervalo de definición I. Puede, entonces, haber diferencias entre la gráfica de la función la solución. Veamos un ejemplo: (a) = 1/ considerada como una función, tiene dominio de definición (-, 0) U (0, ). Es discontinua no diferenciable en = 0. (b) = 1/ es también solución de + = 0. Se entiende que es solución en algún intervalo I en el que es diferenciable cumple la EDO. Por ejemplo, en (0, ). 3

33 Solución eplícita de una EDO: La variable dependiente está epresada solamente en términos de variables independientes constantes. Por ejemplo, la solución de ' + = 0 en (0, ) es = () = 1/. Solución implícita de una EDO Una relación G(,) = 0 es una solución implícita de una EDO en un intervalo I, siempre que eista al menos una función = () que satisface tanto la relación como la ED en I. Veamos un ejemplo 33

34 Ejemplo: Comprobación de una solución implícita. + = 5 es una solución implícita de d/ = / en el intervalo -5 < < 5; puesto que al derivar de forma implícita respecto a : / + d / = (d/)(5), + (d/) = 0; obtenemos la EDO: d/ = -/. Despejando de la solución implícita podemos encontrar dos soluciones eplícitas: 34

35 Familia de soluciones o solución general: Al resolver una EDO de primer orden F(,, ') = 0, en general, se obtiene una solución que contiene una constante arbitraria o parámetro c. Una solución así, G(,, c) = 0 representa en realidad a un conjunto de soluciones, llamado familia uniparamétrica de soluciones. Cuando se resuelve una ED de orden n, se busca una familia n-paramétrica de soluciones G(,, c 1, c,, c n ) = 0. Observemos que el número de constantes arbitrarias en la solución general está determinado por el orden de la EDO. 35

36 Solución particular: es una solución libre de parámetros arbitrarios. Por ejemplo : = c cos es la solución general de = sin en (-, ); una familia uniparamétrica de soluciones. Tomando c = 0, tenemos: = cos, una solución particular. 36

37 Ejemplo: Sin eplicitarlo, hemos visto que las variables independientes dependientes pueden usar símbolos distintos a e. Por ejemplo: = c 1 cos(4t) = c sen(4t) con c 1 c constantes o parámetros arbitrarios, son ambas soluciones de la EDO: + 16 = 0. Podemos comprobar fácilmente que la suma = c 1 cos 4t + c sin 4t es también una solución. 37

38 Ejemplo: solución definida por partes. Podemos comprobar que la familia uniparamétrica = c 4 es una solución de 4 = 0 en (-, ). La función definida a trozos: es una solución particular donde elegimos c = 1 para < 0 c = 1 para ,,

39 Solución singular: Una solución que no puede obtenerse al especificar los valores de los parámetros de la familia de soluciones. Por ejemplo: = ( /4 + c) es la familia de soluciones de d/ = 1/, sin embargo () = 0 también es una solución de la ED anterior. No podemos encontrar ningún valor de c en la familia de soluciones = ( /4 + c) que nos proporcione la solución = 0, así que llamamos a = 0, solución singular. 39

40 Sistema de EDOs: dos o más ecuaciones con las derivadas de dos o más funciones desconocidas de una sola variable independiente. Ejemplo de sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden: /dt = f(t,, ) d/dt = g(t,, ) 40

41 Problemas de valores iniciales (PVI) Encontrar la solución () de una ED que además satisfaga condiciones adicionales en () en sus derivadas. Ejemplo: en un intervalo I que contiene a o Resolver n d n f (,, ',, ( n1) ) con condiciones ( n1) ( 0 ) 0, '( 0) 1,, ( 0) n1 A esto se le llama problema de valor inicial. Y a las condiciones se las llama: condiciones iniciales. 41

42 PVIs de primer segundo orden: solve : Resolver: subject sujeta a: to : d ( 0) f (, 0 ) solve : Resolver: subject sujeta a: to : d f (,, ') ( ), '( ) son problemas de valor inicial de primer segundo orden, respectivamente. Fácilmente interpretables de manera geométrica, como vemos en las figuras. 4

43 Ejemplo: Sabemos que = ce es una familia uniparamétrica de soluciones de la EDO: = en (-, ). = 3e Si (0) = 3, entonces 3 = ce 0 = c. Así = 3e es una solución de este problema de valor inicial. Si queremos una solución que pase por (1, -), entonces la condición es: (1) = -. De modo que - = ce, c = -e -1. Y tenemos = -(/e)e. = -(/e)e 43

44 Ejemplo: vimos que = c 1 cos(4t) + c sen(4t) era una solución de + 16 = 0. Hallar una solución del siguiente PVI: + 16 = 0, ( /) =, ( /) = 1. Solución: Sustituimos: ( /) = en = c 1 cos(4t) + c sen(4t), obtenemos c 1 =. De la misma manera, a partir de ( / ) = 1 obtenemos c = ¼. La solución pedida es: = cos 4t + ¼ sen 4t 44

45 Ejemplo: la solución de + = 0 es = 1/( + c). Si imponemos (0) = -1, obtenemos c = -1. Considérense las siguientes distinciones: 1) Como función, el dominio de = 1/( - 1) es el conjunto de todos los números reales ecepto ) Como una solución: los intervalos de definición maores posibles son (-, 1), (-1, 1) (1, ). 3) Como un problema de valor inicial, con (0) = -1. El intervalo de definición maor es (-1, 45 1).

46 Eistencia unicidad: Eiste siempre una solución para un problema de valor inicial (PVI)? Y si eiste una solución, es única? Ejemplo: Ya que = 4 /16 e = 0 satisfacen la ED d/ = 1/, también el valor inicial (0) = 0, esta ED tiene al menos dos soluciones: 46

47 Teorema de eistencia de una solución única ' f (, ) Sea R la región rectangular en el plano definida por a b, c d que contiene el punto ( o, o ) en su interior. Si f(, ) f/ son continuas en R, entonces eiste algún intervalo I o : o - h < < o + h, h > 0, contenido en a b una función única () definida en I o que es una solución del PVI. Las condiciones del teorema son suficientes, pero no necesarias... 47

48 Vimos que d/ = 1/, tenía como soluciones a = 4 /16 e = 0. La inspección de las funciones: f (, ) 1/ f 1/ muestra que son continuas en el semiplano superior > 0. Basándonos en el teorema de eistencia de una solución única, concluimos que para cada punto ( o, o ), con o > 0, eiste un intervalo centrado en o en el que esta ED tiene una solución única. 48

49 Intervalo de eistencia unicidad Suponiendo que () es una solución de un PVI, los siguientes conjuntos pueden no ser los mismos: o el dominio de (), o el intervalo de definición de () como solución, o el intervalo I o de eistencia unicidad. 49