Tema 7: Fundamentos de transferencia de calor

Transcripción

1 .- INRODUCCIÓN ema 7: Fundamentos de transferencia de calor La transferencia de calor es la ciencia ue trata de predecir el intercambio de energía ue puede tener lugar entre cuerpos materiales como resultado de una diferencia de temperaturas. A diferencia de la ermodinámica, la transferencia de calor pretende no sólo eplicar cómo puede transferirse la energía térmica sino también predecir la rapidez con la ue tiene lugar la transferencia. La ermodinámica tiene por objeto de estudio los estados de euilibrio, mientras ue la transferencia de calor estudia sistema ue no esta en euilibrio durante el proceso de transferencia. Por ejemplo, si introducimos una barra caliente de acero en un cubo de agua, la ermodinámica podrá utilizarse para obtener información sobre la temperatura final de euilibrio del conjunto pero no ofrece información sobre la temperatura de ambos elementos barra de acero agua) en función del tiempo; mediante los principios de transferencia de calor sí ue se podrá conocer esta evolución. Los mecanismos de transferencia de calor son: conducción, convección radiación. Estos mecanismos se podrán producir simultáneamente con diferente importancia relativa. 2.- INRODUCCION A LOS MECANISMOS DE RANSFERENCIA 2.. Conducción La conducción se considera como la transferencia de energía de las partículas más energéticas a las menos energéticas de una sustancia debido a las interacciones entre las mismas. Es el mecanismo dominante en el interior de sólidos está asociada a la vibración de las moléculas con distinta velocidad, ue con el tiempo se uniformizará. La ecuación ue modela el intercambio de calor por conducción es la le de Fourier: = donde es el vector densidad de flujo de calor epresado en W/m 2 es el gradiente de temperaturas. La constante de proporcionalidad es una propiedad del sistema ue se domina conductividad térmica se epresa en unidades de W/mK) ue depende de diversos factores. Algunos valores típicos de la conductividad térmica son: aire = 0,026 W/mK; aislante = 0,04 W/mK ; hormigón =,6 W/mK ; aluminio = 225 W/mK 2.2 Convección Si eiste una diferencia de temperatura en el interior de un líuido o un gas, es casi seguro ue se producirá un movimiento del fluido. Este movimiento transfiere calor de una parte del fluido a otra por un proceso llamado convección. La transferencia de calor por convección se compone, por tanto, de dos mecanismos: la transferencia de energía debida al movimiento molecular difusión) más la transferencia asociada al movimiento global o macroscópico del fluido. Puede presentarse entre una superficie un fluido o

2 bien entre dos fluidos. El movimiento del fluido puede ser natural o forzado: si se calienta un líuido o un gas, su densidad suele disminuir; si el líuido o gas se encuentran en el campo gravitatorio, el fluido más caliente menos denso asciende, mientras ue el fluido más frío más denso desciende. Este tipo de movimiento, debido eclusivamente a la no uniformidad de la temperatura del fluido, se denomina convección natural. La convección forzada se logra sometiendo el fluido a un gradiente de presiones, con lo ue se fuerza su movimiento de acuerdo a las lees de la mecánica de fluidos bombas, ventiladores, ). Otra clasificación de la transferencia de calor por convección hace referencia a la región o límites en ue ésta tiene lugar, pudiéndose distinguir: - Convección interna: cuando el fluido está confinado a unos límites más o menos definidos por ejemplo, un fluido circulando por una tubería). - Convección eterna: cuando el fluido no está confinado a límites físicos definidos por ejemplo, el intercambio de calor entre el suelo la atmósfera). El calentamiento de una habitación mediante un radiador es un buen ejemplo del mecanismo de convección, ue provoca ue el aire caliente suba hacia el techo el aire frío del resto de la habitación se dirija hacia el radiador. Debido a ue el aire caliente menos denso) tiende a subir el aire frío más denso) a bajar, los radiadores deben colocarse cerca del suelo los aparatos de aire acondicionado cerca del techo para ue la eficiencia sea máima. De la misma forma, la convección natural es responsable de la ascensión del agua caliente el vapor en las calderas de convección natural, del tiro de las chimeneas. La convección también determina el movimiento de las grandes masas de aire sobre la superficie terrestre, la acción de los vientos, la formación de nubes, las corrientes oceánicas la transferencia de calor desde el interior del Sol hasta su superficie. La ecuación ue rige el intercambio de calor por convección entre una superficie el entorno es la le de enfriamiento de Newton: = h )n s donde es el vector densidad de flujo de calor W/m 2 ), n es un vector perpendicular a la superficie, s son las temperaturas de la superficie el entorno, respectivamente h es el denominado coeficiente de transferencia o de película epresado en W/m 2 K). Algunos valores típicos del coeficiente de película para distintos mecanismos de convección se suministran en la siguiente tabla:

3 ipo de convección Fluido h W/m 2 K) Convección libre Convección forzada Gases 2-25 Líuidos Gases Líuidos Radiación La radiación térmica es la energía emitida por la materia ue se encuentra a una temperatura finita. Aunue centraremos nuestra atención en la radiación de superficies sólidas, ésta también puede provenir de líuidos gases. La energía del campo de radiación es transportada por ondas electromagnéticas ue, como sabemos, no precisa ningún medio material para propagarse a diferencia de la conducción la convección). Una superficie se caracteriza por la fracción de energía ue refleja reflectividad, ρ) la fracción ue absorbe absortividad, α) la fracción ue transmite transmisividad, τ). Lógicamente, por continuidad debe verificarse: ρ α τ = Se observa eperimentalmente ue las propiedades de absorción, refleión transmisión de una sustancia dependen de la longitud de onda de la radiación incidente. El vidrio, por ejemplo, transmite grandes cantidades de radiación ultravioleta, de baja longitud de onda, pero es un mal transmisor de los raos infrarrojos, de alta longitud de onda. Este hecho eplica el calentamiento de los invernaderos. La energía radiante del Sol, máima en las longitudes de onda visibles, se transmite a través del vidrio entra en el invernadero. En cambio, la energía emitida por los cuerpos del interior del invernadero, predominantemente de longitudes de onda maor, correspondiente al infrarrojo, no se transmiten al eterior a través del vidrio. Así, aunue la temperatura del aire en el eterior del invernadero sea baja, la temperatura ue ha dentro es mucho más alta porue se produce una considerable transferencia de calor neta hacia su interior. El comportamiento selectivo de los gases de la atmósfera frente a las distintas longitudes de onda provoca también el denominado efecto invernadero en nuestro planeta. La le ue rige el intercambio de calor por radiación es la le de Stefan-Boltzmann 4 E = εσ s donde E es el calor emitido por unidad de tiempo área W/m 2 ), σ es la constante de Stefan-Boltzmann W/m 2 K 4 ), s es la temperatura de la superficie ε es la emisividad del cuerpo para los cuerpos negros ε =, en general

4 puede demostrarse ue ε = α). Si la superficie está epuesta al ambiente, ésta también emite de acuerdo a la le de de Stefan-Boltzmann la cantidad neta de calor transferida desde la superficie será: donde amb es la temperatura ambiente. Q = εσ 4 4 s ασ amb = εσ 4 4 s amb ) 3.- CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA. BALANCES En un estado estacionario, el flujo entrante en un volumen de control la generación de energía igualan al flujo saliente del volumen de control. E ent E g E sal = 0 Si no se ha alcanzado el estado estacionario, el balance entre los términos anteriores debe completarse con un término de almacenamiento de energía. E E E = E ent g sal alm El almacenamiento de energía suele asociarse al cambio de temperatura, epresándose por tanto como: E = ρvc t o al cambio de energía latente en el alm p caso de cambios de fase. En la epresión anterior ρ c p son la densidad el calor especifico del material V, el volumen de control. Con frecuencia se aplicará la conservación de la energía a la superficie de un medio. En este caso especial, la superficie de control no inclue masa o volumen, por tanto, los términos de generación almacenamiento no son relevantes. En este caso, el balance superficial será: E ent = E sal. 4.- FORMULACIÓN MAEMÁICA DE LA CONDUCCIÓN DEL CALOR. 4.. Ecuación general de difusión del calor. Consideremos un sólido bidimensional homogéneo en ue no ha movimiento de volumen en el ue las propiedades ρ, c p ) se asumen constantes. Asimismo, se considera una generación interna de g W/m 2 ). El balance de energía en coordenadas cartesianas se epresará:

5 t c p ρ = [ ] [ ] ) ) ) ) Por la Le de Fourier: ) = Por otro lado: Δ) = ) ) Δ desarrollo en serie de alor) Por tanto: ) - Δ) = = ) Análogamente, para la coordenada vertical: ) - Δ) = Introduciendo estos resultados en la ecuación de balance: g t c p = ρ En el ejemplo, se han empleado coordenadas cartesianas. En general, en cualuier tipo de coordenadas de forma vectorial, esta epresión se epresa: ) g t c p = ρ Algunas simplificaciones a esta ecuación son las siguientes: -. Si la conductividad no depende de la posición: g t c p = 2 ρ 2-. Si la situación es de régimen permanente: 2 g = 0 3-.En el caso más simple de ue no eista fuente de generación: 2 = 0

6 Para ue el problema uede totalmente cerrado, es preciso especificar las condiciones físicas ue eistan en las fronteras del medio condiciones de entorno), si la situación depende del tiempo, también habrá ue especificar la condición del medio en algún instante inicial. Como la ecuación es de segundo orden en las coordenadas espaciales, habrá ue especificar dos condiciones de contorno para cada orden espacial. Al ser la dependencia temporal una derivada de primer orden, sólo será necesaria una condición inicial. Con respecto a las condiciones de contorno, ha varias posibilidades ue se corresponden con distintas situaciones físicas se epresan de diferente forma matemática. A continuación se resumen estas posibilidades para una coordenada cualuiera. a) Condición de ª especie o de Dirichlet): emperatura superficial conocida 0,t)= s b) Condición de 2ª especie o de Neumann): Flujo de calor superficial conocido: - =0 = 0 c) Condición de 3ª especie o convectiva): Balance de energía en superficie - =0 = h =0 ) 4.2 Conducción unidimensional en régimen permanente. Analogía eléctrica. Consideremos una placa plana en la ue la temperatura es solo función de la coordenada X el calor se transfiere eclusivamente en esa dirección. Se considera el régimen estacionario, en el ue las propiedades no varían con el tiempo se asume ue no ha generación. La ecuación ue gobierna el proceso será: 2 = 0 ue en 2 d coordenadas cartesianas a lo largo del eje X se epresa: = 0. Al tratarse de 2 d régimen estacionario, no es preciso imponer ninguna condición inicial. En cuanto a las condiciones de contorno, se impondrá la temperatura en los etremos: X=0; = X=L; = 2 La solución de la ecuación general será una recta de la forma: ) = a b puesto ue cualuier función lineal tiene su segunda derivada nula. Las constantes a b se determinan mediante las condiciones de contorno. X=0, = b = X=L, 2 = 2 a = L

7 2 Por lo ue la solución completa será: ) = L La solución anterior corresponde a una distribución lineal de temperaturas, entre los valores 2. Para calcular el flujo de calor se procederá: ) = = 2 L Q) = )A = 2 L A Nótese por el signo -) en la ecuación anterior implica ue el calor se transfiere desde los puntos de maor temperatura a los de menor. Si el problema ue se plantea tiene simetría cilíndrica como en el caso de tuberías, por ejemplo), la ecuación habrá ue resolverlas en coordenadas cilíndricas: d dr r d dr = 0, con las condiciones de contorno: r 2 r r = r ; = r = r 2 ; = La solución general a este problema es: r) = ln ln r2 r Y el flujo de calor se obtendrá como: r) = d = 2 2 r Q = = 2πrL. dr lnr 2 r ) ln r2 r ) 2πL r r La forma de estas soluciones permite concebir un modelo sencillo para la resolución de problemas basado en la analogía eléctrica. Se aprecia ue, en ambos casos, el flujo de calor es igual a la diferencia de temperaturas dividido por una constante, a la ue denominamos resistencia térmica. En esta analogía, la diferencia de temperatura será análoga a la diferencia de potencial de los circuitos eléctricos el flujo de calor será asimilable a la corriente eléctrica, es decir: V R elec. R térm.

8 I Q Según los resultados anteriores R placa = L R A cilindro = ln r 2 r ). La analogía 2πL propuesta permite resolver de manera simple sistemas compuestos, como es el caso de aislamientos de muros, tuberías, etc, sin más ue calcular la resistencia euivalente del sistema. Por ejemplo, en un muro formado por diferentes elementos, con distintos espesores conductividades, se tendrá: 2 e A e 2 2 A e n n A e e 2. e n 2 2. n el flujo de calor se calculará como: Q 2 e = n i= i i A Hasta ahora se ha impuesto condiciones de contorno de ª especie. Pero puede ue lo ue se conozca en el problema sea la temperatura caliente a ambos lados del sistema con el ue intercambia calor por convección. A partir de la le de enfriamiento de Newton: Q = hi, e A i, e, 2 ) se comprueba ue la analogía eléctrica puede mantenerse si se define la resistencia térmica convectiva: R conv =, por lo ue el esuema será: ha i 2 e h i e e 2. e n h e 2 n

9 i 2 e h i A e A e 2 2 A.... e n n A h e A el flujo de calor se calculará como: Q i h A = n i e ei A h A i= i 2 Finalmente, si el intercambio con el ambiente es tanto convectivo como radiante podemos recurrir a una resistencia radiante de la forma: Q rad = σε A 4 4 ) = h A ) amb rad amb de donde: h rad. = σε4 4 amb. ) R rad. = amb. h rad. A Si, como ocurrirá con frecuencia, las temperaturas ambiente para la convección radiación coinciden, el esuema euivalente será: hrad A hrad A i 2 e h i A e A e 2 2 A e n n A h e A Nótese ue las resistencias convectiva radiante se disponen en el esuema es paralelo, puesto ue el flujo de calor puede intercambiarse tanto por un mecanismo como por otro. En este esuema completo, el flujo de calor vendrá dado por: i e Q = h e h rad. )A n e i i A i= h i h rad. )A A menudo se agrupan todas estas epresiones utilizando el denominado coeficiente global de transferencia U, definido como Q = UA 2 ). El coeficiente global agrupa todas las resistencias térmicas del sistema. En este caso:

10 U = e i h e h rad. i h i h rad. Por último, es preciso reconocer ue en sistemas compuestos paredes) la caída de temperatura a lo largo de la interfaz entre los materiales puede no ser despreciable. Este cambio de temperatura se atribue a los efectos de rugosidad de la superficie se modela por medio de la denominada resistencia de contacto. Por unidad de área de interfaz, la resistencia de contacto se define como: A B Rc =, donde A B son las temperaturas a ambos lados de la interfaz es el flujo de calor. En el cálculo del coeficiente de transferencia habrá ue añadir si la hubiera) las resistencias térmicas de contacto entre superficies: U = h e h rad. n e i i= m i= R ci i h i h rad. Criado Aldeanueva, F., Aguiar, J. Gómez Merino, A. 20) Ampliación de Física en la Ingeniería OCW- Universidad de Málaga Bajo licencia Creative Commons Attribution-Non-Comercial-ShareAlie