Explicación de la velocidad de rotación en galaxias espirales Interpretación Lagragiana (Yul Goncalves,

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Josefina Trinidad Paz Martín
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1 Explicación e la velocia e rotación en galaxias espirales Interpretación Lagragiana (Yul Goncalves, yulalebran9@gmail.com) A continuación se presenta una emostración e la velocia e rotación en galaxias espirales, que puee coinciir en la forma observaa en contraste con la interpretación Kepleriana. Para tal emostración se utiliza la ecuación e Euler-Lagrange o el Lagragiano, aplicaa a una órbita e un objeto puntual e masa m que se moverá alreeor el centro galáctico e masa M separao una istancia inámica r. Veamos la siguiente fig. e la galaxia: Análisis el Lagragiano: Fig. ) El Lagragiano el objeto m viene ao por (sin usar relativia): L = Ec Ep = Energía cinética Energía Potencial ec. L = mv + GM r mr Sieno el cuarao e la velocia e rotación: v = r + r θ Entonces el Lagragiano es: ec. ec. 3

2 L = m(r + r θ ) + GM r m ec. 4 ) Aplicano la ecuación e Euler-Lagrange respecto al ángulo e rotación, tenemos: Observamos que: L θ = 0 t ( L ) L θ θ = 0 ec. 5 L = mr θ θ Luego sustituyeno en la ec.5: t (mr θ ) L θ = 0 => t (mr θ ) 0 = 0 => t (mr θ ) = 0 Por lo tanto la cantia entro el paréntesis ebe ser una constante: De allí que poemos hacer: mr θ = l = constante θ = l mr ec. 6 3) Aplicano la ecuación e Euler-Lagrange respecto al raio e rotación, tenemos: Observamos que: L r = mrθ GMm r t ( L ) L r r = 0 ec. 7 L = mr => r t ( L ) = mr r Luego sustituyeno en la ec.7: mr mrθ + GMm r = 0

3 r rθ + GM = 0 ec. 8 r Ahora si sustituimos la ec.6 en la ec.8, entonces: r r l m r 4 + GM r = 0 r l m r 3 + GM = 0 ec. 9 r Si multiplicamos toa la ecuación ec.9 por r, tenremos: Se puee interpretar que: r r l GM m r + r = 0 ec. 0 r3 r (r t ) + t ( l m r ) t (GM r ) = 0 Sacano el operaor erivaa: (r t + l m r GM r ) = 0 Concluimos que entro el paréntesis ebe ser una constante, esa constante es una velocia al cuarao, que la representaremos como vc : Al espejar r : r + l m r GM r = vc r = (vc + GM r ) l m r ec. Al sustituir la ec. y la ec.6 en la ec.3, resulta: Recorano que: v = r + r θ ec. 3

4 v = vc + GM r Por la tanto quea emostrao que la velocia e rotación orbital, tiene a una velocia istinta e cero y viene aa por: v(r) = (vc + GM r ) ec. 4) Interpretación e la velocia e rotación orbital aa por la ec.. Para ello veamos la fig. e la galaxia, y observemos la siguiente gráfica fig.: Fig. a) En el rango e raio rε[0, a], para reconstruir la gráfica e la fig. y vieno la fig., entro el volumen Vol, como normalmente se hace, poemos aproximarnos a una ensia constante D, entro el raio a : D = M (4π/3)r 3 => M(r) = D. (4π 3 ) r3 con rε[0, a] Usano la misma ec. entro el raio a, y sustituyeno la M(r) anterior,

5 v(r) = (vc + GM(r) r ) => v(r) = (vc + G. D. ( 4π 3 ) r ) Al ver la gráfica fig., notamos que en el raio 0 la velocia v(0)=0, entonces: v(r = 0) = (vc + G. D. ( 4π 3 ). 0 ) = 0 Por lo tanto: v(0) = 0 = (vc + 0) => vc = 0 Vemos también que en el raio a, la velocia es v a entonces: v(r = a) = v a = (G. D. ( 4π 3 ). (v a ) a ) => G. D = ( 4π 3 ). a Por lo tanto eucimos que entro el raio a : En efinitiva en el rango e raio rε[0, a]: (v a ) v(r) = (. ( 4π. ( 4π 3 ). 3 ). r ) a v(r) = v a ( r a ) ec. 3 b) En el rango e raio rε[a, ], poemos ecir que la ensia ecrece y es inversamente proporcional al cubo el raio, ya que la masa M permanece constante. Igualmente observano la fig. y la gráfica fig., junto a la ec.. Notamos que el factor fε[0,] lo poemos fijar como una fracción e la velocia pico o v a, así se tenrá una velocia f. v a que se alcanzará a un raio n -veces a o r = n. a, con too ello presente, ahora poemos ecir que: v(r) = (vc + GM r ) ec.

6 v(r = a) = v a = (vc + GM a ) => vc = (v a GM a ) ec. 4 Al sustituir la constante vc en la ec., tenremos: v(r) = (v a + GM ( r a )) ec. 5 Ahora si tomamos el punto one el raio es r = n. a y la velocia es f. v a y sustituyénola en la ec.5, y espejano G.M, notamos que: GM = n. a. ( f ) n v a ec. 6

7 5) Interpretación kleperiana ec.8, la cual sabemos que parte e pensar que la velocia e rotación en rε[a, ], es: v(r) = (GM ( )) r para ella GM = a. va ec. 7 entonces: v(r) = v a ( a r ) ec. 8 Interpretación Kleperiana 6) Resumen comparativo e las ecuaciones eucias: La interpretación Lagragiana y kepleriana coincien en el rango rε[0, a] v(r) = v a ( r a ) ec. 3 Interpretación Lagragiana en el rango rε[a, ]: v(r) = (vc + GM r ) ec. vc = (v a GM a ) v(r) = (v a + GM ( r a )) ec. 4 ec. 5 GM = n. a. ( f ) n v a ec. 6 Sieno v(r = n. a) = f. v a Interpretación Kleperiana en el rango rε[a, ]: GM = a. v a v(r) = v a ( a r ) ec. 7 ec. 8

7) Uso e Excel para graficar, usano el resumen comparativo e las ecuaciones eucias, usano valores imaginarios o genéricos (se colocó apropósito una pequeña iferencia en los valores e la velocia

8 7) Uso e Excel para graficar, usano el resumen comparativo e las ecuaciones eucias, usano valores imaginarios o genéricos (se colocó apropósito una pequeña iferencia en los valores e la velocia Kepleriana, entro el raio rε[0, a] para aprecias los colores, pero sabemos que eberían ser iguales, ec.3): 8) Algunas gráficas tomaas e Internet con curvas reales e rotación e galaxias y comparaas con una interpretación teórica Kepleriana: 8) Como observamos la interpretación Kleperiana hace ecar a cero (0) la velocia a meia que el raio r aumenta. Mientras que la interpretación Lagragiana, previamente eucia, tiene a una asíntota horizontal e velocia istinta e cero. Esta interpretación Lagragiana es compatible con la observación real e las galaxias, por tal motivo, hay una coinciencia y en un primer momento vuelven a encontrase la teoría con la realia. 9) El factor fε[0,] genera una familia e curvas que van ese las que caen más abruptamente que la klepleriana, pasano por la klepleriana si f=0.5 hasta muy planas si f=0.99, por ello vemos muchas curvas en las galaxias.

9 0) Poemos observar que el factor fε[0,], también nos ice que al tener a cero(0) la masa e la galaxia M es más alta y la curva e rotación tiene más ecaimiento, mientras que si el factor tiene a uno(), la masa M es más baja y la curva e rotación es muy plana. Si vamos más allá, y colocamos el factor f por encima e uno() la masa M a negativa, y la curva tiene a subir, por encima e v a, es como si existiera un tipo e materia istinta a la que bariónica, tal vez materia oscura, pero con energía negativa. La ecuación no se ve restringia con el valor negativo e M, e encontrarse curvas así, la interpretación Lagragiana expuesta aquí, también coincie con ello, lo preice. Factor f=0.6 Factor f=0,95 Factor f=, Pic6f4550_yul

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