Técnicas cualitativas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden: Existencia y Unicidad de soluciones

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1 Lección 4 Técnicas cualitativas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden: Existencia y Unicidad de soluciones 4.1. Introducción Cuando aplicamos técnicas cualitativas para estudiar los problemas de la Lección 1 (Sección 1.3) acerca del enfriamiento de una barra metálica nos hicimos una pregunta importante que entonces no podíamos contestar: dadas dos soluciones de una misma ecuación diferencial, pueden una de ellas cortar a la otra?. Recordemos que esta cuestión aparecía de manera recurrente en el análisis del comportamiento de las soluciones en relación a las soluciones de equilibrio. Ahora ya sabemos que para una ecuación diferencial de primer orden hay, en general, infinitas soluciones determinadas por una constante arbitraria. Esta constante queda determinada en cuanto imponemos una condición inicial, y parece que a condiciones iniciales diferentes les corresponden constantes, y por lo tanto soluciones, diferentes. Pero es éste en realidad el caso?. Hay todavía una cuestión fundamental que ni tan siquiera hemos considerado. En el capítulo anterior hemos estudiado métodos para resolver algunas ecuaciones. También hemos 59

2 60 Técnicas cualitativas: Existencia y Unicidad de soluciones comentado ya que el número de ecuaciones que se pueden resolver mediante los métodos estudiados es más bien pequeño, cómo podemos saber entonces si una ecuación diferencial dada de primer orden tiene o no solución?. En este capítulo daremos respuesta a estas preguntas y, a partir de ellas, estudiaremos métodos cualitativos que nos permitirán, con poco esfuerzo, predecir el comportamiento de las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales Existencia y Unicidad de las Soluciones Existencia Hemos visto procedimientos generales para encontrar soluciones a cierto tipo de ecuaciones. La base de dichos procedimientos es la integración. Pero no toda función puede integrarse de forma elemental. Con esto se quiere decir que hay funciones que no son la derivada de una función expresable analíticamente. Por ejemplo, no podemos expresar analíticamente la siguiente integral: e t2 dt, lo cual no significa que la función e t2 no sea integrable, y de hecho lo es por ser continua. Por el mismo motivo, no podemos encontrar una expresión analítica de una función que sea solución de la ecuación x = e t2. Lo cuál no significa que no exista solución para esta ecuación, y de hecho existe porque existe la integral e t2 dt aunque no lo podamos expresar analíticamente como una función conocida. Estamos entonces ante la pregunta cómo sabemos que hay soluciones?. Puede parecer, todavía, una pregunta sutil y abstracta, pero es una pregunta muy importante: si no hay soluciones para una ecuación no tiene objeto buscarlas. Claro que, por otra parte, una cosa es que sepamos que una ecuación tiene solución y otra cosa muy distinta es que sepamos cómo calcularla. Para ilustrar esta situación consideremos, por ejemplo, la siguiente ecuación algebraica: 2x 5 10x + 5 = 0. Una solución de esta ecuación es un valor de x para el que el lado izquierdo es igual a cero. Existe tal valor de x?. Si evaluamos la expresión 2x 5 10x + 5 en x = 1 tenemos que = 3 y si lo hacemos en x = 1 el valor de la expresión es 13. Como los polinomios son funciones continuas, si en x = 1 el polinomio toma un valor positivo y en x = 1 un valor negativo, debe haber un punto entre 1 y 1 en el que el polinomio vale cero. Hemos establecido la existencia de por lo menos un valor de x para el que 2x 5 10x + 5 es cero. Es decir, hemos probado que la ecuación 2x 5 10x + 5 = 0 tiene una solución en

3 4.2 Existencia y Unicidad de las Soluciones 61 el intervalo ( 1, 1). Cuál es este valor?. Hay técnicas numéricas para calcularlo con tanta precisión como se quiera, pero hay toda una elaborada teoría matemática que nos asegura que no hay una fórmula (como por ejemplo para las ecuaciones segundo grado) que pueda expresar dicha solución. Es decir, podemos asegurar que la ecuación 2x 5 10x + 5 = 0 tiene al menos una solución pero no podemos expresar dicha solución de forma analítica. Con las ecuaciones diferenciales sucede algo parecido. Si nos dan el problema de condición inicial x = f(t, x), x(t 0 ) = x 0 podemos preguntarnos si existe una solución para este problema. Puede suceder que podamos responder a esta cuestión sin saber cómo calcular dicha solución. De hecho, el problema de existencia de soluciones de problemas de condiciones iniciales se ha estudiado ampliamente y se han obtenido muy buenos resultados dando lugar a teoremas que garantizan la existencia de soluciones bajo determinadas hipótesis. Entre ellos, nosotros utilizaremos el teorema estándar de existencia de soluciones. Teorema 4.1 (Teorema de Existencia).- Supongamos que f(t, x) es una función continua en un rectángulo de la forma {(t, x) a < t < b, c < x < d} en el plano t x. Si (t 0, x 0 ) es un punto en este rectángulo, entonces existe un ε > 0 y una función x(t) definida en t 0 ε < t < t 0 + ε que es solución del problema de condiciones iniciales: x = f(t, x), x(t 0 ) = x 0. Este teorema garantiza la existencia de soluciones para problemas de condiciones iniciales siempre que la función f sea razonable. Esto no significa que no puedan existir soluciones incluso cuando f no es razonable, pero nadie lo garantiza. Incluso cuando existen soluciones, si se lee el teorema con atención, se observa que el intervalo en el que dichas soluciones pueden estar definidas puede ser extremadamente pequeño. El teorema asegura que la posible solución tiene un dominio de definición igual a (t 0 ε, t 0 +ε) para un cierto ε > 0. Éste puede ser grande o pequeño, lo cuál puede parecer decepcionante, pero nadie puede asegurar, en general, nada mejor. Consideremos, por ejemplo, el siguiente problema de condición inicial: x = 15(1 + x 2 ), x(0) = 0 La ecuación x = 15(1 + x 2 ) es una ecuación en variables separables. En efecto Integrando obtenemos 1 dx = 15 dt. 1 + x2 arctan x(t) = 15t + C

4 62 Técnicas cualitativas: Existencia y Unicidad de soluciones donde C es una constante arbitraria. Por lo tanto x(t) = tan(15t + C) que es la solución general de la ecuación diferencial. (Nótese que no hay soluciones de equilibrio porque x > 0 para todo valor de x). Usando el valor inicial: 0 = x(0) = tan(0 + C), encontramos que C = 0 ( o C = nπ para cualquier entero n). Así que la solución particular es x(t) = tan(15t). Ahora debemos observar cuál es el campo de existencia de esta función. Sabemos que tan t tiende a + si t tiende π/2 y a si t tiende a π/2. Por lo tanto, el campo de existencia de esta función es ( π/30, π/30). Un intervalo muy pequeño porque π/ (Véase la Figura 4.1) Unicidad Al hablar de las soluciones de problemas de condiciones iniciales hemos venido diciendo con mucha frecuencia que tal o cual función es la solución del problema y no una solución. Cómo sabemos que dicha solución es única?. Saber que la solución de un problema de condiciones iniciales es única es muy valioso, tanto desde el punto de vista teórico como práctico. Si no supiéramos que la solución es única, deberíamos preocuparnos por encontrar todas las soluciones posibles. Desde el punto de vista de la aplicación de las ecuaciones diferenciales al mundo real (recordemos que las ecuaciones diferenciales aparecen con mucha frecuencia como modelos teóricos de lo que sucede en procesos físicos y químicos reales), si la solución de un problema de condiciones iniciales no fuera única, las predicciones del modelo no sería tampoco únicas. En otras palabras, nunca podríamos estar seguros del comportamiento del fenómeno que estuviéramos estudiando. x Figura 4.1: La gráfica de la solución x(t) = tan(15t) de la ecuación t x = 15(1 + x 2 ) con la condición inicial x(0) = 0. Cuando t π/30 por la izquierda, x(t) + y cuando t π/30 por la derecha, x(t).

5 4.2 Existencia y Unicidad de las Soluciones 63 Afortunadamente, existe un teorema muy importante que asegura que, bajo hipótesis muy amplias, las soluciones de los problemas de condiciones iniciales son únicas. Teorema 4.2 (Teorema de Unicidad).- Si f(t, x) y f son funciones continuas en un x rectángulo de la forma: R = {(t, x) a < t < b, c < x < d}. Si (t 0, x 0 ) es un punto en este rectángulo y si x 1 (t) y x 2 (t) son dos soluciones del problema de condiciones iniciales: x = f(t, x), x(t 0 ) = x 0, entonces x 1 (t) = x 2 (t) para todos los valores de t para los que (t, x 1 (t)), (t, x 2 (t)) R. Es decir, la solución del problema es única. Hablando llanamente, el Teorema de Unicidad dice que, siempre que se den las hipótesis del teorema (f y f sean continuas en R), si dos soluciones de la ecuación coinciden en algún x punto dentro del rectángulo, son en realidad la misma función. En otras palabras, si tenemos dos soluciones distintas de la ecuación éstas no deben coincidir en ningún punto; es decir, sus gráficas no pueden cruzarse, ni tan siquiera tocarse. Antes de ver algunas implicaciones importantes de este Teorema, veamos que las hipótesis del Teorema son importantes: si no se dan puede fallar la unicidad de la solución. Consideremos el siguiente problema de condiciones iniciales: x = 3x 2/3, x(1) = 0 La ecuación x = 3x 2/3 es una ecuación en variables separables que admite una solución de equilibrio: x(t) = 0. Esta solución cumple la condición inicial: x(1) = 0. Es la única?. El teorema no nos lo asegura porque aunque f(t, x) = 3x 2/3 es continua en x = 0 resulta que f x = 2 f y, por consiguiente, no existe en x = 0. x1/3 x Veamos que, en efecto, hay más soluciones de la ecuación x = 3x 2/3 que cumplen la condición inicial x(1) = 0. La solución general de la ecuación se obtiene por integración: de forma que 1 x 2/3 dx = 3x1/3, x(t) = (t + C) 3. 3 dt = 3t es dicha solución general. Imponiendo la condición inicial: 0 = x(1) = (1 + C) 3, tenemos que C = 1 y x(t) = (t 1) 3 es otra solución del problema de condiciones iniciales. Es decir, existen dos soluciones del problema de condiciones iniciales. (Ver Figura 4.2).

6 64 Técnicas cualitativas: Existencia y Unicidad de soluciones x x(t)=t 3 Figura 4.2: Gráficas de dos soluciones del problema de condiciones iniciales: x(t)=0 t x = 3x 2/3, x(1) = 0 La ecuación no satiface las hipótesis del Teorema de Unicidad si x = 0. Tenemos dos soluciones x(t) = 0 y x(t) = t 3, diferentes, cuyas gráficas se cortan en el punto (0, 0). Aplicaciones del Teorema de Unicidad El Teorema de Unicidad no sólo es importante desde un punto de vista matemático sino que es una herramienta muy útil para interpretar el comportamiento de las soluciones. Veamos algunos ejemplos: Papel de las Soluciones de Equilibrio Consideremos el siguiente problema de condiciones iniciales: x = (x2 4)(sen 2 x 3 + cos x 2), x(0) = (4.1) La ecuación es de variables separables, pero encontrar soluciones implícitas no parece tarea fácil porque las integrales implicadas son muy difíciles. Pero lo que sí podemos decir es que la función f(t, x) = (x2 4)(sen 2 x 3 + cos x 2) 2 y su f son continuas en todo el plano. Estamos, entonces, bajo las hipótesis de los teoremas x de existencia y unicidad: hay una única solución, x(t), de la ecuación que en 0 vale 1/2. Por otra parte, la ecuación diferencial tiene dos soluciones de equilibrio x 1 (t) = 2 y x 2 (t) = 2. Desde luego ninguna de estas dos soluciones de la ecuación diferencial es solución del problema de condiciones iniciales porque ninguna de las dos vale 1/2 en t = 0. Pero sí nos proporcionan, con ayuda del teorema de unicidad, alguna información de la solución del problema. En efecto, si x = x(t) es la solución del problema de condiciones iniciales entonces x(0) = 1/2. Esto significa que en t = 0 x(t) se encuentra entre x 1 (t) y x 2 (t). Además, x(t) nunca puede cortarse ni con x 1 (t) ni con x 2 (t) porque si tal cosa sucediera, digamos que en el punto t = t 1 x(t 1 ) = x 1 (t 1 ) = 2, el problema de condiciones iniciales: x = (x2 4)(sen 2 x 3 + cos x 2), x(t 1 ) = 2 2

7 4.2 Existencia y Unicidad de las Soluciones 65 x x(t)=2 Figura 4.3: Gráficas de dos soluciones de equilibrio del problema de condiciones iniciales: x(t) x(t)= 2 t x = (x2 4)(sen 2 x 3 + cos x 2), x(0) = El Teorema de Unicidad nos asegura que la gráfica de la solución de este problema está siempre entre las rectas x = 2 y x = 2, que son soluciones de equilibrio de la ecuación. tendría dos soluciones x(t) y x 1 (t). Pero esto no es posible por el teorema de unicidad. En consecuencia, la solución del problema (4.1) debe mantenerse siempre entre 2 y 2. No sabemos a ciencia cierta como es dicha solución pero el teorema de unicidad junto a las soluciones de equilibrio nos da una idea de por donde podemos encontrar dicha solución. (ver Figura 4.3). Unicidad y Análisis Cualitativo En el estudio de los ejemplos de la Lección 1 nos preguntamos sobre la posibilidad de que dos soluciones de una ecuación diferencial se cortaran. Aunque ya lo adelantamos en su momento ahora sabemos con certeza que la respuesta es no. Concretamente, en el estudio de las reacciones químicas modeladas por la Ley de Acción de Masas, estudiado en grupos, aparecía una ecuación diferencial del siguiente tipo: x = K(n A x)(n B x) siendo n A y n B números concretos y K > 0. Esta es una ecuación en variables separables cuyas soluciones podemos encontrar explícitamente. Hay dos soluciones de equilibrio: x(t) = n A y x(t) = n B. Supongamos que n A < n B y sea c un número entre n A y n B : n A < c < n B. Podemos tener una idea de cómo es la solución del problema de condicones iniciales: x = K(n A x)(n B x), x(0) = c?. Por el teorema de unicidad sabemos con exactitud que la solución de este problema debe estar siempre entre n A y n B ; así que la gráfica de dicha solución debe tener la forma representada en en la Figura 4.4 tal y como ya habíamos conjeturado. Debe observarse que no necesitamos conocer la expresión analítica de la solución de la ecuación para saber que la gráfica de la solución es la presentada en la Figura 4.4. Esta información la obtenemos directamente de la ecuación diferencial. Más aún, la expresión

8 66 Técnicas cualitativas: Existencia y Unicidad de soluciones x n B x(t) n A t Figura 4.4: Posibles gráficas de la solución del problema condiciones iniciales x = K(n A x)(n B x), x(0) = c, con n A < c < n B. Según lo próximo o alejado que esté el valor de c de n A y n B, la gráfica tendrá una u otra apariencia. En cualquier caso siempre se encontrará entre ambas soluciones de equilibrio. analítica de la solución, ya obtenida en el trabajo en grupo, es suficientemente complicada como para que la obtención de su gráfica por los métodos tradicionales no sea elemental. La moraleja es que el estudio directo de la ecuación diferencial a partir de las propiedades de la derivada junto a los teoremas de existencia y, sobre todo, unicidad, nos permite obtener una información muy valiosa sobre la gráfica de las soluciones de una ecuación diferencial que en la mayor parte de los casos no es fácil conseguir a partir de las soluciones analíticas de las mismas (cuando éstas estén disponibles). Esta forma de conseguir información sobre las soluciones de una ecuación diferencial se concretan en unas técnicas que estudiaremos en las dos siguientes lecciones, y se llaman técnicas cualitativas. Debe observarse, además, que en muchos casos, las expresión analítica de las soluciones de una ecuación diferencial no están disponibles. En tales casos, sólo las técnicas cualitativas y numéricas nos permiten conocer algo sobre dichas soluciones. En la Lección 6 estudiaremos, a modo de ejemplo, una técnica numérica llamada Método de Euler.