Conducción en régimen transitorio

Transcripción

1 Conducción en régimen transitorio 1.1. Ejemplo: Calefacción de una casa Se propone el estudio de la transferencia de calor entre una casa y el medio que la rodea en régimen estacionario y en régimen transitorio. La casa se modela bajo la forma de un paralelepípedo de base adiabática, de altura H, de longitud L, de ancho l; sus paredes y su techo, de espesor e = 20cm son constituidos de un material de conductividad térmica k = 2W m 1 K 1. La calefacción se asegura mediante una caldera cuya posición y dimensiones no influyen sobre la transferencia en estudio. La temperatura de cada pared, y del techo, se denota T (x, t) situando el origen de las coordenadas x = 0 al exterior de la casa y el plano interior definido por x = e. El coeficiente de intercambio por convección y radiación, en el interior de la casa, es uniforme y constante y vale h = 10W m 2 K Estudio del régimen estacionario a) Se supondrá en lo sucesivo que el coeficiente de transferencia por convección y radiación, en el exterior de la casa, es lo suficientemente grande como para que se pueda escribir que la temperatura de la pared T (x = 0 es igual a la temperatura atmosférica T a. Hallar un orden de magnitud para este coeficiente h e a partir del cual ésta hipótesis es justificada. b) En régimen estacionario, la temperatura en el interior de la casa es igual a T i = 20 C y la temperatura atmosférica es T a = 0 C. Introduciendo las variables adimensionales: X = x e θ s = T (X) T a T i T a B i = he k i) Expresar θ s en función de X y del número de Biot B i. Calcular la temperatura media de las paredes y la temperatura en x = e. 1

2 ii) Qué potencia térmica φ s consumirá la casa en régimen estacionario? c) La conductividad térmica de las paredes k fue estimada a partir del material de construcción k h = 1,7W m 1 K 1, de espesores e h = 20cm, así como también teniendo en cuenta superficies vidriadas, k v = 0,7W m 1 K 1, de espesores e b = 1,5cm. En base a los cálculos anteriores, qué porcentaje de superficie vidriada posee la casa? Estudio del régimen transitorio Se considera a la casa (paredes + aire contenido) a una temperatura inicial igual a la temperatura ambiente T a y se estudiará el régimen transitorio que conduce a la situación descripta en la sección anterior. a) Para obtener rápidamente un orden de magnitud de la energía térmica necesaria para la calefacción de la casa, se desprecia, para tiempos cortos, le flujo térmico hacia el exterior. En estas condiciones, qué flujo térmico Q m se necesita para llegar a la distribución de temperaturas θ s (X) establecida en la anterior sección? Comparar la energía entregada respectivamente, al aire y a las paredes a lo largo de este régimen transitorio. b) Se propone evaluar la energía térmica Q que se necesita realmente para la calefacción. Se supone, en adelante, que la temperatura en el interior de la casa es, en el instante t = 0, igual a T i y la temperatura de las paredes, igual a T a. La evolución de la temperatura T (x, t) en el interor de las paredes se calcula a partir de los parámetro adimensionales: θ(x, τ) = T (X, τ) T a T i T a τ = at e 2 La transferencia convectiva se efectúa siguiendo las mismas hipótesis que en el régimen estacionario. i) Escribir la ecuación de propagación de la energía térmica que relacionan las derivadas parciales de θ(x, τ). ii) Se establece que θ(x, τ) = θ s (X) + θ i (X, τ). En consecuencia, escribir la ecuación a derivadas parciales y las condiciones de contorno espacio temporales que debe satisfacer θ i (X, τ).

3 iii) Demostrar que es posible escribir θ i (X, τ) bajo la forma: θ i (X, τ) = A j sen(ω j X)exp( ωj 2 τ) j=1 Qué relación vincula ω j con el número de Biot? Qué relación permite calcular A j? Los valores resultantes de los coeficientes son: ω 1 = 2,02876 A 1 = 0,36459 ω 2 = 4,91318 A 2 = +0,07808 ω 3 = 7,97867 A 3 = 0,03699 ω 4 = 11,0855 A 1 = +0,01608 iv) Se estima que el régimen transitorio se termina cuando la temperatura en la pared en x = e es cercana a la del régimen estacionario en un medio grado, T s ± 0,5 C. Calcular el número de Fourier τ R y la duración t R del régimen transitorio que corresponde a esta definición. v) Deducir de las preguntas anteriores la energía térmica Q y la potencia φ m que han sido necesarias para calentar las paredes de la casa. Calcular las razones Q Q m y φ φ m. Datos numéricos: L = 10m l = 6m H = 4m De las paredes: ρ = 2000kg/m 3 C = 880J/(kgK) Relativas al aire: ρ = 1,3kg/m 3 C = 1000J/(kgK) Solución: Régimen estacionario a) Para que la resistencia convectiva exterior sea muy inferior a la resistencia por conducción o por convección del interior, se debe verificar: 1 h e e k o bien 1 h de donde, h e k e = h 10W/(m2 K) La hipótesis es discutible en términos prácticos.

4 b) i) En el régimen estacionario, θ S = BiX 1 + Bi Bi = 1, T m = 8,75 C, T (x = e) = 12,5 C ii) k dt dx = 75W/m2 = φ S = 14,1kW iii) Resistencia equivalente: Considerando la superficie de ladrillos y la de vidrio, S = S L + S v : S ( 1 h + e k ) 1 = S v ( 1 h + e v k v de donde: S L S = 0,11 es decir un 11 % de superficie vitrada Régimen transitorio a) Calefacción sin pérdidas: Aire: Q a = ρ a C a llh(t i T a ), ) 1 ( 1 + S L h + e ) 1 L k L Paredes: Q m = ρ L C L (2LH + 2lH + Ll)e(T m T a ), luego el calor total Q = Q }{{} a + Q m 252, 8MJ }{{} 1,88 % 98,11 % Deducimos que calentar una casa es, esencialmente, calentar sus paredes. b) i) ii) 2 θ X θ 2 τ = 0 2 θ i X θ i 2 τ = 0 Las condiciones para las ecuaciones, { θi (X, 0) = θ S (X) θ i (X, ) = 0 θ ( i (0, τ) ) = θ S (0) = 0 θi = Biθ i (1, τ) X 1,τ

5 iii) Se separan variables: ω j + Bi tanω j = 0 Bi X 1 + Bi = A j sen(ω j )X j A j = 2Bi senω j ωj 2 + Bi sen2 ω j iv) Sólo se conserva el primer término de la serie, luego: τ R = 0,5548 t R = 19500s 5,4h Se verifica que para τ 0,555, el primer término vale 0,0333 y el segundo, 1, v) La energía térmica necesaria para la calefacción: o bien, Q = Q = tr 0 tr Los dos cálculos resultan, { t R Q = hs(t i T a ) 1 + Bi e2 a 0 hs(t i T (e, t)dt ( ) T k Sdt x x=e,t j A j sen(ω j ) ω 2 j [ 1 exp( ω 2 j t R ) ]} Se comprueba que el cálculo efectuado sin considerar las pérdidas daba del orden de magnitud del cálculo final- Q = 347MJ = 1,33Q m