Tema II: Régimen transitorio

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1 Tema II: égimen transitorio egímenes permanente y transitorio Notación del régimen transitorio Elementos pasivos en régimen transitorio Cálculo de condiciones iniciales y finales Ejemplo 1 de cálculo de condiciones iniciales y finales Ejemplo 2 de cálculo de condiciones iniciales y finales Ejemplo 3 de cálculo de condiciones iniciales y finales Ejemplo 4 de cálculo de condiciones iniciales y finales Ejemplo 5 de cálculo de condiciones iniciales y finales Ejemplo 6 de cálculo de condiciones iniciales y finales Ejemplo 7 de cálculo de condiciones iniciales y finales Ejemplo 8 de cálculo de condiciones iniciales y finales Ejemplo 9 de cálculo de condiciones iniciales y finales Ejemplo 10 de cálculo de condiciones iniciales y finales Ejercicios de repaso Condiciones iniciales y finales / Condiciones iniciales y finales / Análisis en régimen transitorio espuesta natural de un circuito Significado de la constante de tiempo Ejemplo de respuesta natural en un circuito espuesta natural de un circuito C espuesta forzada en circuitos y C espuesta en régimen transitorio de circuitos con un solo elemento reactivo Ejemplos de respuesta forzada Ejemplo de respuesta forzada en un circuito C Ejemplo de respuesta forzada en un circuito... 67

2 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 34 espuesta de un circuito con dos elementos reactivos no agrupables Solución de las ecuaciones diferenciales Solución de la ecuación homogénea Obtención de las expresiones temporales Ejemplo 1 de respuesta de circuito con dos elementos Observaciones Ejemplo 2 de respuesta en circuito con dos elementos Ejemplo 3 de respuesta en circuito con dos elementos Ejemplo 4 de respuesta en circuito con dos elementos Ejemplo 5 de respuesta en circuito con dos elementos Ejemplo 6 de respuesta en circuito con dos elementos Ejemplo 7 de respuesta en circuito con dos elementos Ejemplo 8 de respuesta en circuito con dos elementos Ejercicios de repaso espuesta en transitorio / espuesta en transitorio / Circuitos con elementos desacoplados Observaciones Ejemplo 1 de circuito con elementos desacoplados Ejemplo 2 de circuito con elementos desacoplados Ejemplo 3 de circuito con elementos desacoplados Circuitos con cambios sucesivos Ejemplo 1 de circuito con cambios sucesivos Ejemplo 2 de circuito con cambios sucesivos Ejemplo 3 de circuito con cambios sucesivos

3 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 35 egímenes permanente y transitorio égimen permanente as excitaciones (fuentes) llevan mucho tiempo aplicadas. as características de las fuentes no cambian con el tiempo. Condiciones de estudio égimen permanente continuo. égimen permanente sinusoidal. a respuesta del circuito (corrientes y tensiones) es de la misma naturaleza que las excitaciones égimen transitorio Algunas excitaciones (fuentes) se aplican o se suprimen bruscamente (instantáneamente; en un tiempo nulo) Condiciones de estudio égimen transitorio entre dos regímenes permanentes de continua. Análisis integro-diferencial. a respuesta del circuito (corrientes y tensiones) es de distinta naturaleza que las excitaciones debido a la presencia de elementos reactivos En un circuito cuyos elementos pasivos son únicamente resistencias no hay régimen transitorio aunque cambien las excitaciones; el circuito se adapta instantáneamente a las nuevas condiciones de excitación.

4 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 36 Notación del régimen transitorio Circuito Interruptor ideal Abierto Circuito abierto Cerrado Cortocircuito Excitaciones continuas iniciales Una o más excitaciones t = t 0 Otros elementos Excitaciones continuas finales t = - t = t 0 - t = t 0 t = t T t = égimen permanente continuo inicial égimen transitorio égimen permanente continuo final espuesta continua t 0 - = t 0 =t 0 espuesta variable con el tiempo espuesta continua t = t 0 - : final del régimen permanente continuo inicial t = t 0 : inicio del régimen transitorio t = t T : final del régimen transitorio; comienzo del permanente continuo final t = : final del régimen permanente continuo final Salvo que se indique explícitamente lo contrario, se supondrá t 0 = 0 s.

5 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 37 Elementos pasivos en régimen transitorio epresentación gráfica elación funcional epresentación gráfica elación funcional v Ṟ i (t) esistencia v (t) = i (t) p (t) = v (t)i (t) v Ṟ i (t) esistencia v (t) = - i (t) p (t) = - v (t)i (t) i (t) v - Inductancia v (t) = di (t) p (t) = v (t)i (t) i (t) v - Inductancia v (t) = - di (t) p (t) = - v (t)i (t) v C- C i C (t) Capacidad i C (t) = C dv C (t) p C (t) = v C (t)i C (t) v C- C i C (t) Capacidad i C (t) = - C dv C (t) p C (t) = - v C (t)i C (t) Consecuencias Inductancia Capacidad esistencia a corriente no varía bruscamente (daría origen a tensión infinita) i (t 0 ) = i (t - 0 ) a tensión puede variar bruscamente v (t 0 ) = v (t 0 - ) Continua Cortocircuito v = 0 V i cualquiera Circuito abierto i C = 0 A v C cualquiera a tensión no varía bruscamente (daría origen a corriente infinita) v C (t 0 ) = v C (t 0 - ) a corriente puede variar bruscamente i C (t 0 ) = i C(t - 0 ) a corriente y la tensión pueden variar bruscamente i (t 0 ) = i (t 0 - ) v (t 0 ) = v (t 0 - )

6 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 38 Cálculo de condiciones iniciales y finales Condiciones en t = t 0 - Condiciones en t = t 0 Condiciones en t = Situación del circuito correspondiente a - - t t 0 Continua Situación del circuito correspondiente a t 0 t Transitorio Situación del circuito correspondiente a t 0 t Continua Para todos t, y C v (t) = 0 V i C (t) = 0 A Para todas y C i (t 0 ) = i (t 0 - ) v C (t 0 ) = v C (t 0 - ) Para todos t, y C v (t) = 0 V i C (t) = 0 A Para todos t, y C, hallar i (t), v C (t) y otras magnitudes (Kirchhoff, mallas, nudos) Para todas y C, hallar v (t 0 ), i C (t 0 ) y otras magnitudes (Kirchhoff, mallas, nudos) Para todos t, y C, hallar i (t), v C (t) y otras magnitudes (Kirchhoff, mallas, nudos) A i y v C se les denomina magnitudes fundamentales porque definen el comportamiento de inductancias y capacidades.

7 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 39 Ejemplo 1 de cálculo de condiciones iniciales y finales I G C Se suponen conocidos los valores de todos los elementos del circuito. El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se desea hallar los valores de las corrientes y las tensiones en la inductancia y la capacidad en -, y t =. i C vc I G C - i v Ḻ a figura adjunta muestra la situación del circuito para todo t tal que - t 0, y, en particular, para -. Se asignan arbitrariamente los sentidos de las corrientes y las polaridades de las tensiones. a capacidad es un circuito abierto en continua (corriente nula). a corriente de la fuente ha de circular por la resistencia en paralelo con la capacidad, ya que ésta es un circuito abierto. as tensiones en ambos elementos son iguales por estar en paralelo. a inductancia es un cortocircuito en continua (tensión nula). No hay corriente en la inductancia porque no está conectada a la excitación. El circuito se halla en régimen permanente continuo, ya que la fuente es continua. i C (0 - ) = 0 A I G = i C v C v C (0 - ) = I G v (0 - ) = 0 V i (0 - ) = 0 A

8 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 40 i C v C- i I C G v Ḻ a figura adjunta muestra la situación del circuito para todo t tal que 0 t, y, en particular, para. Se mantienen los sentidos de las corrientes y las polaridades de las tensiones elegidos anteriormente. a tensión en la capacidad y la corriente en la inductancia no pueden variar bruscamente. Ecuación de nudo. Ecuación de malla. El circuito entra en transitorio porque han cambiado las condiciones de excitación en algunos elementos. v C (0 ) = v C (0 - ) = I G i (0 ) = i (0 - ) = 0 A I G = i C v C i i C (0 ) = 0 A v C = i v v (0 ) = I G i C v C- i I C G v Ḻ a figura adjunta muestra la situación del circuito para todo t tal que 0 t, y, en particular, para t =. Se mantienen los sentidos de las corrientes y las polaridades de las tensiones elegidos anteriormente. a capacidad es un circuito abierto en continua (corriente nula). a inductancia es un cortocircuito en continua (tensión nula). El transitorio ha finalizado y el circuito se encuentra en régimen permanente continuo. i C ( ) = 0 A v ( ) = 0 V I G = i C v C i v C = i v i ( ) = I G 2 v C ( ) = I G 2

9 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 41 Ejemplo 2 de cálculo de condiciones iniciales y finales V G Se suponen conocidos los valores de todos los elementos del circuito. C El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se desea hallar los valores de las corrientes y las tensiones en la inductancia y la capacidad en -, y t =. v - V G i i C v C- C Se asignan arbitrariamente los sentidos de las corrientes y las polaridades de las tensiones. a figura adjunta muestra la situación del circuito para todo t tal que - t 0, y, en particular, para -. El circuito se halla en régimen permanente continuo, ya que la fuente es continua. a capacidad es un circuito abierto en continua (corriente nula). a inductancia es un cortocircuito en continua (tensión nula). Ecuación de malla. Ecuación de nudo. i C (0 - ) = 0 A v (0 - ) = 0 V V G = v v C v C (0 - ) = V G i = v C 1 1 i C = 2V G

10 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 42 v - V G i i C v C- C Se mantienen los sentidos de las corrientes y las polaridades de las tensiones elegidos anteriormente. a tensión en la capacidad y la corriente en la inductancia no pueden variar bruscamente. Ecuación de nudo. Ecuación de malla. a figura adjunta muestra la situación del circuito para todo t tal que 0 t, y, en particular, para. El circuito entra en transitorio porque han cambiado las condiciones de excitación en algunos elementos. v C (0 ) = v C (0 - ) = V G i (0 ) = i (0 - ) = 2V G v C i C = 0 i C (0 ) = - V G V G = v i v (0 ) = - V G v - V G i i C v C- C Se mantienen los sentidos de las corrientes y las polaridades de las tensiones elegidos anteriormente. a figura adjunta muestra la situación del circuito para todo t tal que 0 t, y, en particular, para t =. El transitorio ha finalizado y el circuito se encuentra en régimen permanente continuo. a capacidad es un circuito abierto en continua (corriente nula). a inductancia es un cortocircuito en continua (tensión nula). Ecuación de nudo. Ecuación de malla. i C ( ) = 0 A v ( ) = 0 V v C i C = 0 v C ( ) = 0 V V G = v i i ( ) = V G

11 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 43 Ejemplo 3 de cálculo de condiciones iniciales y finales I G i C C v C- av Se desea hallar los valores de las corrientes y las tensiones en la inductancia y la capacidad en -, y t =, y la variación de energía en la inductancia entre y t =. i v Ḻ El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se suponen conocidos los valores de I G,,, C y a. - Continua Ecuación de nudo Ecuación de malla v (0 - ) = 0 V, i C (0 - ) = 0 A i C (0 - ) i (0 - ) = 0 i (0 - ) = 0 A v C (0 - ) = av (0 - ) i (0 - ) v (0 - ) = 0 V No hay cambios Ecuación de nudo Ecuación de malla v C (0 ) = v C (0 - ) = 0 V, i (0 ) = i (0 - ) = 0 A I G = v C (0 ) i C (0 ) i (0 ) i C (0 ) = I G v C (0 ) = av (0 ) i (0 ) v (0 ) v (0 ) = 0 V t = Continua Ecuación de nudo Ecuación de malla v ( ) = 0 V, i C ( ) = 0 A I G = v C ( ) i C ( ) i ( ) v C ( ) = av ( ) i ( ) v ( ) i ( ) = I G 2, v C ( ) = I G 2 w = 0 p (t) = v (t)i (t) 0 = di (t) i (t) = 2 i 2 ( ) - i 2 (0) = I G 2 8 0

12 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 44 Ejemplo 4 de cálculo de condiciones iniciales y finales av C I G i C C v C- i v Ḻ Se suponen conocidos los valores de I G,,, C y a. El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se desea hallar los valores de las corrientes y las tensiones en la inductancia y la capacidad en -, y t =, y la variación de energía en la capacidad entre y t =. - Continua Ecuación de nudo Ecuación de malla v (0 - ) = 0 V, i C (0 - ) = 0 A I G = v C (0- ) i C (0- ) v C (0- ) i (0- ) v C (0 - ) = av C (0 - ) i (0 - ) v (0 - ) i (0 ) = 1 - a 3 - a I G, v C (0 ) = I G 3 - a No hay cambios i (0 ) = i (0 ) = 1 - a 3 - a I G, v C (0 ) = v C (0 ) = I G 3 - a Ecuación de nudo I G = v C (0 ) i C (0 ) i C (0 ) = 2 - a 3 - a I G Ecuación de malla 0 = i (0 ) av C (0 ) i (0 ) v (0 ) v (0 ) = a a I G

13 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 45 t = Continua Ecuación de nudo Ecuación de malla v ( ) = 0 V, i C ( ) = 0 A I G = v C ( ) i C ( ) v C ( ) = I G 0 = i ( ) av C ( ) i ( ) v ( ) i ( ) = - ai G 2 w C = 0 p C (t) = v C (t)i C (t) 0 = v C (t)c dv C (t) 0 = = C 2 v C 2 ( ) - v C 2 (0) = C 2 I G 3 - a 2 (8-6a a 2 )

14 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 46 Ejemplo 5 de cálculo de condiciones iniciales y finales v 1 - v 2 - V G i v Ḻ i i C C v C- Se suponen conocidos los valores de V G,, y C. El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se desea hallar los valores de las tensiones v 1 y v 2 en -, y t =. v 1 (0 - ) = i (0 - ) = 0 V v 2 (0 - ) = i C (0 - ) = 0 V No hay excitación en la inductancia; i (0 - ) = 0 A En continua i C (0 - ) = 0 A v 1 (0 ) = i (0 ) = i (0 - ) = 0 V v 2 (0 ) = i (0 ) - v C (0 ) = i (0 - ) - v C (0 - ) i (0 - ) = i C (0 - ) v C (0 - ) v C (0 - ) = 0 V v 2 (0 ) = 0 V Ecuación de malla i (0 ) = i (0 - ) v C (0 ) = v C (0 - ) V G = i ( ) i ( ) v ( ) i ( ) = V G 2 v 1 ( ) = i ( ) = V G 2 En continua i C ( ) = 0 A v ( ) = 0 V v 2 ( ) = i C ( ) = 0 V

15 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 47 Ejemplo 6 de cálculo de condiciones iniciales y finales V G G i 4 v 4 i 5 gv G - 4 i 1 v 1 - i 2 v 5 - i v i 6 v 6 i 7-6 v 3 - v 7 - Se suponen conocidos los valores de todos los elementos del circuito. El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición de los interruptores. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se desea hallar los valores de v 3 (0 ), i 1 (0 ), i 2 (0 ), i 7 (0 ), v 7 (0 ), i 6 (0 ), i 5 (0 ), v 7 ( ), e i 7 ( ). v 3 (0 ) = v 2 (0 ) = v 2 (0 - ) = v 1 (0 - ) = 0 V i 1 (0 ) = i 1 (0 - ) = V G - v 1 (0- ) - i 2 (0 - ) - v 1 (0- ) = V G G 3 G i 2 (0 ) = - i 1 (0 ) - v 3 (0 ) 3 i 7 (0 ) = i 7 (0 - ) = 0 A = - V G G Elementos en paralelo. Continuidad de la tensión en la capacidad. a inductancia es un cortocircuito en continua. Ecuación de nudo. v 7 (0 ) = v 5 (0 ) = v 5 (0 - ) = [gv G - i 5 (0 - )] 4 = gv G 4 i 6 (0 ) = v 6 (0 ) 6 = v 7 (0 ) 6 = gv G 4 6 Continuidad de la corriente en la inductancia. Ecuación de nudo. a capacidad es un circuito abierto en continua. Continuidad de la corriente en la inductancia. Ausencia de excitación en la inductancia para t < 0. Elementos en paralelo. Continuidad de la tensión en la capacidad. Ecuación de nudo. a capacidad es un circuito abierto en continua. Elementos en paralelo.

16 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 48 i 5 (0 ) = gv G - v 4 (0 ) 4 - i 6 (0 ) - i 7 (0 ) = = gv G - v 5 (0 ) 4 - i 6 (0 ) - i 7 (0 ) = - gv G 4 6 Ecuación de nudo. Elementos en paralelo. v 7 ( ) = 0 V i 7 ( ) = gv G - v 4 ( ) 4 = gv G - v 7 ( ) 4 - i 5 ( ) - v 6 ( ) 6 = - i 5 ( ) - v 7 ( ) 6 = gv G a inductancia es un cortocircuito en continua. Ecuación de nudo. Elementos en paralelo. a capacidad es un circuito abierto en continua.

17 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 49 Ejemplo 7 de cálculo de condiciones iniciales y finales - v C gv C a i 1 v1 i v 2 - C i C b I G El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición de los interruptores. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se suponen conocidos los valores de todos los elementos del circuito. Además, se sabe que i 1 (0 ) = g b I G, i 2 (0 ) = 0 A (el cálculo de estos valores se efectúa como se indicó en ejemplos anteriores). Se desea hallar los valores de las corrientes en las inductancias para t =. Solución aparente as corrientes son nulas porque se verifica 0 A = i C ( ) = i 1 ( ) i 2 ( ). Sin embargo, que la suma sea nula no implica que lo sean las corrientes. De hecho, no lo son (como se ve a continuación) porque las inductancias parten de condiciones iniciales distintas (lo confirma el dato de que las corrientes al inicio del transitorio son distintas). Para todo t 0 se verifica v 1 (t) = v 2 (t) 1 di 1 (t) = 2 di 2 (t) Integrando esta expresión se obtiene di 1 (t) 1 = di 2 (t) 2 1 i 1 (t) = 2 i 2 (t) K (1) Dado que (1) se verifica para todo t 0, también lo hará para, con lo que, utilizando los datos del enunciado, 1 i 1 (0 ) = 2 i 2 (0 ) K K = 1 g b I G (2)

18 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 50 Dado que (1) se verifica para todo t 0, también lo hará para t = ; es decir, 1 i 1 ( ) = 2 i 2 ( ) K (3) Además, dado que la capacidad es un circuito abierto en continua, 0 A = i C ( ) = i 1 ( ) i 2 ( ) (4) esolviendo el sistema (3-4) se llega a i 1 ( ) = g b I G = - i 2 ( )

19 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 51 Ejemplo 8 de cálculo de condiciones iniciales y finales v 1 - v 2 - V G i v Ḻ C 1 i 1 C 2 i 2 i El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición de los interruptores. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se suponen conocidos los valores de V G,,, C 1 y C 2. Además, se sabe que v 1 (0 ) = 0 V, v 2 (0 ) = - V G (el cálculo de estos valores se efectúa como se indicó en ejemplos anteriores). Se desea hallar los valores de las tensiones en las capacidades para t =. Solución aparente as tensiones son nulas porque se verifica 0 V = v 1 ( ) v 2 ( ) (las capacidades están entre los cortocircuitos de la inductancia y un interruptor). Sin embargo, que la suma sea nula no implica que lo sean las tensiones. De hecho, no lo son (como se ve a continuación) porque las capacidades parten de condiciones iniciales distintas (lo confirma el dato de que las tensiones al inicio del transitorio son distintas). Para todo t 0 se verifica i 1 (t) = i 2 (t) C 1 dv 1 (t) = C 2 dv 2 (t) Integrando esta expresión se obtiene dv C 1 (t) 1 = dv C 2 (t) 2 C 1 v 1 (t) = C 2 v 2 (t) K (1)

20 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 52 Dado que (1) se verifica para todo t 0, también lo hará para, con lo que, utilizando los datos del enunciado, C 1 v 1 (0 ) = C 2 v 2 (0 ) K K = C 2 V G (2) Dado que (1) se verifica para todo t 0, también lo hará para t = ; es decir, C 1 v 1 ( ) = C 2 v 2 ( ) K (3) Además, como se indicó más arriba, 0 V = v 1 ( ) v 2 ( ) (4) esolviendo el sistema (3-4) se llega a v 1 ( ) = C 2 V G C 1 C 2 = - v 2 ( )

21 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 53 Ejemplo 9 de cálculo de condiciones iniciales y finales I G v - i i i C C v C- Son datos los valores de I G,, y C. Además, i (0 ) = 2I G, v 3 C (0 ) = - I G 3 El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se desea hallar las derivadas con relación al tiempo de la tensión en la capacidad y la corriente en la inductancia en el instante. Ecuación de malla 0 = i C (0 ) i (0 ) v C (0 ) i C (0 ) = - I G 3 dv C (t) = i C (0 ) 0 C = - I G 3C Ecuación de nudo I G = v (0 ) i (0 ) i (0 ) v (0 ) = - I G 3 di (t) = v (0 ) 0 a derivada con relación al tiempo de cualquier variable en régimen permanente continuo es nula. = - I G 3

22 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 54 Ejemplo 10 de cálculo de condiciones iniciales y finales v 1-1 i 1 V G i 2 2 v 2 - i v 3 i 4 4 v 4 i 5 5 v 5 i 6 6 v El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición de los interruptores. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se conocen los datos indicados en la tabla adjunta. Se desea averiguar la naturaleza (, o C) de los elementos numerados. t i 1 v 1 i 2 v 2 i 3 v 3 i 4 v 4 i 5 v 5 i 6 v A 1 V 1 A 0 V 1 A 1 V 0 A 1 V 0 A 0 V 0 A 0 V 0 1 A 1 V 1 A 0 V 1 A 1 V - 1 A 1 V 1 A 1 V 0 A 1 V Elemento Naturaleza azonamiento 1 esistencia a corriente no es nula en 0 - ; no puede ser capacidad. a tensión no es nula en 0 - ; no puede ser inductancia. 2 Inductancia a corriente no es nula en 0 - ; no puede ser capacidad. a tensión es nula en 0 - ; no puede ser resistencia. 3 esistencia a corriente no es nula en 0 - ; no puede ser capacidad. a tensión no es nula en 0 - ; no puede ser inductancia. 4 Capacidad a tensión no es nula en 0 - ; no puede ser inductancia. a corriente es nula en 0 - ; no puede ser resistencia. 5 esistencia Cambia bruscamente la tensión; no puede ser capacidad. Cambia bruscamente la corriente; no puede ser inductancia. 6 Inductancia Cambia bruscamente la tensión; no puede ser capacidad. En 0 hay tensión sin corriente; no puede ser resistencia.

23 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 55 Ejercicios de repaso Condiciones iniciales y finales / 1 I G i C C v C- v D - ai C Son datos los valores de I G,,, C y a. i v Ḻ El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se desea calcular v D en -, y t =. Soluciones v D (0 - ) = I G 2, v D (0 ) = - ai G, v D ( ) = 0 V

24 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 56 Condiciones iniciales y finales / 2 V G v - i C av v C - Se desea calcular la potencia en la resistencia marcada con un círculo en los instantes -, y t =. i C El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Son datos los valores de V G,,, C y a. Soluciones p (0 - ) = V G 2 4, p (0 ) = 1 av G 2(1 a) 2, p ( ) = 0 W

25 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 57 Análisis en régimen transitorio espuesta única Todas las expresiones temporales son de la misma forma Objeto Determinar la respuesta (evolución temporal) Cálculo de las expresiones temporales de corrientes y tensiones durante el transitorio Tipos de respuestas Natural Forzada a excitación se suprime bruscamente en uno o más elementos a excitación se aplica bruscamente a uno o más elementos

26 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 58 espuesta natural de un circuito I G G i v Ḻ Son datos los valores de todos los elementos del circuito. El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes de la apertura del interruptor. Una vez producida ésta, ya no experimenta más cambios. Se pretende encontrar la respuesta del circuito para t > 0. El régimen transitorio sólo se manifiesta en la parte del circuito que incluye la inductancia. Es a esa parte a la que se refiere la pregunta sobre la respuesta. a respuesta es natural porque se suprime la excitación de la inductancia. Como la respuesta es única, se calculará la expresión temporal de la magnitud fundamental correspondiente al elemento reactivo considerado (i ). a expresión temporal correspondiente a cualquier otra magnitud puede obtenerse una vez hallada aquélla. Para t > 0 se tiene v i = 0 Ecuación de malla / nudo Sustituyendo en esta expresión la relación funcional de la inductancia, se tiene di i = 0 Ecuación diferencial que caracteriza la evolución temporal de i para t > 0 a solución de una ecuación diferencial de primer orden en una sola variable con coeficientes constantes y segundo miembro nulo es de la forma i (t) = Ae - t τ τ = Expresión temporal (instantánea) que caracteriza la evolución de i para t > 0 Constante de tiempo

27 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 59 Para que la respuesta esté completamente determinada, hay que hallar la constante que aparece en la expresión temporal. Para ello se compara la condición inicial del transitorio que puede deducirse directamente de la observación del circuito con el valor que proporciona la expresión temporal. Así, Por la observación del circuito (el cálculo se hace como se indicó en secciones anteriores) Por la expresión temporal Expresión temporal de i para t > 0 i (0 ) = i (0 - ) = I G i (0) = A i (t) = I G e - t A = I G Conocida la expresión temporal (instantánea), puede obtenerse el valor de la variable en cualquier instante de tiempo.

28 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 60 Significado de la constante de tiempo I G i (t) respuesta para ritmo de descenso constante espuesta natural de un circuito 0.37I G respuesta natural 0.007I G i (t) = I G e - t τ τ t T = 5τ a constante de tiempo es una medida de lo rápido que desaparece (o de cuanto dura) el régimen transitorio. Puede decirse que el régimen permanente continuo final se establece cuando ha transcurrido un tiempo igual a cinco constantes de tiempo (pasado ese intervalo, las variaciones en la respuesta son inapreciables). Esto permite suponer que el circuito está en régimen permanente continuo cuando se produce el cambio de posición en el interruptor. Si la excitación correspondiente se ha aplicado en t = - (hace mucho tiempo), es evidente que desde entonces ya transcurrieron cinco constantes de tiempo. t

29 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 61 Ejemplo de respuesta natural en un circuito V G 2 G v 1 - i v Ḻ 1 3 V G = 24 V, = 5 mh G = 12 Ω, 1 = 6 Ω, 2 = 4 Ω, 3 = 10 Ω El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes de la apertura del interruptor. Una vez producida ésta, ya no experimenta más cambios. Se desea obtener la expresión temporal de v 1 (t > 0), y la variación de energía en 3 entre y t =. Para t > 0 se tiene v 1 2 i v 3 = di i = 0 i (t) = Ae - t τ Ecuación de nudo Ecuación diferencial Expresión temporal τ = = 1 ms Constante de tiempo Por el circuito i (0 ) = i (0 - ) = V = G 1 = 1 A G 1 G A = 1 A Por la expresión temporal v (t) = di (t) i (0) = A = - A τ e- t τ = - 5e - t V (t en ms) 1 v 1 (t) = v (t) = - 3e 1 - t V (t en ms) 2 Divisor de tensión w 3 = 0 p 3 (t) = 0 v 2 (t) 3 = 0 (- 5e - t ) 2 10 = 1.25 mj

30 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 62 espuesta natural de un circuito C V G G i 1 Son datos los valores de todos los elementos del circuito. v C- i 2 C 1 C 2 El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes de la apertura del interruptor. Una vez producida ésta, ya no experimenta más cambios. Se pretende encontrar la respuesta del circuito para t > 0. El régimen transitorio sólo se manifiesta en la parte del circuito que incluye las capacidades. Es a esa parte a la que se refiere la pregunta sobre la respuesta. a respuesta es natural porque se suprime la excitación de las capacidades. Aunque hay dos capacidades, el circuito puede ser tratado como si tuviera una porque ambas pueden ser agrupadas en paralelo. Como la respuesta es única, se calculará la expresión temporal de la magnitud fundamental correspondiente al elemento reactivo considerado (v C ). a expresión temporal correspondiente a cualquier otra magnitud puede obtenerse una vez hallada aquélla. Para t > 0 se tiene i 1 v C i 2 = 0 Ecuación de nudo Sustituyendo en esta expresión la relación funcional de la capacidad, se tiene (C 1 C 2 ) dv C v C = 0 Ecuación diferencial que caracteriza la evolución temporal de v C para t > 0

31 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 63 a solución de una ecuación diferencial de primer orden en una sola variable con coeficientes constantes y segundo miembro nulo es de la forma v C (t) = Ae - t τ τ = (C 1 C 2 ) Expresión temporal (instantánea) que caracteriza la evolución de v C para t > 0 Constante de tiempo Para que la respuesta esté completamente determinada, hay que hallar la constante que aparece en la expresión temporal. Para ello se compara la condición inicial del transitorio que puede deducirse directamente de la observación del circuito con el valor que proporciona la expresión temporal. Así, Por la observación del circuito (el cálculo se hace como se indicó en secciones anteriores) Por la expresión temporal v C (0 ) = v C (0 - ) = v C (0) = A V G G A = V G G Expresión temporal de v C para t > 0 v C (t) = V G G e-t/(c 1 C 2 ) Conocida la expresión temporal (instantánea), puede obtenerse el valor de la variable en cualquier instante de tiempo.

32 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 64 espuesta forzada en circuitos y C V G G i a respuesta es forzada porque se aplica la excitación V G G C v C- descargada para t < 0 C descargada para t < 0 Para t > 0 se tiene di ( G )i = V G Ecuación diferencial (obtenida combinando una ecuación de circuito y relación funcional) ( G )C dv C v C = V G a solución de una ecuación diferencial de primer orden en una sola variable con coeficientes constantes y segundo miembro no nulo está dada por las matemáticas. i (t) = B (A - B)e - t τ τ = G Expresión temporal (instantánea) Constante de tiempo v C (t) = B (A - B)e - t τ τ = ( G )C Hay que hallar las constantes que aparecen en la expresión temporal. Se comparan las condiciones inicial y final del transitorio, que pueden deducirse de la observación del circuito, con los valores que proporciona la expresión temporal.

33 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 65 Por el circuito i (0 ) = i (0 - ) = 0 A Por el circuito v C (0 ) = v C (0 - ) = 0 V Por la expresión temporal i (0) = A A = 0 A Por la expresión temporal v C (0) = A A = 0 V Por el circuito V i ( ) = G G Por la expresión temporal i ( ) = B B = V G G Por el circuito v C ( ) = V G Por la expresión temporal v C ( ) = B B = V G espuesta en régimen transitorio de circuitos con un solo elemento reactivo Ecuaciones del circuito elación funcional x = i v C Ecuación diferencial que caracteriza la evolución temporal dx x τ = K τdx x = K τ = x f Expresión temporal (expresión instantánea) x(t) = x f (x o -x f )e - t τ espuesta natural x f = x(t = ) = K = 0 x o = x() x f = x(t = ) El procedimiento también es aplicable si hay varios elementos reactivos de la misma naturaleza que puedan ser agrupados en uno solo.

34 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 66 Ejemplos de respuesta forzada Ejemplo de respuesta forzada en un circuito C V A 1 i C C v C i B V B V A = 2 V, V B = 2 V, C = 1 µf 1 = 2 Ω, 2 = 2 Ω, 3 = 2 Ω El circuito de la figura, en el que las fuentes son continuas, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición de los interruptores. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se desea obtener la expresión temporal (t > 0) de la potencia en la fuente V B. Para t > 0 se tiene V B - v C 2 = i C v C, i C = C dv C 3 Ecuación de nudo y relación funcional C 2 3 dv C ( 2 3 ) v C = V B Ecuación diferencial τ = C = 1 µs Constante de tiempo v Co = v C (0) = V A = 2 V v Cf = v C ( ) = V B = 1 V Por el circuito v C (t) = v Cf (v Co - v Cf )e - t τ = 1 e - t V (t en µs) Expresión temporal p B (t) = - V B i B (t) = - V B V B - v C (t) 2 = - 1 e - t W (t en µs) Es respuesta forzada porque en la capacidad es sometida bruscamente a una excitación no nula distinta de la que soportaba anteriormente.

35 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 67 Ejemplo de respuesta forzada en un circuito I G 1 i v Son datos los valores de todos los elementos del circuito. - i 2 2 El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cierre del interruptor. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se desea obtener la expresión temporal (t > 0) de la corriente i 1. I G i v Ḻ = Para t > 0 se tiene 1 2, = I G = v i, v = di di i = I G τ = i o = i (0) = 0 A i f = i ( ) = I G Ecuación de nudo y relación funcional Ecuación diferencial Constante de tiempo Por el circuito i (t) = i f (i o - i f )e - t τ = I G (1 - e - t τ) Expresión temporal 1 di 1 = di 1 1 = di 2 2 = di di 1 i 1 = i K i 1 = 0 A = i K = 0 Vs i 1 (t) = 1 i (t) = = 2 I G 1 2 (1 - e - t τ)

36 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 68 espuesta de un circuito con dos elementos reactivos no agrupables V G v - i i C C v C- Son datos los valores de todos los elementos del circuito. El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cierre del interruptor. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se desea obtener la respuesta para t > 0. Para t > 0 se tiene Ecuaciones del circuito V G = i v v C (1) i = i C (2) elaciones funcionales Combinando (1-4) se llega a v = di i C = C dv C (3) (4) Ecuaciones diferenciales que caracterizan la evolución de i y v C para t > 0 C d2 v C 2 Cdv C v C = V G C d2 i 2 Cdi i = 0

37 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 69 Solución de las ecuaciones diferenciales Para cada magnitud fundamental hay una ecuación diferencial a d2 x 2 bdx cx = K a, b y c son iguales para todas las magnitudes fundamentales K puede ser distinto para distintas magnitudes fundamentales Solución x(t)=x f x h (t) x f = x(t = ) x f = 0 si K = 0 x h (t) Solución de la ecuación homogénea Ecuación homogénea a d2 x bdx 2 cx = 0

38 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 70 Solución de la ecuación homogénea Ecuación homogénea a d2 x bdx 2 cx = 0 Ecuación característica as 2 bs c = 0 Coeficiente de amortiguamiento α 1 s = b 2a aíces de la ecuación característica s 1, 2 = - b ± b2-4ac 2a = - α ± α 2 ω2 0 = Frecuencia angular de resonancia ω rad 0 = 1 s s = c a espuesta supercrítica (sobreamortiguada) s 1 ys 2 reales s 1 <0>s 2 s 1 s 2 ω 0 2 < α 2 x h (t)= Ae s 1t Be s 2t espuesta crítica (amortiguada) s 1 ys 2 reales s 1 <0>s 2 s 1 = s 2 ω 0 2 = α 2 x h (t)= Ate α t Be α t t x h (t) 0 espuesta subcrítica (subamortiguada) s 1 ys 2 complejas s 1 = s 2 * ω 0 2 > α 2 ω d = ω 0 2 α 2 x h (t)= Ae α t cos(ω d t) Be α t sen(ω d t)

39 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 71 Obtención de las expresiones temporales Ecuaciones adicionales Dos ecuaciones de circuito (mallas, nudos) elaciones funcionales Ecuación diferencial de una magnitud fundamental Expresión temporal de la magnitud fundamental (constantes: x f, A, B) Expresión temporal de la otra magnitud fundamental (constantes: x f, A, B) Condiciones en y t = Cálculo de x f, A, B

40 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 72 Ejemplo 1 de respuesta en circuito con dos elementos V G i C C v C- ki a i v Ḻ El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición de los interruptores. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios. V G = 1 V, k = - 1 = 1 Ω, = 1 H, C = 1 F Se desea obtener las expresiones temporales de i y v C para t > 0. Ecuaciones del circuito Fuente dependiente elaciones funcionales Para t > 0 se tiene Combinando (1-5) se llega a v a = i C v C v a = i v ki = i C v a i i C = C dv C v = di (1) (2) (3) (4) (5) Ecuaciones diferenciales de las variables fundamentales 2C d2 v C 2 2C d2 i 2 (3 - k)c (3 - k)c dv C (2 - k)v C = 0 di (2 - k)i = 0 Se elige arbitrariamente una de las ecuaciones diferenciales (por ejemplo, la primera) y se aplica el procedimiento general a partir de ella.

41 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 73 as 2 bs c = 0 Ecuación característica a = 2C = 2 s 2 b = (3 - k)c = 5 s c = 2 - k = 3 Tipo de respuesta α = b 2a = 5 4 s-1, ω 0 = c a = 3 2 rad/s α 2 > ω 0 2 respuesta supercrítica Expresión temporal de la variable considerada (se incluye v Cf por generalidad, aunque en este caso tal valor es nulo, porque también lo es el segundo miembro de (6-7)) v C (t) = v Cf Ae s 1t Be s 2t s 1 = - α α 2 - ω 0 2 = - 1 s -1 s 2 = - α - α 2 - ω 0 2 = s -1 (6) Expresión temporal de la otra variable Combinando (1-6) se obtiene i (t) = 1 v Cf k - 1 A 2Cs 1 1 es 1t B 2Cs 2 1 es 2t = = - v Cf 2 Aes 1t 2 Bes 2t (7) Aplicando las condiciones y finales a (6-7) se tiene (sólo se utilizan tres ecuaciones porque hay tres incógnitas) Por el circuito Por la expresión temporal 1 V = V G 0 V v C (0) v C ( ) v Cf A B v Cf v Cf = 0 V A = 2 V 0 A i (0) - v Cf 2 A 2 B B = - 1 V espuesta (expresiones temporales) v C (t) = 2e -t - e -1.5t V (t en s) i (t) = e -t - e -1.5t A (t en s)

42 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 74 Observaciones as siguientes observaciones se deducen del ejemplo anterior, pero tienen validez general en el caso de régimen transitorio en circuitos con dos elementos reactivos no agrupables. os coeficientes de los primeros miembros de las ecuaciones diferenciales no dependen de las características de las fuentes independientes. Éstas sólo influyen en los segundos miembros de aquéllas. Es decir, la respuesta está determinada por los elementos pasivos y las características de las fuentes dependientes. No es posible determinar el tipo de respuesta si no se conocen los valores numéricos de los elementos del circuito. Obsérvese que el tipo de respuesta depende de la relación entre el coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia angular de resonancia, que estos parámetros dependen de los coeficientes de la ecuación característica, y que éstos dependen de las características de los elementos del circuito. En circuitos con dos elementos reactivos no existe nada exactamente equiparable a la constante de tiempo. Para determinar un parámetro aproximadamente equivalente puede seguirse cualquiera de los siguientes procedimientos: Obtener el mayor valor de t que hace que hace que un término exponencial valga e -5 = (en el ejemplo anterior, t = 5 s). Calcular la mayor de las constantes de tiempo que aparecen en las ecuaciones diferenciales (en el ejemplo anterior, (3 - k)c = 4 s, / = 1 s).

43 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 75 Ejemplo 2 de respuesta en circuito con dos elementos I B i C C v C- I A a i v Ḻ El circuito de la figura, en el que las fuentes son continuas ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición de los interruptores. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios. I A = 2 A, I B = 2 A = 1 Ω, = 1 H, C = 1 F Se desea obtener la expresión temporal de la potencia en la fuente I A. Ecuaciones del circuito y relaciones funcionales Para t > 0 se tiene C dv C v C = v a = i di I A = C dv C Combinando (1-2) se obtiene v a i (1) (2) Ecuaciones diferenciales 2C d2 v C 2 2C d2 i 2 dv C 2v C = I A 3C di 2i = I A 3C con lo que puede deducirse Ecuación característica Tipo de respuesta a = 2C = 2 s 2, b = 3C = 4 s, c = 2 α = 2a b = 1 s-1, ω 0 = c a = 1 rad/s α 2 = ω 2 0 respuesta crítica

44 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 76 Expresión temporal de v C v C (t) = v Cf Ate - αt Be - αt (3) Combinando (1-3) se llega a Expresión v i temporal (t) = I A - Cf A 2αC - 1 te- αt - 2CA B 2αC - 1 e- αt = de i = 2 - v Cf Ate - αt (B - 2A)e - αt (4) Aplicando las condiciones y finales a (3-4) se tiene Por el circuito Por la expresión temporal 2 V = I B v C (0) v Cf B v Cf = 1 V 1 V = I A 2 v C ( ) v Cf A = 0.5 V/s 1 A = I A 2 i (0) 2 - v Cf B - 2A B = 1 V espuesta v C (t) = 1 0.5te -t e -t V (t en s) i (t) = 1 0.5te -t A (t en s) p A (t) = - v a (t)i a = - i (t) di (t) I A = - (2 e -t ) W (t en s)

45 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 77 Ejemplo 3 de respuesta en circuito con dos elementos I G i C C v C- I G = 2 A = 1 Ω, = 1 H, C = 1 F i v Ḻ El circuito de la figura, en el que la fuente es continua ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios. Se desea obtener la variación de energía en la capacidad entre y t =. Ecuaciones del circuito y relaciones funcionales Para t > 0 se tiene v C = i di I G = C dv C Combinando (1-2) se obtiene v C i (1) (2) Ecuaciones diferenciales C d2 v C 2 C d2 i 2 dv C 2v C = I G C di 2i = I G C con lo que puede deducirse Ecuación característica a = C = 1 s 2, b = C = 2 s, c = 2 α = b 2a = 1 s-1, ω 0 = c a = 2 rad/s Tipo de respuesta α 2 < ω 0 2 respuesta subcrítica ω d = ω α 2 = 1 rad/s

46 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 78 Expresión temporal de i i (t) = i f Ae - αt cos(ω d t) Be - αt sen(ω d t) (3) Combinando (1-3) se llega a Expresión temporal de v C v C (t) = i f Ae - αt [( - α)cos(ω d t) - ω d sen(ω d t)] Be - αt [( - α)sen(ω d t) ω d cos(ω d t)] = = i f - Ae -t sen(t) Be -t cos(t)] Aplicando las condiciones y finales a (3-4) se tiene (4) Por el circuito 0 A i (0) Por la expresión temporal i f A i f = 1 A 1 A = I G 2 i ( ) i f A = - 1 A 2 V = I G v C (0) i f B B = 1 A espuesta i (t) = 1 - e -t cos(t) e -t sen(t) A (t en s) v C (t) = 1 e -t cos(t) e -t sen(t) V (t en s) w C = 0 p C (t) = v C (t)c dv C (t) = C 2 v C 2 ( ) - v 2 C (0) = J 0 El valor de v C ( ) puede obtenerse del circuito o de la expresión temporal Si se deseara obtener la energía en la resistencia que está en paralelo con la capacidad, el cálculo sería w = 0 p (t) = v C (t) v C (t) = 0 0 [1 e -t cos(t) e -t sen(t)] 2

47 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 79 Ejemplo 4 de respuesta en circuito con dos elementos V G i C C v C- i v Ḻ El circuito de la figura, en el que la fuente es continua ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios. Se desea obtener la respuesta para t > 0. Son datos los valores de V G y τ, siendo τ = C =. Para t > 0 se tiene Ecuaciones del circuito y relaciones funcionales V G = C dv C V G = C dv C i C dv C v C i i di Ecuaciones diferenciales Ecuación característica 2C d2 v C 2 2C d2 i 2 3C 3C dv C 2v C = V G di 2i = V G C = τ = C = (C) = τ 2 a = 2C = 2τ 2, b = 3C = 4τ, c = 2 Tipo de respuesta α = b 2a = 1 τ, ω 0 = c a = 1 τ α 2 = ω 0 2 respuesta crítica

48 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 80 Expresiones temporales i (t) = V G - v Cf v C (t) = v Cf Ate - αt Be - αt A 2αC - 1 te- αt - 2CA B 2αC - 1 e- αt Por el circuito Por la expresión temporal 0 V V G 2 v C (0) v C ( ) v Cf B v Cf v Cf = V G 2 A = 0 V/s 0 A i (0) V G - v Cf - 2CA B 2αC - 1 B = - V G 2 espuesta v C (t) = V G 2 (1 - e - t τ) i (t) = V G 2 (1 - e- t τ) a expresión temporal de la corriente en la inductancia no está completamente determinada, ya que se desconoce el valor de. Pese a las apariencias, la respuesta de este circuito no está relacionada con la de un circuito con un solo elemento reactivo. a similitud formal se debe únicamente a la circunstancia de que el coeficiente A tenga un valor nulo.

49 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 81 Ejemplo 5 de respuesta en circuito con dos elementos 1 C 1 El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios. V G 2 C 2 Se desea obtener la expresión temporal de la potencia en C 2 para t > 0. V G = 0.5 V, = 0.5 Ω 1 = 0.6 mh, 2 = 0.4 mh C 1 = 2 mf, C 2 = 2 mf I G i v Ḻ i C C v C- Pese a tener cuatro elementos reactivos, el circuito puede ser tratado como si sólo tuviera dos, ya que aquéllos son agrupables dos a dos. Para t > 0 el circuito es equivalente al de la figura adjunta, en la que I G = V G = 1 A = 1 2 = 1 mh, C = C 1 C 2 C 1 C 2 = 1 mf Ecuaciones del circuito y relaciones funcionales Ecuaciones diferenciales v C = di - I G = v C i C dv C C d2 v C 2 C d2 i 2 dv C v C = 0 di i = - I G

50 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 82 Ecuación característica Tipo de respuesta a = C = 10-6 s 2, b = = s 1, c = 1 α = b 2a = 103 s -1, ω 0 = c a = 10 3 s -1 α 2 = ω 0 2 respuesta crítica Expresiones temporales i (t) = i f Ate - αt Be - αt v C (t) = [A(1 - αt)e - αt - αbe - αt ] = = 10-3 [A(1 - αt)e - αt - αbe - αt ] Por el circuito 0 A i (0) Por la expresión temporal i f B i f = - 1 A - 1 A = - I G 0 V i ( ) v C (0) i f 10-3 (A - αb) A = 10 3 A/s B = 1 A espuesta i (t) = - 1 te -t e -t A (t en ms) v C (t) = - te -t V (t en ms) C dv C C dv C = C 2 dv C2 = C 2 dv C2 C 2 v C2 = Cv C K v C2 = 0 V = v C K = 0 As v C2 (t) = C C 2 v C (t) p C2 (t) = v C2 (t)i C (t) = C C 2 v C (t) dv C = 0.5t(1 - t)e -2t mw (t en ms)

51 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 83 Ejemplo 6 de respuesta en circuito con dos elementos I G i C C v C- i v Ḻ I G = 2 A, = 1 Ω El régimen transitorio se caracteriza por los siguientes parámetros: α = 1 s -1, ω 0 = 2 rad/s El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios. Se desea obtener los valores de la inductancia y la capacidad. Para t > 0 se tiene Ecuaciones del circuito y relaciones funcionales v C = i di I G = C dv C v C i Ecuación diferencial C d2 v C 2 C dv C 2v C = I G Ecuación característica a = C, b = C, c = 2 1 s -1 = α = b 2a = 2 1 2C 2 rad/s = ω 0 = c a = 2 C = 1 H C = 1 F

52 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 84 Ejemplo 7 de respuesta en circuito con dos elementos V G i C C v C- Para t > 0, v C = (1 - t)e -t V (t en s) i = 0.5te -t A (t en s) i v Ḻ El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición de los interruptores. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios. Se desea obtener los valores de V G,, y C. Para t > 0 se tiene Ecuaciones del circuito y relaciones funcionales 0 = C dv C v C = di v C i Ecuación diferencial C d2 i 2 di i = 0 Ecuación característica a = C, b =, c = 1 En régimen transitorio la respuesta es crítica, ya que en las expresiones temporales figuran términos de la forma te -kt. En la respuesta crítica, el coeficiente de amortiguamiento es el coeficiente del exponente en tales términos; luego, α = 1 s -1 En la respuesta crítica, los valores numéricos del coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia angular de resonancia son iguales; luego ω 0 = α = 1 rad/s (por el circuito) V G = v C (0) = 1 V (por la expresión temporal) V G = 1 V Por las expresiones temporales Por el circuito Por las expresiones temporales e -t - te -t v C = di (0.5e -t - 0.5te -t ) = 2 H 1 rad/s = ω 0 = c a = 1 C C = 0.5 F, 1 s-1 = α = 2a b = 1 2C = 1 Ω

53 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 85 Ejemplo 8 de respuesta en circuito con dos elementos V G v - i i C C v C- Para t > 0, v C = 10-5e -1000t - 5e -9000t V (t en s) i = e -1000t 9e -9000t ma (t en s) El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios. Se desea obtener los valores de V G,, y C. Para t > 0 se tiene Ecuaciones del circuito y relaciones funcionales i = C dv C V G = i di v C Ecuación diferencial C d2 v C 2 Cdv C v C = V G Ecuación característica a = C, b = C, c = 1 a respuesta en régimen transitorio es supercrítica, ya que en las expresiones temporales figuran términos exponenciales con distintos valores de los coeficientes de los exponentes. En la respuesta supercrítica, esos coeficientes son las raíces de la ecuación característica; luego, s 1 = s -1, s 2 = s -1 s 1 = - α α 2 - ω 0 2 s 2 = - α - α 2 - ω 0 2 α = - s 1 s 2 2 ω 0 = α 2 - s 1 - s 2 2 = 5000 s -1 2 = 3000 rad/s

54 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 86 (por el circuito) V G = v C ( ) = 10 V (por la expresión temporal) V G = 10 V Por las expresiones temporales Por el circuito Por las expresiones temporales 0.001e -1000t 0.009e -9000t i = Cdv C C(5000e -1000t 45000e -9000t ) C = 0.2 µf 3000 rad/s = ω 0 = c a = 1 C = 5 9 H 5000 s -1 = α = b 2a = 2 = 50 9 kω

55 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 87 Ejercicios de repaso espuesta en transitorio / 1 V S i C C v C- V G i V S = 4 V, V G = 4 V =1 Ω, = 1 µh, C = 1 µf v Ḻ El circuito de la figura, en el que las fuentes son continuas, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición de los interruptores. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios. Se desea obtener la expresión temporal de la potencia en V G para t > 0. Solución p G (t) = - 8 4e -t W (t en µs)

56 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 88 espuesta en transitorio / 2 V G v - i i C C v C - Se desea obtener la expresión temporal de la corriente en la capacidad para t > 0. V S = 3 V, V G = 4 V =1 kω, = 1 mh, C = 1 nf V S El circuito de la figura, en el que las fuentes son continuas, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición de los interruptores. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios. Solución i C (t) = - e -t [cos(t) sen(t)] ma (t en µs)

57 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 89 Circuitos con elementos desacoplados v - V G i i C C v C- El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios. Son datos los valores de todos los elementos del circuito. Se desea obtener las expresiones temporales de la corriente en la inductancia y la tensión en la capacidad para t > 0. Para t > 0 se tiene Ecuaciones del circuito, relaciones funcionales y ecuaciones diferenciales V G = di i 0 = C dv C v C Son ecuaciones diferenciales de primer orden, cada una en una variable; por tanto, se resuelven como se indicó anteriormente. Expresiones temporales i (t) = i f (i o - i f )e -t/τ i o = i (0) = 2V G, i f = i ( ) = V G, τ = v C (t) = v Cf (v Co - v Cf )e -t/τ C v Co = v C (0) = V G, v Cf = v C ( ) = 0, τ C = C

58 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 90 Observaciones Para t > 0 los dos elementos reactivos y sus respectivas magnitudes eléctricas no se influyen entre sí; las variables son independientes y los elementos están totalmente desacoplados. En circuitos con elementos totalmente desacoplados, a la variable fundamental de cada uno de ellos le corresponde una ecuación diferencial de primer orden. Puede haber influencia de un elemento reactivo en otro sin que el segundo influya en el primero. Se habla entonces de elementos parcialmente acoplados (o desacoplados). A la variable correspondiente al elemento no influido (variable independiente) le corresponde una ecuación diferencial de primer orden. A la variable correspondiente al elemento influido (acoplado) le corresponde una ecuación diferencial de segundo orden. En circuitos parcial o totalmente desacoplados no puede hablarse de respuesta única.

59 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 91 Ejemplo 1 de circuito con elementos desacoplados I G i C C v C- kv C I G = 2 A, k = 1 = 1 Ω, = 1 H, C = 1 F Se desea obtener las expresiones temporales de i y v C para t > 0. i v Ḻ El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios. Para t > 0 se tiene Ecuaciones del circuito, y relaciones funcionales I G = v C C dv C 0 = ( )i kv C di (1) (2) (1) es una ecuación diferencial de primer orden en una sola variable; por tanto, v Co = v C (0) = I G 3 - k = 1 V, v Cf = v C ( ) = I G = 2 V, τ C = C = 1 s v C (t) = v Cf (v Co - v Cf )e -t/τ C = 2 - e -t V (t en s) (3) Sustituyendo (3) en (2) se obtiene di 2i 2 = e-t a solución de esta ecuación diferencial (así como las de otras similares que surgen en circuitos con elementos parcialmente acoplados) no es sencilla porque el segundo miembro no es una constante. Por consiguiente, es preferible utilizar un procedimiento alternativo. Así, despejando v C de (2) y sustituyendo el resultado en (1), se llega a Ecuación diferencial de la variable acoplada C d2 i 2 2C di 2i = - ki G

60 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 92 Ecuación característica a = C = 1 s 2, b = 2C = 3 s, c = 2 Tipo de respuesta α = b 2a = 1.5 s-1, ω 0 = c a = 2 rad/s Expresión temporal de i α 2 > ω 2 0 respuesta supercrítica i (t) = i f Ae s 1t Be s 2t s 1 = - α α 2 - ω 2 0 = - 1 s -1 s 2 = - α - α 2 - ω 2 0 = - 2 s -1 (4) 2i v Expresión C (t) = - f k temporal de v C Sustituyendo (4) en (2) se obtiene - Aes 1t k (2 s 1 ) - Bes 2t k (2 s 2 ) = = - 2i f - Ae s 1t (5) Igualando término a término (3) y (5) i f = - 1 A A = 1 A (por el circuito) 0 A = i (0) = i f A B (por (4)) B = 0 A espuestas v C (t) = 2 - e -t V (t en s) i (t) = - 1 e -t A (t en s) Tras la apertura del interruptor, la capacidad no está influida por la inductancia (la primera está desacoplada con relación a la segunda), pero la inductancia sigue influida por la capacidad a través de la fuente dependiente (está acoplada). a similitud de las expresiones temporales es puramente circunstancial (se debe a que se anula el coeficiente de un término exponencial de la corriente). El tratamiento general de elementos parcialmente acoplados se basa en determinar la variable acoplada como si no se conociera la expresión temporal de la variable independiente.

61 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 93 Ejemplo 2 de circuito con elementos desacoplados V G v - i i i C C V G = 2 V = 1 Ω, = 4 H, C = 1 F Se desea obtener las expresiones temporales de i y v C para t > 0. v C- El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios. Ecuaciones del circuito, y relaciones funcionales Para t > 0 se tiene V G = ( )i di 0 = C dv C i v C (1) (2) Expresión temporal de i i o = i (0) = 2V G 3 = 4 3 A, i f = i ( ) = V G 2 = 1 A, τ = 2 = 2 s i (t) = i f (i o - i f )e -t/τ = 1 e -0.5t 3 A (t en s) (3) Despejando i de (2) y sustituyendo en (1) se tiene Ecuación diferencial de la variable acoplada C d2 v C 2 2C dv C 2v C = - V G Ecuación característica a = C = 4 s 2, b = 2C = 6 s, c = 2 Tipo de respuesta α = b 2a = 3 4 s-1, ω 0 = c a = 1 2 rad/s α 2 > ω 0 2 respuesta supercrítica

62 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 94 Expresión temporal de v C v C (t) = v Cf Ae s 1t Be s 2t s 1 = - α α 2 - ω 0 2 = s -1 s 2 = - α - α 2 - ω 0 2 = - 1 s -1 (4) Expresión temporal de i Sustituyendo (4) en (2) se obtiene i (t) = - v Cf - Aes 1t (1 Cs 1 ) - Bes 2t (1 Cs 2 ) = = - v Cf - 0.5Ae s 1t (5) Igualando término a término (3) y (5) v Cf = - 1 V A = V (por el circuito) V = v C (0) = v Cf A B (por (4)) B = 1 V espuestas i (t) = 1 e-0.5t 3 A (t en s) v C (t) = - 1-2e-0.5t 3 e -t V (t en s)

63 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 95 Ejemplo 3 de circuito con elementos desacoplados G V G v - i i C C v C - i sc V G = 2 V, G = 2 Ω = 1 Ω, = 1 H, C = 0.5 F El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios. Se desea obtener la expresión temporal de la corriente i sc para t > 0. Para t > 0 se tiene Ecuaciones del circuito, relaciones funcionales y ecuaciones diferenciales 0 = C dv C V G = G i di Cdv C v C v C = G i di Expresiones temporales i (t) = i f (i o - i f )e -t/τ V i o = i (0) = G G = 2 A, i 3 f = i ( ) = V G = 1 A, τ = = 0.5 s G G v Co = v C (0) = v C (t) = v Cf (v Co - v Cf )e -t/τ C G V G = 2 3 V, v Cf = v C ( ) = 0 V, τ C = C = 0.5 s i (t) = C dv C (t) i sc (t) Cdv C (t) v C (t) i sc (t) = 1 e-2t 3 A (t en s) El cortocircuito, al imponer una tensión fija (nula), separa los dos elementos reactivos.

64 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 96 Circuitos con cambios sucesivos os interruptores del circuito cambian de posición en instantes diferentes Cálculo de la respuesta En cada intervalo se aplica el procedimiento convencional as condiciones iniciales en cada intervalo son las finales del intervalo anterior as condiciones finales en cada intervalo son las correspondientes a t = (el circuito no sabe que se producirán cambios posteriores) En los términos exponenciales el tiempo se desplaza al origen de cada intervalo

65 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 97 Ejemplo 1 de circuito con cambios sucesivos V A 1 i C C v C- 2 t = t 1 3 V A = 4 V, V B = 3 V, C = 1 F 1 = 2 Ω, 2 = 2 Ω, 3 = 2 Ω t 1 = 1 s V B El circuito de la figura, en el que las fuentes son continuas, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes de. Después de t = t 1 ya no experimenta más cambios. Se desea conocer la variación de la corriente y la tensión en la capacidad para 0 < t <. Ecuación del circuito y ecuación diferencial Para 0 < t t 1 se tiene 2 C dv C v C = 0 v Co = v C (0) = Expresiones temporales V A = 2 V, v Cf = v C ( ) = 0 V, τ = 2 C = 2 s v C (t) = v Cf (v Co - v Cf )e -t/τ = 2e -0.5t V (t en s) i C (t) = C dv C (t) = - e -0.5t A (t en s) (1) (2) Para t 1 t < se tiene Ecuación del circuito y ecuación diferencial V B - v C 3 = C dv C v C 2 C 2 3 dv C ( 2 3 ) v C = V B A partir de (1) v Co = v C (t 1 ) = v C (t 1 - ) = 2e -0.5t 1 = 1.21 V Expresiones temporales v Cf = v C ( ) = V B = 1.5 V, τ = C = 1 s v C (t) = v Cf (v Co - v Cf )e -(t - t 1)/τ = e -(t - 1) V (t en s) i C (t) = C dv C (t) = 0.29e -(t - 1) A (t en s) (3) (4)

66 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 98 El procedimiento indicado en este ejemplo es aplicable a cualquier otra situación: mayor número de cambios de posición de los interruptores, circuitos con dos o más elementos acoplados, o circuitos con elementos parcial o totalmente desacoplados.

67 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 99 Ejemplo 2 de circuito con cambios sucesivos V A i C C v C- t = t 1 kv C i v Ḻ El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes de. Después de t = t 1 ya no experimenta más cambios. Se desea obtener i C (0 ), v C (100 ms) e i (1.1 s). V A = 200 mv, k = 2 = 0.5 kω, = 0.5 H, C = 2 µf t 1 = 1 s Para 0 < t t 1 se tiene i C (0 ) = V A - v C (0 ) = V A - v C (0 - ) = V A = 0.4 ma C dv C v C = V A En principio habría que resolver esta ecuación diferencial, obtener la expresión temporal correspondiente, y sustituir en ésta el valor.1 s. Sin embargo, puede observarse que la constante de tiempo es τ = C = 1ms<<0.1s Es decir, la parte del circuito que incluye la capacidad está en régimen permanente en el instante de interés. En consecuencia, v C (0.1 s) = v Cf = v C ( ) = V A = 0.2 V

68 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 100 Para t 1 t < se tiene di i = kv C Esta ecuación indica que la inductancia es un elemento acoplado. Puede ser resuelta por el procedimiento convencional. Pero es más sencillo aplicar un procedimiento alternativo. a parte del circuito que contiene la capacidad continúa en régimen permanente en este intervalo temporal, ya que no ha experimentado más cambios, ni los cambios producidos en otra parte del circuito repercuten en ella. En consecuencia, la ecuación anterior puede ser sustituida por di i = kv A Ahora habría que resolver esta ecuación diferencial, obtener la expresión temporal correspondiente, y sustituir en ésta el valor.1 s = (1.1 s - t 1 ). ecuérdese que los exponentes correspondientes a intervalos que no empiezan en 0 están desplazados con relación a sus respectivos orígenes. Pero, nuevamente, puede observarse que la constante de tiempo es τ = = 1 ms << 0.1 s Es decir, la parte del circuito que incluye la inductancia también está en régimen permanente en el instante de interés. En consecuencia, i (0.1 s) = i f = i ( ) = kv A = 0.8 ma

69 ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase 101 Ejemplo 3 de circuito con cambios sucesivos i C C 1 2 v C- 3 t = t1 6 El circuito de la figura, en el que las fuentes son continuas, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes de. Después de t = t 1 ya no experimenta más cambios. V A 5 t = t 1 4 V B Se desea obtener v C (t 1 ), y determinar el tipo de respuesta en la malla para t > t 1. t 1 = 100 s Para 0 < t t 1 y en la malla α = 10 s -1, ω 0 = 8 rad/s Para 0 < t t 1 y en la malla α 2 > ω2 0 respuesta supercrítica s 1, 2 = - α ± α 2 - ω2 0 s 1 = - 4 s -1, s 2 = - 16 s -1 v C (t) = v Cf Ae s 1t Be s 2t v Cf = v C ( ) = 0 V Ae s 1t 1 = Ae V v C (t 1 ) 0 V Be s 2t 1 = Be V Para t > t 1 la malla es de la misma forma que la (los elementos pasivos tienen los mismos valores y están dispuestos de la misma forma; las fuentes independientes no influyen en la respuesta). uego la respuesta buscada también es supercrítica.