MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (1) TEMA 5 INSTALACIONES HIDRÁULICAS

Transcripción

1 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (1) TEMA 5 INSTALACIONES HIDRÁULICAS

2 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO () INDICE TEMA 5 5 INSTALACIONES HIDRÁULICAS 5.1 Generalidades Definición y Modelado de una instalación hidráulica 5.1. Elementos de una instalación hidráulica 5. Pérdidas de carga en tuberías 5..1 Ecuación de Darcy-Weisbach 5.. Secciones no circulares. Diámetro Hidráulico 5..3 Problemas Básicos en tuberías 5.3 Válvulas Funciones y Tipos 5.3. Pérdidas de carga en válvulas 5.4 Modelo Matemático de una instalación hidráulica Ecuaciones Fundamentales 5.4. Condiciones de Contorno Resolución Formulación por Caudales Formulación por Alturas

3 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (3) 5.1 GENERALIDADES

4 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (4) 5.1 Generalidades Definición y Modelado de instalaciones hidráulicas Definición: Una instalación hidráulica o de transporte de fluidos es un conunto de elementos interconectados cuya misión es transportar un determinado fluido desde los puntos de almacenamiento y/o producción hasta los de consumo, en una cantidad y condiciones de servicio determinadas. Modelado: Para obtener unas ecuaciones ue representen su comportamiento una instalación hidráulica está compuesta por líneas conectadas en unos puntos denominados nudos o nodos. Linea: Conunto de elementos de la instalación por los ue circula un determinado caudal. Nodo: Punto de unión de varias líneas o de una línea con el exterior. Elemento: Dispositivo con una única entrada y salida de fluo. 0 m (H B ) 01 = m 30 m V V a 1 3 L a =40(m) D a =0.3 (m) ε=0.3 (mm) L 4 =50 (m) 10 D 4 =0.3 (m) ε=0.3 (mm) 0 L 1 =0 (m) D 1 =0.4 (m) ε=0.3 (mm) 4 4

5 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (5) 5.1 Generalidades-5.1. Elementos de una instalación hidráulica (I) Elementos: Los elementos más comunes ue forman parte de una instalación: Elementos Activos. Transforman energía del fluido en mecánica o viceversa (H m ). Las máuinas hidráulicas (i.e.: bombas y turbinas) pertenecen a este tipo. Elementos Pasivos. El fluido ue los atraviesa sufre únicamente una pérdida de energía mecánica (h L ). Tuberías. (Los más representativos por importancia y número). Piezas especiales. Cambios de sección (Bouillas, ensanchamientos y estrechamientos). Curvas. Válvulas. h D (m) f C e 1 0 (m) 0 V 01 a b c 1 C 1 13 d B 1 3

6 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (6) 5.1 Generalidades-5.1. Elementos de una instalación hidráulica (II) Todo elemento de una instalación posee una ecuación ue liga H m (activos) o h L (pasivos) con el caudal (velocidad media) del fluo ue los atraviesa. Elementos Activos: Se le suele denominar Curva Característica H m =H m () y suele depender del tipo de máuina y de algunos parámetros fundamentales de ésta tales como el diámetro y la velocidad de giro del impulsor en el caso de las turbomáuinas hidráulicas. i Elementos Pasivos: En la relación entre pérdidas y caudal h L =h L () suele intervenir además del caudal también otros parámetros característicos del fluido (µ y ρ), la geometría y el material (rugosidad ε) del elemento: h = h L (, µ, ρ, ε Geometría ) L, En el caso de una tubería h L =h L (,µ,ρ,ε,l,d).

7 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (7) 5.1 Generalidades-5.1. Elementos de una instalación hidráulica (III) En lugar de la relación h L =h L (,µ,ρ,ε,geometría) se hallará una relación entre parámetros adimensionales ue representa el mismo fenómeno. Para ello se definirá Coeficiente Adimensional de Pérdidas. K = h h K Siendo h k una altura de energía cinética característica del elemento (entrada o salida). En el caso ue existan dos velocidades medias es posible definir dos K según la ue se considere. Ambos están relacionados (v i A i = v A =). L La relación h L =h L (,µ,ρ,ε,geometría) es similar a la relación entre K y unos parámetros adimensionales Π 1, Π,...,Π k obtenidos a partir de los dimensionales dependientes (,µ,ρ,ε,geometría) Tubería: i K = K D, L y ε ( R e, L D, ε D ) Válvulas: i K = K ( θ )

8 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (8) 5.1 Generalidades-5.1. Elementos de una instalación hidráulica (IV) Conocido K para un determinado caudal las pérdidas de carga se pueden obtener como: h v K L = K h K = K = g Pregunta: cómo se determina la relación entre el coeficiente adimensional de pérdidas o la ecuación característica de un elemento y el resto de parámetros. g R A Respuesta: Es necesario resolver el fluo en el elemento (v y p): Análisis Diferencial: Analíticamente. Escasos casos en régimen laminar. Numéricamente. Mecánica de Fluidos Computacional (CFD). Experimentación. Normalmente se combinan análisis numéricos con resultados experimentales.

9 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (9) 5. PÉRDIDAS DE CARGA EN TUBERÍAS

10 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (10) 5. Pérdidas de carga en tuberías-5..1 Ecuación de Darcy-Weisbach (I) El coeficiente de pérdidas en una tubería (conducto de sección constante). Son los elementos más numerosos e importantes de una instalación. Hipótesis: En las tuberías se considerará ue el fluo está completamente desarrollado. Normalmente en las instalaciones las tuberías son de gran longitud (L D <<<L). Tubería de sección circular de diámetro D, radio R y longitud L. Ecuación de Bernoulli ( f ) B h = i B B i = H i + ( h ) k i = H i + α i v i g B = H + ( h ) k = H + α v g v i =v =/A (Continuidad) α i =α (Fluo Completamente desarrollado) ( i h f ) H H =

11 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (11) 5. Pérdidas de carga en tuberías-5..1 Ecuación de Darcy-Weisbach (II) Ecuación de Cant. de Movimiento (X) ρ ( β v β v ) = γ L A sen ϕ L i i P = w t W dp + ( p p ) A i v i =v =/A (Continuidad) β i =β (Fluo Completamente desarrollado) ( h h ) L t dp + ( p p ) = 0 γ A A i P W W i w Por la simetría la tensión cortante en la pared es igual en todo el perímetro moado P w =π D p γ A P ( ) i w h i h + = t W p γ L γ w H i H = t W H i H = t W L ( h ) = W f t D 4 Para relacionar las pérdidas de carga con el caudal (velocidad γ L γ media) es necesario obtener una relación entre éste último y t w A P L D 4 γ

12 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (1) 5. Pérdidas de carga en tuberías-5..1 Ecuación de Darcy-Weisbach (III) Se va a introducir un parámetro adimensional f, conocido como factor de fricción de Darcy definido como: 8 t v W f = ρ L 4 h f = t W D γ ( ) = f L D v g Relación de Darcy-Weisbach. Se puede demostrar ue f=f(r e,e/d). Regimen Laminar (Re<300): La relación entre y w t ó f(re,ε/d) mediante la resolución de la ecuación diferencial del fluo: γ u x ( R ) = 0 = µ 1 r H u ( r ) = R 1 u ( r ) d dr r du dr = H r γ r = x R R R 1 4 µ π u γ π H H H H 8 µ 4 8 µ x x L γ π R R 0 i ( r ) dr 4 π = R = = t du dr 4 µ R 8 µ D W = µ = = r = R π R v f ( Re ) = 64 Re 18 L ν h f = 4 g π D ( ) Expresión de Hagen-Pouseuille. Regimen Laminar (Re<300)

13 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (13) 5. Pérdidas de carga en tuberías-5..1 Ecuación de Darcy-Weisbach (IV) Regimen Turbulento (Re>4000): La relación entre el caudal (v) y w t o f=f(re,ε/d) se va a obtener a partir de resultados experimentales (Nikuradse 1933 y Moody 1944) presentados en el Ábaco de Moody. RÉGIMEN TURBULENTO Zona Hidráulicamente Lisa Zona Hidráulicamente Rugosa RÉGIMEN LAMINAR Zona Hidráulicamente Semirugosa Tuberías Lisas

14 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (14) 5. Pérdidas de carga en tuberías-5..1 Ecuación de Darcy-Weisbach (V) Abaco de Moody: Existen expresiones analíticas alternativas al ábaco de Moody, Las ue habitualmente se utilizarán son: Zona Hidráulicamente Semirugosas (PSAK): ε D 5.74 f = 0.5 log Re Zona Hidráulicamente Rugosas (Von-Karman). ε D f = 0.5 log 3.7 Zona Hidráulicamente Lisas (Drew, Koo y Mc Adams). f = Re 0.3

15 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (15) 5. Pérdidas de carga en tuberías/5.. Secciones no circulares. D H (I) Tubería de sección NO circular de área A y perímetro P w. Introduciendo un valor promedio de la tensión cortante en la pared: p γ A P ( ) i w h i h + = t W p γ L γ Las pérdidas de carga uedaría como: w ( h f ) = t W L γ A P Diámetro Hidráulico (D H ) de una tubería de sección no circular: D H = 4 P w A ( h f ) = t W L D H 4 Esta expresión semeante a la obtenida para una tubería circular. γ

16 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (16) 5. Pérdidas de carga en tuberías/5.. Secciones no circulares. D H (II) Si el factor de Darcy se define como: 8 t W f = ρ v PREGUNTA: Son los resultados obtenidos para tuberías de sección circular útiles para las no circulares, sustituyendo el diámetro por el diámetro hidráulico? RESPUESTA: Regimen Laminar (Re<300): El factor de fricción de Darcy para tuberías de sección circular no sigue la relación f=64/re H, Siendo Re H =v. D H /ν. En general en régimen laminar la relación del factor de fricción de Darcy es de la forma: ( ) H f Re H = C Re C es un coeficiente (no tiene porue ser constante) diferente para cada tipo de sección y ue puede obtenerse integrando las ecuaciones diferenciales. (i.e.: sección anular C=C(R i /R e )). Regimen Turbulento (Re>4000): Para tuberías de sección no circular, el ábaco de Moody es válido simplemente tomando en lugar del diámetro D H

17 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (17) 5. Pérdidas de carga en tuberías/5.. Secciones no circulares. D H (III) Resumen: Las pérdidas de carga h f ue sufre un caudal de fluido circulando por una tubería, de longitud L, diámetro D y rugosidad ε se expresan como: Sección Circular L v 8 f L f 5 D g D g π ( h ) f = = K R Sección No Circular = L v f L f D H g g D H A ( h ) f = K R El factor de fricción de Darcy viene dado por: Régimen Laminar (Re<300): f=c/r eh (i.e.: sección Circular C=64). Régimen Turbulento (Re>4000): f=f(r eh,ε/d H ). Ábaco de Moody.

18 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (18) 5. Pérdidas de carga en tuberías-5..3 Problemas Básicos (I) En una instalación compuesta por una única tubería de una determinada longitud L y de un material de rugosidad ε es posible establecer 3 Problemas: ( ) h = R H i H = f (1) Conocido el caudal y el diámetro D, calcular la pérdida de carga (h f ) I. Calcular el número de Reynolds (Re). II. Calcular el factor de fricción f=f(re,ε/d). III. Calcular la pérdida de carga con la expresión de Darcy (h f ) =R.. i (C) L (C) D (C) (h f ) =H i -H (?)

19 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (19) 5. Pérdidas de carga en tuberías-5..3 Problemas Básicos (II) ( ) h = R f () Conocidos el diámetro D y la pérdida de carga (h f ), calcular el caudal ue circula por la tubería: I. De la ecuación de Darcy =[(h f )/ R] 1/. Como R depende de (R e ) hay ue resolver iterativamente. II. Se comienza con f (0) =f VK (ε/d) y con este valor calculamos R(0) III. Calcular (0) =[(h f ) / R(0) ]1/ y después R e (0) IV. Calcular f (1) =f PSAK (R e (0),ε/D). V. Repetir los pasos III y IV hasta ue se satisfaga un criterio de convergencia. i (?) L (C) D (C) (h f ) =H i -H (C)

20 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (0) 5. Pérdidas de carga en tuberías-5..3 Problemas Básicos (III) ( ) h = R f (3) Conocidos la pérdida de carga (h f ) y el caudal, calcular el diámetro de la tubería D. I. Despeando de la ecuación de Darcy el diámetro D =[(8 f L )/(h f π g)] 0.. Esta ecuación hay ue resolverla iterativamente ya ue f depende del diámetro. II. Se comienza con D (0) y con este valor se calcula Re(0) y f(0) =f PSAK (Re(0),e/D (0) ). III. Calcular D (1) =[(8 f(0) L )/(h f p g)] 0.. IV. Repetir los pasos II y III hasta ue se satisfaga un criterio de convergencia. i (C) L (C) D (?) (h f ) =H i -H (C)

21 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (1) 5.3 VÁLVULAS

22 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO () 5.3 Válvulas Funciones y tipos (I) Las válvulas son elementos ue uegan un papel importante en el funcionamiento de la instalación. Misión: controlar el funcionamiento de la instalación Aislar tramos de la instalación. Regular caudales y presiones. Proteger a la instalación de sobrepresiones y/o subpresiones. 100 (m) 55 (m) Q RED POLÍGONO A 0 D 1 =0. (m) L 1 =500 (m) D a3 =0.1 (m) L a3 =500 (m) 40 (m) D 01 =0. (m) L 01 =1000 (m) 3 B 1 V a

23 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (3) Válvulas Válvulas/5.5.1 Funciones y tipos (II) Válvula de mariposa Válvula de bola o esfera Válvula de compuerta Diferentes Válvulas de asiento

24 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (4) 5.3 Válvulas-5.3. Pérdidas de carga en válvulas (I) Como cualuier otro elemento una válvula posee un coeficiente adimensional de pérdidas K. Para un tipo concreto de válvula K es función del grado de apertura (θ) ( θ ) ( h L ) ( h ) ( h ) ( θ ) V K = L V = = K Q K V g A K K Q ( θ ) K Q (θ) (dimensional [K Q ]=Altura/Caudal ) se denomina Coeficiente de Pérdidas referido al caudal. K Q (θ) igual ue K(θ), tiene un valor mínimo (K Q ) 0 cuando la válvula se halla completamente abierta (θ=100%). A medida ue se cierra (θ disminuye) va aumentando hasta hacerse infinito cuando la válvula se halla completamente cerrada (θ=0%). Para evitar trabaar con K Q (θ) y K(θ), ue toman valores tan elevados cuando la válvula se halla casi cerrada, se introduce otro coeficiente (dimensional) denominado Coeficiente de Fluo K V (θ): K V ( θ ) = ( h L ) V = [K γ γ K V ]=Caudal/(Presión) 1/ ( h ) L V V ( θ )

25 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (5) 5.3 Válvulas-5.3. Pérdidas de carga en válvulas (II) El coeficiente K V (θ) presenta su valor máximo, K V0, cuando se halla completamente abierta (θ=100 %) y vale cero cuando se halla completamente cerrada (θ=0 %). En algunas válvulas, destinadas a control, su fabricante proporciona K V (θ) mediante una gráfica semeante a la siguiente: Se suele trabaar con otro coeficiente adimensional denominado Coeficiente de descarga C d (θ) ue se define como: v C d ( θ ) = g h + v ( ) L V Relacionado con K como: ( θ ) C d = K ( θ )

26 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (6) 5.4 MODELO MATEMÁTICO DE UNA INSTALACIÓN

27 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (7) 5.4 Modelo Matemático de una instalación Ecuaciones Fundamentales Ecuaciones Fundamentales: Las ecuaciones ue rigen el comportamiento en Régimen Estacionario de una red hidráulica son: Ecuación de Bernoulli en cada línea (N L ). ( h L ) ( m ) B i B = H RED i V Eemplo: a b c T d ( h L ) = ( h V ) ia + ( h f ) bc + ( h f ) ( H m ) = ( H B ) ab ( H T )cd d RED Nota: En las instalaciones hidráulicas suele despreciarse los términos de energía cinética del Bernoulli. Ecuación de Continuidad en cada nodo (N D ). + Q i = 0 ( h L ) ( m ) H i H = H k Eemplo: Q i ki RED im i m + im ki i Q = 0

28 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (8) 5.4 Modelo Matemático de una instalación-5.4. Condiciones de Contorno Condiciones de Contorno: Asociadas a cada nodo de la red existen dos magnitudes hidráulicas H i (altura piezométrica) y Q i (caudal externo). Una de ellas debe ser fada: (N C ) H i Conocida y Q i desconocido. Depósitos (0 y 3) o descargas del fluido en un punto donde se conoce la presión (3). (N NC =N D -N C ) Q i conocido y H i desconocida. Nudo interior (1 ó ) o nudo extremo de consumo (población u otra red 4). POBLACIÓN RED Q Q h B (m) B 5 5 Q 5 h A (m) A V d 3 Q 3 Q 0 0 a b 1 B 1

29 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (9) 5.4 Modelo Matemático de una instalación Resolución Modelo Matemático: Conunto de ecuaciones ue representan el comportamiento de la red. Las ecuaciones fundamentales (Bernoulli y Continuidad) y las características hidráulicas de cada línea (h L ) =(h L ) ( ) y (H m ) =(H m ) ( ) presentan un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son las magnitudes hidráulicas desconocidas de la instalación: N L Caudales de cada una de las líneas de la instalación ( Líneas) N NC Alturas piezométricas H i ( i Nodos de Altura Desconocida). N C Caudales externos Q i ( i Nodos de Altura Conocida). Estas incógnitas no se hallan simultáneamente. A partir de las ecuaciones fundamentales es posible obtener un número de ecuaciones ue relacionan un número incógnitas básicas y a partir de su resolución obtener el resto de incógnitas de las magnitudes hidráulicas desconocidas. Existen dos planteamientos: Formulación en caudales. incógnitas básicas=caudales en la líneas ( ). Formulación en alturas. incógnitas básicas=alturas piezométricas desconocidas (H i ).

30 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (30) 5.4 Modelo Matemático de una instalación Formulación por Caudales (I) Ecuaciones formulación en caudales: N M Ecs. Bernoulli en las mallas de la red [ ] = 0 ( h ) ( ) λ L H m N c -1 Ecs. Bernoulli entre nodos de altura piezométrica conocida. [ ( h ) ( ) ] L H m H = i λ H N NC Ecs. Continuidad en nodos de altura piezométrica desconocida. + Q i = 0

31 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (31) 5.4 Modelo Matemático de una instalación Formulación en Caudales (II) Formulación en caudales: Incógnitas ( 01, 13, 15, 41, 1, 4 y 5 ) h A (m) Q 0 POBLACIÓN A 0 Q 4 4 V 4 01 RED a b 1 Q 1 h B (m) d 5 B 1 3 B Q 5 Q 3 Ecs. Bernoulli entre nodos de altura conocida (0, 5 y 3) H H B ( h L ) V ( h f ) b 1 ( h f ) 1 5 = H 5 ( h ) ( h ) ( h ) = H 3 + h 3 H 1 f 1 5 ( h f ) ( h f ) 4 + ( h f ) 1 = 0 ( h ) ( h ) ( h ) = 0 f f f 5 1 Ecs. Bernoulli en las mallas de la red (1-4--1) y (1--5-1) 3 3 Ecs. Continuidad en nodos de altura desconocida (1, y 4) f 1 L 5 B 1 k Q = 0 Q 1 = 0 41 = 0

32 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (3) 5.4 Modelo Matemático de una instalación Formulación en Alturas (I) Ecuaciones formulación en alturas: Despeando los caudales de N L Ecs. Bernoulli en las líneas de la red. ( h ) + ( H ) = 0 = F ( H ) H, i H L m i H Sustituyendo en N NC Ecs. Continuidad en nodos de altura piezométrica desconocida. 0 (, ) + Q i = F H i H + Q i = 0

33 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO (33) 5.4 Modelo Matemático de una instalación Formulación en Alturas(II) Formulación en alturas: Incógnitas (H 1, H y H 4 ) h A (m) Q 0 POBLACIÓN A 0 Q 4 4 V 4 01 RED a b 1 Q 1 h B (m) d 5 B 1 3 B Q 5 Q 3 7 Ecs. Bernoulli en líneas = = = = = = = F F F F F F F ( H 1 ) ( H 1 ) ( H 1 ) ( H 1, H 4 ) ( H 1, H ) ( H, H 4 ) ( H ) 3 Ecs. Continuidad en nodos de altura desconocida F F F 4 ( H 1 ) + F 13 ( H 1 ) + F 15 ( H 1 ) + F 1 ( H 1, H ) F 41 ( H 1, H 4 ) ( H, H 4 ) + F 41 ( H 1, H 4 ) + Q 4 = 0 ( H, H ) + F ( H ) F ( H, H ) Q = = 0