Métodos numéricos para Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) www-lacan.upc.es

Transcripción

1 Métodos numéricos para Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) www-lacan.upc.es

2 Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) n Gran cantidad de problemas de la física y la ingeniería se pueden modelar con ecuaciones diferenciales ordinarias. n Ecuación diferencial ordinaria de primer orden: el problema se completa con la condición inicial (problema de valor inicial)

3 n Bajo ciertas condiciones de regularidad, el problema de valor inicial tiene solución única. n En ciertos casos, la solución se puede hallar analíticamente. Por ejemplo, la EDO de primer orden lineal tiene solución analítica conocida n En otros muchos casos la solución analítica no es conocida à técnicas numéricas.

4 EJEMPLO: curvas de remanso en canales rectangulares Q: caudal y(x): calado en función de x I 0 : pendiente de la solera OBJETIVO: determinar el perfil de la lámina de agua, y(x)

5 Hipótesis n Condiciones de flujo estacionario gradualmente variado n Canal prismático n Pendiente de la solera pequeña (<5%) n Sin aportes ni pérdidas laterales de agua n La distribución de presiones en una sección normal es aproximadamente la hidrostática

6 EDO de orden 1 donde Pérdida de carga por unidad de longitud (fórmula de Chézy) (área mojada) (radio hidráulico) (perímetro mojado de la sección) (ancho hidráulico) Número de Froude α: coeficiente de Coriolis g: aceleración de la gravedad

7 Condiciones iniciales n Régimen subcrítico (lento): condición aguas abajo, se fija el calado en la sección última del canal n Régimen supercrítico (rápido): condición aguas arriba, se fija el calado en la sección de entrada del canal

8 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN n n Consideramos EDOs de orden n que se escriben como n El problema se completa con: Condiciones iniciales: problema de valor inicial (PVI) Condiciones de contorno (en ambos extremos): problema de contorno

9 Reducción de una EDO de orden n a un sistema de n EDOs de primer orden n Motivación: las técnicas numéricas que vamos a ver están pensadas para EDOs de orden 1. Queremos escribir la EDO en la forma n Idea: las n-1 primeras derivadas de la función y(x) se tratan explícitamente como funciones incógnita (en un vector y(x)) n Notación:

10 n Así, por definición, tenemos las relaciones

11 n Sustituyendo en la EDO de orden n se obtiene la última ecuación

12 n Sistema de EDOs resultante

13 PVI con notación vectorial

14 EJEMPLO: ménsula con grandes flechas

15 n EDO de segundo orden Con condiciones de contorno (problema de contorno): Con condiciones iniciales (problema de valor inicial): n Deformada en coordenadas cartesianas:

16 n Reducción a un sistema de EDOs de orden 1

17 n Si se incluye el cálculo de la geometría en coordenadas cartesianas (preferible si se utiliza un método de paso variable con control del error)

18 MÉTODOS BASADOS EN LA APROXIMACIÓN DE LA DERIVADA n Se considera el problema de valor inicial n El intervalo [a,b] se divide en m subintervalos de longitud h = (b-a)/m n Notación: valor solución analítica valor aproximación

19 Método de Euler n La EDO debe verificarse en todo [a,b], en particular n La idea básica del método de Euler es aproximar la derivada en x i mediante un cociente incremental (Taylor) (aproximación de la derivada) donde es el error de truncamiento.

20 n Sustituyendo en la particularización de la EDO en x i se obtiene (ecuación que verifica la solución analítica) n Despreciando los errores de truncamiento se obtiene el esquema numérico del método de Euler (ecuación que verifica la solución numérica)

21 Método de Euler

22 EJEMPLO: curvas de remanso (=3.5 régimen supercrítico) recordar ejemplo n Método de paso variable (10 cifras correctas) n Método de Euler método de orden 1

23 Método de Euler hacia atrás n Se considera una aproximación hacia atrás de la derivada (Taylor) con error de truncamiento n Sustituyendo en la EDO (aproximación de la derivada)

24 n Despreciando los errores de truncamiento se obtiene el esquema del método de Euler hacia atrás Método de Euler hacia atrás n Hay que resolver una ecuación (o un sistema) en general no lineal para calcular Y i+1 a partir de Y i. En esta situación se dice que es un método implícito.

25 Ejemplo n Método explícito: método de Euler n Método implícito: método de Euler hacia atrás fórmula explícita para calcular Y i+1 ecuación no lineal para calcular Y i+1 (ceros de funciones)

26 CONVERGENCIA, CONSISTENCIA Y ESTABILIDAD Definición Un método es convergente si para cualquier problema de valor inicial, bajo las hipótesis del Teorema 1, verifica

27 Ejemplo de convergencia La solución numérica se acerca tanto como se desee a la solución analítica al aumentar m (reducir h)

28 n Se define el residuo como lo que le falta al esquema numérico para que la solución analítica lo verifique exactamente. n Por ejemplo, para el método de Euler el residuo es n El residuo en cada paso se puede interpretar como el error debido al cálculo de Y i+1 a partir de Y i (sin tener en cuenta el error ya acumulado en Y i ), es decir, el error local.

29 n Se llama error global al error acumulado en la solución numérica (después de los m pasos). n El error global es de orden el error de truncamiento, el mismo que Definición Un método es consistente si para cualquier problema de valor inicial, bajo las hipótesis del Teorema 1, verifica

30 n Los métodos basados en la aproximación de la derivada son consistentes, puesto que para el método de Euler y el método de Euler hacia atrás y para el método de diferencias centradas. Definición Se dice que un método es de orden q si el error de truncamiento es Si el método es de orden q el error global es

31 Estabilidad absoluta n Se estudia el comportamiento de la solución numérica al resolver el problema lineal Con Re(λ)<0 la solución analítica tiende a cero (cuando x tiende a infinito). n Para λ y h fijados, se dice que el esquema es absolutamente estable si la solución numérica tiende a cero. n En general (EDO no lineal) linealizar la EDO (Taylor) para ver el comportamiento en el entorno de un punto de interés.

32 Ejemplo numérico con λ=-10 Método de Euler Método de Euler hacia atrás La estabilidad absoluta del esquema depende de λh

33 Análisis de estabilidad del método de Euler n Método de Euler para equivalentemente con G es el factor de amplificación. n El esquema es absolutamente estable si G <1, es decir, n Para λ real la condición de estabilidad es (condicionalmente estable)

34 Análisis de estabilidad del método de Euler hacia atrás n Método de Euler hacia atrás para equivalentemente con n Condición de estabilidad: n Condición de estabilidad para λreal: (incondicionalmente estable para λ<0)

35 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA: métodos de paso simple n Se considera la EDO n Integrando en el intervalo [x i,x i+1 ] n La idea de los métodos de Runge-Kutta es utilizar una cuadratura numérica para aproximar la integral.

36 n Usando la regla del trapecio para aproximar la integral método del trapecio (implícito) n Método de Heun (Runge-Kutta explícito de segundo orden): n El método de Heun también puede escribirse con

37 n Existen numerosos métodos Runge-Kutta, que pueden ser explícitos, implícitos o semi-implícitos n Por ejemplo, el Runge-Kutta explícito de cuarto orden más común es: Observación: los RK explícitos de orden s>5 requieren más de s evaluaciones de la función f

38 Forma general de los métodos de Runge-Kutta n Las constantes a kj, b k y c k dependen del método y deben cumplir (cuadraturas de orden 0 o superior) y

39 n Son métodos de un paso: en cada paso Y i+1 se calcula a partir de Y i (sin necesidad de almacenar valores anteriores Y i-1,,y i-k ) importante para utilizar paso h variable n No es sencillo determinar el orden del método: Se expresa el residuo mediante desarrollos de Taylor centrados en x i en la forma orden p si

40 EJEMPLO: ménsula con grandes flechas n Resolución con Euler del PVI (m=20, α 2 =2, β= ) recordar ejemplo

41 n Resolución con Euler y RK4 Ψ(1)=0

42 n Convergencia (medida del error: ) 10 0 E Euler C m E RK4 C m