Circuitos de Segundo Orden

Transcripción

1 VII Objetivos: o Definir y analizar la respuesta natural de un circuito RL o Identificar y reconocer el tipo de respuesta del circuito RL a través de las raíces de la ecuación característica de la red o Definir y analizar la respuesta completa de un circuito de segundo orden o Discutir la respuesta de un circuito de segundo orden a una función exponencial y senoidal Introducción En este capítulo estudiaremos los circuitos que contiene dos elemento almacenadores de energía diferentes, como son una bobina y un capacitor y veremos que estos circuitos son descritos por una ecuación diferencial de segundo orden, también encontraremos la respuesta natural, forzada y completa de éstos circuitos. omenzaremos nuestro estudio con dos ejemplos clásicos, para llegar obtener la ecuación básica del circuito. 7. Ecuación del circuito básico de los circuitos de segundo orden Para comenzar nuestro desarrollo, los dos circuitos básicos que se muestran en la Figura 7.. v( i( v (t 0 ) i L (t 0 ) i s ( R L v s ( L R (a) Figura 7.. (b) Para comenzar nuestro análisis vamos a suponer que la energía puede ser almacenada inicialmente en la bobina y en el capacitor. La ecuación para el circuito RL paralelo se obtiene de aplicar LK al nodo de arriba: v( t i R i L i i s (, es decir: v( x) dx il ( t0 ) is ( R L t0 De manera similar, la ecuación para el circuito RL serie se puede obtener aplicando LKV a la malla existente: t di( v R v v L v s (, es decir: R i i( x) dx v ( t0 ) L vs ( t0 Note que la ecuación para el voltaje nodal del circuito RL paralelo es de la forma que la de la corriente de malla del circuito RL serie. Por tanto la solución de esos circuitos 0

2 depende de que se resuelva una ecuación. Si ambas ecuaciones anteriores se derivan con respecto al tiempo, obtenemos: d v( v( dis (, que podemos expresarla como: R L d v( v( dis ( y R L d i( di( i( dvs ( L R, que podemos expresarla como: d i( R di( i( dvs ( L L L omo ambos circuitos conducen a una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes, vamos a concentrar nuestro análisis en este tipo de ecuación. 7. Solución a la ecuación diferencial de segundo orden Vamos a emplear el mismo método que hicimos con los circuitos de primer orden para obtener la solución de la ecuación diferencial de segundo orden que resulta del análisis de los circuitos RL. De manera general, en este caso tenemos una ecuación de la forma: d x( a dx( a x( f ( Para f( 0 vamos a tener dos respuestas: la respuesta forzada x f ( y la respuesta natural x n (, entonces la solución completa de la ecuación original es: x( x f ( x n ( Si, por el momento nos limitamos a una función de forzamiento constante (es decir, f( A), entonces la respuesta forzada se puede calcular sustituyendo x f ( K (donde K es una constante) en la ecuación diferencial de segundo orden, obtenemos el valor de la respuesta forzada como sigue: d K dk a ak A, se obtiene K A/a x f (, por tanto la solución total será: x( A/a x n ( Ahora para encontrar la respuesta natural, hacemos la ecuación diferencial de segundo orden igual cero: 03

3 d x( dx( a a x( 0, donde a y a son constantes. Por conveniencia y simplicidad rescribimos la ecuación diferencial de la siguiente forma: d x( dx( ζω x( 0 n ω n, donde hemos hechos las siguientes sustituciones simples para las constantes a ζω y a ω n. Haciendo las mismas consideraciones hechas en el caso de la ecuación de primer orden, la solución de la ecuación homogénea debe ser una función cuyas derivadas de primero y segundo orden tienen la misma forma, de modo que el lado izquierdo de la ecuación homogénea se hará idénticamente cero para todo t. Suponemos una solución exponencial para la respuesta natural, x n ( K st y sustituimos está expresión en la ecuación homogénea, para obtener: s K st ζω n sk st ω n K st 0, Dividiendo ambos lados de la ecuación entre K st se obtiene: s ζω n s ω n 0 Esta ecuación comúnmente se llama ecuación característica; ζ se llama razón o coeficiente de amortiguamiento y a ω n se le llama frecuencia resonante no amortiguada. La importancia de ésta terminología se hará clara conforme avancemos con el desarrollo de este análisis. Si ésta ecuación se satisface, nuestra solución supuesta x n ( K st es correcta. Empleando la fórmula cuadrática, encontraremos que la ecuación característica se satisface si: ζω n ± 4ζ ωn 4ω n s ζω n ± ωn ζ Por lo tanto hay dos valores de s, s y s que satisfacen la ecuación característica s ζω ω ζ y s ζω ω ζ n n n n st Esto significa que xc () t Ke es una solución de la ecuación homogénea y que st x () t K e también es una solución a la ecuación homogénea; es decir, c d d ( Ke ) ( Ke ) Ke st st st ζωn ωn 0 y d st d st st ( Ke ) ζωn ( Ke ) ωnke 0 La suma de estas dos ecuaciones produce la igualdad 04

4 d st st d st st st st ( Ke Ke ) ζωn ( Ke Ke ) ωn( Ke Ke ) 0 Es importante advertir que la suma de las dos soluciones también es una solución. Por lo tanto, en general, la solución complementaria de la ecuación homogénea es de la forma: x () t K e K e n st st Donde K y K son constantes que pueden ser evaluadas vía las condiciones iniciales x(0) y dx(0)/. Por ejemplo ya que: st st dx( dx(0) x() t Ke Ke, entonces, x(0) K K y sk sk t 0 De aquí, x(0) y dx(0)/ producen dos ecuaciones simultáneas, que cuando se resuelven dan las constantes K y K. 7.3 Respuesta natural de los circuitos de segundo orden Un examen minucioso de las ecuaciones s y s indica que la forma de la solución de la ecuación homogénea depende del valor de ζ. Por ejemplo, si ζ >, las raíces de la ecuación característica s y s, también llamadas frecuencias naturales debido a que determinan la respuesta natural de la red, son reales y diferentes; si ζ <, las raíces son números complejos; y finalmente, si ζ,, las raíces son reales e iguales. ada uno de esos casos es muy importante; por lo tanto, examinaremos ahora cada uno con algún detalle Respuesta sobre amortiguada Veamos el caso, donde ζ >, en este caso a la solución se le llama respuesta sobre amortiguada. Las frecuencias naturales s y s son reales y diferentes, por tanto, la respuesta natural de la red descrita por la ecuación diferencial de segundo orden es de la forma: st x () t K e K e, donde s y s toman los valores: n st s ζω ω ζ y s ζω ω ζ n n n n Donde K y K se encuentran de las condiciones iniciales. Esto indica que la respuesta natural es la suma de dos exponenciales decrecientes Respuesta Subamortiguada Ahora consideremos el caso en que ζ <, en este caso a la solución se le llama respuesta subamortiguada. omo ζ <, las raíces de la ecuación característica dada pueden escribirse como: 05

5 s n jωn ζω ζ σ jω d s ζω n jωn ζ σ jω d Donde j, σ ζωn y ω d ω n ζ. Así las frecuencias naturales son números complejos. La respuesta natural es entonces: d ) x () t K e K e t, que se puede escribir como: n ( σ j ω ) t ( σ j ω d x () t e ( K e K e ) n σ t jω jω Utilizando las identidades de Euler ± j e θ cosθ ± jsenθ, obtenemos: x ( e [ K (cos ω t jsenω K (cos ω t jsenω ], reduciendo esto tenemos: σt n d d d d x () t e [( K K )cos ω t ( jk jk ) senω t], que lo podemos escribir como: σ t n d d x () t e ( A cos ω t A senω σ t n d d Donde A y A como K y K son constantes que se evalúan usando las condiciones iniciales x(0) y dx(0)/. Si x n ( es real, K y K serán complejos y K K *. A K K es, por tanto, dos veces la parte real de K y A jk jk, es dos veces la parte imaginaria de K. A y A son números reales. Esto ilustra que la respuesta natural es una respuesta oscilatoria exponencialmente amortiguada Respuesta críticamente amortiguada Por último el caso en que ζ, en este caso a la solución se le llama respuesta críticamente amortiguada. omo ζ, la parte del radical de las raíces s y s se hacen cero y esto genera: n s s ζω n. Por consiguiente x () t K t 3e ζω n donde K 3 K K. Sin embargo esta no puede ser una solución a la ecuación diferencial de segundo orden, debido a que en general no es posible satisfacer las dos condiciones iniciales x(0) y dx(0)/ con la única constante K 3. En el caso donde la ecuación característica tiene raíces repetidas, puede obtenerse una solución de la siguiente manera. Si se sabe que x ( es una solución de la ecuación homogénea de segundo orden, entonces vía la sustitución x( x (y( podemos transformar la ecuación diferencial dada en una ecuación de primer orden en dy(/. omo esta ecuación resultante es sólo una función de y(, puede resolverse para encontrar la solución general x( x (y( 06

6 Para nuestro caso, s s ζω n. Por simplicidad hacemos α ζω n, y, de aquí, la ecuación básica es: d x( dx( α α x( 0 y una solución conocida es x () t K3e αt Empleando la sustitución x ( x (y( K 3 αt y(, la ecuación cuadrática se convierte en d [ Ke yt ( )] α[ Ke yt ( )] α Ke yt ( ) 0 α t α t α t Evaluando las derivadas obtenemos: d [ Ke yt ( )] α Ke yt ( ) Ke αt αt αt dy() t d αt αt αt dy() t αt d y() t [ Ke 3 yt ( )] α Ke 3 yt ( )] αke 3 Ke 3 Si sustituimos esas expresiones en la ecuación precedente se obtiene: αt d y t 3 Ke () d y( 0. Por lo tanto 0, y de aquí, y( A A t. Por ende la solución general es: x ( x (y( K 3 αt (A A, la cual puede escribirse como: x n ( ríticamente amortiguado ζωn () () t ζωn x t n t x t Be Bte, donde B B son constantes derivadas de las condiciones iniciales. Sobre amortiguado La Figura 7.3. ilustra gráficamente los tres casos para las situaciones en las que x n (0) 0. Advertimos que la respuesta críticamente amortiguada tiene un pico y decae más rápido que la respuesta sobre amortiguada. La respuesta subamortiguada es una senoide exponencialmente amortiguada cuya velocidad de decaimiento depende del nt factor ζ. En realidad los términos ± e ζω definen lo que se llama la envolvente de la respuesta, y las oscilaciones amortiguadas (es decir, las oscilaciones de amplitud decreciente) exhibidas por la forma de onda 0 x n ( 0 Subamortiguado Figura 7.3. t αt t 07

7 de la figura se llaman oscilaciones amortiguadas. Analizaremos ahora una serie de ejemplos de circuitos RL simples que contienen condiciones iniciales diferentes de cero y funciones forzantes constantes, considerando circuitos que exhiben respuestas sobre amortiguadas, subamortiguadas y críticamente amortiguada. Ejemplo 7.3. v( onsidere el circuito paralelo de la Figura 7.3., con R Ω, /5 F, y L 5H, con condiciones iniciales i L (0) A y v (0) 4V. Encuentre el voltaje v(. R L i L (0) v (0) Figura 7.3. Solución: Primero tenemos que obtener la ecuación diferencial de segundo orden, en este caso aplicando LK. i R i L i 0, sustituyendo por la ley del elemento de cada uno de ellos, obtenemos: v( t v( x) dx il ( t0 ) 0, derivando esta expresión con respecto al R L t0 tiempo y reacomodando la expresión, se obtiene: d v( R v( L 0 Sustituyendo los valores de R, L y en la ecuación diferencial, obtenemos: d v(.5 v( 0 Entonces la ecuación característica será: s.5s 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces: s y s 0.5 omo las raíces son reales y diferentes la respuesta del circuito es sobre amortiguado y v( será de la forma: v( K t K 0.5t Sin embargo otra alternativa para llegar a concluir el tipo de respuesta es: comparamos la expresión: d v( R v( L 0, con la expresión: 08

8 d x( dx( ζω x( 0 n ω n, y quitando la variable v( que buscamos, obtenemos la ecuación característica del circuito: s ζω n s ω n 0, donde ζω n /R y ω n /L, se obtiene que el coeficiente de L amortiguamiento es ζ y la frecuencia resonante es ω n R L y sustituyendo los valores de los componentes obtenemos: ζ.5 y ω n rad/s omo: ζ > entonces la respuesta será sobre amortiguada. Procedemos a encontrar las raíces usando la fórmula cuadrática, de la ecuación característica, como fue encontrado anteriormente s y s 0.5, y la solución toma la forma: v( K t K 0.5t Las condiciones iniciales se emplean ahora para determinar las constantes K y K. omo v( v ( entonces: v (0) v(0) K 0 K 0 K K 4. La segunda ecuación necesaria para determinar K y K normalmente se obtiene de la expresión: ) t t 0.5 Ke 0.5Ke t Sin embargo, la segunda condición inicial es 0)/. Tenemos que encontrar esta derivada y evaluarla en t(0), no obstante podemos notar que de la ecuación nodal inicial podemos despejar dicha derivada, así: v( i R L ( 0, que al despejar tenemos: il ( v( R 0) il (0) Y evaluándola para t 0, obtenemos: v(0).5(4) 5( ) 5, R entonces formamos la otra ecuación que nos hacia falta 0) 0 0 Ke 0.5Ke 5. El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas formado es: K 0.5K 5 K K 4. Multiplicando ésta ecuación por y efectuando la reta de ambas se obtiene: K 0.5K 5 K K 8 (3/) K 3 así K y K 4 K 4, entonces K Por lo tanto v( es: 09

9 v( t 0.5t Figura La gráfica del voltaje con respecto al tiempo se muestra en la y La corriente n la bobina se relaciona con v( mediante la ecuación i L ( v(, entonces sustituyendo el valor de v( obtenemos: L v( (V) t 0.5t il () t [e e ] 5, por lo 4 tanto la corriente en la bobina será: () t 0.5t il t e e A 0.6 Ejemplo Figura El circuito RL serie que se muestra en la Figura tiene los siguientes parámetros: 0.04F, i( i L (0) L H, R 6Ω, i L (0) 4A y v (0) 4V. Determinemos la L expresión para la corriente en la bobina y el voltaje en el capacitor. R R t (s) v (0) Solución: Figura Primero tenemos que obtener la ecuación diferencial de segundo orden, en este caso aplicando LKV. v R v L v 0, sustituyendo por la ley del elemento de cada uno de ellos, obtenemos: di( t R i( L i( x) dx v ( t0 ) 0, derivando esta expresión con respecto al t0 tiempo y reacomodando la expresión, se obtiene: d i( R L di( i( L 0 Sustituyendo los valores de R, L y en la ecuación diferencial, obtenemos: d i( di( 6 5i( 0 Entonces la ecuación característica será: s 6s 5 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces: s 3 j4 y s 3 j4 0

10 omo las raíces son complejas conjugadas entonces la respuesta del circuito es submortiguada e i( será de la forma: i( A 3t cos4t A 3t sen4t Sin embargo otra alternativa para llegar a concluir el tipo de respuesta es: comparamos la expresión: d i( R L di( i( L 0, con la expresión: d x( dx( ζω x( 0 n ω n, y quitando la variable i( que buscamos, obtenemos la ecuación característica del circuito: s ζω n s ω n 0, donde ζω n R/L y ω n /L, se obtiene que el coeficiente de R amortiguamiento es ζ y la frecuencia resonante es ω n L L y sustituyendo los valores de los componentes obtenemos: ζ 0.6 y ω n 5 rad/s omo: ζ < entonces la respuesta será subamortiguada. Procedemos a encontrar las raíces usando la fórmula cuadrática, de la ecuación característica, como fue encontrado anteriormente s 3 j4 y s 3 j4, Y la solución toma la forma: i( A 3t cos4t A 3t sen4t Empleamos ahora las condiciones iniciales para encontrar los valores de A y A. omo i( i L ( entonces: i L (0) i(0) A 0 cos0 A 0 sen0 4, entonces obtenemos A 4 La segunda ecuación necesaria para determinar A y A normalmente se obtiene de la expresión: di() t 3t 3t 3t 3t 4Ae sen4t 3Ae cos4t 4Ae cos4t 3Ae sen4t Y así di(0) Aesen0 3Ae cos0 4Ae cos0 3Aesen0 di(0) 3A 4 A

11 Sin embargo, la segunda condición inicial es di(0)/. Tenemos que encontrar esta derivada y evaluarla en t(0), no obstante podemos notar que de la ecuación de malla inicial podemos despejar dicha derivada, así: di( R i( L v ( 0, que al despejar obtenemos: di( di(0) v ( R i(, que evaluado en t 0 se obtiene: L L v (0) R i(0) L L Por lo tanto 3A 4A 0 y como A 4, entonces A, así la expresión para i( es: i( 4 3t cos4t 3t sen4t A Ahora el voltaje en el capacitor puede determinarse vía la LKV usando la corriente encontrada: v (V) 8 di( v ( R i( L, entonces sustituimos el valor de i( y obtenemos: v ( 4 3t cos4t 3t sen4t 6 3t sen4t 3t cos4t 8 3t cos4t 6 3t sen4t 4 v ( 4 3t cos4t 3t sen4t V. La gráfica del voltaje se muestra en la Figura Figura t (s) Ejemplo i( Para el circuito mostrado en la Figura se pide encontrar el valor de v( e i(, sabiendo que: R 0Ω, R 8Ω, /8F, L H, v (0) V, i L (0) /A i L (0) L v (0) R v( R Solución: Figura Primero encontraremos v( y luego i(. Para v(, necesitamos encontrar la ecuación diferencial que describe al circuito, para ello es necesario aplicar una combinación de leyes para encontrarla. Primero usaremos la LKV a la malla de la izquierda, así: v L v R v( 0 y sustituyendo obtenemos:

12 di( L R i( v( 0 () Ahora aplicamos LK al nodo entre R y R, para obtener: i( i i R 0 y sustituyendo obtenemos: v( i ( () R Sustituyendo la ecuación () en la ecuación () y reacomodando, obtenemos: d v( R R R ( ) 0 v t R L RL Sustituyendo por los valores de los componentes, se obtiene: d v / 6 9v( 0 Entonces la ecuación característica será: s 6s 9 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces: s s 3 omo las raíces son reales e iguales entonces la respuesta del circuito es críticamente amortiguada y v( será de la forma: v( B 3t B t 3t Empleamos ahora las condiciones iniciales para encontrar los valores de B y B. omo v( v ( entonces: v (0) v(0) B 0 B (0) 0, entonces obtenemos B La segunda ecuación necesaria para determinar B y B normalmente se obtiene de la expresión: ) t 3t 3t 3t 3Be Be 3Bte, y evaluándola en t 0, se obtiene: 0) Be Be 3B(0) e 0) 3B B 3

13 Sin embargo, la segunda condición inicial es 0)/. Tenemos que encontrar esta derivada y evaluarla en t(0), no obstante podemos notar que de la ecuación () que del análisis nodal inicial podemos despejar dicha derivada, así: i( v(, evaluando para t 0, R 0) i(0) v(0) / 3 R / 8 8 / 8 v (V).3 Por lo tanto 3B B 3 y como B, entonces B 6, así la expresión para v( es: v( 3t 6t 3t V. La gráfica del voltaje se muestra en la Figura Entonces la corriente i( puede determinarse de la ecuación () del análisis nodal inicial, así: Figura t (s) v( i (, sustituyendo el valor de v( en dicha ecuación, obtenemos: R i( (/8)(3 3t 6 3t 8t 3t ) (/8)( 3t 6t 3t ) i( (/) 3t (3/)t 3t A 7.4 Respuesta Forzada y ompleta de Una vez obtenida la ecuación diferencial de segundo orden que describe el circuito, que de forma general es: d x( a dx( a x( f ( La respuesta forzada x p ( debe satisfacer dicha ecuación. Por tanto, al sustituir x p ( en la ecuación se tiene: d x p ( dx p ( a a x ( p f ( Se necesita determinar una x p ( tal que ésta y sus primera y segunda derivadas satisfagan la ecuación anterior. Si la función forzada es una constante, es de esperarse que la respuesta forzada sea también una constante, dado que las derivadas de una constante son cero. Si la función 4

14 forzada es de la forma exponencial como f( B at, entonces las derivadas de f( son todas exponenciales de la forma Q at y se espera que x p ( D at. Si la función forzada es una función senoidal, puede esperarse que la respuesta forzada sea una función senoidal. Si f( Asenω o t, se intentará con: x p ( Msenω o t Ncosω o t Qsen(ω o t θ) A continuación presentamos algunas funciones forzadas y su supuesta solución Funciones Forzadas Solución supuesta K A Kt At B Kt At Bt Ksenωt Asenωt Bcosωt K at A at Ahora veamos algunos ejemplos. Ejemplo 7.4. Determine la respuesta forzada de la corriente del inductor i p ( en el circuito RL paralelo mostrado en la Figura 7.4. cuando i f 8 t, R 6Ω, L 7H y (/4)F. Solución: v( i( i f u( R L Figura 7.4. Primero necesitamos encontrar la ecuación diferencial que describe el circuito, para ello aplicaremos LK al nodo superior: i R i( i i f, entonces, v( / R i( / i f, pero como el voltaje del capacitor es el mismo que el voltaje del inductor por estar en paralelo, hacemos uso de v( Ldi(/, sustituyendo esto en la ecuación nodal obtenida y reacomodando, tenemos: d i( di( i( R L i f, sustituyendo los valores obtenemos: L dit () dit () 7 6 it ( ) 48e t omo la única respuesta solicitada es la respuesta forzada, entonces suponemos que i p ( será de la forma: 5

15 i p ( A t, entonces la sustituimos en la ecuación diferencial para encontrar el valor de A, así: 4A t 7(A t ) 6A t 48 t, entonces, (4 4 6)A t 48 t, entonces A por lo tanto la respuesta forzada será: i p ( t A Ejemplo 7.4. Determinemos el voltaje de salida v( para t > 0, en el circuito mostrado en la Figura 7.4. El circuito para t < 0 esta en estado estable. Los valores son: R 0Ω, R Ω, L H, (/4)F. 4V V t 0 L R Figura 7.4. i( R v( Solución: Primero debemos redibujar nuestro circuito para t > 0, como es mostrado en la Figura V V L R Figura R v( Ahora tenemos que encontrar la ecuación diferencial que describe el circuito, para ello hay que utilizar las herramientas de análisis de circuitos. En este caso, haremos una combinación de dos leyes para poder obtener la ecuación diferencial. Primero aplicaremos LKV a la malla de la izquierda del circuito, así obtenemos: di( L R i( v( 4 () y aplicando LK al nodo de salida obtenemos otra ecuación, v( i ( (), como buscamos v(, entonces sustituimos la ecuación () en R la ecuación () para obtener la ecuación diferencial en función de v(, y reacomodando se obtiene: i( d v / R R R 4 v( R L RL L Sustituyendo los valores de lo s componentes en la ecuación diferencial se obtiene: 6

16 d v / 7 v( 48 De aquí, la ecuación característica es: s 7s 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces: s 3 y s 4 Entonces la respuesta natural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tanto toma la forma: v n ( K 3t K 4t Para obtener la respuesta forzada, como f( es una constante, entonces suponemos que la respuesta forzada también es constante, así v p ( K 3, por lo tanto la solución general es: v( K 3t K 4t K 3 Para obtener el valor de K 3, lo sustituimos en la ecuación diferencial y obtenemos que: K 3 48/ 4, Otra forma de encontrar el valor de K 3, es considerando el circuito para t > 0 en estado estable, como se muestra en la Figura y así encontrar v( en estado estable, a través de un divisor de voltaje, v( (/)4 4V, entonces K 3 4 Ahora para encontrar los valores de K y K haremos uso de las condiciones iniciales, para ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura V i L (0 ) 0Ω Figura Ω V v (0 ) Entonces i L (0 ) / A y v (0 Figura ) (/) V, así como i L (0 ) i L (0) i L (0 ) i(0 ) y v (0 ) v (0) v (0 ) v(0 ), entonces podemos evaluar v( en t 0 y obtener la primera ecuación, así: v(0) K K 4, reduciendo se tiene: K K La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta v(, así: Ω Ω v( v(0 ) / 3K 3t 4K 4t y evaluándola para t 0 obtenemos: 0)/ 3K 4K 7

17 De la ecuación nodal () que utilizamos para obtener la ecuación diferencial podemos despejar la primera derivada de v(, evaluarla en t 0 y encontrar su valor para utilizarlo en la ecuación anterior, así i( v( y al evaluarla en t 0, tenemos: R 0) i(0) v(0) R / 4 / 4 0, así la segunda ecuación es: 0)/ 3K 4K 0, Resolviendo para K y K obtenemos: K 8 y K 6, por lo tanto la respuesta completa del circuito es: v( 8 3t 6 4t 4 V 7.5 Problemas Resueltos Ejemplo 7.5. Encuentre i o ( para t > 0 en el circuito que se muestra en la figura 7.5. y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor. t 0 A Ω H v( Figura 7.5. i L ( /5 F 5Ω i o ( Solución: Para encontrar i o ( para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0 y encontrar luego el voltaje del capacitor que es igual al voltaje v( ya que todos los elementos se encuentran en paralelo, para luego aplicar la ley de Ohm y encontrar i o ( como: A Ω H v( Figura 7.5. i L ( /5 F 5Ω i o ( i o ( v(/5 El circuito para t > 0, se muestra en la figura Para encontrar v( aplicamos la LKV al nodo superior, así: 8

18 t v( v( t v( x) dx il ( to ) v( x) dx il ( t ) t L 5 t L o o o Esta expresión integrodiferencial la debemos derivar con respecto al tiempo, para obtener la ecuación diferencial de segundo orden, característica del circuito, así: d v( v( v(, reacomodando y sustituyendo valores L 5 L de L y, obtenemos: d v( 5 3 v( 0, 4 omo podemos observar ésta ecuación es igual a cero, entonces solo tendremos solución natural y tendremos que encontrar a cual respuesta natural obedece, en dependencia de los valores de las raíces de la ecuación característica. La ecuación característica es entonces: s 3s 5/4 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces s / y s 5/ Entonces la respuesta natural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tanto toma la forma: v( K t/ K 5t/ Ahora para encontrar los valores de K y K haremos uso de las condiciones iniciales, para ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura A Ω i L (0 ) i L (0 ) Figura v (0 ) 5Ω omo podemos observar del circuito i L (0 ) 0A y v (0 ) 0V Y como v (0 ) v (0) v (0 ) v(0) 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de v(, obtenemos: v(0) K K 0, que es la primera ecuación, La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta v(, así: / (/)K t/ (5/)K 5t/ y evaluándola para t 0 obtenemos: 0)/ (/)K (5/)K 9

19 Ahora regresamos a la ecuación integrodiferencial que utilizamos para obtener la ecuación diferencial y despejamos la primera derivada de v(, para evaluarla en t 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así: 0) 5 5 il ( 3v( y al evaluarla en t 0, tenemos: il (0) 3v(0) , así la segunda ecuación es: 0)/ (/)K (5/)K 5/, Resolviendo para K y K obtenemos: K 5/4 y K (5/4), entonces el voltaje v( es: i o ( (ma) v( (5/4) t/ (5/4) 5t/ V, por lo tanto la corriente i o ( será: i o ( v(/5 (/4) t/ (/4) 5t/ A 40 La figura muestra i o ( Ejemplo t (s) Figura Encuentre v o ( para t > 0 para el circuito que se muestra en la figura y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor. Solución: 4V KΩ 6KΩ t 0 50pF KΩ 50pF 3KΩ mh Figura v o ( Para encontrar v o ( para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0 y encontrar luego la corriente del inductor, para luego aplicar la ley de Ohm y encontrar v o ( como: KΩ 5pF KΩ v o ( i L (*3K El circuito para t > 0, se muestra en la figura V 6KΩ i i i L ( mh 3KΩ v o ( Para encontrar i L ( haremos uso del análisis de malla como es mostrado en la figura arriba. Figura Aplicando LKV a la malla tenemos: 4 (K 6K)i 6Ki () 0

20 t di ( K 3K 6K) i i ( x) dx v( to ) L 6Ki to 0 () De la ecuación podemos despejar i en función de i, así: i 4 6Ki, e introducirla en la ecuación para obtener: 8K t di ( 0K) i i ( x) dx v( to ) L 8 Ki to 0 (3) Ahora como la corriente de malla i coincide con la corriente del inductor i L ( y derivando la ecuación integrodiferencial de arriba, obtenemos la ecuación diferencial de segundo orden, característica del circuito: dil ( 0K) i ( L d il ( dil ( ( L K 0 Sustituyendo valores y reacomodando se tiene: d il ( dil ( 4M 4Ti ( 0 L, omo podemos observar ésta ecuación es igual a cero, entonces solo tendremos solución natural y tendremos que encontrar a cual respuesta natural obedece, en dependencia de los valores de las raíces de la ecuación característica. La ecuación característica es entonces: s 4Ms 4T 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces s s M Entonces la respuesta natural del circuito es críticamente amortiguada, y por lo tanto toma la forma: v( K Mt K t Mt Ahora para encontrar los valores de K y K haremos uso de las condiciones iniciales, para ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura V KΩ 6KΩ omo podemos observar del circuito i L (0 ) 0A y v (0 ) 0V v (0 ) i L (0 ) Figura KΩ 3KΩ Y como i L (0 ) i L (0) i L (0 ) 0A, entonces evaluándola en la ecuación general de i L (, obtenemos:

21 i L (0) K 0 La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta i L (, así: di L (/ MK t Mt K Mt y evaluándola para t 0 obtenemos: di L (0)/ K Ahora regresamos a la ecuación integrodiferencial (3) que obtuvimos de insertar la ecuación en la ecuación y despejamos la primera derivada de i ( (que es i L (), para evaluarla en t 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así: dil ( 4K 4Mi ( 500v ( y al evaluarla en t 0, tenemos: L dil (0) 4K 4MiL (0) 500v (0) 4K 0 0 4K, así la segunda ecuación es: di L (0)/ K 4K, entonces la corriente i L ( es: i L ( 4Kt Mt A, por lo tanto el voltaje v o ( será: v o ( i L (*3K Mt Mt V La figura muestra v o ( v o ( (V) Ejemplo M M 3M t (s) Figura Encuentre v o ( para t > 0 para el circuito que se muestra en la figura y grafique la respuestaincluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor. 0mV Solución: t 0 4KΩ v( 4KΩ v( 30KΩ 8mH 00pF 5KΩ 5 v o ( Figura Para encontrar v o ( para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0 y v o ( será igual al voltaje del capacitor v (, ya que ambos comparten el mismo par de nodos: El circuito para t > 0, se muestra en la figura KΩ 0mV v( 4KΩ v( 30KΩ 8mH 00pF 5KΩ 5 v o ( Figura 7.5.0

22 Ahora procederemos a encontrar la ecuación diferencial de segundo que define el circuito, para ello aplicaremos la LK al nodo superior del capacitor, así: v ( v ( dv ( 30K 5K L t 0 v ( x) dx i L (0 ) 0 omo podemos observar de la ecuación anterior, no aparece la fuente dependiente ya que v( 0, porque el interruptor se encuentra abierto. Ahora ésta expresión integrodiferencial la debemos derivar con respecto al tiempo, para obtener la ecuación diferencial de segundo orden, característica del circuito, así: dv ( dv ( d v ( v ( 0, sustituyendo los valores de L y y 30K 5K L reacomodando obtenemos: d v ( dv ( M.5Tv ( 0 omo podemos observar ésta ecuación es igual a cero, entonces solo tendremos solución natural y tendremos que encontrar a cual respuesta natural obedece, en dependencia de los valores de las raíces de la ecuación característica. La ecuación característica es entonces: s Ms.5T 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces s, (/)M ± jm Entonces la respuesta natural del circuito es subamortiguada, y por lo tanto toma la forma: v ( 500Kt [K cos(m K sen(m] Ahora para encontrar los valores de K y K haremos uso de las condiciones iniciales, para ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura KΩ 0mV 4KΩ v( v( 30KΩ v 5KΩ v o (0 (0 ) ) 5 i L (0 ) Figura 7.5. om o podemos observar del circuito v (0 ) 0V, pero i L (0 ) v(/5, pero v( es: v( (4K/8K)*0m 5mV, entonces i L (0 ) 0.mA Y como v (0 ) v (0) v (0 ) 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de v(, obtenemos: 3

23 v (0) K 0 La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta v (, así: dv (/ 500K 500Kt [K sen(m] 500Kt [MK cos(m] y evaluándola para t 0 obtenemos: dv (0)/ MK Ahora regresamos a la ecuación integrodiferencial que obtuvimos de aplicar la LK al nodo superior del capacitor y despejamos la primera derivada de v (, para evaluarla en t 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así: dv ( 0Gi ( Mv ( y al evaluarla en t 0, tenemos: L dv (0) 0GiL (0) Mv, así la segunda ecuación es: (0) M 0 M v o ( (V) dv (0)/ MK M, de donde obtenemos K, entonces el voltaje v o ( es: v o ( v ( 500Kt [sen(m] V La Figura 7.5. muestra v o ( Ejemplo M 4M 6M t (s) Figura 7.5. t 0 Determine v( para t > 0 en el circu ito que se muestra en la figura Suponga que existen condiciones de estado estable cuando t 0. 6Ω /8 F v Ω 5/ A H Solución: Figura Para encontrar v( para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0, y el voltaje v( debe encontrarse en función del voltaje del capacitor o en Ω función de la corriente del inductor. El circuito para t > 0 se muestra en la figura 7.5.4: 6Ω v 5/ A H /8 F Ahora procederemos a encontrar el voltaje v( como i i L una función del voltaje del capacitor (se le deja al lector, encontrar el voltaje v( en función de la corriente del Figura inductor) para ello aplicaremos la LKV a ambas mallas del circuito y la LK al nodo superior de la fuente independiente de corriente. 4

24 Aplicando la LK al nodo superior de la fuente, tenemos: 5/ i i L () Ahora aplicaremos la LKV a la malla de la izquierda del circuito, para obtener v(, así: v v 6Ω v 6i v () Pero también podemos aplicar la LKV a la malla derecha del circuito para obtener v(, así: v Ω v L i v i L Ldi L / (3) v L L De la ecuación () podemos despejar il en función de i, así: i L 5/ i e insertándola en la ecuación (3) obtenemos: 5 d 5 di v ( i ) L ( i ) 5 i L (4), ésta expresión la igualamos a la expresión de la ecuación () para obtener la ecuación diferencial de segundo orden característica del circuito di 6 i v 5 i L, sustituyendo i dv / y reacomodando el circuito tenemos: d v dv L 8 v obtenemos: 5, sustituyendo los valores de L y y reacomodando d v dv 4 4v 0 omo podemos observar ésta ecuación no es igual a cero, entonces tendremos solución natural y solución particular. La solución total será: v ( v n ( v f ( Para obtener la respuesta forzada, como f( es una constante, entonces suponemos que la respuesta forzada también es constante, así v f ( K 3, ésta solución se sustituye en la ecuación diferencial de segundo orden y se encuentra el valor de K 3, así: d K 3 dk K 3 0, de aquí que K 3 0/4 5 Para obtener la respuesta natural, hacemos uso de la ecuación característica, para obtener las raíces, así: s 4s 4 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces 5

25 s s Entonces la respuesta natural del circuito es críticamente amortiguada, y por lo tanto toma la forma: v ( K t K t t, entonces la solución total será: n v ( K t K t t 5 Ahora para encontrar los valores de K y K haremos uso de las condiciones iniciales, para ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura omo podemos observar del circuito v (0 ) 0V, pero il(0 ) 5/ A, Ω 6Ω v 5/ A i v (0 ) L (0 ) Figura Y como v (0 ) v (0) v (0 ) 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de v(, obtenemos: v (0) 5 K 0, entonces K 5 La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta v (, así: t dv (/ 0 t K t K t y evaluándola para t 0 obtenemos: dv (0)/ 0 K Ahora regresamos a la ecuación () que obtuvimos de aplicar la LK al nodo superior de la fuente de 5/ A y despejamos la primera derivada de v (, para evaluarla en t 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así: dv ( t ) 5/ i ( L y al evaluarla en t 0, tenemos: dv (0) 5/ / 8 5/ 0, así la segunda ecuación es: / 8 dv (0)/ 0 K 0, de donde obtenemos K 0, entonces el voltaje v ( es: v ( 5 t 0t t 5, pero como estamos interesados en encontrar v( haremos uso de la ecuación (): v 6i v 6dv / v, sustituyendo v (, tenemos: 3 v( ( 0e 0te 0e ) 5 5e 0e 4 v( 5t t 5 5 t t t t t t t t t 0t, por lo tanto será: v( 5 5 5t V 6

26 Ejemplo t 0 4Ω Determine v( para t > 0 en el circuito que se muestra en la figura Suponga que existen condiciones de estado estable cuando t 0. 4u( V 0V H 6Ω ¼ F v Solución: Para encontrar v( para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0 y v( será igual al voltaje del capacitor v (, ya que v( se encuentra entre las terminales del capacitor: 4V Figura Ω H 0V 6Ω i L ¼ F i v El circuito para t > 0, se muestra en la figura Figura Ahora procederemos a encontrar el voltaje v( v( utilizando una combinación de la LK y la LKV para obtener la ecuación diferencial de segundo orden característica del circuito. Primero aplicaremos la LKV a la malla derecha del circuito, así: v v L v 6Ω Ldi L / 6i L () Ahora aplicaremos la LK al nodo superior del capacitor, así: i 4Ω i L i, entonces despejando i L obtenemos: i L 4 v dv 4 () y sustituyendo ésta en la ecuación () se tiene: d 4 v dv 4 v dv v v L 6, efectuando operaciones, tenemos: 4 4 L dv d v 3v dv v L 6 6, sustituyendo los valores de L y y 4 reacomodando obtenemos: d v dv 7 0v 4 omo podemos observar ésta ecuación no es igual a cero, entonces tendremos solución natural y solución particular. La solución total será: v( v n ( v f ( 7

27 Para obtener la respuesta forzada, como f( es una constante, entonces suponemos que la respuesta forzada también es constante, así v f ( K 3, ésta solución se sustituye en la ecuación diferencial de segundo orden y se encuentra el valor de K 3, así: d K 3 dk 3 7 0K 3 4, de aquí que K 3 4/0.4 Para obtener la respuesta natural, hacemos uso de la ecuación característica, para obtener las raíces, así: s 7s 0 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces s y s 5 Entonces la respuesta natural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tanto toma la forma: t 5t vn( K K, entonces la solución total será: t v( K K 5t.4 4Ω Ahora para encontrar los valores de K y K haremos uso de las condiciones iniciales, para ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura Del circuito obtenemos v (0 ) haciendo un divisor de voltaje, así: 0V 0V 6Ω Figura i L (0 ) v (0 ) v (0 ) (6/0)*0 6V y para obtener i L (0 ) aplicaremos la ley de Ohm, así: i L (0 ) 6/6 A Y como v (0 ) v (0) v (0 ) 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de v(, obtenemos: v(0) K K.4 6, Y La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta v (, así: dv (/ K t 5t 5K y evaluándola para t 0 obtenemos: dv (0)/ K 5K Ahora regresamos a la ecuación () que obtuvimos de aplicar la LK al nodo superior del capacitor y despejamos la primera derivada de v (, para evaluarla en t 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así: 8

28 dv ( t ) v ( il ( y al evaluarla en t 0, tenemos: 4 dv (0) / 4 6 4(/ 4) / 4 6, así la segunda ecuación es: dv (0)/ K 5K 6, Resolviendo las dos ecuaciones para K y K obtenemos K 4, y K 0.4, entonces el voltaje v ( es: v ( v( 4 t 0.4 5t.4 V Ejemplo t 0 4Ω 6Ω Determine v( para t > 0 en el circuito que se muestra en la figura 7.5.9, si v f 8 4t u(. Suponga que existen condiciones de estado estable cuando t 0. 0V v f v Figura ¼ F H Solución: Para encontrar v( para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0 y v( será igual al voltaje del capacitor v (, ya que v( se encuentra entre las terminales del capacitor: 0V v f i 4Ω 4Ω v i 6Ω ¼ F i L H El circuito para t > 0, se muestra en la figura Figura Ahora procederemos a encontrar el voltaje v( v ( utilizando una combinación de la LK y la LKV para obtener la ecuación diferencial de segundo orden característica del circuito. Primero aplicaremos la LKV a la malla derecha del circuito, así: v 6 L L L v Ω v 6i Ldi / () Ahora aplicaremos la LK al nodo superior del capacitor, así: i 4Ω i L i, entonces despejando i L obtenemos: i L v f v 4 dv () y sustituyendo ésta en la ecuación () se tiene: dv v v f v dv d v f v v L 4 4 efectuando operaciones, tenemos: 9

29 3v f 3v dv dv L f L dv d v v 6 L, sustituyendo los valores de L. 4 4 y v f y reacomodando obtenemos: dv dv 4t 4t 7 0v e e e 4t omo podemos observar ésta ecuación no es igual a cero, entonces tendremos solución natural y solución particular. La solución total será: v ( v n ( v f ( Para obtener la respuesta forzada, como f( es una señal exponencial, entonces suponemos que la respuesta forzada también será exponencial, así v f ( K 3 4t, ésta solución se sustituye en la ecuación diferencial de segundo orden y se encuentra el valor de K 3, así: d ( K e ) d( K e ) 4t 4t 3 3 4t 4t 7 0( Ke 3 ) 6e, efectuando las derivadas tenemos: 6K e 8K e 0K e 6e, de aquí que K 3 6/ 8, así: 4t 4t 4t 4t v f ( 8 4t Para obtener la respuesta natural, hacemos uso de la ecuación característica, para obtener las raíces, así: s 7s 0 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces s y s 5 Entonces la respuesta natural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tanto toma la forma: v K 5t n ( K t, entonces la solución total será: v ( K t K 5t 8 4t 4Ω 6Ω Ahora para encontrar los valores de K y K haremos uso de las condiciones 0V v iciales, pa ello n esita os redibujar el (0 ) in ra ec m 0V circuito para t < 0, como se muestra en la figura Figura 7.5. Del circuito obtenemos v (0 ) haciendo un divisor de voltaje, así: i L (0 ) v (0 ) (6/0)*0 V y para obtener i L (0 ) aplicaremos la ley de Ohm, así: 30

30 i L (0 ) /6 A Y como v (0 ) v (0) v (0 ) 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de v(, obtenemos: v(0) K K 8, Y La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta v (, así: dv 5t 3 4t (/ K t 5K y evaluándola para t 0 obtenemos: dv (0)/ K 5K 3 Ahora regresamos a la ecuación () que obtuvimos de aplicar la LK al nodo superior del capacitor y despejamos la primera derivada de v (, para evaluarla en t 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así: dv v ( f v ( il ( y al evaluarla en t 0, tenemos: 4 4 dv (0) 8 4(/ 4) 4(/ 4) / 4, así la segunda ecuación es: dv (0)/ K 5K 3, Resolviendo las dos ecuaciones para K y K obtenemos K 56/3, y K 4/3, entonces el voltaje v ( es: v( v( (56/3) t (4/3) 5t 8 4t V 7.6 Problemas propuestos 7.6. Para el circuito que se muestra en la figura 7.6., encuentre v ( para t > 0. Suponga estado estable en t 0..6H 0mA t 0 0KΩ 5nF v Figura Para el circuito que se muestra en la figura 7.6., encuentre il( para t > 0. Suponga estado estable en t 0. 5Ω i L /45 H V t 0 Ω mf Figura

31 7.6.3 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.3, encuentre i ( para t > 0. Suponga estado estable en t 0. u( A 50Ω.5µF i 0mH Figura Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.4, encuentre il( para t > 0. Suponga estado estable en t 0. 4u( A Ω /3 H i L ¼ F Figura Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.5, encuentre v( para t > 0. Suponga estado estable en t 0. Ω 0.5 H V t 0 5Ω F v Figura Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.6, encuentre v( para t > 0. Suponga estado estable en t 0. Ω i L 0u( A 0.F 0.5 H Figura Para el circuito que se m uestra en la figura 7.6.7, encuentre i( para t > 0. Suponga estado estable en t 0. t 0 i( V 3/8 F 3Ω /3 H Figura

32 7.6.8 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.8, encuentre v o ( para t > 0. Suponga estado estable en t 0. vo( 8Ω ¼ F t 0 3Ω t 0 ½ H V 6V Figura El circuito que se muestra en la figura 7.6.9, es un circuito transmisor de un sistema de comunicación de una estación espacial que usa pulsos cortos para a un autómata que opera en el espacio. Encuentre v ( para t > 0. Suponga estado estable en t 0. 50Ω t 0 50Ω 0.8H v ( 5µF 6V Figura El circuito que se muestra en la figura 7.6.0, es un circuito de suministro de potencia de 40W. Encuentre i L ( para t > 0. Suponga estado estable en t 0. 4H i L( ¼ F Ω t 0 8Ω 4Ω 7A Figura Para el circuito que se muestra en la figura 7.6., encuentre v( para t > 0. Suponga estado estable en t 0. 00µH 0.µF 00mA 3Ω v( t 0 7Ω 0V Figura

33 7.6. Para el circuito que se muestra en la figura 7.6., encuentre v( para t > 0. Suponga estado estable en t 0. t 0 Ω 6Ω /8 F v( 5/ A H Figura Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.3, encuentre v( para t > 0, cuando a) (/0)F, b) (/8)F y c) (/0)F. Suponga estado estable en t 0. 4Ω v ( 8Ω u( A H Figura Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.4, encuentre i( para t > 0. Suponga estado estable en t 0. KΩ /5 µ H 6KΩ / µf t 0 i( 0mA KΩ 8V Figura Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.5, encuentre v( para t > 0, cuando v (0 ) V e i L (0 ) 0A. Ω Ω 5cost V 0.5H / F v ( Figura Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.6, encuentre i ( para t > 0, considere i f t u( A. Suponga estado estable en t 0. 3Ω i ( i f Ω 0.5H F Figura

34 7.6.7 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.7, encuentre v ( para t > 0, considere i f 9 3 t u( A. Suponga estado estable en t 0. v ( 5H ½ F.5Ω Ω i f 0.5Ω Figura Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.8, encuentre v( para t > 0. Suponga estado estable en t 0. 4u( A H 6Ω /5 F v ( Figura Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.9, encuentre il( para t > 0. Suponga estado estable en t 0. 3u( A 0.H 0mF 0.5Ω 3A i L ( Figura Para el circuito que se muestra en la figura 0, encuentre v( para t > 0, cuando a) v f u( V, b) v f 0.tu( V y v f 30t u( V. Suponga estado estable en t 0. 7Ω 0.H v f 833.3µF v ( Figura