UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID. ESCUELA DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO

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1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID. ESCUELA DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO Mecánica de Fluidos I Examen La figura representa dos depósitos cilíndricos de radio H que contienen agua de densidad y viscosidad, en presencia de aire a la presión p a y de la gravedad g. Los depósitos se comunican por un tubo de longitud L H y sección circular de radio R << L. Inicialmente la altura de agua en los depósitos es la indicada en la figura, 4 H para el superior y 2 H para el inferior. Tras una evolución en la que pasa agua del depósito superior al inferior, se alcanza una condición de equilibrio. Tomando como referencia para el potencial gravitatorio el eje Z que aparece en la figura, se pide: 1) Obtener el desplazamiento x e de la interfaz agua aire desde la posición inicial hasta la posición de equilibrio final. Si la velocidad característica en el depósito es u d, en el tubo es u t, el movimiento en el tubo es unidireccional dominado por la viscosidad y con u t R/ << 1, se pide: 2) Obtengan la relación entre el orden de magnitud de la velocidad u d y u t. 3) En el depósito, comparen el orden de magnitud del término v / t con v v. Comparen los términos anteriores con el término viscoso '. 4) Comparen las variaciones de presión motriz en el depósito d P y en el tubo t P. 5) A la vista de los resultados anteriores, simplifiquen la ecuación de cantidad de movimiento en el depósito. Si llamamos x(t) al desplazamiento de la interfaz agua aire, obtengan las presiones motrices en los depósitos en función de x(t). 6) Obtengan el valor característico de la velocidad u t en el tubo. Obtengan el orden de magnitud del tiempo de descarga t d. 7) En el tubo, obtener la ecuación de cantidad de movimiento simplificada para este problema con sus condiciones de contorno. 8) Caudal en el tubo Q en función del gradiente de presión motriz en el tubo P / s. 9) Resuelvan la ecuación del apartado anterior y obtengan el caudal en el tubo Q en función de la posición x(t) de la interfaz agua aire. 10) Aplicando la ecuación de continuidad en forma integral a un volumen de control adecuado, obtengan la ecuación diferencial y la condición inicial que determinan x(t). 11) Definiendo la posición adimensional ( ) = x(t)/h y el tiempo adimensional = t ( g R 4 )/(4 H 2 L) obtengan la solución de la ecuación anterior.

2 x(t) g p a 3 H 2 H s Z H x(t) 2 H H 2 H

3 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID. ESCUELA DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO Mecánica de Fluidos I Examen La figura representa un problema bidimensional, formado por un embalse infinito desde el que se sube agua de densidad y viscosidad, a un depósito de anchura b situado a una cierta altura con la ayuda de una conducción bidimensional de anchura a y longitud 3 L que dispone de una pared móvil de velocidad constante U. Supondremos que en el conducto el flujo es laminar y que es aplicable la teoría de flujo unidireccional, salvo quizás en regiones pequeñas cerca de la entrada y salida en las cuales supondremos despreciables los cambios de presión estática frente a los cambios a lo largo del conducto. Tomaremos como referencia para la coordenada vertical z la superficie libre del embalse. Inicialmente la superficie libre del depósito se encuentra a una altura h 0. Todo el conjunto se encuentra sometido a la acción de la gravedad g y a la presión atmosférica p a. Suponiendo que no hay fugas de agua en el sistema, que a << b, h 0 b L, que g a 2 /( U) 1 y que =18 U L/( g h 0 a 2 ) > 1 se pide: 1) Orden de magnitud de la velocidad del agua en el depósito u d en función de los parámetros del problema. 2) En el depósito y suponiendo que U a/ 1, orden de magnitud del término no estacionario comparado con el viscoso. 3) Orden de magnitud de las variaciones de presión motriz en el depósito. 4) En el conducto y suponiendo que U a 2 /( L) << 1, orden de magnitud de las variaciones de presión motriz. 5) Comparación entre los órdenes de magnitud de las variaciones de presión motriz en el depósito y en el conducto. 6) Campo de presiones motrices en el depósito P d, usando la coordenada z tal y como se define en el enunciado. 7) Ecuación diferencial que determina el perfil de velocidades en el conducto en función del gradiente de la presión motriz P/ z. 8) Condiciones de contorno a emplear en la ecuación anterior. 9) Caudal q en una sección genérica del conducto en función del gradiente de la presión motriz P/ z. 10) Obtengan el caudal q a falta de conocer h(t). 11) Obtengan la ecuación diferencial que relaciona q con h(t) y que permite calcular h(t) junto con la ecuación del apartado ) Obtengan la altura h(t)/ h 0 en función del tiempo, del parámetro y del tiempo adimensional = 3 t/t c con t 36 b L /( g a ). c

4 b g p a h(t) z 2 L a h 0 y U p a L

5 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS Apellidos:... Nombre:...D.N.I.:... Mecánica de Fluidos I Examen Un tubo en U, de diámetro D, contiene un líquido de densidad ρ y viscosidad µ en reposo. El líquido alcanza una altura h 0 en cada una de las ramas. Una de las ramas está abierta y la otra está tapada. La burbuja atrapada en la rama tapada ocupa una extensión h 0 y está, inicialmente, a la presión p a, lo mismo que el aire que está en la otra rama. A partir de un instante, que consideraremos como inicial, la presión del aire en la rama abierta se incrementa instantáneamente a un valor p g = 2p a. Esto fuerza al líquido a ascender por la rama tapada, comprimiendo la burbuja de aire encerrada en ella. Suponiendo que la compresión del aire de la burbuja es isoterma y que los efectos de tensión supercial son despreciables a la hora de determinar la forma de la entrefase líquido-aire, se pretende determinar la nueva posición de equilibrio y la presión p b en la burbuja. Para ello se pide: 1.- Escribir las ecuaciones que permiten determinar las incógnitas p b, x g y x b (véase gura adjunta). Obtengan una única ecuación que determine x b en función del parámetro adimensional ε = ρgh 0 /p a. Obtengan x b. 2.- Teniendo en cuenta que el parámetro adimensional ε = ρgh 0 /p a 1, determinen los valores de las tres incógnitas en el límite ε 0. Comenten el resultado obtenido para la diferencia de presiones p g p b. 3.- Supongan que en el transitorio hasta alcanzar la nueva posición de equilibrio, el movimiento es unidireccional. Estimen el orden de magnitud de la velocidad del líquido y el orden de magnitud del tiempo que tarda en alcanzar el equilibrio en el supuesto en que los efectos viscosos son despreciables. Den el criterio para que esto ocurra.

6 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO (EIAE) Mecánica de Fluidos I Examen Un tubo de radio R está situado verticalmente sobre el suelo. Concéntrico con el tubo anterior hay otro tubo de radio 2R. Inicialmente, el tubo de radio R contiene una altura H R de un líquido de densidad ρ, viscosidad µ y tensión supercial σ. A partir del instante inicial el líquido comienza a uir, debido a la acción de las fuerzas gravitatorias, desde el tubo interior al exterior a través de su base, tal como se indica en la gura. Transcurrido el tiempo suciente el líquido alcanza su posición de equilibrio, repartido entre los dos tubos. Supongan que los efectos de tensión supercial son despreciables. Se pide, 1.- Altura z e de equilibrio nal. Durante el movimiento de uno a otro tubo, los efectos viscosos son dominantes y la caída de presión en la región de cambio de uno a otro tubo es despreciable frente a la caída de presión motriz en el resto de los tubos. Tomen la referencia del potencial para la presión motriz en z = 0. Se pide, 2.- Orden de magnitud de la velocidad característica del movimiento u c. 3.- Orden de magnitud del tiempo característico t c de trasvase entre los dos tubos. 4.- Criterio para que los efectos viscosos sean dominantes. 5.- Condiciones de contorno que hay que imponer a la ecuación de cantidad de movimiento que determina la velocidad u, en el tubo de radio R. 6.- Condiciones de contorno que hay que imponer a la ecuación de cantidad de movimiento que determina la velocidad u, en el tubo de radio exterior 2R e interior R. 7.- Ecuación de la cantidad de movimiento en el tubo de radio R. Para la solución del problema tienen que determinar p+ρu en el tubo de radio R y en el tubo de radio 2R. Cada una de las ecuaciones que determinan p + ρu es de primer orden, de modo que se necesitan dos condiciones de contorno, una en cada tubo. Además deben determinar el caudal en función de la altura de líquido en cada instante. 8.1, 8.2, Condiciones de contorno para determinar la presión motriz P 1 = p + ρu en el tubo de radio R, presión motriz P 2 = p + ρu en el tubo de radio 2R y el caudal Q en función de x (t). 9.- Relación entre las alturas instantáneas, x 1 (t) y x 2 (t), de líquido en cada tubo Supuesto conocido el caudal Q en función de una de las alturas, por ejemplo x 2 (t), escriban la ecuación diferencial que permite determinar x 2 (t) Condición inicial para la ecuación del apartado anterior.

7 d d Z dz, d /

8 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS Mecánica de Fluidos Examen final 3/02/2006 Por un tubo anular de radio interior a, radioexteriora + e y longitud L (L À a) fluye un líquido de densidad ρ yviscosidadμ constantes. EltubocomunicadosdepósitosdeáreadelabaseA D yalturash 1 (t) y h 2 (t) respectivamente. Inicialmente h 1 (0) = h 0 y h 2 (0) = 0. Se supone que el movimiento del líquido por el tubo es con efectos viscosos dominantes, de modo que la ecuación de cantidad de movimiento a lo largo del tubo es (p + ρu) + μ x r µ r r u r =0. Suponiendo que e a, la coordenada radial r varía entre r = a y r = a + e, de modo que la variable y definida como y = r a sólo varía entre 0 y e a. Sepide: 1.- Reescriban la ecuación de cantidad de movimiento anterior en función de y, simplificándola de acuerdo con el supuesto e a. 2.- Estimen el orden de magnitud del gasto volumétrico Q que pasa por el tubo. Estimen también el orden de magnitud del tiempo necesario para que las alturas de líquido se igualen en los dos depósitos. 3.- Determinen la distribución de velocidad u en el tubo en función de y ydelgradientedepresión motriz. 4.- Calculen el gasto volumétrico Q en función de la diferencia de alturas h 1 h Determinen las alturas h 1 (t) y h 2 (t). p a g h 1 (t) L h 2 (t) A D A D a e Sección del tubo