Formulario Electromagnetismo

Transcripción

1 Elementos e Cálculo III Coorenaas cartesianas Formulario Electromagnetismo ˆx ŷ = ẑ ŷ ẑ = ˆx ẑ ˆx = ŷ A = A x ˆx + A y ŷ + A z ẑ r = x ˆx + y ŷ + z ẑ r = x ˆx + y ŷ + z ẑ V = V V ˆx + x y ŷ + V z ẑ A ˆx ŷ ẑ = x y z A x A y A z A = A x x + A y y + A z z 2 V = 2 V x V y V y 2 Coorenaas cilínricas x = ρ cos φ y = ρ sin φ z = z ˆρ = cos φ ˆx + sin φ ŷ ˆφ = sin φ ˆx + cos φ ŷ ˆρ ˆφ = ẑ ˆφ ẑ = ˆρ ẑ ˆρ = ˆφ A = A ρ ˆρ + A φ ˆφ + Az ẑ r = ρ ˆρ + z ẑ r = ρ ˆρ + ρ φ ˆφ + z ẑ V = V ρ ˆρ + 1 V ρ φ ˆφ + V z ẑ A = 1 ˆρ ρ ˆφ ẑ ρ ρ φ z A ρ ρa φ A z A = 1 ρ ρ (ρa ρ) + 1 ρ 2 V = 1 ( ρ V ρ ρ ρ A φ φ + A z z ) + 1 ρ 2 2 V φ V z 2

2 Coorenaas esféricas x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ ˆr ˆθ = ˆφ ˆθ ˆφ = ˆr ˆφ ˆr = ˆθ A = A r ˆr + A θ ˆθ + Aφ ˆφ r = r ˆr r = r ˆr + r θ ˆθ + r sin θ φ ˆφ ˆr = sin θ cos φ ˆx + sin θ sin φ ŷ + cos θ ẑ ˆθ = cos φ cos θ ˆx + cos θ sin φ ŷ sin θ ẑ ˆφ = sin φ ˆx + cos φ ŷ V = V r ˆr + 1 V r θ ˆθ + 1 V r sin θ φ ˆφ A 1 ˆr r ˆθ r sin θ ˆφ = r 2 sin θ r θ φ A r ra θ r sin θa φ A = 1 ( r 2 ) 1 r 2 A r + r r sin θ θ (sin θa θ) + 1 r sin θ 2 V = 1 ( r 2 r 2 V ) ( 1 + r r r 2 sin θ V ) + sin θ θ θ A φ φ 1 2 V r 2 sin 2 θ φ 2

3 Elementos infinitesimales e Superficie, Volúmen y Camino círculo cilínro esféra S = ρ ρ φ S = ρ z φ S = r 2 sin θ θ φ l = ρ φ V = ρ ρ φ z V = r 2 r sin θ θ φ S total = πa 2 S manto total = 2πaL S total = 4πa 2 V total = 2πa 2 L V total = 4/3πa 3 S S S V V (a) Disco (b) Cilínro (c) Esféra Ientiaes vectoriales A B = B A A B = B A ( A A ) = 0( ) A B C = A B C ( ) A B C = ( ) ( ) A C B A B C Si A es paralelo a B entonces A B = 0 Si A es perpenicular a B entonces A B = 0 (ΦΨ) = Φ Ψ + Ψ Φ (Φ F ) = Φ F + Φ F (ΦF ) = ( Φ) F + Φ F ( A B) ( ) ( ) ( = B A A B + B ) ( A) A B ( ) ( ) ( A B) = B A A B 2 ( F ) = ( F ) 2 F

4 ( Φ) = 0 ( A) = 0

5 Teoremas Diferencial exacta Φ BA Φ Φ Φ = Φ r Φ B Φ A = B A Φ = B A Φ r = Φ u ( u) r = Φ u ( u) Si Φ = Φ(u) en que u = u( r) es un campo escalar Si Φ = Φ(u) en que u = u( r) es un campo escalar Teorema e Stokes: Consiera un camino cerrao que elimita una superficie orientaa (según regla e la mano erecha al recorrer el camino). ( A r = A ) ˆn S camino superficie Teorema e la Divergencia: Consiera una superficie cerraa que contiene un volumen A ˆn S = A v superficie volumen S A superficie S A A A r r () Teorema e Stokes (e) Teorema e la Divergencia Fuerza Eléctrica y Campo Eléctrico Fuerza Eléctrica F q1,q 2 = Kq1q2( r1 r2) r 1 r 2 3 Ley e Coulomb: Fuerza sobre q 1 ebia a q 2 K = 1 4πɛ [Nm 2 /C 2 ] Constante e fuerza ɛ 0 = 1 4πK = 8, [C 2 /N/m 2 ] permitivia ielectrica el vacio e = 1, [C] Quanto e Carga F q2,q 1 = F q2,q 1 Principio e accion y reaccion F q0 = F q0,q 1 + F q0,q F q0,q N Fuerza electrica total sobre q 0

6 Campo Eléctrico E( r) = F q0 ( r)/q 0 Campo eléctrico que siente carga e prueba q 0 F ( r) = qe( r) Fuerza electrica que experimenta carga q en posición r E( r) = N Kq i( r r i) i=1 r r i Campo en r por un sistema e cargas puntuales 3 Distribuciones continuas e carga Densiaes e Carga Volumétrica: Lineal: Superficial: ρ q ( r q ) = lím v 0 λ( r q ) = lím l 0 σ( r q ) = lím s 0 v. l. s. Elemento e carga asociao q = ρ q ( r )v q = λ( r )l q = σ( r )s Campo Eléctrico generao por una istribución contínua e carga K q E( r) ( r r ) = r r 3 Algunos casos particulares Carga puntual q centraa en el origen. Campo en too el espacio: E = Kq r 2 ˆr (esféricas) Carga puntual q centraa en posición r 0. Campo en too el espacio: E = Kq ( r r 0) r r 0 3 Cable recto a lo largo el eje z con ensia e carga lineal uniforme λ 0. espacio: E = 2Kλ 0 ˆρ ρ Campo en too el Disco plano e raio a con eje azial coinciente con eje z y con ensia superficial uniforme σ 0. Campo sobre su eje axial: E(x = 0, y = 0, z) = σ [ ] z 2ɛ 0 z z ẑ z2 + a 2 Plano infinito con ensia superficial uniforme σ 0 contenio en plano XY. espacio: E(x, y, z) = σ z 2ɛ 0 z ẑ Campo en too el

7 Energia potencial y Potencial eléctrico Fuerza eléctrica es conservativa (es ecir satisface F = 0) luego existe campo scalar U tal que F = U. Por el teorema e Stokes F r = 0. La funcion U se enomina energia potencial electrica. El Potencial Eléctrico V se efine como U V = lím q 0 q en que q 0 es la carga e prueba que experimenta la fuerza. Se satisface U = qv Energía Potencial Electrostática U = q V W BA = B A F r = BA U = q BA V BA V = 1 q BAU = 1 q W BA = 1 B q A F r = B A E r V ( r) = V ( r 0 ) r r 0 E r por algún camino e r0 a r V ( r) = N Kq i i=1 r r i istribución e cargas puntuales V ( r) = K q r r istribución continua e cargas Algunos casos particulares Carga puntual q centraa en el origen. V = Kq r Carga puntual q centraa en posición r 0. Potencial en too el espacio: V = (esféricas) Potencial en too el espacio: Kq r r 0 Cable recto a lo largo el eje z con ensia e carga lineal uniforme λ 0. Potencial en too el espacio: ( ) ρ V = V 0 2Kλ 0 ln one V 0 = V (ρ 0 ) es potencial e referencia ρ 0 Disco plano e raio a con eje azial coinciente con eje z y con ensia superficial uniforme σ 0. Potencial sobre su eje axial: V (x = 0, y = 0, z) = σ [ z ] z 2ɛ 2 + a 2 0 Plano infinito con ensia superficial uniforme σ 0 contenio en plano XY. el espacio: V (x, y, z) = V 0 σ z 2ɛ 0 Potencial en too

8 Expansión en serie e Taylor f(x) = f(x 0 ) + 1 1! f (x) x=x0 (x x 0 ) + 1 2! f (x) x=x0 (x x 0 ) ! f (x) x=x0 (x x 0 ) Algunas expansiones utiles para x 1 (1 + x) n = 1 + nx n(n 1)x x = (1 + x) 1/2 = 1 + x/2 x 2 / / 1 + x = (1 + x) 1/2 = 1 x/2 + 3x 2 / /( 1 + x) 3 = (1 + x) 3/2 = 1 3x/2 + 15x 2 / /(1 x) = (1 x) 1 = 1 + x + x 2 + x 3 + x /(1 + x) = (1 + x) 1 = 1 x + x 2 x 3 + x Dipolo eléctrico Dos cargas con signos opuestos separaas por istancia a pequeña. q q a Kqa cos θ V (r, θ) = r Potencial el ipolo en origen orientao segun ˆk 2 p = q a Momento ipolar V = K p ˆr r Campo e ipolo en origen, orientacio arbitraria 2 ) E = Kqa r (2 cos θˆr + sin θˆθ Campo e ipolo en origen orientao segun ˆk 3 E = K 3( p ˆr)ˆr p r Campo e ipolo en origen, orientacion arbitraria F 3 = 0 Fuerza sobre el ipolo por campo externo τ = p E Torque sobre el ipolo por campo externo Ley e Gauss o e la Divergencia el campo eléctrico Flujo Φ E el campo electrico sobre una superficie cerraa y orientaa exteriormente es igual a Q ɛ 0 es la carga encerraa por el volumen efinio por icha superficie). (one Q Φ E E S efinición e flujo Q q = ρ( r)v = λ( r)l = σ( r)s carga encerraa E S Ley e Gauss en forma integral = Q ɛ 0 E( r) Ley e Gauss en forma iferencial ρ( r) = ɛ 0 E Si conozco E pueo calcular ensia e carga = ρ( r) ɛ 0

9 Ecuación e Poisson y Laplace De la Ley e Gauss en forma iferencial y substituyeno E = V se obtiene la Ecuación e Poisson para el potencial 2 V = ρ ɛ 0 (notar que si conozco el potencial pueo calcular la ensia e carga en caa punto r. Es ecir ρ( r) = ɛ 0 2 V ( r)). En las regiones e ensia e carga nula se satisface la Ecuación e Laplace: 2 V = 0 que tiene solución única si se especifíca el valor el potencial en el contorno o bore e la región one ésta ecuación tiene valiez. Materiales Conuctores En general metales. Cargas se mueven libremente. Fuerzas superficiales impien que cargas escapen. n V = cte. E = 0 superf. E = 0 conuctor r σ( r ) V = cte. F = 0 en conuctor (equilibrio), luego E = 0 en conuctor E = V = 0 en conuctor, luego V = cte en conuctor Conuctores son cuerpos equipotenciales E ˆn justo en exterior e la superficie E es a superficie conuctora E sup = σ ɛ 0 ˆn justo afuera e superficie conuctora σ = ɛ 0Esup ˆn ensia en superficie conuctora TIERRA: material conuctor a potencial cero.

10 Conensaores Sistema e os conuctores cargaos con carga igual y contraria. Capacia se efine como C Q V Conensaor e placas planas. Area A separación entre placas: A C = Aɛ 0 Conensaor cilínrico. Raios interior a y exterior b y largo l: b C = 2πɛ 0l ln(b/a) a l Conensaor esférico e capas concentricas. Raios interior a y b: C = 4πɛ 0ba b a a b

11 Métoo e Imágenes Se resuelve 2 V = 0 via introucir cargas ficticias fuera e la region one vale 2 V = 0, con tal que las cargas ficticias reprouzcan el valor el potencial en la region one se quiere conocer V. Imágenes para casos particulares Carga q a istancia e plano conuctor conectaa a tierra: q q carga imagen Carga q frente a esféra conuctora e raio a conectaa a tierra: a q q q = a q = a2 Cable conuctor elgao frente a tierra: λ plano conuctor λ cable imagen

12 Corriente Eléctrica Densiaes e corriente Si las cargas se mueven con velocia v: ensia volumétrica e corriente J = ρ q v. ensia superficial e corriente K = σ v. ensia lineal e corriente I = λ v. Relación entre corriente total I y ensia e corriente: ensia volumétrica e corriente I = J ˆn S. ensia superficial e corriente I = K ˆn l. en ambos casos ˆn se refiere a un vector unitario perpenicular a la superficie S o al segmento e longitu l. Ley e Ohm Esta aa por: J = σ E. En que σ es la conuctivia el meio. Establece que las corrientes se mueven en la irección el campo. Resistencia Electrica Es una consecuencia e la ley e Ohm. Establece que a lo largo e un camino la caia e potencial es proporcional a la corriente que circula: V = R I. La resistencia R es la constante e proporcionalia. E r R = V I = J S Algunos ejemplos particulares 1. Resistencia e un cable recto e longitu l y área A. Vale: R = ρl A, en que ρ = 1 σ es la resistivia por unia e largo. 2. Resistencia e un cable coaxial e raio interior a, y raio exterior b, y largo total l, en que la superficie exterior (conuctora e raio b) está a potencial V 1 y la superficie interior (conuctora e raio a) está a potencial V 2. Está aa por: R = ρ 2πl ln b a Magnetostática Fuerza magnética sobre una carga puntual q que se mueve con velocia v F = q v B

13 Movimiento e una carga puntual en un campo B = B 0 ẑ uniforme Frecuencia e Larmor: w = qb0 m Raio e giro: R = v w = mv qb 0 Fuerza magnética sobre istribución e corriente: F = J B Densia lineal e corriente: J = q v = λ v l = I l, luego: F = I B l, con I = λ v. Muchas veces conviene usar la combinacion: I l = I r. Luego: F = I r B. Densia superficial e corriente: J = q v = σ v S = K S, luego: F = K B S, con K = σ v. Densia volumetrica e corriente: J = q v = ρ q v V = J V, luego: F = J B V, con J = ρq v. Torque magnético sobre una istribución e corriente: τ = r F Densia lineal e corriente. Se tiene: F = I B l luego: τ = r ( I B) l. Muchas veces conviene usar la combinacion: I l = I r. Luego: τ = I r ( r B). Densia superficial e corriente. Se tiene: F = K B S luego: τ = r ( K B) S. Densia volumétrica e corriente. Se tiene: F = J B V luego: τ = r ( J B) V. Momento magnético ipolar m Espira cerraa e forma cualquiera: m = I 1 2 r r Espira plana e área orientaa A = A ˆn. Se tiene: m = I A ˆn. Fuerza y Torque sobre espira cerraa en campo uniforme B 0 Fuerza magnética: F = 0 Torque magnético: τ = m B 0 Campo e inucción magnética B( r) estático Permeabilia magnética el vacío: µ 0 = 4π 10 7 [S.I.] Ley e Biot-Savart: B = µ0 4π J ( r r ) r r 3 Distribución lineal e corriente J = I l. Se tiene: B I = µ0 ( r r ) l 4π r r 3 Distribución superficial e corriente J = K S. Se tiene: B K = µ0 ( r r ) S 4π r r 3 Distribución volumétrica e corriente J = J V. Se tiene: B J = µ0 ( r r ) V 4π r r 3

14 Algunos casos particulares 1. Campo en too el espacio e un cable recto infinito con corriente I = Iẑ. Está ao por: B = µ0i 2πρ ˆφ (cilínricas). 2. Campo sobre su eje axial, e un cable circular e raio a con corriente I = I ˆφ. Está ao por: B eje = µ0ia2 (cilínricas). 2(z 2 +a 2 ) 2/3 3. Campo en torno a una istribución superficial plana e corriente K. Está ao por: B = µ0 2 K ˆn. El vector ˆn correspone a la normal exterior a la superficie en caa cara e la istribución e corriente. 4. Campo e un solenoie orientao segun z y que lleva corriente superficial K = K ˆφ. Está ao por: B = { µ0 Kẑ en el interior el solenoie 0 afuera el solenoie Ecuaciones e maxwell para los campos estáticos E = ρ q ɛ 0 B = 0 E = 0 B = µ 0 J Consecuencias: Potencial Eléctrico y Magnético De E = 0 sigue que existe V tal que E = V. De B = 0 sigue que existe A tal que B = A. 1 V ( r) = 4πɛ 0 A( r) = µ 0 4π q r r J r r Ecuación e Poisson para potencial magnetico vector A 2 A = µ0 J Vector potencial magnetico A y campo B asociao a una espira pequeña, e momento magnético m y que está ubicaa en el origen el sistema e coorenaas. A = µ 0 m ˆr 4π r 3 B = µ [ 0 (3 m r) 4π r 5 r m ] r 3

15 1. Meios materiales ieléctricos y magnéticos 1.1. Meios ieléctricos Dipolo (os cargas q y q separaas en esplazamiento r) 1. Momento ipolar eléctrico: p = q r 2. Potencial eléctrico e ipolo en origen con orientación arbitraria: V ipolo = K p r r Polarización P 1. P p v (Polarizacion o momento ipolar eléctrico por unia e volumen). 2. ρ pol. = P (Densia volumétrica e carga e polarización). 3. σ pol. = P ˆn (Densia superficial e carga e polarización) Vector esplazamiento D 1. D = ɛ0 E P 2. D = ρ libre (equivale a Ley e Gauss: D S = Q encerraa libre ) Meio lineal, isótropo y homogéneo 1. P = χe ɛ 0 E (χe es la susceptibilia ieléctrica el material) 2. ɛ = k = 1 + χ E (constante ieléctrica el material) 3. D = ɛ E = ɛr ɛ 0 E (la constante ɛ se conoce como la permitivia ielectrical el material, ɛr ɛ/ɛ 0 la constante relativa. A veces se anota k = ɛ). 4. Coniciones e bore o frontera entre os ieléctricos e istinta constante: D 2 ˆn = D 1 ˆn + σ libre (componentes normales iscontinuas) E 2 ˆt = E 1 ˆt (componentes tangenciales continuas) 1.2. Meios magnéticos 1.3. Dipolo magnético (loop e corriente con área A = r r y corriente I) 1. Momento ipolar magnético: m = I A 2. Vector potencial e ipolo mágnetico en origen con orientación arbitraria: A ipolo = µ0 m r 4π r Magnetización M( r) 1. M m v (Magnetización o momento ipolar magnético por unia e volumen). 2. Jmag. = M (Densia volumétrica e corriente e magnetización). 3. Kmag. = M ˆn (Densia superficial e corriente e magnetización).

16 1.5. Vector campo magnético H 1. H = 1 µ 0 B M 2. H = J libre (equivale a Ley circuital e Ampere: H r = I cruza libre ) Meio lineal, isótropo y homogéneo 1. M = χm 1 µ 0 B (χm es la susceptibilia magnética el material) 2. 1 µ r = 1 χ M 3. H = 1 µ B = 1 µ rµ 0 B (la constante µ es la permeabilia magnética el material, µr µ/µ 0 la constante relativa.) 4. Coniciones e bore o frontera entre os meios magnéticos e istinta constante: B 2 ˆn = B 1 ˆn (componentes normales continuas) H 2 ˆt = E 1 ˆt + K libre (componentes tangenciales iscontinuas) 2. Campos variables en el tiempo 2.1. Ley e Faraay-Lenz Si hay flujo variable en el tiempo en una cierta superficie, se inuce a lo largo el camino que elimita icha superficie una f.e.m. o caia e potencial ɛ = V que se relaciona con las variaciones el flujo magnético sobre la superficie que elimita icho circuito (o camino). Se tiene: ɛ = Φ B t one Φ B (t) B S y ɛ E r. Las variaciones pueen ocurrir porque la superficie varía, el campo varía o la orientación e la superficie varía o cualquier emzcla e estas. la forma iferencial e esta ley es: E = B t Circuito que se traslaa. Una manera alternativa e calcular cuano el cable o circuito se traslaa con velocia v en caa punto, es: ɛ = Φ B = ( v B) t B r t S 2.2. Corriente e esplazamiento Para respetar la conservación e carga en las ecuaciones e Maxwell se introuce un término D t (llamao corriente e esplazamiento) en la expresión e la ley e Maxwell que correspone a la ley circuital e Ampere: B = µ 0 ( J libre + D t ) En meios no ieléctricos se tiene J D D t = ɛ 0 E t.

17 2.3. Resumen Ecuaciones e Maxwell en el vacio. E = 1 ɛ 0 ρ q E = B t B = 0 B = µ 0 ( J + ɛ 0 E t ) mas la ecuación e continuia o conservación e carga: J = ρ q t 3. Resumen Ecuaciones e Maxwell en meios materiales (lineales, isótropos y homogéneos). Forma iferencial Forma integral en que: D = ρ libre D S = Q encerraa E = B t B = 0 H = J libre + D t libre E r = S 1 B S = D = ɛ 0 E + P = ɛ E S 2 t H r = I cruza libre B S B S y H = 1 B 1 M = B µ 0 µ más la ecuación e continuia o conservación e carga: J libre = ρ libre t