Interpolación seccional: SPLINES

Transcripción

1 Interpolación seccional: SPLINES Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Spain)

2 Motivación: problemas en aproximación funcional 1. Interpolación polinómica pura oscilaciones para número elevado de datos Splines 2

3 Motivación: problemas en aproximación funcional 2. Mínimos cuadrados La aproximación no pasa por los puntos Splines 3

4 Motivación: problemas en aproximación funcional 3. Modificaciones locales afectan globalmente Splines 4

5 Solución Cambiar el tipo de aproximación Cualidades deseables de la aproximación (dibujo, resolución EDPs ): 1. Control sobre la suavidad del aproximante 2. Posibilidad de interpolar 3. Desarrollo en función de una base 4. Interpolante local Aproximación polinómica a trozos (spline) Splines 5

6 SPLINE: función definida a trozos, generalmente polinómica en cada tramo Definición Splines 6

7 Algunos tipos de Spline Spline lineal C 0 Spline parabólico C 1 Spline cúbico C1 Spline cúbico C2 El tipo de Spline viene dado por el grado de polinomio en cada intervalo y la regularidad en los puntos/nodos interiores Spline natural Interpolación de Hermite Splines 7

8 Función polinómica lineal a trozos Continua (en los puntos base x i ) 1. SPLINE LINEAL C0 La aproximación se puede expresar en función de una base? Splines 8

9 BASE LOCAL Splines 9

10 Base del espacio de splines lineales C 0 Depende de los puntos base {x 0, x 1,...,x n } De todas las bases posibles escogemos la que permite variar con facilidad los valores f i Con la base que cumple el interpolante (spline) se escribe Observación: el espacio de Splines lineales C 0 es un espacio vectorial de dimensión n+1 (número de puntos base) Splines 10

11 2. SPLINE C1 PARABOLICO En cada intervalo: Número de coeficientes Número de condiciones: continuidad del spline y de la primera derivada en los n-1 puntos interiores 3n 2(n-1) Diferencia: 3n 2(n-1) = n+2 parámetros libres, dimensión del espacio Podemos imponer el valor de la función en n+1 puntos base y una condición adicional Splines 12

12 Ejemplo Spline C1 parabólico (recurrente) Fijando el valor de la derivada en el punto inicial, S (0)=0, y los n+1 valores de la función S (2)=1 S (2)=1 S 2 (x)=1.5x 2 +7x-6 1 (x)=x S 1 (x)=x S (3)=-2 S (3)=-2 S (1)=1 S (0)=0 =0 S 0 (x)=(x 2 +1)/2 S 3 (x)=1.5x 2-11x+21 Splines 13

13 La base de splines parabolicos C1 es no local S (x 0 ) = β, 2β, -β S(x 0 ) = α, 2α, -α Elección de s 0: Dejar s 0 libre y modificar interactivamente Interpolar polinomio con N+1 puntos en el entorno de x 0 : s 0 = pendiente del polinomio en x 0, Tomar s 1 = (f 2 f 0 )/(x 2 x 0 ) (diferencia centrada) e interpolar un subintervalo en sentido contrario poco utilizado Splines 14

14 Se conoce como interpolación de Hermite En cada intervalo: 3. SPLINE C1 CÚBICO Número de coeficientes: 4n Número de condiciones: continuidad del spline y de la primera derivada en los n-1 puntos interiores 2(n-1) Diferencia: 4n 2(n-1) = 2(n+1) parámetros libres, dimensión del espacio Podemos imponer el valor de la función y su derivada en los n+1 puntos base. Splines 15

15 SPLINE C1 CÚBICO En cada subintervalo, dados los 2 valores de la función y los 2 valores de la derivada hay una único polinomio de grado 3 que cumple las 4 condiciones s i f i s i+1 f i+1 x i x i+1 Splines 16

16 Aproximación de las derivadas Si las derivadas s i no son conocidas, se pueden aproximar a partir de los valores de la función f i-1 f i f i+1 x i-1 x i+1 x i

17 Base del espacio de splines C2 cúbicos El interpolante (spline cúbico) se escribe como si y son las funciones de la base de splines (definidas en todo [x 0,x n ]) que verifican Splines 18

18 BASE LOCAL Splines 19

19 BASE LOCAL Splines 20

20 Spline C1 parabólico (no local) Ejemplo S (x 0 ) = β, 2β, -β S(x 0 ) = α, 2α, -α Spline C1 cúbico (local) S (x 0 ) = β, 2β, -β S(x 0 ) = α, 2α, -α Splines 21

21 En cada intervalo: 4. SPLINE C2 CÚBICO Número de coeficientes: 4n Número de condiciones: continuidad del spline y de la primera y segunda derivada en los n-1 puntos interiores 3(n-1) Diferencia: 4n 3(n-1) = (n+1) + 2 parámetros libres, dimensión del espacio Podemos imponer el valor de la función en los n+1 puntos base y dos condiciones adicionales Splines 22

22 Condiciones adicionales Curvaturas prescritas en los extremos: s 0 y s n dadas Formulación en curvaturas Caso particular: s 0 =s n =0 (spline natural) Pendientes prescritas en los extremos: s 0 y s n dadas Formulación en pendientes (derivadas) Imposición de una pendiente y una curvatura. Spline periódico: Si se verifica f 0 =f n puede ser interesante exigir s 0 =s n y s 0 =s n Interpolación cuadrática en los dos subintervalos extremos: s 0 =s 1 y s n-1 =s n Interpolación con la misma cúbica en los dos primeros subintervalos y en los dos últimos subintervalos Splines 23

23 Formulación en derivadas Spline cúbico (de momento con continuidad C 1 ) Sólo podemos imponer el valor de S(x i )=f i y dos condiciones adicionales Las pendientes s i no son datos, son parámetros a determinar imponiendo continuidad de S (x) y las dos condiciones adicionales. detalles Splines 24

24 Formulación en curvaturas Se expresa el spline en función de f i y de las segundas derivadas en los puntos base s i Las curvaturas s i no son datos, son parámetros a determinar imponiendo continuidad de S (x) y las dos condiciones adicionales. detalles Splines 25

25 SPLINE NATURAL El Spline natural es el spline C2 cúbico con s 0 =s n =0 Teorema De todas las funciones C 2 que pasan por {x i,f i } i=0,...,n, la más suave es el spline natural. La suavidad de una función se mide con el funcional Es decir, el spline natural minimiza el funcional I en C 2. Splines 26

26 Demostración Sea h C 2 cualquiera y S(x) el spline natural. La diferencia del funcional I es donde Splines 27

27 Por lo tanto, siendo S(x) el spline natural (s 0 =s n =0) Splines 28

28 Observación De la ecuación también se deduce que el spline cúbico C2 es la función C 2 más suave para pendientes fijadas en los extremos (h 0 = s 0, h n = s n ) Splines 29

29 Base de splines naturales donde Base no local, pero con amortiguamiento muy rápido Splines 30

30 Ejemplo Spline C1 parabólico (no local) Spline C1 cúbico (local) S(x 0 ) = α, 2α, -α S(x 0 ) = α, 2α, -α Spline C2 cúbico (no local, amortiguamiento rápido) S(x 0 ) = α, 2α, -α Splines 31

31 Ejemplo: paradoja de Runge n=4 n=8 Splines 32

32 THE END Splines 35

33 Formulación en derivadas Spline cúbico (de momento con continuidad C 1 ) Sólo podemos imponer el valor de S(x i )=f i y dos condiciones adicionales Las pendientes s i no son datos, son parámetros a determinar imponiendo continuidad de S (x) y las dos condiciones adicionales Splines 36

34 Segundas derivadas del spline: Splines 37

35 Imponiendo continuidad de la segunda derivada: = Splines 38

36 Sistema de ecuaciones sistema (n-1)x(n+1) donde Hay que añadir las dos condiciones adicionales Splines 39

37 Pendientes prescritas en los extremos: s 0 y s n dadas (matriz n-1 n-1, tridiagonal, no simétrica y estrictamente diagonalmente dominante) Splines 40

38 Formulación en curvaturas Se expresa el spline en función de f i y de las segundas derivadas en los puntos base s i Cúbica en cada subintervalo [x i, x i+1 ] Segunda derivada: Imponemos valores S(x i )=f i y S (x i )=s i : Splines 41

39 Spline cúbico C2 (formulación en curvaturas) Sólo podemos imponer el valor de f i y dos condiciones adicionales Las curvaturas s i no son datos, son parámetros a determinar imponiendo continuidad de S (x) y las dos condiciones adicionales Splines 42

40 Primeras derivada del spline: Splines 43

41 Imponiendo continuidad de la primera derivada: = Splines 44

42 Sistema de ecuaciones sistema (n-1)x(n+1) donde Hay que añadir las dos condiciones adicionales Splines 45

43 Curvaturas prescritas en los extremos: s 0 y s n dadas matriz n-1 n-1, tridiagonal, no simétrica y estrictamente diagonalmente dominante Splines 46

44 Condiciones adicionales: s 0 y s n Formulación en curvaturas (análogamente se puede hacer para la formulación en derivadas) con sistema (n-1)x(n+1) Splines 47

45 Imponemos la derivada s 0 El sistema resultante es Splines 48