IV.- CONDICIÓN DE CONTORNO DE CONVECCIÓN EN SÓLIDOS INFINITOS

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1 IV.- CONDICIÓN DE CONTONO DE CONVECCIÓN EN SÓLIDOS INFINITOS IV.1.- INTODUCCIÓN En la mayor parte e los problemas e tipo térmico que se plantean a nivel técnico intervienen variaciones e la temperatura con respecto al tiempo; a continuación consieraremos las técnicas que permitan obtener, en los sistemas en los que aparezcan coniciones no estacionarias, tanto las istribuciones e temperatura, como las transferencias e calor. Un proceso e transferencia térmica es transitorio siempre que la temperatura corresponiente al interior el sistema varíe a lo largo el tiempo; existen muchos ejemplos prácticos en los que intervienen fenómenos e transferencia e calor transitorios, como, los procesos e fabricación en los que el proucto que se está manufacturano se tiene que calentar o enfriar para transformarlo en un proucto aecuao para ser utilizable, o los hornos inustriales que se encienen y apagan e moo cíclico y perióico, en los que se realizan procesos que originan variaciones e temperaturas, tanto en su interior como en sus parees; los aceros y algunas aleaciones, suelen calentarse y enfriarse para moificar sus propieaes físicas e interés inustrial, meiante tratamientos térmicos; los motores térmicos funcionan en régimen transitorio tanto urante el arranque, como en otros momentos, relativamente cortos, etc. Si las variaciones e la temperatura en el sólio a estuiar se consiguen poniénole en contacto con un meio exterior (líquio o gas), se origina un fenómeno e convección; según sea el valor el coeficiente e convección el fluio y la conuctivia térmica el sólio, se pueen ar los tres casos siguientes: a) Conición e contorno e convección.- Este caso general se obtiene cuano las resistencias a la conucción en el sólio y a la convección tienen magnitues comparables, ano un nº e Bi el oren e la unia y Bi >,1; en esta situación el sólio va moificano paulatinamente su temperatura, al mismo tiempo que su superficie va tomano con más o menos rapiez la temperatura el fluio; el nº e Fo > 1. Conición e convección sólios infinitos.iv.-97

2 b) Conición e resistencia térmica interna espreciable.- Este caso particular se obtiene cuano la temperatura el sistema sujeto a una respuesta térmica transitoria es casi uniforme, por lo que se pueen ignorar las pequeñas iferencias e temperatura entro el mismo; las variaciones en la energía interna el sistema se pueen expresar en función e las variaciones e la temperatura uniforme, aproximación que se conoce también como moelo e la capacia térmica global. La suposición e que la temperatura es uniforme se justifica, puesto que la resistencia térmica a la conucción entro el sólio es pequeña comparaa con la resistencia exterior convectiva. Se cumple para un valor e Bi <,1 lo que garantiza el que la temperatura en el interior el sólio, (placa, cilinro, esfera), no iferirá e la e la superficie en más e un 5%, lo que equivale a suponer que el fluio ebe tener un bajo coeficiente e convección (gases), por lo que el sólio tiene a la temperatura el fluio en un tiempo relativamente grane, permanecieno uniforme en caa instante la temperatura el sólio, incluia su superficie. c) Conición e contorno isotérmica.- Esta conición e contorno particular, también conocia como e resistencia superficial espreciable, se consigue cuano el sólio (placa, cilinro, esfera), se sumerge rápiamente en un líquio para el cual el coeficiente e transferencia e calor por convección es muy elevao, es ecir, en coniciones en que la resistencia a la transferencia e calor por convección es espreciable; se cumple que la relación h C /k es muy grane, Bi >> 1, lo que inica que el fluio a T F tiene la faculta e eliminar o aplicar calor a la superficie el sólio en forma instantánea, por lo que ésta se ponrá a T F y permanecerá a esta temperatura en too el proceso. Si el sólio es un buen conuctor térmico, el fluio tiene que ser un líquio con un elevao coeficiente e convección, (fluio muy enérgico, como un metal líquio o sales funias). Los tiempos e permanencia son relativamente cortos para que en una estrecha zona periférica sea siempre Fo < 1. También se consigue una conición e contorno isotérmica, cuano el sólio a estuiar se pone en contacto con otro sólio a istinta temperatura, y se prouce un cambio instantáneo e su temperatura superficial e forma que aquiere la el seguno sólio. En el presente estuio vamos a obtener las soluciones analíticas e la expresión general e la ecuación e la conucción en régimen transitorio, en sistemas en los que se prouzcan variaciones e sus temperaturas, tanto espaciales como temporales, para algunas geometrías simples, que suelen encontrarse en eterminaas aplicaciones prácticas, como: - Una placa infinita e espesor L, para la cual T T(x,t) - Un cilinro macizo infinitamente largo e raio, para el que T T(r,t) - Una esfera maciza e raio, para la cual T T(r,t) Las coniciones e contorno para estas geometrías, comunes a las tres, son: a) La primera conición e contorno especifica que el plano meio e la placa equivale a un aislamiento o plano aiabático, al igual que el eje el cilinro o el centro e la esfera. b) La seguna conición e contorno ice que el calor se transfiere ese la superficie exterior el sólio a un fluio a la temperatura T F, con un coeficiente e transferencia e calor h C. Esta conición e contorno se expresa en la forma: h C (T pf - T F ) - k ( T x ) x sup Conición e convección sólios infinitos.iv.-98

3 La conición inicial en los tres casos es la misma; se puee partir e un sólio isotermo, temperatura T para t, o no, temperatura f(x) ó f(r) para t, y a partir e este instante se introuce el sólio en el fluio que se encuentra a una temperatura T F iniciánose el proceso transitorio e transferencia e calor. Las soluciones corresponientes a la istribución e temperaturas y a la transferencia térmica, suelen presentarse en forma analítica o en forma gráfica, vinieno expresaas las variables en forma aimensional. Los problemas e conucción en régimen transitorio en los que intervienen coniciones e contorno e convección, vienen regios por los números e Biot y Fourier; las temperaturas locales son función e la posición aimensional entro el sólio, el número e Biot y el número e Fourier. En un problema e convección, caa una e las gráficas que se obtienen, se compone e os familias e curvas; la primera representa la temperatura aimensional el centro, eje, o plano central, en la forma: Φ Centro Φ Φ C Φ T C- T F T - T F Para eterminar una temperatura local que se correspona con una posición istinta e la e simetría mencionaa, hay que utilizar la seguna familia e curvas propuestas, que representa la temperatura aimensional local en función e la temperatura e la línea, plano central, o centro, según el caso que, para placa infinita, cilinro, o esfera, es e la forma: Φ Φ C T - T F T C - T F Para eterminar el valor corresponiente a una temperatura local se puee utilizar el proucto e las os ecuaciones anteriores, obteniénose: Φ Φ T - T F T - T F Una vez conocia la istribución e temperaturas Φ, se calcula el calor transferio ese la superficie, utilizano la ecuación e Fourier evaluaa en la intercara {sólio-fluio}. Caa valor Q(t) e transferencia térmica, es la cantia total e calor que se transfiere ese la superficie hacia el fluio, en el intervalo ( t). El valor e Q es la energía inicial almacenaa que existe en el sólio en (t ) sieno T F la temperatura e referencia. La energía almacenaa en el sólio en el intervalo e tiempo ( t) es la iferencia: Q - Q(t) IV.2.- CONDUCCIÓN TANSITOIA EN PLACA INFINITA CON CONDICIÓN DE CON- TONO DE CONVECCIÓN Una situación general que tiene una gran importancia práctica es el enfriamiento o el calentamiento e una placa roeaa por un fluio convector a T F ; la placa se introuce instantáneamente en el fluio en coniciones en las que la resistencia a la transferencia e calor es muy pequeña, es ecir, Bi es grane; la superficie el sólio va tomano paulatinamente la temperatura el meio exterior, a meia que el efecto térmico se transmite al interior. Conición e convección sólios infinitos.iv.-99

4 Fig IV.1.- Interpretación geométrica e la conición e contorno e convección Si se consiera una placa infinita e espesor e 2 L, Fig IV.1, para la que en el tiempo t existe una istribución e temperaturas conocia, y en la que no existen efectos e bore, se aplica la ecuación iferencial: α 2 T x 2 T t, con: T T( x, t ) Hacieno el cambio e variable Φ T - T F, con T F, la ecuación iferencial quea en la forma: α 2 Φ x 2 Φ t Solución general Φ e -λ2 α t { B 1 sen( λ x ) + B 2 cos( λ x )} y las coniciones e contorno: 1) Para: t, -L x L ; Φ f(x) ó T 2) Para: t >, se cumple que en: x ; Φ x x x ± L ; - k ( Φ x ) x ±L h C Φ ; ( Φ x ) x ±L - h C k Φ a 1 Φ 3) Si el fluio a ambos laos e la placa es el mismo, resulta que h C también será el mismo entre ambas semiplacas, por lo que existirá una conición e simetría e temperaturas, e forma que: Φ -x Φ +x. La seguna e estas coniciones se puee interpretar geométricamente, ya que h C k Cte - a 1, y la iguala se cumple para cualquier valor e Φ, luego el punto P, en la Fig IV.1, es un punto fijo que una vez eterminao, permite calcular el graiente e temperatura en cualquier punto e la superficie e la placa. Esta construcción se aplicará posteriormente al cálculo gráfico e temperaturas para un sólio con convección en su superficie. Tenieno en cuenta la conición e contorno en x : ( Φ x ) x e-λ 2 α t λ {B 1 cos (λ x) - B 2 sen (λ x)} x B 1 Conición e convección sólios infinitos.iv.-1

5 la solución se reuce a: Φ B e -λ2 α t cos (λ x) La conición e contorno en x ± L permite obtener los valores e λ: ( Φ x ) x ±L - h C k Φ B e-λ 2 α t λ {- sen (λ x)} xl - h C k { B e-λ2 α t cos (λ x)} xl sen (λ L) h C λ L cos (λ L) ; cotg (λ L) k λ Bi cuya representación gráfica se presenta en la Fig IV.2. Dicha ecuación se satisface para un número infinito e valores el parámetro (λ L) por lo que para un valor e L ao, sus soluciones se encuentran para iversos valores e λ, como intersección e las curvas: y cotg (λ L) ; y λ L Bi Fig IV.2.- Soluciones gráficas e la conición e contorno e convección en placa infinita Existen n valores e (λ n L) que satisfacen la ecuación, Fig IV.2, por lo que la istribución e temperaturas es una serie e la forma: Φ B n e -λ n 2 α t cos(λ n x) en la que λ n es la raíz enésima e la ecuación: (λ n L) tg(λ n L) - Bi ; λ n L Bi cotg (λ n L) La conición inicial, Φ f(x), para (t ) es: f(x) B n cos (λ n L) a partir e la cual se calcula B n tenieno en cuenta la Teoría e funciones ortogonales: L L L f(x) cos (λ n x) x B 1 cos (λ 1 x) cos (λ n x) x B n cos 2 L (λ n x) x B n cos 2 (λ n x) x B n L f(x) cos (λ n x) x L cos 2 (λ n x) x L f(x) cos (λ n x) x L 2 + sen (λ n L) cos (λ n L) 2 λ n Conición e convección sólios infinitos.iv.-11

6 aices e la ecuación: tg (λ n L ) Bi λ n L Bi λ 1 L λ 2 L λ 3 L λ 4 L λ 5 L λ 6 L 3,1416 6,2832 9, , ,78,1,316 3,1419 6,2833 9, , ,78,2,447 3,1422 6,1835 9,425 12, ,781,4,632 3,1429 6,2838 9, , ,782,6,774 3,1435 6,2841 9, , ,783,8,893 3,1441 6,2845 9, ,567 15,785,1,998 3,1448 6,2848 9, , ,786,2,141 3,1479 6,2864 9, ,568 15,792,4,1987 3,1543 6,2895 9,429 12, ,715,6,2425 3,166 6,2927 9, , ,7118,8,2791 3,1668 6,2959 9, , ,7131,1,3111 3,1731 6,2991 9, , ,7143,2,4328 3,239 6,3148 9, , ,727,3,5218 3,2341 6,335 9, ,592 15,727,4,5932 3,2636 6,3461 9,467 12, ,7334,5,6533 3,2923 6,3616 9, ,66 15,7397,6,751 3,324 6,377 9, , ,746,7,756 3,3477 6,3923 9, , ,7524,8,791 3,3744 6,474 9,587 12, ,7587,9,8274 3,43 6,4224 9,519 12, ,765 1,863 3,4256 6,4373 9, , ,7713 1,5,9882 3,5422 6,597 9,581 12, , ,769 3,6436 6,5783 9, , , ,1925 3,888 6,74 9,724 12, , ,2646 3,9352 6,814 9, , , ,3138 4,336 6,996 9, , ,17 6 1,3496 4,1116 6,9924 9, , , ,3766 4,1746 7,64 1,339 13,584 16, ,3978 4,2264 7,1263 1,949 13, , ,4149 4,2694 7,186 1,152 13,166 16, ,4289 4,358 7,2281 1,23 13, , ,4729 4,4255 7,3959 1, ,478 16, ,4961 4,4915 7,4954 1, ,542 16, ,522 4,5615 7,657 1, ,785 16, ,5325 4,5979 7,6647 1, ,848 16, ,54 4,622 7,712 1, , , ,5451 4,6353 7,7259 1, ,994 17,26 8 1,5514 4,6543 7,7573 1,866 13, , ,5552 4,6658 7,7764 1, , ,193 1,578 4,7124 7,854 1, , La expresión e la istribución e temperaturas en la placa infinita, función e la posición y el tiempo, es: Φ 2 λ n e -λ n 2 α t cos (λ n x) λ n L + sen (λ n L) cos (λ n L) L f(x) cos (λ n x) x Para el caso particular en que la primera conición e contorno fuese e la forma: Φ f ( x ) Φ Cte la ecuación anterior se transforma en: Φ Φ T - T F 2 T - T F e -λ n 2 α t sen (λ n L) cos (λ n x) λ n L + sen (λ n L) cos (λ n L) que viene representa gráficamente (Heysler) en la Fig IV.3. Conición e convección sólios infinitos.iv.-12

7 La temperatura, Φ C T C - T F, en el plano e simetría, x, e la placa e espesor 2 L es: Φ C Φ T C T F T T F 2 e -λ n 2 α t sen (λ n L) λ n L + sen (λ n L) cos (λ n L) que viene representaa en las Fig IV.4a.b. El calor isipao por la placa en el intervalo ( t) es: Q 2 A t q t - 2 A k t ( Φ x ) xlt - 4 k A T t e -λ2 nα t sen 2 (λ n L) λ n λ n L + sen (λ n L) cos (λ n L) t 4 k A (T - T F ) α sen 2 (λ n L) λ n L + sen (λ n L) cos (λ n L) 1 - e-λ n λ n 2α t La expresión el flujo e calor aimensional Q/Q se conoce como fracción e energía peria, y es la péria real e energía en el tiempo t iviia entre la péria total necesaria para alcanzar la temperatura el meio ambiente. Péria total e calor necesaria para alcanzar la temperatura el meio ambiente: Q 2 L A ρ c p ( T - T F ) 2 L A k α Φ Q Q 2 sen 2 (λ n L) λ n L + sen (λ n L) cos (λ n L) 1 - e-λ n λ n L 2α t Consierano que el calor almacenao en la pare en el intervalo t t viene ao por: Q 2 L A ρ c p (T - T final ), sieno T final la temperatura meia final en la que: Φ Final Φ Φ Final L L Φ x Φ Final 1 L L Φ x T Final - T F 2 L e -λ n 2 α t sen (λ n L) cos (λ n x) T - T F L λ n L + sen (λ n L) cos (λ n L) x L 2 e -λ n 2 α t sen 2 (λ n L) λ n { λ n L + sen (λ n L) cos (λ n L)} Q Q t 2 A q t 2 L A ρ c p (T F - T ) 2 L A ρ c p (T - T Final ) 2 L A ρ c p (T -T F ) T - T Final ± T F T -T T 1 - F Final - T F T - T T 1-2 L e -λ n 2 α t sen 2 (λ n L) λ n { λ n L + sen (λ n L) cos (λ n L)} Hacieno uso e las gráficas e Heysler se eterminan la temperatura en el centro e la placa T C y la temperatura T(x,t) e cualquier punto, en el mismo instante y con el mismo número e Biot. Meiante la gráfica e Gröber, Fig IV.5, se puee hallar el flujo calorífico aimensional. Estas gráficas se pueen utilizar siempre que se mantenga la hipótesis e conucción monoimensional, y se esprecien los efectos e bore, para valores e Fo > 1. Conición e convección sólios infinitos.iv.-13

8 Fig IV.3.- Temperatura local aimensional en el caso e una placa infinita e espesor 2 L, en función e la temperatura el plano meio Fig IV.4a.- Temperatura aimensional el plano meio e una placa infinita e espesor 2 L Fig IV.4b.- Temperatura aimensional el plano meio e una placa infinita e espesor 2 L Conición e convección sólios infinitos.iv.-14

9 Fig IV.6.- Transferencia térmica aimensional ese la superficie e una placa infinita e espesor 2 L No se recomienan para valores e Fo < 1, utilizánose en este caso la conición e contorno isotérmica, que se esarrolla en el siguiente capítulo, y que matemáticamente es más simple. IV.3.- CONDUCCIÓN TANSITOIA EN UN CILINDO INFINITO CON CONDICIÓN DE CONTONO DE CONVECCIÓN Este problema se resuelve en forma similar al anterior. Si llamamos al raio exterior el cilinro que se calienta, (o enfría), y que inicialmente (t ) en el intervalo ( r ) tiene una istribución e temperaturas conocia, e la forma, Φ f(r) ó (T - T F ), la ecuación iferencial a resolver, en coorenaas cilínricas, es: 2 Φ r r Φ r 1 α Φ t, con: Φ T - T F Si representamos Φ en la forma, Φ (r) θ(t), resulta: Φ r r θ ; 2 Φ r 2 2 r 2 θ ; Φ θ t t α ( 2 r 2 θ + θ r r ) θ t ; 1 ( 2 r r r ) 1 α θ θ t - λ2 Las ecuaciones iferenciales orinarias resultantes y sus soluciones son: 2 r r r - λ2 Solución general B 1 J ( λ r ) + B 2 Y ( λ r ) θ θ - λ 2 α t Solución general θ B 3 e - λ2 α t Como el cilinro no puee amitir en su eje (r ) una solución infinita, por cuanto Y (), resulta que B 2 tiene que ser cero, y se obtiene una ecuación e la forma: B 1 J ( λ r ) La solución general que proporciona la istribución e temperaturas es: Φ B 3 e - λ2 α t B 1 J (λ r ) B e - λ2 α t J ( λ r ) en la que B y λ son constantes, que se eterminan meiante las coniciones e contorno y J (λ r) es la Conición e convección sólios infinitos.iv.-15

10 función e Bessel e primera especie y oren cero. La conición inicial es: t ; r ; Φ f(r) ó Φ La conición e contorno para un cambio e la temperatura en la superficie lateral el cilinro infinito a: Φ T - T F, es: t > ; Φ r B e -λ2 α t J (λ ) ; J (λ ) J (λ n ) por lo que: Φ B e -λ 2 α t J (λ r) que se tiene que cumplir para cualquier valor e t con las coniciones: Para: t ; r ; Φ f(r) ó Φ T Para: t ; Φ r r - h C k T Tenieno en cuenta la seguna conición e contorno y que: r J (λ r ) - λ J 1 (λ r) resulta: B e - λ2 α t {- λ J 1 (λ r )} r - h C { B e - k λ2 α t J (λ r )} r λ J (λ ) J 1 ( λ ) Bi ; J (λ ) J 1 ( λ ) λ Bi que se satisface para infinitos valores e λ como se observa en la solución gráfica que se muestra en la Fig IV.6, como intersección e las curvas: y J (λ n ) J 1 ( λ n ) ; y λ n Bi sieno los valores e λ n raíces e la ecuación: J ( λ n ) J 1 (λ n ) λ n, obteniénose una sucesión e valores Bi que conforman un esarrollo en serie para la istribución e temperaturas, e la forma: y Φ B n e -λ n 2 α t J (λ n r) La primera conición e contorno: {Φ f(r), t }, implica que: f (r ) B n J ( λ n r ) B 1 J ( λ 1 r ) + B 2 J (λ 2 r ) B n J (λ n r ) obteniénose a partir e ella el valor e B n tenieno en cuenta la Teoría e funciones ortogonales, en la forma: r f (r ) J (λ n r) r B 1 r J (λ 1 r) J (λ n r) r + B 2 r J (λ 2 r) J (λ n r) r B n r J 2 (λ n r) r +... Conición e convección sólios infinitos.iv.-16

11 Fig IV.6.- Solución gráfica e la seguna conición e contorno e un cilinro infinito aices e la ecuación: J ( λ n ) J 1 ( λ n ) λ n Bi Bi λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 λ 5 λ 6,, 3,8317 7,156 1, , ,476,1,1412 3,8343 7,17 1, , ,4712,2,1995 3,8369 7,184 1, , ,4718,4,2814 3,8421 7,213 1, , ,4731,6,3438 3,8473 7,241 1, , ,4743,8,296 3,8525 7,27 1, , ,4755,1,4417 3,8577 7,298 1, , ,4767,15,5376 3,876 7,369 1, , ,4797,2,617 3,8835 7,44 1, , ,4828,3,7465 3,991 7,582 1,229 13, ,4888,4,8516 3,9344 7,723 1, , ,4949,5,948 3,9594 7,864 1, , ,51,6 1,184 3,9841 7,14 1, , ,57,7 1,873 4,85 7,1143 1, , ,5131,8 1,149 4,325 7,1282 1, , ,5191,9 1,248 4,562 7,1421 1, ,391 16, ,2558 4,795 7,1558 1,271 13, ,5312 1,5 1,4569 4,192 7,2233 1, , , ,5994 4,291 7,2884 1, , , ,7887 4,4634 7,413 1, , , ,981 4,618 7,521 1, , , ,9898 4,7131 7,6177 1, , , ,49 4,833 7,739 1, , , ,937 4,8772 7,7797 1, ,88 16, ,1286 4,9384 7,8464 1, , , ,1566 4,9897 7,951 1, ,99 16, ,1795 5,332 7,9569 1, ,958 17, ,259 5,1773 8, , , ,28 2 2,288 5,2568 8, , , , ,3261 5,341 8, , , , ,3455 5,3846 8, ,581 14, , ,3572 5,4112 8,484 11, , , ,3651 5,4291 8, ,599 14, , ,375 5,4516 8, , , , ,389 5,4652 8, , , ,8931 2,448 5,521 8, , ,939 18,711 Conición e convección sólios infinitos.iv.-17

12 Por efinición e ortogonalia: r J (λ i r ) J ( λ j r ) r con i j, por lo que toas las integrales el seguno miembro, a excepción e la última, son cero, es ecir: B n r f (r ) J (λ n r ) r B n r f (r ) J ( λ n r ) r r J 2 (λ n r ) r r J 2 (λ n r ) r B n 2 2 { J 2 ( λ n ) + J 1 2 (λ n )} 2 r f (r ) J (λ n r ) r 2 { J 2 (λ n ) + J 1 2 ( λ n )} La istribución e temperaturas es: Φ 2 e 2 -λ2 n α t J (λ n r ) r f (r ) J (λ n r ) r J 2 ( λ n ) + J 1 2 (λ n ) Tenieno en cuenta que: r J (λ i r ) J (λ j r ) r la istribución e temperaturas para una barra cilínrica calentaa inicialmente a una temperatura uniforme, Φ T - T F, es: Φ 2 2 Φ e-λ n α t J 1 ( λ n ) J ( λ n r ) λ 2 n J ( 2 λn ) + J 1 ( λn ) 2 h cf k e -λ n 2 α t J ( λ n r ) { λ n 2 + ( h cf k )2 } J ( λ n ) Φ C Para r, eje el cilinro, la temperatura es: Φ 2 - e-λ n 2α t J 1 (λ n ) λ n J 2 ( λ n ) + J 2 1 (λ n ) 2 h cf k La isipación e calor aimensional es: 2 α t T 2 Φ e -λ n 2 α t Q Q Φ C T C - T J () 1, por lo que: e -λ n 2 α t {λ n 2 + ( h cf k )2 } J ( λ n ) t - k 2 π ( Φ r ) r t π 2 k Φ α J 1 (λ n ) {- λ n J 1 (λ n )} λ n { J 2 (λ n ) + J 1 2 (λ n )} t - 4 α t 2-2 α T t ( T r ) r t e -λ n 2 α t J 2 1 ( λ n ) J 2 ( λ n ) + J 2 1 (λ n ) t 4 α e-λ n λ n 2 α 2 α t J 1 2 (λ n ) J 2 (λ n ) + J 1 2 ( λ n ) e-λ n λ n 2 2 α t 1 J 2 ( λ n ) J 1 2 ( λ n ) + 1 J ( λ n ) J 1 (λ n ) λ n Bi e-λ n λ n 2 2α t 1 ( λ n ) Bi e-λ n λ n 2 2α t 1 ( λ n k h cf ) Conición e convección sólios infinitos.iv.-18

13 Fig IV.7.- Temperatura local aimensional para un cilinro infinito e raio en función e la temperatura el eje Fig IV.8a.- Temperatura aimensional en el eje e un cilinro infinito e raio Fig IV.8b.- Temperatura aimensional en el eje e un cilinro infinito e raio Conición e convección sólios infinitos.iv.-19

14 Fig IV.9.- Transferencia térmica aimensional ese un cilinro infinito e raio El cálculo e las temperaturas y el flujo térmico, se puee hacer con ayua e los ábacos e Gröber y Heysler, Fig IV.7, 8 y 9. IV.4.- CONDUCCIÓN TANSITOIA EN UNA ESFEA CON CONDICIÓN DE CONTONO DE CONVECCIÓN Para estuiar la istribución e temperaturas en una esfera que se calienta o enfría en un fluio, se parte e la ecuación iferencial: 2 Φ r r Φ r 1 α Φ t Solución general Φ B e -λ2 α t sen (λ r) λ r Para: t ; Φ f ( r ), ó T - T F con las siguientes coniciones e contorno: Para: t > ; Φ r r - h C k T r Aplicano la seguna conición se obtiene la relación que efine las λ en la forma: B e -λ n 2 αt λ cos ( λ r ) (λ r ) - λ sen ( λ r ) ( λ r ) 2 r - h C B e -λ 2αt sen ( λ r ) n k ( λ r ) r ( λ ) cos ( λ ) - sen ( λ ) - h C k sen ( λ ) - Bi sen ( λ ) cotg ( λ ) 1 Bi λ ; y cotg ( λ ) ; y 1 Bi λ La ecuación, y cotg (λ ), es una función trigonométrica La ecuación y 1 λ - Bi es una hipérbola equilátera; su intersección con la anterior permite obtener los infinitos valores e (λ ) La solución general e la istribución e temperaturas es e la forma: Φ B n e -λ n 2 α t sen (λ n r ) λ n r, con: cot g (λ n ) 1 - Bi λ n Para hallar el valor e B n aplicamos la primera conición e contorno, t, Φ f(r) f ( r ) B sen (λ n r) n λ n r B 1 sen ( λ 1 r ) λ 1 r + B 2 sen ( λ 2 r ) λ 2 r B n sen ( λ n r ) λ n r Conición e convección sólios infinitos.iv.-11

15 y hacieno uso e la teoría e funciones ortogonales se obtiene: sen (λ i r ) sen (λ j r ) r, con: i j f (r ) (λ n r ) sen (λ n r ) r B 1 λ n r λ 1 r sen (λ 1 r ) sen (λ n r ) r + + B 2 λ n r λ 2 r sen (λ 2r ) sen (λ n r ) r B n sen 2 (λ n r ) r B n sen 2 (λ n r ) r B n f (r ) (λ n r ) sen (λ n r ) r sen 2 (λ n r ) r f (r ) (λ n r ) sen (λ n r ) r 2 - sen (λ n ) cos (λ n ) 2 λ n Los valores e B n son istintos para caa superficie equipotencial, o lo que es lo mismo, para caa valor e r. aices e la ecuación: cotg (λ n L ) 1 - Bi λ n L Bi λ 1 L λ 2L λ 3L λ 4L λ 5 L 4,4934 7,7253 1,941 14,662,5,1224 4,4945 7,7259 1,946 14,666,1,173 4,4956 7,7265 1,95 14,669,2,2445 4,4979 7,7278 1,96 14,676,3,2991 4,51 7,7291 1,969 14,683,4,345 4,523 7,734 1,978 14,69,5,3854 4,545 7,7317 1,987 14,697,6,4217 4,568 7,733 1,996 14,75,7,4551 4,59 7,7343 1,915 14,712,8,486 4,5112 7,7356 1, ,719,9,515 4,5134 7,7369 1, ,726,1,5423 4,5157 7,7382 1, ,733,2,7593 4,5379 7,7511 1, ,84,3,928 4,561 7,7641 1, ,875,4 1,528 4,5822 7,777 1,948 14,946,5 1,1656 4,642 7,7899 1, ,117,6 1,2644 4,6261 7,828 1, ,188,7 1,3525 4,6479 7,8156 1, ,1159,8 1,432 4,6696 7,8284 1, ,123,9 1,544 4,6911 7,8412 1, , ,578 4,7124 7,854 1, ,1372 1,5 1,8366 4,8158 7, ,49 14, ,288 4,9132 7, ,856 14, ,2889 5,87 8,962 11, , ,4557 5,2329 8,245 11,256 14, ,574 5,354 8,329 11, ,48 6 2,6537 5,4544 8, ,486 14, ,7165 5,5378 8,473 11, , ,7654 5,678 8,546 11,548 14, ,844 5,6669 8,631 11, , ,8363 5,7172 8, , , ,8628 5,766 8,783 11,727 14, ,9476 5,98 8, , , ,993 5,9921 9,19 12,25 15, ,46 6,831 9, ,187 15, ,651 6,1311 9, , , ,81 6,166 9,242 12, , ,115 6,2211 9, , ,5537 Conición e convección sólios infinitos.iv.-111

16 La ecuación general que proporciona la istribución e temperaturas a lo largo el tiempo, y e las superficies isotermas e raio r, es e la forma: Φ e -λ n 2 α t sen (λ n r ) λ n r f (r ) (λ n r ) sen (λ n r ) r 2 - sen (λ n ) cos (λ n ) 2 λ n Para: f(r) Φ, resulta: Φ 2 e -λ n 2 α t sen (λ n r ) Φ λ n r 2 e -λ n 2 α t sen (λ n r ) sen (λ [ n r )- (λ n r ) cos (λ n r ) λ n r λ n { - sen (λ n ) cos (λ n ) ] 2 e -λ n 2 α t sen (λ n r ) } λ n (λ n r ) sen (λ n r ) r - sen (λ n ) cos (λ n ) λ n sen (λ n ) - (λ n ) cos (λ n ) λ n r λ n - sen (λ n ) cos (λ n )} cot g (λ n ) 1 - Bi λ n 2 Bi e -λ n 2 α t sen (λ n r ) r sen (λ n ) (λ n ) 2 + ( Bi - 1) sen 2 (λ n )} Si se supone que la temperatura en el centro e la esfera (r ) es: Φ C T C - T F, se obtiene: Φ C 2 e Φ -λ2 nα t sen (λ nr ) λ n r sen (λ n ) - (λ n ) cos (λ n ) λ n - sen (λ n ) cos (λ n )} r sen (λ n r ) λ n r r Lʹ Hôpital: sen (λ nr ) λ n r 1 r 2 e -λ n 2 α t sen ( λ n ) - ( λ n ) cos ( λ n ) λ n - sen ( λ n ) cos ( λ n )} 2 Bi e -λ2 nα t λ n sen ( λ n ) ( λ n ) 2 + ( Bi - 1) sen 2 ( λ n ) La isipación e calor aimensional viene eterminaa por la expresión: Q Q π 2 k 4 π k t ρ c p t ( Φ r ) r t ρ c p (T - T F ) - 3 k t ρ c p (T - T F ) e -λ n 2 α t sen (λ n ) - (λ n ) cos (λ n ) λ n - sen (λ n ) cos (λ n ) ( Φ r ) r t ( λ n ) cos (λ n ) - sen (λ n ) λ n 2 t - 6 α t e-λ n 2 α t λ n 2 2 {(λ n ) cos (λ n ) - sen (λ n )} λ n - sen (λ n ) cos (λ n ) t e-λ n 2 α t {( λ n ) cos (λ n ) - sen (λ n )} (λ n ) 3 λ n - sen (λ n ) cos (λ n ) 1 - e-λ n 2 α t (λ n ) - tg (λ n ) ( λ n ) 3 ( λ 1 + n ) tg 2 ( λ n ) (λ n ) - tg (λ n ) 2 tg (λ n ) 2 α t e-λ n {(λ n ) - tg (λ n )} ( λ n ) 3 λ n cos 2 - tg (λ n ) (λ n ) λ n 1 Bi 2 6 Bi e-λ n 2 α t λ n 2 1 Bi ( Bi - 1) + (λ n ) 2 6 ( h cf k )2 1 - e-λ n λ n 2 2 α t 1 Bi ( Bi - 1) + (λ n ) 2 Conición e convección sólios infinitos.iv.-112

17 Fig IV.1.- Temperatura local aimensional en el caso e una esfera e raio, a partir e la temperatura en el centro Fig IV.11a.- Temperatura aimensional en el centro e una esfera e raio Fig IV.11b.- Temperatura aimensional en el centro e una esfera e raio Conición e convección sólios infinitos.iv.-113

18 Fig IV.12.- Transferencia térmica aimensional ese una esfera e raio IV.5.- CONDUCCIÓN TANSITOIA EN DOS Y TES DIMENSIONES, CON CONDICIÓN DE CONTONO DE CONVECCIÓN a) Tubo infinito con convección en la superficie lateral interior y aislamiento térmico en la superficie lateral exterior. t ; Φ Φ T - T F ; e r i r i ; Φ t > ; r r i a 1 Φ h C k Φ r e ; Φ r r e Φ (r, t ) π λ 2 2 n {λ n J ' ( λ n i ) + a 1 J (λ n i )} 2 N ( λ n r ) {λ n J' (λ n i ) + a 1 J ( λ n i )} 2 - (λ 2 n + a 2 1 ) J 2 M e -λ n 2 α t (λ n e ) e ' ' M r Φ {J (λ n r) Y (λn e ) - J (λ n e ) Y (λ n r)} r i N ( λ n r ) J ( λ n r ) Y ' ( λ n e ) - J ' ( λ n e ) Y ( λ n r ) e i r Φ N (λ n r) r con λ n raices e: { λ ny ( λ n i ) + a 1 Y ( λ n i )} J ' ( λ n e ) { λ n J ( λ n i ) + a 1 J ( λ n i )} Y ' ( λ n e ) 1... b) Tubo infinito con convección en la superficie lateral exterior y aislamiento térmico en la superficie lateral interior. t ; Φ Φ T - T F ; e r i r e ; Φ t > ; r r e a 1 Φ h C k Φ r i ; Φ r r i Φ (r, t ) π 2 λ 2 n {λ n J' ( λ n e ) + a 1 J (λ n e )} 2 N (λ n r ) {λ n J ' (λ n e ) + a 1 J (λ n e )} 2 - (λ 2 n + a 2 1 ) J 2 M e -λ n 2 α t (λ n e ) 2 e ' ' M r Φ {J (λ n r) Y (λn e ) - J (λ n e ) Y (λ n r)} r i N ( λ n r ) J ( λ n r ) Y ' ( λ n e ) - J ' ( λ n e ) Y ( λ n r ) e i r Φ N (λ n r) r con λ n raices e: { λ ny ( λ n i ) + a 1 Y ( λ n i )} J ' ( λ n e ) { λ n J ( λ n i ) + a 1 J ( λ n i )} Y ' ( λ n e ) 1... Conición e convección sólios infinitos.iv.-114

19 c) Tubo infinito con convección en las superficies lateral exterior e interior. t ; Φ Φ T - T F ; e r i r e ; Φ r r e a 1 Φ h Ce k Φ t > ; r i ; Φ r r i b 1 Φ h Ci k Φ Φ (r, t ) π 2 λ 2 2 n {λ n J ' ( λ n e ) + b 1 J (λ n e )} 2 N ( λ n r ) M e - λ n 2 α t (λ 2 n + b 2 1 ) {λ n J ' ( λ n i ) + b 1 J (λ n i )} 2 - (λ 2 n + a 2 1 ) {λ n J ' ( λ n e ) + a 1 J (λ n e )} 2 e ' ' M r Φ [ J (λ n r) { λ n Y (λn i ) - b 1 Y (λ n i ) } - Y (λ n r){ λ n J (λ n i ) - b 1 J (λ n i ) }] r i N ( λ n r ) J ( λ n r ) { λ n Y ' ( λ n i ) - b 1 Y ( λ n i )} - Y ( λ n r ) { λ n J ' ( λ n i ) - b 1 J ( λ n i ) } { λ con λ n raices e: n Y ' ( λ n i ) - b 1 Y ( λ n i )} {λ n J ' ( λ n e ) + b 1 Y ( λ n e )} { λ n Y ' ( λ n e ) + a 1 Y ( λ n e )} {λ n J ' ( λ n i ) - b 1 J ( λ n i )} 1... IV.6.- TANSMISIÓN DE CALO EN ÉGIMEN TANSITOIO CON GENEACIÓN DE CALO E. a) Pare plana infinita con generación e calor E; conición e contorno e convección. Φ ( x, t ) 2 E h C k 2 con λ n raices e: tg( λ n L ) t ; Φ Φ T - T F ; x L x ; Φ x x t > ; E Cte ; x L ; Φ x x L - h k λ n 2 { L ( λ n 2 + h C 2 cos ( λ n x ) k 2 ) + h C k } cos ( λ n L ) ( 1 - e - λ n 2 α t ) Bi λ n L... b) Cilinro infinito con generación e calor E; conición e contorno e convección t ; Φ ; r t > ; E Cte r ; Φ r - h C k Φ - A Φ Φ ( r, t ) 4 E h C k 2 λ n 2 ( λ n 2 + h C 2 J ( λ n r ) k 2 ) J ( λ n ) ( 1 - e - λ n 2 α t ) con λ n raices e: λ n J 1 ( λ n ) h C k J ( λ n )... c) Esfera con generación e calor E; conición e contorno e convección. 2 Φ r r Φ r 1 Φ α t - E k t ; Φ ; r, con: E Cte t > ; r ; Φ r - h C k Φ - A Φ Conición e convección sólios infinitos.iv.-115

20 Φ ( r,t ) 2 E { λ 2 n 2 + ( Bi - 1) 2 } sen ( λ n r ) (1 - e - σ 2 α t ) k 2 { λ n 2 + Bi ( Bi - 1) 2 } r 2 λn [ sen ( λ n ) + { 1 - λ n cos ( λ n )}] con λ n raices e: ( λ n ) cotg ( λ n ) 1 - Bi... TABLAS DE FUNCIONES DE BESSEL aices e la función e Bessel: J n ( x ) n n2 n3 n4 n5 n6 2,448 3,8317 5,1356 6,382 7,5883 8,7715 9,9361 5,521 7,156 8,4172 9,761 11,647 12, ,5893 8,6537 1, , ,152 14, ,72 17,38 11, , ,796 16, ,616 18,981 2,328 14,939 16,476 17, ,494 2, , , ,711 19, ,117 22, ,19 25,433 26,822 aices e la función e Bessel: J n' ( x ) n n2 n3 n4 n5 n6 1,8412 3,542 4,212 5,3176 6,4156 7,513 3,8317 5,3314 6,761 8,152 9,2824 1, ,7349 7,156 8,5363 9, , , , ,2682 1, ,76 13,174 14, , , , , , , , ,196 2, , ,476 18,155 19,5129 2, ,448 23,836 25,1839 aices e la función e Bessel: Y n ( x ) n n2 n3 n4 n5 n6,8936 2,1971 3,3842 4,527 5,6452 6,7472 7,8377 3,9577 5,4297 6,7938 8,976 9,3616 1, ,811 7,861 8,596 1,225 11, ,731 14,338 15,3136 1, , ,21 14, , , ,677 13, , ,379 17, ,2244 2,629 21, ,59 18,434 19,539 2, , , ,262 aices e la función e Bessel: Y n' ( x ) n n2 n3 n4 n5 n6 2,1971 3,683 5,26 6,2536 7,4649 8,6495 9,8148 5,4297 6,9415 8,357 9, ,52 12,289 13,5328 8,596 1, , , , ,668 16, , , ,769 16,195 17, ,9497 2, , ,441 17, ,3824 2,811 22, , ,434 19,592 21,929 22, ,997 25,491 26,7995 aices e la ecuación: J ( λ n L ) Y ( a λ n L ) Y ( λ n L ) J ( a λ n L ) 1 a λ 1 L λ 2 L λ 3 L λ 4 L λ 5 L 1,2 15,714 31, , ,832 78,5385 1,5 6,272 12, , , ,4133 2, 3,123 6,2734 9, , ,74 2,5 2,732 4,1773 6,2754 8,3717 1,4672 3, 1,5485 3,1291 4,738 6,2767 7,8487 3,5 1,2339 2,52 3,768 5,196 6,2716 4, 1,244 2,89 3,1322 4,1816 5,231 Conición e convección sólios infinitos.iv.-116

21 aices e la ecuación: J ' ( x ) Y ' ( a x ) J ' ( a x ) Y ' ( x ) 1 a x 1 ( a 1 )x 2 ( a 1 )x 3 ( a 1 )x 4 ( a 1 )x 5 ( a 1 )x ,1416 6,2832 9, , ,78 1,1,953 3,1441 6,2845 9, ,567 15,785 1,2,91 3,159 6,2878 9, , ,798 1,3,872 3,169 6,2928 9, , ,7118 1,4,837 3,174 6,2991 9, , ,7143 1,5,85 3,188 6,364 9,443 12,578 15,7172 1,6,776 3,25 6,3146 9, ,582 15,725 2,677 3,282 6,353 9,471 12,61 15,736 5,341 3,969 6,746 9,732 12,79 15,89 aices e la ecuación: cotg (λ n L ) - C λn L C λ 1 L λ 2L λ 3 L λ 4L λ 5L λ 6 L -1,, 4,4934 7,7253 1,941 14,662 17,228 -,995,1224 4,4945 7,7259 1,946 14,666 17,221 -,99,173 4,4956 7,7265 1,95 14,669 17,2213 -,98,2445 4,4979 7,7278 1,96 14,676 17,2219 -,97,2991 4,51 7,7291 1,969 14,683 17,2225 -,96,345 4,523 7,734 1,978 14,69 17,2231 -,95,3854 4,545 7,7317 1,987 14,697 17,2237 -,94,4217 4,568 7,733 1,996 14,75 17,2242 -,93,4551 4,59 7,7343 1,915 14,712 17,2248 -,92,486 4,5112 7,7356 1, ,719 17,2254 -,91,515 4,5134 7,7369 1, ,726 17,226 -,9,5423 4,5157 7,7382 1, ,733 17,2266 -,85,669 4,5268 7,7447 1, ,769 17,2295 -,8,7593 4,5379 7,7511 1, ,84 17,2324 -,7,928 4,561 7,7641 1, ,875 17,2382 -,6 1,528 4,5822 7,777 1,948 14,946 17,244 -,5 1,1656 4,642 7,7899 1, ,117 17,2498 -,4 1,2644 4,6261 7,828 1, ,188 17,2556 -,3 1,3525 4,6479 7,8156 1, , ,2614 -,2 1,432 4,6696 7,8284 1, ,123 17,2672 -,1 1,544 4,6911 7,8412 1, ,131 17,273, 1,578 4,7124 7,854 1, , ,2788,1 1,632 4,7335 7, ,47 14, ,2845,2 1,6887 4,7544 7, ,137 14, ,293,3 1,7414 4,7751 7,892 11,228 14, ,2961,4 1,796 4,7956 7,946 11,318 14, ,319,5 1,8366 4,8158 7, ,49 14, ,376,6 1,8798 4,8358 7, ,498 14, ,3134,7 1,923 4,8566 7, ,588 14, ,3192,8 1,9586 4,8751 7, ,677 14, ,3249,9 1,9947 4,8943 7, ,767 14,25 17,336 1, 2,288 4,9132 7, ,856 14,275 17,3364 1,5 2,1746 5,37 8,385 11, , , ,2889 5,87 8,962 11, , , ,4557 5,2329 8,245 11,256 14, , ,574 5,354 8,329 11, ,48 17, ,6537 5,4544 8, ,486 14, , ,7165 5,5378 8,473 11, , , ,7654 5,678 8,546 11,548 14, , ,844 5,6669 8,631 11, , , ,8363 5,7172 8, , ,687 17, ,8628 5,766 8,783 11,727 14, , ,9476 5,98 8, , , , ,993 5,9921 9,19 12,25 15,625 18, ,46 6,831 9, ,187 15,238 18, ,651 6,1311 9, , , , ,81 6,166 9,242 12, ,49 18, ,91 6,185 9, , , ,5497 Conición e convección sólios infinitos.iv.-117

22 Funciones e Bessel e seguna especie, órenes cero Y ( x ) y uno Y 1 ( x ) x Y ( x) Y 1 ( x ) x Y ( x) Y 1( x), - - 5,2 -,33125,7919,2-1,811-3,3238 5,4 -,3417,113,4 -,662-1,789 5,6 -, ,5681,6 -,3851-1,264 5,8 -, ,11923,8 -,868 -, , -, ,1751 1,,8825 -, ,2 -,2483 -, ,4,3379 -, ,4 -, , ,6,4243 -, ,6 -, , ,8, , ,8 -,8643 -,319 2,,5138 -,173 7, -,2595 -,3267 2,2,5278,149 7,2,3385 -, ,4,5142,149 7,4,968 -, ,6,48133, ,6, ,2428 2,8,43591, ,8, ,2389 3,,37685, ,, ,1586 3,2,375,3771 8,2,2511 -,1724 3,4,22962,411 8,4, ,5348 3,6,14771, ,6, ,18 3,8,645, ,8,26587,5436 4, -,1694, ,,24994,1431 4,2 -,9375,3681 9,2,22449, ,4 -,16333, ,4,1974, ,6 -,22345, ,6,1518,2176 4,8 -,2723, ,8,1453, , -,3851, ,,5567,2492 ANEXO D.- FUNCIONES DE BESSEL La ecuación iferencial: 2 y x x Bessel e oren n, cuya solución es: y x + ( a 2 - n2 ) y, se conoce como ecuación iferencial e x2 y C 1 J n ( x ) + C 2 J -n ( x) para: n, 1, 2,... y C 1 J n ( x ) + C 2 Y n ( x ) para: n, 1, 2,... one C 1 y C 2 son constantes a eterminar; J n (x) y Y n (x) son las funciones e Bessel e primera y seguna especie, respectivamente y oren n, e la forma: J n ( x ) x n 2 n n! - x n+2 2 n+2 ( n+1)! + x n+4 2 n+4 2! ( n+2)! (-1)k x n+2k 2 n+2k k! ( n+k)! +... J (x) 1 - x x (-1)k (2! ) 2 x 2k 2 2k (k! ) J 1 ( x ) x 2 - x ! + x ! 3! (-1)k x 1+2k 2 1+2k k! ( 1+k)! +... Conición e convección sólios infinitos.iv.-118

23 Y n ( x) J n ( x ) log x - x -n n-1 2 n - 2µ - 1 ( n - µ -1)! x 2µ µ µ! - x n n-1 2 n+1 n! µ ( 1) ν k nν x 2ν ν ( 2n +2)( 2n + 4 )...( 2n + 2ν ) n-1 2 π { ln x 2 + γ } J n ( x) - 1 π (n - µ -1)! ( x µ 2 )2µ-n - 1 π ( -1) µ Φ ( k) + µ n-1 Φ( n+k) ( x 2 )2k + n k! ( n+k)! sieno: γ, ( Cte e Euler ) Φ( k) k ; Φ( ) Para: n : Y ( x ) 2 π { ln x 2 + γ } J ( x ) + 2 π { x2 2 - x ( ) + x ( ) +...} Para: n, 1, 2,... Y -n ( x ) (-1) n Y n ( x ) Y ' ( x ) - Y ( x ) La ecuación iferencial: FUNCIONES DE BESSEL MODIFICADAS 2 y x x y x - ( a2 - n 2 x 2 ) y se conoce como ecuación iferencial e Bessel moificaa e oren n, cuya solución es: y C 1 I n (x) + C 2 I -n (x) para: n, 1, 2,... y C 1 I n (x) + C 2 K n (x) para: n, 1, 2,... I ( x ) 1 + x2 2! + x I 1 ( x ) x 2 + x x I ' ( x ) I 1 ( x ) K ( x ) { ln x 2 + γ } I ( x ) + { x x ( ) + x ( ) +...} Para: n, 1, 2,... K -n ( x ) K n ( x ) I n+1 ( x ) 2 n x FÓMULAS DE ECUENCIA DE FUNCIONES DE BESSEL I n ( x ) - I n 1 ( x ) I n+1 ( x ) - 2 n x I n ( x) + I n 1 ( x ) x I n ' ( x ) + n I n ( x ) x I n-1 ( x ) x I n ' ( x ) - n I n ( x ) x I n+1 ( x ) x K n ' ( x ) + n K n ( x ) - x K n-1 ( x ) Conición e convección sólios infinitos.iv.-119

24 x K n ' ( x ) - n K n ( x ) - x K n+1 ( x ) x J n ' ( x ) + n J n ( x ) x J n-1 ( x ) x J n ' ( x ) - n J n ( x ) - x J n+1 ( x ) x Y n ' ( x ) + n Y n ( x ) - x Y n-1 ( x ) x Y n ' ( x ) - n Y n ( x ) - x Y n+1 ( x ) J n ( x ) Y n ' ( x ) - Y n ( x ) J n ' ( x ) 2 π x I n ( x ) K n ' ( x ) - K n ( x ) I n ' ( x) - 1 x I n ( x ) K n+1 ( x ) + K n ( x ) I n+1 ( x ) 1 x K -n ( x ) K n ( x ) K 1/2 ( x) π 2 x exp (-x) J n 1 ( x ) + J n+1 ( x ) 2 n J n ( x ) x x { J n ( x )} J n-1 ( x ) - n J n ( x) x x { J ( a x)} - a J 1 ( a x ) ; x J 1 (a x) ; J n 1 ( x) - J n+1 ( x) 2 x J n ( x ) ; x { J n ( x )} - J n+1 ( x ) + n J n ( x) x x { Y (a x )} a Y 1 ( a x ) + n J n ( x ) x a x J (a x ) x ; J 1 (a ) a x J (a x) x x { xn J n ( x )} x n J n-1 ( x ) x { xn-1 J n ( x )} - x -n J n+1 ( x) x { xn J n ( a x )} a x n J n-1 ( a x ) x { xn I n ( x )} x n I n-1 ( x ) x { x-n I n ( x )} x n 1 I n+1 ( x ) x { I ( a x )} a I 1 ( a x ) x { xn K n ( x )} - x n K n-1 ( x ) x { xn 1 K n ( x )} - x n K n+1 ( x ) x { K ( a x )} - a K 1 ( a x ) Para n 1 x { x J 1 ( a x )} a x J ( a x ) Conición e convección sólios infinitos.iv.-12