TITULO. Estudio analítico para hallar un modelo matemático que optimiza un perfil de ojiva balístico (región subsónica, sónica y supersónica)

Transcripción

1 TITULO Estuio analítico para hallar un moelo matemático que optimiza un perfil e ojiva balístico (región subsónica, sónica supersónica) Por Alfreo R Garasini RESUMEN Partieno e una función e isipación tipo Frantl, con el auilio el cálculo variacional se obtiene una epresión que aos el raio (calibre) la longitu e la ojiva, se permite eterminar la curva (perfil e ojiva) que hace mínima la resistencia el aire al avance el proectil

2 NOMENCLATURA ρ : ensia el aire C (W ) : coeficiente e arrastre : velocia en el eje : velocia en el eje s : elemento el área anular F: fuerza resistente el aire ξ : función subintegral t: variable tiempo r: raio e la ojiva h: longitu e la ojiva Página e 5

3 INTRODUCCION Hipótesis a emplear - Amitimos que la ojiva es un paraboloie e revolución - Empleamos una función e isipación tipo Frantl 3- La ensia el aire es constante 4- El coeficiente e arrastre (rag) es constante 5- La fuerza e isipación o resistencia el aire es una funcional A continuación el ibujo muestra un paraboloie elemental, esto es: Entonces la función e isipación que obra sobre la superficie elemental s, es: () F ρ C( W ) S Done: S π Por consecuencia tenemos que: F ρc( W ) π Página 3 e 5

4 O bien (3) F π ρc( w) En virtu e las hipótesis (3) (4) resulta así mismo: (4) F ρπ C( w) Como γγ t (la componente e la velocia sobre el eje γ ) la integral (4) se convierte en otra equivalente tal que: t F ρπc (5) ( w) t t Fijamos los límites e integración por ejemplo t (luego serán O t) t Ahora bien, por la estructura e la función integral, estaríamos en presencia e un problema e etremos, por lo tanto formulamos la hipótesis e que la fuerza F e la resistencia el aire es una funcional, esto significa: O δf ρπc (6) ( w) δ t t t Es ecir intentamos hallar una función que haga máima o mínima al valor F (en este caso es mínimo, pues como se avierte se cumple la conición e Legenre) Página 4 e 5

5 DESARROLLO Una vez establecios estas bases poemos aplicar las ecuaciones e Euler-Lagrange, resulta el siguiente sistema e ecuaciones iferenciales: (8) (7) t t ζ ζ ζ Sieno (9): ζ Operamos: () () t t () o a a Llevamos a ésta última a la epresión () : (3) a a t Página 5 e 5

6 Quea: t Hacemos: (el simple artificio) t Llamamos: ϕ, que resulte la ecuación iferencial orinaria: t t ϕ ϕ Eliminamos el tiempo; separamos las variables: ϕ ϕ ϕ ϕ Tenremos: b ϕ O bien: b O bien: b Página 6 e 5

7 Etraemos la raíz cuaraa: (4) b Separaremos variables e integramos nuevamente, por la naturaleza el problema los límites e integración porán ser: t t b e ahí que: (5) t b Por otra parte tenieno en cuenta la () en virtu e la (4) resulta: (6) a b O bien: ab c Evientemente: (7) ct Ahora resta por eliminar el tiempo entre las relaciones (5) (7) esto es: b c Página 7 e 5

8 Por último: bc Despejamos : bc Llamamos: (8) κ bc Obtenemos: (9) k Si aplicamos las coniciones e contorno para un proectil, el valor e la constante κ r puee ser: κ h Por lo que resulta efinitivamente: r () h Página 8 e 5

9 BREVE COMENTARIO Cabe señalar que la constante κ (relación 8) contiene la velocia c que ahora actúa como parámetro, notemos entonces que la misma figura en el enominaor, lo cual nos informa que en cuanto maor es icha velocia, menor ebe ser la orenaa, o sea: cuanto maor es la velocia, más aguzaa ebe ser la ojiva e un proectil BIBLIOGRAFIA CONSULTADA - Ecuaciones iferenciales Cálculo Variacional Autor: L Elsgoltz - Cálculo Infinitesimal (cálculo e etremales) Autor: J Re Pastor 3- Tratao e Balística Autor: Dr L Hanert 4- Tabla e Coeficientes e arrastre Autor: Pranntl Página 9 e 5

10 TABLA DE VALORES CORRESPONDIENTE AL MODELO MATEMÁTICO (FfLA) ( perfil e ojiva) X Y Página e 5

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15 NOTA Es importante comentar que este trabajo contiene una seguna parte que se va a publicar (sin cargo también) oportunamente Este consiste en una curiosa relación matemática que puee ser e capital significación para la fabricación e municiones, pues la misma relaciona el Factor e Estabilización e un proectil con el calibre, la longitu el cuerpo la altura e la ojiva Esta epresión ha sio verificaa para 7 proectiles e istintos calibres Página 5 e 5