Potencial escalar magnético y cargas de magnetización. Cálculo de la intensidad magnética en ausencia de corrientes libres.

Transcripción

1 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 1 Potencial escalar magnético y cargas de magnetización. Cálculo de la intensidad magnética en ausencia de corrientes libres. Consideremos un cuerpo magnetizado en ausencia de corrientes libres, y supongamos que el cuerpo magnetizado ocupa un volumen τ. Sea S la supercie cerrada que limita al volumen τ, y sea n un vector unitario normal a S en cada punto, dirigido hacia el exterior del cuerpo magnetizado. Sea r el vector de posición de los puntos del cuerpo magnetizado, y sea M(r ) la magnetización. El cuerpo magnetizado va a crear en todos los puntos del espacio un campo magnético B(r) y un vector intensidad magnética H(r). Dado que el cuerpo está magnetizado en ausencia de corrientes libres (piense, por ejemplo, en un imán permanente que está magnetizado sin que sobre él actúe un campo magnético externo), de acuerdo con la expresión diferencial de la ley de Ampère en presencia de cuerpos materiales, el vector intensidad magnética creado por el cuerpo magnetizado H(r) va a ser un campo vectorial irrotacional, esto es, se cumple que: H(r) = 0 (1)

2 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 2 Y de acuerdo con lo que hemos visto en el tema 0, H(r) debe poder escribirse en términos de un potencial escalar. Por analogía con lo que ocurre con el campo eléctrico, vamos a denir el potencial escalar magnético φ m (r) creado por el cuerpo magnetizado como un campo escalar que está relacionado con H(r) mediante la ecuación: H(r) = φ m (r) (2) Basándonos en la ecuación (2), vamos a obtener una expresión del potencial escalar magnético creado por el cuerpo magnetizado en términos de la magnetización. Al estudiar las corrientes de magnetización, hemos visto que el potencial vector magnético creado por el cuerpo magnetizado se puede escribir en términos de la magnetización mediante la expresión: A(r) = µ 0 τ M(r ) ( ) 3 dτ (3) Y de acuerdo con la denición de potencial vector magnético, el campo magnético creado por el cuerpo magnetizado se puede escribir: B(r) = A(r) = = µ 0 τ µ 0 M(r ) M(r τ ) ( ) dτ 3 3 dτ (4) Si ahora hacemos uso de la identidad vectorial (A B) = (B )A (A )B + A( B) B( A) (donde A = A(r) y B = B(r) son dos campos vectoriales) en el caso en que A = M(r ) y B = ( r r r r 3 ), el integrando de la segunda integral de la ecuación

3 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 3 (4) se puede reescribir: M(r ) 3 = 3 M(r ) (M(r ) ) 3 +M(r r r ) 3 3 ( M(r )) (5) Ahora bien, si tenemos en cuenta que el operador no actúa sobre las coordenadas del vector r y hacemos uso de la expresión obtenida en el tema 0 para la delta de Dirac tridimensional (junto con el resultado del apartado a) del problema 2 del Boletín 0), podemos escribir que: 3 M(r ) = 0 (6) M(r r r ) 3 = M(r 1 ) = M(r ) 2 1 = M(r )δ( ) (7) M(r ) = 0 (8) y sustituyendo las ecuaciones (6), (7) y (8) en la ecuación (5), se llega a que: M(r ) 3 = (M(r ) ) 3 + M(r )δ( ) (9) Por otro lado, si hacemos uso de la identidad vectorial (A B) = A ( B)+B ( A)+(A )B+(B )A (donde A = A(r) y

4 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 4 B = B(r) son dos campos vectoriales) en el caso en que A = M(r ) ( ) y B =, se obtiene lo siguiente: r r r r 3 M(r ) 3 = M(r r r ) ( M(r )) + (M(r ) ) M(r ) (10) Ahora bien, si tenemos en cuenta que: 1 3 = = 0 (11) M(r ) = 0 (12) y tenemos en cuenta la ecuación (6), la ecuación (10) se convierte en: M(r ) 3 = (M(r ) ) 3 (13) Y sustituyendo la ecuación (13) en la ecuación (9), llegamos a la siguiente expresión: M(r ) = 3 M(r ) 3 + M(r )δ( ) (14) Si ahora introducimos la ecuación (14) en la ecuación (4), llegamos a que: B(r) = µ 0 1 τ M(r ) 3 dτ + τ M(r )δ( )dτ

5 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 5 = µ 0 1 M(r τ ) ( ) dτ 3 + M(r) (15) Por otro lado, de acuerdo con la ecuación (2) y con la denición del vector intensidad magnética, debe cumplirse que: φ m (r) = B(r) µ 0 M(r) = B(r) = µ 0 ( φ m (r) + M(r)) (16) Y comparando las ecuaciones (15) y (16), llegamos a que la expresión del potencial escalar magnético creado por el cuerpo magnetizado viene dada por: φ m (r) = 1 τ M(r ) ( ) 3 dτ (17) salvo una constante aditiva que tomaremos, por convenio, igual a cero. Se observa que la expresión obtenida para el potencial escalar magnético en términos de la magnetización es análoga a la obtenida en el tema 3 para el potencial eléctrico creado por un cuerpo polarizado en términos de la polarización. Por tanto, si procedemos como en el tema 3, el integrando de la ecuación (17) lo podemos reescribir como: M(r ) ( ) 3 = M(r ) = 1 M(r ) M(r ) (18) donde se ha utilizado la identidad vectorial A f = (fa) f( A) (que a su vez se deduce de la identidad vectorial (fa) = A f + f( A), siendo A = A(r ) un campo vectorial y f = f(r ) un campo escalar) en el caso en que A = M(r ) y

6 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 6 f = 1 r r. Si introducimos la ecuación (18) en la ecuación (17) y aplicamos el teorema de la divergencia, se obtiene la siguiente expresión para el potencial escalar magnético creado por el cuerpo magnetizado: φ m (r) = 1 S M(r ) n ds + 1 ( τ M(r )) dτ (19) Al igual que hicimos en el tema 3, vamos a denir un campo escalar σ M (r ) en la supercie S dado por la ecuación: σ M (r ) = M(r ) n r S (20) y otro campo escalar ρ M (r ) en el volumen τ dado por la ecuación: ρ M (r ) = M(r ) r τ (21) donde σ M (r ) se mide en A/m en el sistema internacional y ρ M (r ) se mide en A/m 2. Si ahora sustituimos las ecuaciones (20) y (21) en (19), llegamos a la siguiente expresión para el potencial escalar magnético creado por el cuerpo magnetizado: φ m (r) = 1 S σ M (r ) ds + 1 τ ρ M (r ) dτ (22) Por analogía con la expresión obtenida en el tema 3 para el potencial eléctrico creado por un cuerpo polarizado en términos de las densidades de carga de polarización, a σ M (r ) se la conoce como densidad supercial de carga de magnetización y a ρ M (r ) se la conoce como densidad volumétrica de carga de magnetización (en algunos libros se llama a σ M (r ) densidad supercial de polo magnético, y a ρ M (r ), densidad volumétrica de polo magnético). De hecho, las cargas de magnetización son al potencial escalar

7 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 7 magnético y al vector intensidad magnética creados por un cuerpo magnetizado en ausencia de corrientes libres lo que son las cargas de polarización al potencial eléctrico y campo eléctrico creados por un cuerpo polarizado. Esto signica que el vector intensidad magnética creado por un cuerpo magnetizado en ausencia de corrientes libres se puede calcular en términos de las cargas de magnetización como si se estuviera resolviendo un problema electrostático en el que las cargas de magnetización actúan como fuentes escalares del vector intensidad magnética. De hecho, es fácil ver que el potencial escalar magnético creado por el cuerpo magnetizado satisface la ecuación de Poisson. Para ello, basta tomar la divergencia de la ecuación (16) y tener en cuenta que el campo magnético es un campo vectorial solenoidal, con lo cual, se debe cumplir que: ( φ m (r) + M(r)) = 0 = 2 φ m (r) = M(r) (23) Y teniendo en cuenta la ecuación (21) en la ecuación (23), se llega a que: 2 φ m (r) = ρ M (r) (24) En aquellos puntos en los que la magnetización sea nula o la magnetización sea uniforme, se va a cumplir que ρ M (r) = M(r) = 0, con lo cual, de acuerdo con la ecuación (24), se va a cumplir también que 2 φ m (r) = 0, o lo que es lo mismo, que el potencial escalar magnético satisface la ecuación de Laplace. Por analogía con la expresión obtenida en el tema 3 para el campo eléctrico creado por un cuerpo polarizado en términos de las cargas de polarización, si introducimos la ecuación (22) en la ecuación (2), llegaremos a una expresión para el vector intensidad magnética creado por el cuerpo magnetizado en términos de las

8 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 8 cargas de magnetización, expresión que viene dada por: H(r) = 1 S σ M (r ) ( ) 3 ds + 1 τ ρ M (r ) ( ) 3 dτ (25) Cargas de magnetización en un imán cilíndrico. Para ilustrar el concepto de las cargas de magnetización y de la utilidad de estas cargas en el cálculo de la intensidad magnética creada por un cuerpo magnetizado en ausencia de corrientes libres, vamos a considerar de nuevo el imán cilíndrico uniformemente magnetizado para el cual ya se han calculado previamente las corrientes de magnetización equivalentes. Sea z el eje de revolución del imán cilíndrico, sean a y l el radio y la longitud del imán, y sea M = M 0 u z la magnetización, tal y como se muestra en la gura adjunta. De acuerdo con la ecuación (20), las densidades superciales de carga de magnetización en las dos supercies circulares que limitan el imán cilíndrico por arriba y por abajo vienen dadas por: σ M z=l = M n = M 0 u z (+u z ) = +M 0 σ M z=0 = M n = M 0 u z ( u z ) = M 0 Y la densidad supercial de carga de magnetización en la supercie lateral del imán cilíndrico será nula ya que: σ M ρ=a = M n = M 0 u z u ρ = 0

9 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 9 Finalmente, de acuerdo con la ecuación (21), la densidad volumétrica de carga de magnetización también será nula ya que: ρ M = M = M 0 z = 0 En denitiva, las fuentes escalares del vector intensidad magnética creado por el imán cilíndrico se reducen a dos discos circulares cargados supercialmente, uno con carga de magnetización uniforme positiva y otro con carga de magnetización uniforme negativa. La expresión matemática del vector intensidad magnética creado por estos discos de carga de magnetización va a ser, a excepción de una constante multiplicativa, exactamente igual a la del campo eléctrico creado por dos discos circulares cargados eléctricamente que ocupan las supercies circulares superior e inferior del imán cilíndrico, y que están cargados uniformemente con cargas iguales en valor absoluto y de signo contrario. Pues bien, las líneas de este campo eléctrico deben coincidir con las líneas de campo del vector intensidad magnética creado por el imán cilíndrico, tal y como muestra la gura adjunta. Se observa que en el exterior del imán cilíndrico las líneas de B y H coinciden ya que B = µ 0 H en dicha región. En cambio, en el interior del imán cilíndrico, la intensidad magnética H lleva sentido contrario al del campo magnético B. Esto hace que en el interior del imán cilíndrico se cumpla que B =

10 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 10 µ 0 H + M < µ 0 M, y dado que H contrarresta el efecto de la magnetización en el interior del imán cilíndrico, se dice que H en el interior del imán es un campo desmagnetizante. Se observa que las líneas del vector H creado por el imán cilíndrico no son líneas cerradas (lo cual es lógico ya que H = M = ρ M y, por tanto, H no es un campo vectorial solenoidal), y que las líneas de H parten de las cargas de magnetización positivas (fuentes de H) y terminan en las cargas de magnetización negativas (sumideros de H). Se observa también que las cargas de magnetización positivas están localizadas en el polo norte del imán, y que las cargas de magnetización negativas están localizadas en el polo sur. Este resultado va a seguir cumpliéndose para cualquier imán, independientemente de cuál sea su geometría. Finalmente, conviene mencionar que al igual que ocurre con la carga de polarización total de un dieléctrico, la carga de magnetización total de un cuerpo magnetizado es nula ya que: S σ M (r )ds + τ ρ M (r )dτ = S M(r ) n ds τ M(r )dτ = 0 (26) Este último resultado es consecuente con el hecho de que no se pueden aislar polos magnéticos de un único tipo, o lo que es lo mismo, de que no se pueden aislar cargas de magnetización con un único signo.