Mecánica y fluidos. Webpage: Departamento de FísicaF Universidad de Sonora. Dinámica de Fluidos

Transcripción

1 Mecánica y fluidos Webpage: Departamento de FísicaF Universidad de Sonora Dinámica de Fluidos 1

2 Temario 7. Dinámica de fluidos Dinámica de fluidos (.5 semanas) 1. Características de los fluidos ideales y viscosos. Concepto de gasto o flujo volumétrico y su conservación 3. Flujo de masa y ecuación n de continuidad 4. Ecuación n de Bernoulli para fluidos no viscosos 5. Presión n en fluidos no viscosos en movimiento a través s de tuberías 6. Aplicación n de la ecuación n de Bernoulli Medidor de Venturi Ventura de vacío o y sus aplicaciones Velocidad de salida de un líquido l por un orificio en un recipiente con diferentes condiciones geométricas Elevación n de aviones y otros ejemplos 7. La viscosidad de las sustancias y sus características Comportamiento de viscosidad con temperatura Temario Continuación n Dinámica de fluidos Dinámica de fluidos (.5 semanas) 8. Ley de Hagen-Poiseuille para flujo laminar 9. Perfil de velocidad en régimen r laminar 10. Número de Reynolds y regimenes de flujo 11. Estudio de objetos moviéndose en un fluido viscoso en reposo Ley de Stokes Velocidad terminal Sedimentación n en centrifugas

3 1. Características de los fluidos ideales y viscosos Fluido ideal 1. Flujo estacionario: Cada punto del fluido no varia en función del tiempo.. Incompresible (su densidad no puede cambiar): Los líquidos l generalmente son incompresibles, aunque también n puede tratarse a los gases como incompresibles, si las diferencias de presión n no son muy grandes 3. Fluido no viscoso: Es un fluido NO viscoso, cuando la fricción interna es nula o despreciable. Un objeto desplazándose en un fluido no viscoso no presenta retardo por fuerzas viscosas. 4. Irrotacional: Un fluido es irrotacional si no posee velocidad angular. Imaginemos una pequeña a rueda de paletas sumergida en un líquido l que fluye. Si la rueda de paleta se desplaza sin girar el fluido es irrotacional, en caso contrario es rotacional. 1. Características de los fluidos ideales y viscosos Al estudiar la dinámica de fluidos, se supondrá que todos los fluidos en movimiento exhiben un flujo laminar. El flujo laminar es el movimiento de un fluido en el que toda partícula del mismo sigue la misma trayectoria (al pasar por un punto en partículas) que la seguida por las partículas anteriores. Flujo laminar Flujo turbulento 3

4 1. Características de los fluidos ideales y viscosos El flujo turbulento puede visualizarse como un torbellino, en el cual, la trayectoria que sigue un punto en el fluido no es predecible. Pudiendo formarse en el interior del fluido remolinos. Como el que q aparece en la figura. En este curso no nos enfocaremos en este tipo de flujos, debido a su complejidad física f y matemática, tica, quedando para cursos elevados. Flujo laminar Flujo turbulento Líneas de corriente Los flujos que trataremos son la zona correspondiente a la región n más m s próxima al tubo. Representación n de las líneas l de flujo. La trayectoria que toma una partícula de un fluido es denominada línea l de flujo. La velocidad de la partícula siempre es tangencial a las líneas l de flujo. Dos líneas l de flujo NUNCA se cruzan, si esto ocurre, una partícula de fluido podría a seguir por cualquiera de las dos, y el flujo sería a no estacionario Un conjunto de líneas l de flujo forman un tubo de flujo. 4

5 .. Concepto de gasto o flujo volumétrico y su conservación EL fluido de la parte baja de la imagen que se encuentra en el tubo, se desplaza en un Δt,, un Δx 1 =v 1 Δt A 1 es el área de la sección n transversal en esta región, entonces la masa que se desplaza es Δm 1 = A 1 v 1 Δx 1 =ρ 1 A 1 v 1 Δt Para la parte superior se tiene de manera similar, A, y la masa Δm = A v Δx =ρ A v Δt Por la conservación n de la masa Δm 1 = Δm o ρ 1 A 1 v 1 = ρ A v Se le conoce como ecuación n de continuidad Si la densidad es constante ρ,, se tiene entonces Av Av cte 1 1= =. Se denomina a la constante, Razón n de flujo, gasto o flujo de volumen Ejemplo de GASTO Una señora esta regando el jardín n y le tapa con el dedo a la manguera, dejando una abertura de aproximadamente 1/3 del área original. Saldrá más s rápido r el agua tapando la boca de la manguera con el dedo o sin tapar? Respuesta: Si en la tele nos dicen que normalmente de la llave salen 0 litros por minutos, y la manguera es de aproximadamente de cm. de diámetro. La velocidad entonces puede ser determinada utilizando la ley del gasto. A1v1 = Av = cte. = Q donde 1 d 1 π. d π v = v = cte = Q despejando d v = d1 v1 Sabemos que d 1 =3d y además s que 1lt = 1dm 3 =(0.1m) 3, así se tiene que 0lt =0(0.1m) 3 cada 60 seg. Así v 1 =(0lt/60seg)/A 1 =(0*(0.1m) (0.1m) 3 /60seg)/(π (0.01m) ) Además s sabemos que v =9v 1 5

6 4. Ecuación n de Bernoulli para fluidos no viscosos Daniel Bernoulli Físico y matemático tico suizo, nació el 8 de Febrero de Hizo importantes aportaciones en hidrodinámica mica.. Su trabajo más m importante trata sobre el estudio teórico experimental de fluidos tanto en equilibrio como en movimiento. Su máxima m obra, llamado hoy en día d Principio de Bernoulli,, versa sobre la descripción n de fluidos desplazándose al interior de un tubo. Su obra esta basada en una descripción n utilizando el principio de conservación n de la energía. 4. Ecuación n de Bernoulli para fluidos no viscosos Cuando un fluido pasa a través s de un tubo donde los extremos están n a diferente altura y tienen diferente área transversal, la presión n del fluido varia. Daniel Bernoulli fue el primero en relacionar la presión n con la velocidad del fluido, y elevación, utilizando la conservación n de la energía. Suposiciones de Bernoulli El fluido es incompresible, irrotacional, y no viscoso, además s fluye de manera estacionaria. El área en los extremos del tubo son A 1 (punto 1) y A (punto ) respectivamente y se encuentran a una elevación n respecto al plano horizontal y 1 y y. La velocidad de entrada y salida son v 1 (punto 1) y v (punto ) Punto 1 Punto 6

7 Continuación n 1 En un Δt,, se aplica una fuerza F 1 sobre el fluido en P 1, es decir sobre la sección transversal A 1. Esto hace que se efectúe e un trabajo para poder desplazar el fluido un Δx 1. Dando como resultado Punto 1 Punto W1 = F1Δ x1 = PAx = P1ΔV donde ΔV V es el volumen de la región sombreada en el punto 1. De manera similar para el punto, el trabajo realizado sobre el fluido en a través s del punto 1 en un tiempo Δt,, es igual al volumen que pasa por el punto. El trabajo en punto esta dado por W = PAx = PΔV Los volúmenes en los puntos 1 y son iguales. El trabajo es negativo debido a que la fuerza en el segmento va hacia la izquierda Y se desplaza hacia la derecha. Continuación n Así el trabajo neto llevado a cabo sobre el segmento, por estas dos fuerzas en el intervalo Δt esta dado por Punto 1 Punto ( ) W = P P ΔV 1 1 parte de este trabajo se transforma en energía a cinética y parte en energía potencial gravitacional. El cambio de energía a cinética en el intervalo de tiempo Δt,, se da como un cambio en la velocidad al pasar de v 1 a v. Esto es debido a que se considera que la masa permanece constante, porque el volumen permanece constante. nte. La forma del cambio de energía a cinética esta dada por: 1 1 Δ K = mv mv1 El cambio en la energía a potencial gravitacional, se da por cambios en la elevación (cambio de y 1 a y ) de una porción n del fluido en el intervalo de tiempo Δt. Δ U = mgy mgy1 7

8 Continuación n 3 El trabajo total llevado a cabo por el fluido sobre la región n sombreada es igual a la Punto 1 energía a mecánica W = Δ K +ΔU Sustituyendo los términos t de las energías da como resultado 1 1 ( P1 P) V = mv mv1 + mg( y y1 ) Si dividimos entre V y definiendo a ρ=m/v, tenemos 1 1 ( P1 P) = ρv ρv1 + ( ρgy ρgy1 ) Reagrupando términost 1 1 P + ρv + ρgy = P + ρv + ρgy Esta es la ecuación n de Bernoulli para un fluido ideal Punto Continuación n 4 Punto La expresión n de Bernoulli para un fluido ideal, es expresada comúnmente como: Punto 1 1 P + ρv + ρgy = cte. Esta expresión n indica: Si la velocidad aumenta la presión n disminuye Así también n podemos decir que cuando la altura aumenta la presión n disminuye. 8

9 6. Aplicación n de la ecuación n de Bernoulli a) Aplicación n a hidrostática tica Consideremos el caso para la expresión n de de Bernoulli en el cual se tiene que las velocidades v 1 =v =0 1 1 P1+ ρv1 + ρgy1 = P + ρv + ρgy Sustituyendo, las velocidades y reagrupando P P = ρgy ρgy 1 1 Definiendo y=y -y 1 P = ρgy Expresión n para la hidrostática tica 6. Aplicación n de la ecuación n de Bernoulli b) Teorema de Torricelli Consideremos el caso de un líquido l de densidad ρ,, encerrado en un tanque. En la parte inferior y a una altura y 1 del fondo tiene un agujero de área A 1, que da al exterior. El área del agujero es mucho más m s pequeño o que el área A del tanque. El aire en el tanque por encima del líquido l se encuentra a una presión n P. Cuál l será la velocidad de salida del liquido por el agujero, si el nivel del liquido es h? Respuesta: Partiendo de la expresión n de Bernoulli, 1 1 P + ρv + ρgy = P + ρv + ρgy

10 b) Cont. Teorema de Torricelli Como A >> A1 y utilizando le expresión n para el gasto Av = Av = cte. v = Y P 1 =Presión n atmosférica, P =P. Sustituyendo en la ecuación n de Bernoulli, 1 Po + ρv1 + ρgy1 = P + ρgy Reagrupando y haciendo h=y -y 1 v 1 ( ) P P o = + gh ρ si P P v1 = o ( P ) ρ o b) Cont. Teorema de Torricelli Si el tanque no esta tapado, se tiene entonces que la presión n P=Po Po,, así la expresión n de la velocidad se ve modificada por la siguiente expresión v 1 = gh La velocidad no depende de la densidad del fluido. 10

11 6. Aplicación n de la ecuación n de Bernoulli c) Tubo de Venturi Consiste en un tubo horizontal en donde estrechamiento en una de las partes de un tubo es producido. La estrangulación n del tubo se da de manera gradual. De esta manera se evita la producción n de remolinos y queda asegurado un régimen r estacionario. Respuesta: Se tiene que y 1 =y, en la expresión n de Bernoulli, 1 1 P1+ ρv1 = P + ρv De la ecuación n de continuidad A Av = Av v = v A1 6. Aplicación n de la ecuación n de Bernoulli c) Continuación n Tubo de Venturi Sustituyendo en la expresión n de energías, se tiene 1 A 1 1+ ρ = + ρ A1 P v P v Reagrupando se tiene 1 1 A 1 += ρ ρ A1 P P v v Despejando v v = A ( ) P P 1 1 ρ ( A1 A ) Como A 1 >A, entonces v >v 1 indicando que P 1 >P 11

12 6. Aplicación n de la ecuación n de Bernoulli d) Trayectoria de una pelota en rotación Al lanzar una pelota girando y siguiendo una trayectoria horizontal y recta, esta arrastra consigo una pequeña a capa de aire que la rodea. Entonces se puede ver como si la pelota estuviera inmóvil y el aire se desplazara con la misma velocidad que lo hace la pelota (velocidad relativa). 6. Aplicación n de la ecuación n de Bernoulli d) Trayectoria de una pelota en rotación Si consideramos que la pelota gira en el sentido de las manecillas del reloj y se desplaza hacia la izquierda. Se tiene entonces: Las líneas l de flujo se distorsionan La velocidad en la parte superior es mayor que en la parte inferior de la pelota. Utilizando la expresión n de Bernoulli, esto implica que la presión n arriba es menor que en la parte de abajo. 1

13 6. Aplicación n de la ecuación n de Bernoulli d) Trayectoria de una pelota en rotación Mayor v Menor P La pelota se desplaza hacia la parte superior debido a la diferencia de presiones que siente. Menor v Mayor P 6. Aplicación n de la ecuación n de Bernoulli d) Trayectoria de una pelota en rotación Ya con esto podemos lanzar bolas de tipo: Curvas y Screwballs 13

14 6. Aplicación n de la ecuación n de Bernoulli Ejemplo 1 Por una casa circula agua a través s de un sistema de calefacción. Si se bombea a una velocidad de 0.5m/s por una tubería a de.1m de diámetro situada en el sótano s con una presión n de 3atm., cuál l será la velocidad de circulación n y la presión n en una tubería de.06m de diámetro situada en el segundo piso a 5mts más m s arriba? Respuesta La tubería a en el sótano: s v1 = 0.5 m/ s, P1 = 3 atm, y = 0, d = 0.1m 1 1 La tubería a en el sótano: s v =? m/ s, P =? atm, y = 5 m, d = 0.06m 6. Aplicación n de la ecuación n de Bernoulli Continuación n Ejemplo 1 Ecuación n de continuidad A A v = Av v = v A Sustituyendo en la ecuación n de Bernoulli 1 1 A 1 1+ ρ 1 + ρ 1 = + ρ 1 + ρ A P v gy P v gy Sustituyendo los valores para cada uno de los términos t nos queda: P =.5atm 14

15 7. La viscosidad de las sustancias y sus características Bernoulli dice que si una sustancia, digamos agua, circula por una tubería a o manguera que se encuentre de manera horizontal a la misma altura y además s el diámetro de la tubería a no varié,, entonces la presión n del fluido no varia 1 1 P + ρv + ρgy = P + ρv + ρgy P1 = P = cte. En la práctica SI VARIA. La razón n la vamos a tratar a continuación 7. La viscosidad de las sustancias y sus características La variación n en la presión n es debido a fuerzas de frenado o fricción que existen entre las diferentes capas que componen el fluido. Este rozamiento es interno al material, y de ninguna manera se esta considerando la fricción n entre el fluido y la tubería por la que circula. Consideraremos una tubería a circular, en donde las capas del fluido que están n en contacto con el tubo, se encuentran a velocidad cero (en reposo). Las capas de fluido forman círculos c concéntricos ntricos de la forma de la tubería. La velocidad de la capa central es mayor, respecto a las capas más m s externas La expresión n de Bernoulli nos indica que la presión n en las capas más m internas es menor que las capas más m s externas. Debido a la diferencia de velocidad que existe. Δ P = P1 P = cter. La resistencia al flujo, R, depende de la longitud del tubo 15

16 7. La viscosidad de las sustancias y sus características La resistencia al flujo, o viscosidad depende de muchos parámetros fisicoquímicos. Primeramente consideremos que la viscosidad del material no depende de la temperatura, concentración, n, etc. La manera más m s sencilla de determinar la dependencia y valor de la resistencia es : Consideremos dos placas planas y paralelas entre las cuales se coloca la muestra o fluido al que se le quiera determinar el valor de la viscosidad (resistencia al flujo). A A la placa superior se le aplica una fuerza constante y paralela a la placa, mientras que la placa inferior permanece inmóvil Supondremos que el fluido se desplaza en capas, cada una con velocidad constante. 7. La viscosidad de las sustancias y sus características Las capa del fluido en contacto con las placas se desplazan con la misma velocidad que las placas Supondremos que el perfil con el que se desplazan entre si las diferentes capas de fluido posee una forma lineal. va F =η z Las unidades de la viscosidad η son: MKS CGS Nm Pas. mm/ s = dina ( ) cm / s = P poise 1 Pas. = 10P 1cP = 0.01P 16

17 7. Valores de la viscosidad para algunos fluidos La viscosidad disminuye a medida que la temperatura aumenta Qué otro tipos de materiales? Cosméticos Medicamentos Pinturas y Recubrimientos Alimentos Medicina 17

18 8. Ley de Hagen-Poiseuille para flujo laminar Para un fluido incomprensible circulando por una tubería de sección n transversal circular, la resistencia al flujo se expresa como 8η L R = 4 π r 8η L Δ P= P1 P = C 4 π r De la expresiones anteriores podemos concluir que: Si la viscosidad aumenta, la caída de presión n aumenta Si aumenta la longitud del tubo, es mayor la caída de presión La caída de presión n depende fuertemente con el radio del tubo. 9. Perfil de velocidad en régimen r laminar En la práctica los perfiles con los que viaja un elemento de volumen a trav avés s de una tubería a varían an dependiendo diversos factores como son: viscosidad del fluido, Velocidad del fluido, longitud del fluido, entre otros. Algunos de los perfiles más m s comunes vienen a ser: El perfil plano de velocidad caracterizan a los fluidos en un instante i de tiempo El perfil parabólico viene a ser observado una vez que la velocidad y la viscosidad del Fluido no son muy grandes Este último perfil de velocidades es tomado para representar a un fluido turbulento. 18

19 10. Número de Reynolds y regimenes de flujo La experiencia indica que hay una combinación n de cuatro factores que determinan cuando el régimen r de un fluido viscoso a través s de un tubo es laminar o turbulento. Estas combinaciones se denomina número de Reynolds,, N R, y se define mediante la expresión N R ρvd = η ρ = densidad del fluido v = velocidad media η = coeficiente de viscosidad D = diámetro del tubo La velocidad real no es la misma en toda la sección n del tubo. La velocidad media se define como la velocidad uniforme que resultaría para la misma salida de líquido l por unidad de tiempo. 10. Número de Reynolds y regimenes de flujo El número n de Reynolds es un número n abstracto, es decir, su valor numérico es el mismo en cualquier sistema de unidades Para un número n de Reynolds entre 0 y 000 es un régimen r lamina N R > 3000 régimen r turbulento Ejemplo Cual es el número n de Reynolds para el agua a 0C circula por una tuberia De 1cm de diámetro a una velocidad de 10cm/s. Sustituyendo N ρvd = η Sustituyendo R N R =

20 Número de Reynolds Flujo laminar Flujo turbulento 0

21 Aire caliente que sube de una lámpara l de alcohol Humo de un cigarro 1