Variación de un funcional Funcional ( ) 1.6 Introducción al cálculo variacional 1.6. Introducción al cálculo variacional

Transcripción

1 1.6. Introducción al cálculo variacional El cálculo variacional estudia los métodos, llamados variacionales, que permiten hallar los valores estacionarios de los funcionales. Puesto que un funcional representa el modelo matemático de un problema físico, la aplicación de los métodos variacionales es importantes en áreas del conocimiento como la física teórica, mecánica Lagrangiana, mecánica cuántica, en las ingenierías, etc. Los métodos variacionales proveen las bases matemáticas del método del método del elemento finito, el cual es una herramienta numéricapararesolverpvf. El principio variacional de un fenómeno físico contiene las ecuaciones que gobiernan el problema, mismas que se obtienen a partir de las condiciones estacionarias Variación de un funcional Definition 1 Se denomina variación de un funcional () en un punto = () al valor de la derivada del funcional respecto al parámetro para =0: (()) (1.169) = (())=0 (1.170) Funcional ( ) Sea el siguiente funcional:- () = si la función, seaproximacomo, definida como: ( ) 1 Γ (1.171) La derivada de la función, es = (1.172) = (1.173) Sustituyendo las ecs. (1.172) y (1.173) en el funcional de la ec. (1.171), se tiene: () = ( ) = ( ) 1 ( ) Γ (1.174) c GJL, UAM 44

2 La derivada del funcional, definido en la ecuación anterior, respecto a la variable, e igualando aceroes: () = 0 = = µ µ 1 Γ 1 (1.175) Si la variable 0, las variable = y = en las ecs. (1.172) y (1.173), por lo la ec. (1.175) se define como: {z 1 Γ =0 (1.176) } z Integrando por partes el término z de la ec. (1.176), considerando: se tiene z = = Sustituyendo ec. (1.178) en la ec. (1.176), = ; = (1.177) = ; = (1.178) Z 0 1 µ µ 1 Γ = 0 µ 1 = 0 (1.179) del primer término de la ec. (1.179) se obtienen las condiciones de Euler Lagrange: =0 (1.180) y del último término de la ec. (1.179) se obtienen las condiciones naturales: y las esenciales: µ =0 (1.181) 1 c GJL, UAM 45

3 Γ =0 (1.182) Funcional ( ) Sea el siguiente funcional, dependiente de, definido en el dominio R =[ 1 ],con valores 1 y 2 prescritos en algún extremo de la frontera Γ. () = ( ) 1 Γ 2 Γ (1.183) si la función, seaproximacomo, definida en la ec. (1.172), que tiene primera derivada, ec. (1.173), y segunda derivada respecto a. = (1.184) Sustituyendo las ecs. (1.172), (1.173) y en el funcional de la ec. (1.183), se tiene: () = = ( ) 1 Γ 2 Γ (1.185) ( ) 1 ( ) Γ 2 ( ) (1.186) Γ La derivada del funcional, definido en la ecuación anterior, respecto a la variable, e igualando aceroes: () = 0 = = µ µ 1 1 Γ 2 Γ 2 (1.187) Si la variable 0, las variable =, = y = en las ecs. (1.172, y1.184), por lo la ec. (1.188) se define como: {z } 1 Γ 2 Γ =0 (1.188) {z } z Integrando por partes el término z de la ec. (1.188), se tiene z = (1.189) c GJL, UAM 46

4 = Integrando por partes el término de la ec. (1.190), = Sustituyendo la ec. (1.191) en la ec. (1.190), = Sustituyendo las ecs. (1.189) y (1.192) en la ec. (1.188), (1.190) {z } 2 2 (1.191) 2 2 (1.192) µ 2 2 µ de la ec. (1.193) las condiciones de Euler-Lagrange son: 1 µ 2 =0 (1.193) y las condiciones naturales: 2 2 =0 (1.194) y las esenciales: µ =0 1 µ =0 (1.195) 2 Γ =0; Γ =0 (1.196) Extensiones a otros Funcionales Las condiciones de Euler-Lagrange para un funcional del tipo ( ) son: =0 (1.197) Las condiciones de Euler-Lagrange para un funcional con diferentes variables independientes ( ) son: c GJL, UAM 47

5 = 0 1 = 0 1 = 0 Las condiciones de Euler-Lagrange para un funcional ( ) son: Ejemplos Barra =0 (1.198) Determine las condiciones de Euler-Lagrange para tener un valor extremo el funcional de energía de una barra: Π () Z 1 " µ 1 () 2 2 b u# u = (1.199) Sustituyendo el funcional de la ec. (1.199) en las condiciones de Euler Lagrange definidas en ec. (1.180), se obtiene la siguiente ecuación: que corresponde a la ecuación de equilibrio. Sustituyendo la ec. (1.199) en la ec. (1.181), se obtiene: () = 0 (1.200) () = 0 (1.201) µ () = 0 (1.202) () Γ = 0 (1.203) La ecuación anterior indica que se cumple el equilibrio externo de la (1.16) oelvalorde () es igual a cero en los extremos. c GJL, UAM 48

6 Viga de Bernoulli Determine las condiciones de Euler-Lagrange para tener un valor extremo el funcional de energía de una viga: Π( ()) = Z = =0 " µ () () 2 () ()# () () Γ () {z } () (1.204) Sustituyendo el funcional de la ec. (1.204) en las condiciones de Euler Lagrange definidas en ec. (1.194), se obtiene: = (); =0; = 2 () 2 () () 2 =0 (1.205) que corresponde a la ecuación de equilibrio de la viga de Bernoulli. Sustituyendo la ec. (1.206) en la ec. (1.195), se obtienen las condiciones naturales: µ 2 () 2 =0 () y en la ec. (1.196) las condiciones esenciales: () Γ =0; µ 2 () 2 =0 (1.206) () () {z } () Γ =0 (1.207) c GJL, UAM 49