Fundamentos de la mecánica cuántica

Transcripción

1 Funamentos e la mecánica cuántica Antonio M. Márquez Departamento e Química Física Universia e Sevilla Curso Problema 1 Las líneas observaas en el espectro e emisión el irógeno atómico vienen aas por ( 1 ν (cm 1 ) = R H (cm 1 ) 1 ), n 2 n > n 1 En la notación preferia por los espectroscopistas ν = 1/λ = E/c y R H = cm 1. Las series e Lyman, Balmer y Pascen se corresponen con n 1 = 1,2 y 3, respectivamente, para emisión ese irógeno atómico. Cuál es el valor más alto e ν y E en caa una e las series? n 2 1 En caa una e las series n = n 1 + 1,n 1 + 2,..., es ecir, el electrón es excitao progresivamente a niveles energéticos caa vez más altos asta que se prouce la ionización el átomo lo que correspone a n =. En valor máximo e ν será entonces ν max = R H 1 n 2 1 El valor corresponiente e la energía se obtiene como E = c/λ = c ν. Los valores peios para caa serie serán n 1 ν (cm 1 ) E (J) 1 R H = R H /4 = R H /9 = Problema 2 Cuál es el número máximo e electrones que puee emitirse si una superficie e potasio con función trabajo 2.4 ev absorbe J e raiación e una longitu e ona e 325 nm? Cuál es la energía cinética y la velocia e los electrones emitios? En el efecto fotoeléctrico por caa fotón inciente en la superficie el metal se emite un electrón, siempre que la energía el fotón (ν) supere la función trabajo el metal (W ). El exceso e energía sobre ica función trabajo será la energía cinética (T ) e los electrones emitios ν = W + T 1

2 Lo primero que tenemos que acer es comprobar que la energía e los fotones incientes supera la función trabajo el metal, para que aya emisión e electrones sieno la función trabajo el metal E = ν = c λ = J W = 2.4 ev = J la energía e los fotones es superior a la función trabajo y abrá emisión e electrones con una energía cinética T = E W = ( ) 1 19 = J que correspone a una velocia para los electrones emitios e T = 1 2T 2 m ev 2 v = = m/s m e Quea por calcular el número e electrones emitios. Conocieno la energía e caa fotón, si el metal absorbe J e energía el número e fotones absorbios y, por tanto, el número e electrones emitios será el cociente entre ambas cantiaes n = = Problema 3 Para un gas, una meia e la velocia promeio e los átomos es la raiz e la velocia cuarática meia, 3kT v rms = v 2 1/2 = m en la que m es la masa atómica y k es la constante e Bolztman. Use esta fórmula para calcular la longitu e ona e e Broglie para H 2 y Ar a 2 K y 9 K. Poemos combinar la relación e e Broglie y la expresión e la velocia meia para obtener λ = p = m 3kT /m = = N A = N A 3RT M 3R 3kT m = 1 T M 3 R NA T M NA = one M es la masa molar (kg/mol). Con esta expresión, sustituyeno la masa y temperatura e caa caso, tenemos M (kg/mol) T (K) λ (m) λ (nm) H Ar Problema 4 Si un electrón pasa a través e una iferencia e potencial e 1 V, aquiere una energía e 1 ev (un electrónvoltio). A través e qué iferencia e potencial ebe pasar para tener una longitu e ona e.3 nm? 2

3 Poemos combinar la relación e e Broglie con la expresión e la energía cinética e la partícula para obtener p = λ T = y 2 2mλ 2 T = p2 2m one m es la masa el electrón y T la energía cinética el electrón con longitu e ona e e Broglie igual a λ. Sustituyeno valores T = ( ) ( ) 2 = J = ev luego, aa la efinición e electronvoltio, el electrón ebera atravesar una iferencia e potencial e V. Problema 5 Qué velocia tiene una molécula e F 2 si tiene el mismo momento que un fotón e longitu e ona 225 nm? La relación e e Broglie λ = p o p = λ permite relacionar momento lineal (p) y longitu e ona (λ) el fotón. Si la molécula e F 2 tiene el mismo momento lineal que el fotón su velocia será v = p m = one λ es la longitu e ona el fotón y m la masa e la molécula e F 2. Sustituyeno valores J s v = ( ) =.467 m/s kg N A m λm Problema 6 La istribución e longitues e ona e luz emitia por un cuerpo negro raiante es una función que epene e la temperatura. Esta epenencia se usa para meir la temperatura e objetos calientes sin establecer contacto físico con ellos en una técnica llamaa pirometría óptica. En el límite (c/λk B T ) 1 el máximo en una representación e ρ(λ,t ) frente a λ viene ao por λ max = c/5k B T. A qué longitu e ona aparece el máximo en ρ(λ,t ) para T = 675 K, 115 K, y 62 K? Simplemente nos están piieno el máximo e un función, ρ(λ,t ) para lo que nos an ya una expresión: λ max = c/5k B T. Sustituyeno los valores e temperatura inicaa, tenemos T / K λ max / m λ max / nm

4 Problema 7 En un experimento e efecto fotoeléctrico con K se obtuvieron los siguientes resultaos 1 19 Energía cinética / J Longitu e ona / nm Meiante la representación gráfica aecuaa obtenga los valores e la función trabajo y la constante e Planck. La ley el efecto fotoeléctrico puee escribirse como T = ν ν = ν W = c λ W one λ es la longitu e ona e los fotones incientes, W es la función trabajo y emos usao que ν (la frecuencia e los fotones) es igual a c/λ. El problema nos inica que ebemos obtener tanto W como (la cte. e Planck) e la gráfica que agamos, es ecir, que suponemos que no conocemos. La ecuación anterior puee ponerse como ( ) 1 T = c W λ que es la ec. e una recta e peniente c y orenaa en el origen W. Representano los atos que nos an, tenemos la gráfica e la ereca, e la que obtenemos c = W = Energía ( 1 19 J) atos ajuste excluyeno en el ajuste el ato para λ = λ 2 nm que evientemente está fuera e la 1 ( 1 3 nm 1 ) correlación. Correcto? No. Faltan las uniaes y las potencias e 1 por las que van multiplicaos los atos e la tabla. Si tenemos en cuenta icos factores W = J c = = = = J s que es una buena aproximación al valor e la constante e Planck. Problema 8 La función trabajo el palaio es 5.22 ev Cuál es la frecuencia mínima e raiación que se requiere para observar el efecto fotoeléctrico en P? Si se irraia con luz e longitu e ona 2 nm, cuál es la velocia e los electrones emitios? 4

5 a) b) ν = 5.22 ev = J = s 1 T = c λ W = J = 1 2 mv2 La solución anterior es, claramente, incompleta. No ay planteamiento, no se explica el razonamiento que lleva a resolver el problema e la manera que se ace (aunque puee ser correcta). El seguno apartao, aemás, está incompleto, ya que no se obtiene el valor e v. correcta: a) La ley el efecto fotoeléctrico T = ν ν = ν W one T es la energía cinética e los electrones emitios y W la función trabajo el metal, permite obtener la frecuencia mínima e la raiación requeria como aquella que conuce a la emisión e electrones sin energía cinética (T = ). De aí obtenemos: = ν W ν = 5.22 ev = J = s 1 b) De nuevo poemos utilizar la ley el efecto fotoeléctrico para obtener la energía cinética e los electrones. Tenieno en cuenta que el exceso e energía el fotón inciente sobre la función trabajo el metal será la energía cinética e los electrones emitios, tenemos T = c λ W = 1 2 mv2 one emos igualao ica enería cinética con mv 2 /2 y emos expresao la frecuencia e la raiación inciente en términos e su longitu e ona, λ. Despejano: ( ) 2 c v = m λ W = ( ) 2 c = = m/s m e one emos utilizao m = m e (masa el electrón). Problema 9 Se tienen tres funciones, sin(x), sin(2x) y cos(2x). Demuestre que a) son funciones propias el operaor /x 2. b) Las funciones sin(2x) y cos(2x) están egeneraas (tienen el mismo valor propio). c) La función 4sin(2x) + icos(2x) es función propia el operaor /x 2 con el mismo valor propio que sin(2x) y cos(2x). ) Las tres funciones son ortogonales entre sí en el intervalo x 2π. 5

6 a) Necesitamos emostrar que, para caa caa una e las funciones inicaas, f(x), se cumple f (x) = a f (x) x2 one a ebe ser un escalar - una constante no epeniente e x. Para la función sin(x) tenemos luego es función propia con valor propio -1. Para la función sin(2x) tenemos luego es función propia con valor propio -4. Y para la función cos(2x) tenemos x 2 sin(x) = cos(x) = sin(x) x x 2 sin(2x) = cos(2x) = 4 sin(2x) x x 2 cos(2x) = sin(2x) = 4 cos(2x) x luego es función propia con valor propio -4. b) Las funciones sin(2x) y cos(2x) están egeneraas porque tienen el mismo valor propio (-4). c) Debemos comprobar si la función 4sin(2x)+icos(2x) es función propia el operaor, es ecir, si cumple la relación x2 (4sin(2x) + icos(2x)) = a (4sin(2x) + icos(2x)) x2 sieno a un escalar. Aemás ico escalar ebe ser 4 ya que es el valor propio que emos encontrao para sin(2x) y para cos(2x). x 2 (4sin(2x) + icos(2x)) = (8cos(2x) 2isin(2x)) = x = 16sin(2x) 4icos(2x) = = 4 (4sin(2x) + icos(2x)) luego es función propia el operaor con el mismo valor propio (-4). ) Tenemos que comprobar que, para cualesquiera os funciones, f (x) y g(x) e las tres inicaas, se cumple que f (x) g(x)x = que es la conición e ortogonalia peia. Comenzamos con sin(x) y sin(2x): sin(x) sin(2x)x = one emos usao sin(2x) = 2 sin(x) cos(x). 2sin 2 (x)cos(x)x = 2 3 sin3 (x) 2π = 6

7 Comprobamos para sin(x) y cos(2x) sin(x) cos(2x)x = = = cos(x) sin(x) ( 1 2cos 2 (x) ) x = sin(x)x 2 Y finalmente para sin(2x) y cos(2x) sin(2x)cos(2x)x = 1 2 sin2 (2x) 2π cos 2 (x)sin(x)x = + 2 2π 3 cos3 (x) = luego emos comprobao que, en toos los casos, la integral es cero, por lo que las tres funciones son ortogonales entre sí en el intervalo x 2π. Problema 1 Determine en caa caso si la función e la primera columna es función propia el operaor e la seguna columna. En caa caso, iga cuál es el valor propio. 2π = Función ( f ) Operaor (Ô) a) 3cos 2 1 θ 1 sinθ θ (sinθ θ ) b) e (x2 /2) x 2 x2 c) e 4iφ φ 2 ) sinθ cosφ φ e) e (x2 /2) 1 f) sin θ x x sinθ cosθ θ a) Tenemos que simplificar el operaor 1 sinθ θ (sinθ θ ) = cosθ sinθ y necesitamos las os primeras erivaas e la función Con esto θ + 2 θ 2 θ 3cos2 θ 1 = 6cosθ sinθ θ 2 3cos2 θ 1 = θ ( 6cosθ sinθ) = 6[sin2 θ cos 2 θ] Ô f = cosθ sinθ [ 6cosθ sinθ] + 6[sin2 θ cos 2 θ] = = 6cos 2 θ + 6sin 2 θ 6cos 2 θ = 6sin 2 θ 12cos 2 θ = 6(1 cos 2 θ) 12cos 2 θ = 6 18cos 2 θ = 6 ( 3cos 2 θ 1 ) = 6 f 7

8 luego es función propia con valor propio 6. b) Necesitamos la erivaa seguna e la función con esto x e x2 /2 = xe x2 /2 x 2 e x2 /2 = e x2 /2 + x 2 e x2 /2 = (x 2 1)e x2 /2 ( ) 2 Ô f = x 2 x2 e x2 /2 = e x2 /2 = 1 f luego es función propia con valor propio 1. c) Tenemos que erivar la función luego φ e 4iφ = 4ie 4iφ φ 2 e 4iφ = 4i φ e 4iφ = 16e 4iφ Ô f = 16 f es función propia con valor propio 16. ) Esta es fácil sinθ cosφ = sinθ sinφ φ luego en este caso Ô f a f no es función propia. e) Hacieno actuar el operaor sobre la función con lo que 1 x /2 x e x2 = 1 x /2 xe x2 = e x2 /2 Ô f = 1 f luego es función propia con valor propio 1. f) Hacieno actuar al operaor sobre la función es ecir, sinθ sinθ sinθ = cosθ = sinθ cosθ θ cosθ Ô f = f luego es función propia, con valor propio 1. Problema 11 Encuentre el resultao e operar con 2 x 2 2x2 sobre la función e ax2. Cuál ebe ser el valor e a para que la función sea función propia el operaor? Cuá es el valor propio? 8

9 Necesitamos la erivaa seguna e la función con esto x e ax2 = 2axe ax2 = 2ax f (x) x 2 e ax2 = 2a[e ax2 2ax 2 e ax2 ] = 2a[2ax 2 1] f (x) Ô f (x) = 2a[2ax 2 1] f (x) 2x 2 f (x) = [ 4a 2 x 2 2a 2x 2] f (x) para que f (x) sea función propia e Ô tienen que anularse los términos en x que van elante e la función, luego 4a 2 x 2 2x 2 = y a = ± 1 2 con esto Ô f (x) = 2a f (x) = ± 2 f (x) Problema 12 Si os operaores actúan sobre una función como en  ˆB f (x) es importante llevar a cabo las operaciones e forma que primero actue el operaor ˆB sobre la función y luego el operaor  sobre la función resultante,  ˆB f (x) =  ( ˆB f (x) ). Evalue las operaciones e la siguiente tabla.  ˆB f (x,y) a) b) c) x 2 y 2 x x x 2 y 2 x 2 + e ax2 cos(3y)sin 2 x cosy sinx Basta con acer las erivaas inicaas. En este caso toos los operaores conmutan y el resultao es el mismo si se aplica primero el operaor  o si se aplica primero el operaor ˆB. Problema 13 Normalice el conjunto e funciones φ n (θ) = e inθ, θ 2π. Para ello necesita multiplicar las funciones por una constante N e tal moo que la integral N N φn (θ)φ n (θ)θ = 1 9

10 Poemos esarrollar la exponencial compleja como y su complejo conjugao será φ n (θ) = e inθ = cos(nθ) + isin(nθ) φ n (θ) = e inθ = cos(nθ) isin(nθ) Por tanto la integral inicaa queará, para m = n, como N N φn (θ)φ n (θ)θ = N N (cos(nθ) isin(nθ))(cos(nθ) + isin(nθ)) θ = = N N ( cos 2 (nθ) + sin 2 (nθ) ) θ = N N θ = 1 e one se euce fácilmente que N = 1 2π y φ n (θ) = 1 2π e inθ. Problema 14 Cuáles e las siguientes funciones son funciones propias el operaor funciones propias, cuál es el valor propio? a) a ( e 3x + e 3ix), b) sin 2πx a, c) e 2ix, ) cos ax π, e) e ix2.? Si son x2 Ver soluciones el problema 1 sobre cómo resolver este problema. 1