Parcial de Cálculo C 0

Transcripción

1 Parcial e Cálculo C Funamentos e Matemáticas Usar los polinomios e Talor para averiguar si la función g = 7 alcanza o no un etremo local en = 0 sen ln Solución: El polinomio e Talor en = 0 e un polinomio es el propio polinomio hasta el oren necesario, luego basta buscar los e las funciones sen ln operar. Como sen es composición e h = en 0 e sen en h0 = 0, tenemos que: sen! 5 5! 7 7! en 0 componieno sen! 0 5! 7! Y ln = ln = = Si tomamos hasta oren 0 mínimo 7 pues ha un sumano 7, e necesitar más añairíamos términos el polinomio e Talor e oren 0 para g en 0, será la parte hasta grao 0 e: 7 00! 0 5! = = Consiera las funciones g = f = g 8 0 8! = 00, g 9 0 9! = 00 g0 0 0! = 800. Como la En consecuencia, g 0 = g 0 = = g 7 0 = 0, primera erivaa istinta e cero es la octava es negativa, g0 = 7 es un máimo local { g, si Domg, si / Domg a Estuiar el ominio, la continuia las asíntotas e g b Qué ominio tiene f?, qué asíntotas? Estuiar su continuia erivabilia c f es integrable Riemann en [, 5], [0, ], [, ], [, ], [5, ] o [0, 5]? Encuentra el ominio e F = f, F = f F = Las tres funciones tienen el mismo ominio? Estuiar la erivabilia e F f. e Si la erivaa se simplifica a f = en los puntos one es erivable, alcanza f algún etremo local o global? Dóne? f Construir e manera aproimaa la gráfica e f, inclueno las asíntotas los etremos g Encontrar los intervalos en los que f amite inversa. El está en alguno? el 0? Encontrar el valor e la erivaa e f en el punto f0 o en el punto f, en el que se puea h Que puees ecir e los etremos e G= Solución: 7 f? Y e su concavia? a g es una función cociente e polinomios continuos erivables valores absolutos e polinomios continuos, erivables salvo one se anulen, luego no tiene sentio si se anula el enominaor, lo hace en {,, }, luego Domg = R {,, } es continua en él. Posibles asíntotas verticales en esos tres puntos en los emás no, pues ha continuia En =, lím g = = 0 = Luego = es asíntota vértical e g tiene hacia cuano ± En =, lím g = = No ha Asíntota Vertical En =, lím g = = = 9 lím = 9 Aemás, lím lím = lím por lo que tiene asíntota horizontal = tanto en como en. = No A.V. lím =

2 b El ominio e f es naturalmente too R como f es igual a g salvo en tres puntos, tiene el mismo comportamiento asintótico que g por ene las mismas asíntotas. Como g es continua en su ominio, f también lo es ahí. Comprobemos pues los puntos que faltan: En = no es continua pues tiene A.V. lím f g = = f En =, lím f g = 9 = f, luego no es continua ahí, En =, lím f g = = f, sí es continua entonces f lo es en R {, } La función g es erivable en su ominio salvo quizá en = 0 se anulan los valores absolutos el numeraor el enominaor, luego f es erivable seguro en R {, 0,, }, no lo es en ni por no ser continua, solo falta comprobarlo en = 0 = usaremos la efinición, pero ao que se conoce f también puee hacerse con los ĺımites e la erivaa lím f : a ± ff0 En = 0, lím En =, ff lím = = lím 0 = = 98 lím 9 = 7 Luego eiste f = 7 f 0, en consecuencia, f es erivable en R {, 0, }. c f es integrable Riemann en un intervalo si en él es acotaa continua o continua salvo en pocos puntos. Como f es acotaa salvo en = solo es iscontinua aemás en, en integrable en cualquier intervalo que no contenga al, por lo que Es integrable en [0, ], [, ] [5, ] no lo es en [, 5], [, ] [0, 5] Las funciones F, F F estarán efinias si la función f es integrable Riemann en el intervalo e integración; en este caso si el intervalo no contiene al. Entonces: No puee ser <<, luego cualquier [, ] ó [, ] con <: DomF =, Igualmente para F no puee ser < <, luego DomF =, Y para F, cualquier intervalo [, ] o [, ] contiene al, luego DomF = no ha ominio por lo que no tienen el mismo ominio Como F no tiene ominio, no ha continuia ni erivabilia que estuiar. Si erroneamente se hubiera tomao un ominio el tipo, o,, el estuio será similar al que se hace en el apartao -f el moelo e eamen Too por separao que conviene mirar e toas formas e Como conocemos la epresión e f en caa uno e los puntos, 0,, entonces De los puntos en los que puee usarse la Conición Necesaria no ha caniatos: Si < 0, f =, 0 Si > 0, f = en,. = = 5 Done no se usa la conición necesaria, = 0, = = : que no se anula 0, con f < 0 en, que no se anula 5 0, con f > 0 en 0, f < 0 Por la monotonía e los os casos anteriores la continuia en 0, f0 = 0 es mínimo local En =, es lím f = ± 9 > = f luego f es mínimo local por la efinición también en =, pues lím f = > = f. ± Evientemente no ha máimo global, pues ha una asíntota vertical hacia en =. La función está acotaa inferiormente por: lím f = 9 en, ecreciente continua, f por f0 = 0 en, 0] ecreciente continua, por f0 = 0 en [0, creciente continua por lím f = en, ecreciente, continua asíntota horizontal los valores f = f = ; luego cierto aemás f es mínimo global g Como f eiste en los intervalos,,, 0, 0,, no se anula nunca Teorema e la función inversa, en caa uno e estos cuatro intervalos f amite inversa. El está en el intervalo,, luego f f = f = 7

3 El 0 no está en ninguno e los intervalos que asegura el teorema, pero puee añairse a, 0] ó [0,, pues la función sigue sieno inectiva es el intervalo es el único punto con f = 0. Sin embargo no poemos obtener la erivaa e la inversa en f0 pues no cumple le teorema h Como es la composición e funciones G = F 7 F no tiene ominio entonces G tampoco. Si erroneamente se hubiera tomao un ominio para F, el estuio será similar al que se hace en los apartaos -f -g el moelo e eamen Too por separao que conviene mirar e toas formas Consiera el cuarilátero formao por las rectas =, 5 = 0, = 5 e 7 =, agujereao con la elipse = morio por las parábolas = = 0 a Plantear el cálculo el área e la región resultante meiante integrales efinias concretas b Obtener el valor e ese área aquí también pueen usarse otros recursos, como fórmulas e áreas conocias, no solo integrales como en el apartao anterior c Plantear, con integrales efinias, el cálculo el volumen resultante e girar la región alreeor el eje OX Ojo!, que no es inmeiato Consieremos ahora sólo la elipse. Si la giramos alreeor el eje OY se genera un toro, qué volumen tenrá ese toro?, 7, 0,, 8,, Solución: Hagamos aquí juntas toas las figuras para resolver los apartaos 9,,, 7 = 7 5,, = 5, 0 = 5, 8 = = 5,, 5,, 7, 8, Evientemente, la recta = es la horizontal inferior la e la izquiera es la única con peniente negativa, es ecir = 5. Las otras os tienen peniente positiva, sieno maor la peniente la e la erecha, luego = 5 la recta e la erecha = 7 la e arriba. Como la parábola =5 5 es hacia arriba, es la e la erecha la otra la e la izquiera. El otro punto intersección e la parábola =5 5 la recta = 7 se obtiene e, sustitueno, 5=5 5 0=. Como conocemos a la solución = es fácil obtener por Ruffini que 7 = 9 que = 9 es la otra solución, luego el punto 9,. Para la otra parábola, 5 = 0 la recta = 5, se tiene 0 = = 0 e conocer = 7 obtenemos que 0 = 7 el punto,. Aemás, el vértice e la parábola =5 se encuentra en =, luego el punto 5, a Para el área, ao que en el apartao c tenemos que girar verticalmente respecto al eje OX, proponemos el cálculo el área total encerraa iviio verticalmente en los recintos n por las ĺıneas rojas el primer ibujo restarle luego el agujero e la elipse 8 por supuesto, también puee iviirse horizontalmente sobre el eje, o una mezcla e ambos: orenaamente hacemos A = A = La elipse, la planteamos hacia el eje, puesto que en el apartao nos pien girarla hacia ese eje.

4 b Puee usarse cuarquier fórmula conocia o evaluar las integrales el apartao anterior. Es más sencillo, si calculamos el área el cuarilátero A C iviio en triángulos le restamos las morias e las parábolas A P la elipse A E. Con los triángulos formaos con las ĺıneas veres a figura, e arriba a abajo tenemos que: A C = = 5 =77 Para el área e las morias e las parábolas, integramos la primera por la izquiera en la seguna en : 7 5 A P = = 5 ] ] 9 = Para el área e la elipse, poemos resolver la integral planteaa en el apartao anterior el área: A E = = π { } = sent = = costt cos tt = π costt = tsent π ] π sen t costt π = π O simplificarlo a calcular el área e la misma elipse pero centraa en el origen, =, con lo que A E = = = π = π a recorano que a es el área el semicírculo e raio a o resolvieno esa integral. a Aún mejor si conocemos la fórmula el área e la elipse e semiejes a b, abπ, pues entonces A E = π Con lo que: A = A C A P A E = 77 8 π c Para calcular el volumen e revolución, ebemos tener en cuenta que la parte inferior al eje e giro también aporta volumen puee tapar huecos ver a figura. Las ĺıneas magenta proucen el volumen al girar las azules proucen los huecos restan el volumen que generan. Los puntos e corte e las rectas = 5 e = 5 con el eje = 0, son respectivamente en = 5 = 5. Luego V = π π π 5 π 5 5 π 9 π 5 5 π 5 π 5 π 5 Si giramos la elipse alreeor el eje OY formamos un toro eĺıptico una rosquilla. El raio e giro es por supuesto la istancia el punto e la curva al eje e giro es ecir,, luego = ± en la figura, la raíz en magenta prouce el volumen al girar la raíz en azul hace el hueco: V T = = π = π π π = π = 8π Sean las ecuaciones iferenciales [E ]: = 0 [E ]: = 0 a Alguna e las os ecuaciones es eacta, lineal o separable? b Comprueba si = o = 0 son solución e alguna e ellas c La familia e curvas = K, son soluciones e la ecuación [E ] Encontar, resolver, la ecuación iferencial que eben cumplir las curvas ortogonales a esa familia Sección..

5 Solución: Recolocamos la [E ], = 0 la reescribimos como = 0. Igualmente, reescribimos [E ] como = 0 a Veamos, si [E ] es eacta: M N = = 0 luego no [E ]: M N = = 0 luego no [E ] separable?: = = = luego sí [E ]: = = pero no puee cambiarse sin la [E ] lineal?: Sí, pues = 0 = 0, con P = Q = 0 [E ]: no pues = = no permite la epresión buscaa b Para = es =, se tiene = = 0 no resuelve [E ] = = 0, luego tampoco es solución e [E ] Para = 0 es = 0, luego = = 0, luego sí es solución e [E ], pero = = 0 luego no lo es e [E ] c Si la familia viene representaa por la ecuación [E ] = 0, que en forma normal es =, las traectorias ortogonales eben verificar la ecuación = = = = = = 0 No es separable ni lineal, veamos si es eacta: M N = = 0 luego no M N M = = = f luego sí amite factor e Como sabemos que es µ µ =, tenemos que ln µ = µ µ = = ln = ln = µ = = 0 es eacta. De one buscamos ϕ, tal que ϕ, = M, = = K ϕ = M ϕ = N : = = N = ϕ, = K = K = = K = Por lo que ϕ, = = K ó = K es la familia buscaa