PROGRAMA DE LA ASIGNATURA Curso académico 2010/2011

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1 PROGRAMA DE LA ASIGNATURA Curso académico 2010/2011 Identificación y características de la asignatura Denominación Ampliación de Cálculo Numérico Código Créditos (T+P) Titulación Centro 3T + 3P Ingeniería Química Facultad de Ciencias Curso Tercero Temporalidad Primer cuatrimestre Carácter Descriptores (BOE) Obligatoria Ampliación de métodos numéricos. Resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Profesor/es Nombre Despacho Correo-e Página web Área de conocimiento Departamento Profesor coordinador (si hay más de uno) Fco. Javier Alonso Romero Mª Luisa Soriano Comino C-26 y C-22 jalonso@unex.es lsoriano@unex.es Análisis Matemático Matemáticas Fco. Javier Alonso Romero

2 Objetivos y/o competencias 1. Conocer diversos métodos de calcular un polinomio de interpolación, sabiendo decidir cual es el más acertado ante un problema concreto. 2. Saber calcular un spline cúbico de interpolación y conocer sus ventajas frente a los polinomios de interpolación. 3. Saber aproximar la integral de una función mediante fórmulas de cuadratura. Saber determinar el grado de precisión de una fórmula de cuadratura. Conocer la ventaja de utilizar fórmulas de cuadratura compuesta. 4. Saber calcular las soluciones de una ecuación en diferencias lineal de coeficientes constantes. 5. Saber resolver un problema de sumación de funciones. Conocer y saber utilizar las fórmulas de sumación de Euler y de Euler-Maclaurin. Conocer la relación existente entre un problema de sumación y la resolución de una ecuación en diferencias. 6. Conocer los principales métodos de aproximar la solución del problema de Cauchy o de valor inicial. En particular, conocer los métodos de Taylor y de Runge-Kutta como métodos de un paso, y los métodos de Adams como métodos multipaso. Saber determinar el orden de un método y si es o no convergente.

3 Temas y contenidos (especificar prácticas, teoría y seminarios, y actividades en general, en su caso) TEMARIO * 1. Interpolación Existencia y unicidad del polinomio de interpolación. Fórmula de Lagrange. Diferencias divididas y fórmula de Newton El error en la interpolación polinómica. Acotación del error. Interpolación en los ceros de Chebyshev Interpolación de Hermite. Fórmula de Lagrange. Fórmula de Newton Interpolación polinómica segmentaria. Splines. Construcción del spline cúbico de interpolación. Convergencia. 2. Integración numérica Fórmulas de cuadratura. Grado de precisión. Error de las fórmulas de cuadratura basadas en el polinomio de interpolación Fórmulas de Newton-Cotes. Regla del trapecio. Regla de Simpson. Regla del trapecio corregida. El error en las fórmulas de Newton-Cotes Fórmulas de cuadratura compuesta. Regla del trapecio compuesta. Regla de Simpson compuesta. Regla del trapecio corregida compuesta. El error en las fórmulas de cuadratura compuesta Cuadratura gausiana. Fórmulas de cuadratura de Gauss-Legendre. Convergencia. 3. Ecuaciones en diferencias Ecuación en diferencias lineal homogénea Ecuación característica. Sistema fundamental de soluciones. Caso de raíces simples. Caso de raíces múltiples Solución general de una ecuación en diferencias lineal no homogénea Método de variación de constantes. Caso en el que el término independiente es un polinomio.

4 4. Sumación de funciones El problema de sumación de funciones Planteamiento general. Reducción del problema a la resolución de la ecuación en diferencias F(x)=g(x). Ejemplos Resolución de la ecuación en diferencias F(x)=g(x) cuando g(x) es un polinomio Métodos generales. Números y polinomios de Bernoulli. Método basado en los polinomios de Bernoulli Fórmula de sumación de Euler Fórmula de sumación de Euler para polinomios. Fórmula de sumación de Euler-Mclaurin. 5. Resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias Resolución numérica del problema de Cauchy. Planteamiento general. Teorema de existencia y unicidad de solución. Definición de métodos paso a paso. Método de Euler Error, orden y convergencia de los métodos de un paso. Error de truncamiento. Error local. Estimación del error. Orden, consistencia y convergencia Métodos de un paso de orden superior. Método de Taylor. Métodos de Runge-Kutta. Método clásico de orden cuatro Métodos multipaso lineales. Definición de métodos implícitos y explícitos. Métodos de Adams-Bashforth y métodos de Adams-Moulton. Métodos predictor-corrector Error, orden y convergencia de los métodos multipaso. Error de truncamiento. Orden, consistencia y condición de la raíz. Convergencia Estabilidad. Estabilidad relativa y estabilidad absoluta. Temporalidad aproximada: Las 14 semanas (con cuatro horas semanales) que, aproximadamente, forman el cuatrimestre de esta asignatura se repartirán de la siguiente forma: Tema 1: 3 semanas, Tema 3: 3 semanas, Tema 5: 3 semanas. Tema 2: 3 semanas, Tema 4: 2 semanas,

5 METODOLOGÍA Y ACTIVIDADES Las clases serán, simultáneamente, de tipo teórico y práctico. Las que necesiten la ejecución de algún programa informático se darán con la ayuda de un ordenador y un cañón de proyección. A mediados de curso a los alumnos se les entrega una colección de cerca de 100 ejercicios recopilados de los distintos exámenes de esta asignatura. Estos ejercicios cubren todo el temario y ayudan al alumno a preparar el examen final. Todas las dudas que les surjan sobre ellos son atendidas en las horas de tutoría. Todos los conceptos matemáticos necesarios para seguir este curso son repasados antes de su utilización. RECOMENDACIONES PARA EL ESTUDIO Es fundamental la asistencia regular a clase. La falta de un solo día dificulta el seguimiento de las clases posteriores. También es muy recomendable el hacer (o intentar hacer) los ejercicios que se plantean en clase y algunos de la colección que se entrega. * Es recomendable establecer una temporalidad, al menos aproximada

6 Criterios de evaluación La evaluación de cada convocatoria se realizará mediante un examen escrito con el que se juzgará: a) El nivel de asimilación de la materia explicada y la precisión en la exposición de los conceptos. b) La capacidad para resolver problemas o cuestiones. Asimismo, se tendrá en cuenta para la calificación final la participación en el aula (resolución de ejercicios planteados, respuesta a cuestiones,...). Bibliografía Básica 1. BURDEN, R.L.; FAIRES, J.D.: Análisis Numérico. Thomson Learning, Mexico, ISAACSON, E.; KELLER, H.B.: Analysis of Numerical Methods. John Wiley & Sons. New York, JOHNSON, L.W.; RIESS, R.D.: Numerical Analysis. Addison-Wesley, KINCAID, D.; CHENEY, W.: Análisis Numérico. Addison-Wesley Iberoamericana, Complementaria 5. BUTCHER, J.C.: The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons, BLUM, E.K.: Numerical analysis and computation theory and practice. Addison- Wesley, RAPPAZ, J.; PICASSO, M.: Introduction à l'analyse Numérique. Presses polytechniques et universitaires romandes, STOER, J.; BULIRSCH, R.: Introduction to Numerical Analysis. Springer-Verlag. New York, Son especialmente recomendables los libros 4 y 2.

7 Tutorías de Javier Alonso Horario Lunes 13 a 14 Lugar Despacho C-26 del Dpto. de Matemáticas Martes 13 a 14 Miércoles 13 a 14 Jueves 12 a 14 Viernes 13 a 14 Tutorías de Mª Luisa Soriano Horario Lunes 10 a 12 Lugar Despacho C-22 del Dpto. de Matemáticas Martes 10 a 12 Miércoles 10 a 12