Soluciones Junio y Septiembre ( ) Junio 2008

Transcripción

1 Junio (A1) a) A$B = b) v f X$B =B +AgX=(B +A)$B 1 = (A2) nº lotes nº cerezos Agro x 15x Ceres y 15y nº perales 30x 10y nº manzanos 10x 20y Coste 700x 650y (a) Restricciones: 15x +15ym750 30x +10ym700 10x +20ym650 x,ycn. F. objetivo a minimizar: 700x +650y El coste mínimo e se consigue con 10 lotes e Agro y 40 lotes e Ceres. Comprueba la solución en la figura siguiente. (b) Gasta toos los cerezos y perales y le sobran 250 manzanos.

2 f (x) =2xln(1 x) x2 1 x g (x) = 1 4 x + 16 (B1) a),, b) b1) x 3 h (x) =2$ln2$2 2x 1 b2) La velocia máxima es e 16 m/min y se alcanza en el intervalo [2,8]. b3) t = 30 segunos = 0 5 minutos; v(0 5) = = 4 75 m/min. Si, a los 9 5 minutos = 750 segunos pues v(9 5) = = 4 75 m/min.

3 (B2) a) f (x) =7 2x 9 x, g (x) =e x $(x 2 1) 2, h (x) = b) Dominio e f(x) =R 0, pues x = 0 anula el enominaor. 20 (x+1) 21 f (x) =7 2x 9 x 2 = 7x2 2x 3 9, x 2 f (x) =0e 2x 3 +7x 2 9 =0 Resolvieno la ecuación anterior por Ruffini obtenemos: x = 1,x =3,x = 3 2 Estuiamos el signo e la erivaa en: x = -1 y x = 3 son máximos relativos. x = 1 5 es mínimo relativo. (C1) (a) Experiencia compuesta e os simples: primero extraemos una bola e la caja A y espués una bola e la caja B. P( ambas el mismo color )=P(Bl A 3Bl B ) +P(N A 3N B ) = 2 6 $ $ 1 5 =0 3 (b) Experiencia compuesta e tres simples: primero lanzar una monea y a continuaci ón extraer os bolas e la misma caja sin reposición. P( ambas blancas ) = P(C3BL A 3BL A ) +P(X3BL B 3BL B ) = = 1 2 $ 2 6 $ $ 3 5 $ 2 4 = (C2) Población X= viaútil =N(, =60) Muestras tamaño n: Como X es normal X =N( x =, x = 60 n ) Confianza =1 =0 98eP(Z[Z ) =0 99eZ = Intervalo e confianza 0 98 para = (388 68,407 32)ex i = =398 Error máximo = =9 32 =Z $ 2 x =2 33$ 60 n n = 2 33$ en=225 ías.

4 Septiembre 2008 (A1) a) T = 8x +5ym200, 3x +5y[150, 2x +5y[110, ym0 b) f(x,y)= 3x + 5y alcanza el valor mínimo (75) en el punto D(25, 0), y el valor máximo (150) en toos los puntos el segmento BC, sieno B(40,5) y C(50,0). c) f(x,y)= 3x + 5y no alcanza el valor mínimo y el valor máximo (150) se consigue en toos los puntos e la semirrecta e origen B ibujaa en rojo.

5 (A2) a) Raquel paga x por una camiseta, Paula y, Sara z. x+y+z 3 =14 z y =2(y x) 2x =z +1 g x +y+z =42 2x 3y +z =0 2x z =1 g x +y+z =42 5x +4z =126 2x z =1 g b) x +y+z =42 13x =130 2x z =1 x +y+z =42 2x 3y +z =0 4y =x +42 g g y =42 29 =13 x =10 z =19 x +y+z =42 2x 3y +z =0 x +4y =42 g x +y+z =42 x 4y = 42 x +4y =42 g x +y+z =42 erga =rga x 4y = 42 & =2<n o incógnitase compatible pero ineterminao. Soluciones: x = 4y-42, z = 84-5y, 10 5[y[16 8 El sistema es (B1) a) f (x) = 4 (x+1) 2, g (x) = 10x3 1 5x 4 b) Domf =R 1 porque x = -1 anula el enominaor. f (x) = 8 (x+1) 3, f (x)!0 f (x) >0 en (, 1)efcóncavahaciaarribaen (, 1). f (x) <0 en ( 1, )efcóncavahaciaabajoen ( 1, ). No tiene puntos e inflexión ya que x = -1 no es el ominio. (B2) a) f (x) =1 16x 9 x 2, g (x) =4(2x 1)lnx + ( 2x 1) 2 x f( 1) = 2 lim ( 3 x + x 3 ) = 10 b) b1) x 1 3 f(x) es iscontinua inevitable e 1º especie en x = -1 lim x 1) = 2 x 1 + e

6 f( 4) = lim 3 x + x x 4 3 = g f(x) es continua en x = -4. b2) f (x) = 9+x2 3x 2 =0ex 2 9 =0ex= 3c( 6, 1) Estuiano el signo e la erivaa obtenemos: f(x) creciente en ( 6, 3), f(x) ecreciente en ( 3, 1) e f(x) presenta un máximo relativo en x = -3. (C1) (a)p(a) = 4 11 $ $ 2 6 = 1 3 (b) P(B) = 3 6 $ $ 1 5 = 8 30 = 4 15 (C2) Población X= estatura,, =10

7 Muestra elegia e tamaño n = 625 x i =175 Como n = 625 > 30 e X =N( x =, x = =0 4) Como la confianza es 1 =0 99eP(Z[Z 2 ) =0 995eZ 2 =2 575 Intervalo e confianza 0 99 para : 175!0 4$2 575e(173 97,176 03) (A1) a) Junio 2009 (b) f(x,y) = 3x + 3y alcanza en T el valor mínimo en x = y = 0, y el valor máximo en x = 3, y = 2. (c) f(x,y) = 3x + 3y alcanza en S el valor máximo en x = 3, y = 2. No tiene mínimo.

8 (A2) A B C Totales Precio unia x y z Coste(1) 30x 20y 10z 60 Coste (2) 20x 25z 45 g (a) x+y+z 3 =1 30x +20y +10z =60 20x +25z =45 x +y+z =3 x z =0 9z =9 g g x =1 y =1 z =1 x +y+z =3 3x +2y +z =6 4x +5z =9 g x +y+z =3 x z =0 4x +5z =9 El sistema es compatible y eterminao pues el rango e A y el e la matriz ampliaa es 3 que coincie con el número e incógnitas.

9 (b) x +y+z =3 3x +2y +1z =6 2x +y =3 g x +y+z =3 2x +y =3 2x +y =3 g x +y+z =3 2x +y =3 El sistema es compatible e ineterminao pues el rango e la matriz e los coeficientes y el e la ampliaa es 2, menor que el número e incógnitas. No se puee eterminar el precio e caa conserva pues habría muchas soluciones. Soluciones: y =3 2x z =x 0 <x<1 5 (B1) a) f (x) = 2 x 2 x = 2 x 2 x, g (x) =e x2 (2x 2 2x +1) h (x) = 18x5 9x 8 (3 x 3 ) 2 b) Domf =(0, ). Para poer calcular x, x ebe ser mayor o igual a cero, y para poer calcular, x eber ser istinto e cero. Por lo tanto, la intersección e ambos conjuntos nos permite eterminar el ominio. f (x) =0e2 x 2 =0e x =1ex=1. Estuiano el signo e la erivaa en los intervalos (0,1)y(1, ) obtenemos: f(x) es ecreciente en (0,1) y es creciente en (1, ), por lo que x = 1 es un mínimo relativo. (B2) a) f(x) =ln x = 1 2 lnxef (x) = 1 2x g (x) =2x(5 x 3 ) 3x 4 =10x 5x 4 h (x) =5$3 5x 1 $ln3 b) Tenemos que ibujar una parte e una parábola que tiene en el vértice un máximo y es el punto (20, 400). La función D(p) es continua en p = 30. La máxima emana, 400, se consigue en p = 20. La mínima emana, 200, se consigue en p = 40. D(p) =375 =40p p 2 ep 2 40o +375 =0ep=25, ya que la otra solución e la ecuación p = 10 no es el ominio e la función. Como puee observarse en la gráfica, si 20[p[25eD(p)m375.

10 (C1) a) A = (BBB),(NNN),(VVV) P(A) = $ 9 19 $ $ 5 19 $ $ 3 19 $ 2 18 = = b) B = BBB,BBV,BVB,VBB,BBN,BNB,NBB,VVB,VBV,BVV,VVN,VNV,NVV,VVV 4 4 BNV.BVN,VBN,VNB,NVB,NBV P(B) = 10$9$8 20$19$18 +3$ +6$ 10$6$4 20$19$18 = c) C = BBV,BVB,VBB P(C) =3$ 10$9$4 20$19$18 +3$ 10$9$4 20$19$18 = $9$6 20$19$18 +3$ (C2) Población X= peso,, =15 Muestra elegia e tamaño n = 700, x i =80 4$3$10 20$19$18 +3$ 4$3$6 20$19$18 + 4$3$2 20$19$18 +

11 Como n = 700 > 30 ex=n( x =, x = =0 567) Como la confianza es 1 =0 98eP(Z[Z 2 ) =0 99eZ 2 =2 33 El intervalo e confianza 0 98 para es: 80!2 33$9 567 es ecir: (78 68,81 32). Septiembre 2009 (A1) a) A 2 =A$A = A I I (A 2 ) A I

12 I A 1 A$X+B =CgA$X =C BgX=A 1 $(C B) X = $ = b) g g g A A & erga =rga & =2<n o incóg. =3e Sistema compatible e ineterminao. Soluciones: x = y 2, z =2y +7,ycR. (A2) a) El hermano mayor recibe x, el meiano y,y el pequeño z e la herencia. x = y+z y = x z z = x+y g 2x y z =60000 x +y+z =10000 x y+2z = g E2 + E1, 2E1 +E3

13 2x y z =60000 x = x 3y =60000 g x =70000 y =50000 z =30000 Como rg A = rg A* = 3 = nº incógnitas, el sistema es compatible y eterminao. b) x = y+z y = x+z 2 z = x+y g 2x y z =60000 x 2y +z =0 x y+2z = g E2+E1,2E1+E3 2x y z = x 3y = x 3y = g 2x y z = x 3y = $y = Como rg A = 2 y rg A* = 3, el sistema es incompatible, es ecir, no tiene solución. (B1) a) f (x) = x2 4x 4, g (x) =2(x 5)lnx + ( x 5) 2 (x 2) 2 x f(2) =4 lim x 2 +1 = 5 g b) b1) x2 f(x) presenta una iscontinuia inevitable e lim x+2 x2 + x 1 =4 primera especie en x = 2. f(4) =2 lim f(x) no existe x4+ lim x+2 x4 x 1 =2 especie en x = 4. g f(x) presenta una iscontinuia inevitable e seguna x b2). Estuiamos el signo e la erivaa en los f (x) = x 2 +1, f (x) =0ex=0 intervalos (-2,0) y (0,2). La función es ecreciente en (-2, 0) y creciente en (0, 2), por lo que x = 0 es un mínimo relativo. (B2) a)

14 f (x) = 3(1 x) 2 e x +(1 x) 3 e x g (x) =1 +16x 1 x 2 h (x) = 3 x 2 2 (x 2) 2 b) Domg =R 0 g (x) = x 3 = 16x3 +2 x 3, g (x) =0e16x 3 +2 =0ex 3 = 1 8 ex= 1 2 Estuiamos el signo e g (x) en los intervalos, 1 1 2,. 2,0 y (0, ) g(x) es cóncava hacia abajo en, y es cóncava hacia arriba en, por lo tanto presenta un punto e inflexión en x = 1 2 (C1) a) P(A) = 5 12 $ 4 11 $ 3 10 $ 2 9 = 1 99 b) P(B) =6$ 5 12 $ 4 11 $ 7 10 $ 6 9 = c) P(C) = 7 12 $ 6 11 $ 5 10 $ 4 9 = ,0 y (0, ) (C2) Población X =N(, =2) Muestras e tamaño n, como X es normal ex=n x =, x = 2 n Como la confianza es 1 =0 98eP(Z[Z 2 ) =0 99eZ 2 =2 33 El intervalo e confianza 0 98 para es: (13,15)ex i = =14 2 El error máximo es 15-14=1. e1=2 33$ n en=21 71.l22 Opción A Junio 2010 (1) a) Número = xyz (x cifra e las centenas, y e las ecenas, z uniaes)

15 x +z+2y =23 2x (y +z) =9 x+y 2 +2z =15 g x +2y +z =23 2x y z =9 x +y+4z =30 g x +2y +z =23 3x +y =32 3x 7y = 62 x +2y +z =23 3x +y =32 6y = 30 g z =23ez=4 3x +5 =32ex=9 6y =30ey=5 El sistema es compatible y eterminao pues el rango e la matriz e los coeficientes y el e la matriz ampliaa coincie con el número e incógnitas que es 3. El número que nos pien es 954. b) x +2y +z =23 2x y z =9 3x +y =25 g g Como (2) a) rga =2!rgA & =3e f (x) = 2$lnx x 1 x$lnx g(x) =2lnx 1 2 ln(x +3)eg (x) = 2 x 1 2(x+3) El sistema es incompatible, no tiene solución. h (x) = 1 2 e 3x 5+lnx 3x+5 $ 3e 3x 1 x$(3x+5) 3(5+lnx) (3x+5) 2 b) f(x) = 1 x 2 x 6, x2 x 6 =0ex=3,x = 2eDomf =R 2,3 f (x) = ( 1)$ (2x 1) (x 2 x 6) 2 = 1 2x (x 2 x 6) 2, f (x) =0=1 2xex= 1 2 Estuiamos el signo e la erivaa en ( 2),( 2, 1) 2,( 1 2,3)y(3, ). f(x) es creciente en (, 1) 2 2, f(x) es ecreciente en ( 1 2, ) 3. Por lo tanto el punto e abscisa x = 0 5 es un máximo relativo.

16 (3) a) P(A) = $ $ $ =0 05 b) P(B) =4$ $ $ $ =0 24 c) P(C) =1 P(A) P(B) = =0 71 Opción B (1) A. e 40 plazas A. e 50 plazas número x y nº e plazas 40x 50y nºe conuctores x y Coste 60x 80y Restricciones: x[8 y[10 x +y[9 40x +50ym400 x,ycn F. Objetivo a minimizar: C(x,y) =60x +80y

17 Observano la gráfica, poemos asegurar que el coste mínimo e 620 se consigue con 5 autobuses e 40 plazas y 4 autobuses e 50 plazas. b) Restricciones: x[8 y[10 x +y[14 F. Objetivo a minimizar: C(x,y) =60x +80y 40x +50ym400 x,ycn El coste mínimo se conseguiría en el punto (8, 8/5). En este caso las os variables han e ser números naturales, por lo tanto escartamos esta solución y observamos que la solución óptima se consigue en (x=5, y=4). No cambia respecto el apartao anterio r.

18 (2) a) f(x) = 3x3 3 2x x 3 = 3$ x3 x 3 3 2$3x x 3 = 3 3 2x ef(x) = 3 3 2$x 7 2 ef (x) = 7$ $x 9 2 También se puee erivar f(x) e la siguiente forma: f (x) = 9x 2 2 3x3 2 3 (2x)2 $ x 3 3x 3 3 2x $ x 3 3x 2 2 x3 g(x) =ln3 +2lnx ln(x 5)eg (x) = 2 x 1 x 5 h (x) =5e 5x + x 1 $ ( 2) 2 x+1 (x 1) 2 b) Estuiamos la continuia e f(x) en x = 2: f(2) =5 lim (x 2 +1) =5 x2 lim x+3 x2 + x 2 3 =5 g f(x) es continua en x = 5. f(x) = x+3 x 2 3, six>2ef (x) = x2 6x 3 (x 2 3) 2 f (x) =0ex 2 +6x +3 =0ex 1 = 3 6 yx 2 = Ambas soluciones son menores que 2. Por lo tanto el signo e la erivaa es el mismo en el (2, ) f (x) <0, x >2e (2, ) intervalo. En este caso f(x) es ecreciente en y no tiene extremos relativos (3) Población X = consumo,, Muestra elegia e tamaño n = 100, con x i =59, i =6 Como n = 100 > 30 ex=n( x =, x = =0 6) Como la confianza es1 =0 97eP(Z[Z 2 ) =0 985eZ 2 =2 17

19 Intervalo e confianza 0 97 para : x i!z 2 $ xe ( $0 6, $0 6) Opción A Septiembre 2010 (1) X$A =BgX=B$A 1 Calculamos la inversa e A: f Por lo que X = $ = (2) Calculamos la inversa e la matriz B: B I I B 1 X$B =A +BgX=(A +B)$B 1

20 X = $ = (3) a) f(x) =3lnx 1 2 $ln (x 2 +2)ef (x) = 3 x x x 2 +2 g (x) = 1 2 x x+ x $ x h (x) =e x2 +1 $ x x 2 +1 b) Domf =R 0 f (x) = 2 x +2x = 2+2x4 3 x, f (x) =0e2x 4 2 =0ex=!1 3 Estuiamos el signo e la erivaa: f (x) < 0 en los intervalos (, 1)y(0,1). f (x) > 0 en los intervalos ( 1,0)y(1, ). Esto significa que la función f(x) es ecreciente en los intervalos (, 1)y(0,1) y es creciente en los intervalos ( 1,0)y(1, ). Los puntos e abscisa +1 y -1 son mínimos relativos. Para estuiar la concavia ebemos eterminar la erivaa seguna: f (x) = 6 x 4 +2 = 6+2x4 x 4, f (x)!0yf (x) >0 xcdomf. Esto significa que la función f(x) es cóncava hacia arriba en su ominio y no posee puntos e inflexión. (4) IN = la persona elegia estuia inglés, F = la persona elegia estuia francés F No estuia francés IN No estuia inglés (a) P(IN4F) = (b) P(FxIN) = 12 40

21 (c) P(NoIN) = Opción B (1) A B número x y Oro (gramos) x 1 5y Plata (gramos) 1 5x y Beneficio ( ) 40x 50y Maximizaremos es beneficio, B(x,y) = 40x + 50y, sujeto a las siguientes restricciones: x +1 5y[ x +y[750 x,ycn El beneficio máximo se consigue con 300 joyas e caa clase.

22 (2) A$ X + C. La matriz X que buscamos ha e ser e oren 1 x 2. 2x1 1x2 2x2 B = 2x2 1 2 $ x y = g x y 2x 2y = gx=1, y =2eX= 1 2 (2) a) f (x) =ln(x + x) + x x+ x $ x g (x) =e x3 $3x 2 $ln(x 2 +1) +e x3 $ 2x x 2 +1 h (x) = e x + 1 x 1 x $ e x + x 2 x 1 $ 1 x 2 b) b1) f(3) = 4 =2 lim x +1 =2 x3 lim 2x x3 + x 2 6 =2 g f(x) es continua en x = 3. b2) En x = 4, f(4) = 0 8. El punto e tangencia es (4, 0 8). f (x) = 2x2 12 (x 2 6) 2 si xc(3,10) La peniente e la recta tangente es: f (4) = = 0 44 La ecuación e la recta tangente es: y 0 8 = ( 0 44)$(x 4). (4) Población X = temperatura = N(, = 5) Muestras e tamaño n: Como X es normal ex=n( x =, x = 5 n ) Como la confianza es1 =0 97eP(Z[Z 2 ) =0 985eZ 2 =2 17

23 Intervalo e confianza 0 98 para =(25,30)ex i = =27 5 Error máximo = = 5 n e n =2en=4.