Sea una ecuación diferencial ordinaria explícita de primer orden con una condición en el inicio: y (x) = f(x, y), y(x 0 ) = y 0

Transcripción

1 Fórmula de Euler El objetivo de los métodos numéricos es proporcionar fórmulas generales y algoritmos que no dependan de los datos de un problema particular. Las siguientes fórmulas y algoritmos se pueden especificar independientemente de la forma de una EDO y de su condición inicial, las cuales se pueden definir desde fuera del algoritmo. Sea una ecuación diferencial ordinaria explícita de primer orden con una condición en el inicio: y (x) = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 La fórmula de Euler usa los dos primeros términos de la serie de Taylor: y i+1 = y i + y i +! y (z) = y i + f(x i, y i ) +! y (z), x i z x i+1 Definición: Fórmula de Euler y i+1 = y i + f(x i,y i ) x i+1 = x i +, i = 0, 1,,... E =! y (z) = O( ), x i z x i+1 (Error de truncamiento en cada paso) Algoritmo para calcular puntos de la solución de una EDO de primer orden con la fórmula de Euler 1) Defina f(x,y) y la condición incial (x 0, y 0 ) ) Defina y la cantidad de puntos a calcular m 3) Para i =1,,..., m 4) y i+1 = y i + f(x i,y i ). 5) x i+1 = x i + 6) fin Ejemplo. Obtenga dos puntos de la solución de la siguiente ecuación diferencial con la fórmula de Euler. Use = 0.1 y - y - x + x - 1 = 0, y(0) = 1 Ecuación diferencial y = f(x, y) = y - x + x + 1, x 0 = 0, y 0 = 1, = 0.1 Cálculo de los puntos i=0: y 1 = y 0 + f(x 0, y 0 ) = f(0, 1) = [ ] = 1.000; x 1 = x 0 + = = 0.1 i=1: y = y 1 + f(x 1, y 1 ) = f(0.1, 1.) = [ ] = x = x 1 + = = 0. Para comprobar comparamos con la solución exacta: y(x) = x + x + e x y(0.1) = 1.15 y(0.) = El error es muy significativo. Para reducirlo se pudiera reducir. Esto aría que el error de truncamiento se reduzca pero si la cantidad de cálculos es muy grande, pudiera acumular error de redondeo. Una mejor estrategia es usar métodos más precisos que no requieran acer que sea muy pequeño.

2 Error de truncamiento y error de redondeo En cada paso el error de truncamiento es proporcional a y los resultados no tendrán muca precisión: E =! y (z) = O( ), Para reducir E se debe reducir : 0 E 0. Sin embargo, este eco matemáticamente cierto, al ser aplicado tiene una consecuencia importante que es interesante analizar: Suponer que se desea calcular la solución y(x) en un intervalo fijo x 0 x x f mediante m puntos x i = x 0, x 1, x,..., x m espaciados en una distancia. Enonces la distancia es: x f x o = m Sea E i el error de truncamiento en el paso i, entonces y 1 = y 0 + f(x 0, y 0 ) + E 1 y = y 1 + f(x 1, y 1 ) + E = y 0 + f(x 0, y 0 ) + E 1 + f(x 1, y 1 ) + E = y 0 + f(x 0, y 0 ) + f(x 1, y 1 ) + E 1 + E y 3 = y + f(x, y ) + E 3 = y 0 + f(x 0, y 0 ) + f(x 1, y 1 ) + f(x, y ) + E 1 + E + E 3... y m = y 0 + f(x 0, y 0 ) + f(x 1, y 1 ) + f(x, y ) f(x m-1, y m-1 ) + E 1 + E + E E m El error de truncamiento acumulado es: E = E 1 + E + E E m E = O( ) + O( ) + O( ) O( ) = m O( x f x 0 ) = O( ) = O() Lo cual demuestra que el error de truncamiento acumulado es de orden O(), por lo tanto debe ser un valor mas pequeño que el previsto para asegurar que la solución calculada sea suficientemente precisa asta el final del intervalo. Por otra parte, cada vez que se evalúa f(x i, y i ) se puede introducir el error de redondeo R i debido a los errores en la aritmética computacional y al dispositivo de almacenamiento. Entonces, el error de redondeo se acumulará en cada paso y al final del intervalo se tendrá: R = R 1 + R + R R m = m ( R ), siendo R algún valor promedio. Si m es grande, este error será significativo y puede anular la precisión que se obtuvo reduciendo el error de truncamiento E usando un valor muy pequeño de. Como conclusión de lo anterior, es preferible usar fórmulas cuyo error de truncamiento E sea de mayor orden para que el valor de no requiera ser muy pequeño si se buscan resultados con alta precisión. Esto retardará también el efecto del error de redondeo acumulado R.

3 Instrumentación computacional de la fórmula de Euler Se define una función que recibe un punto de la solución y entrega el siguiente: function [x,y] = euler(f, x, y, ) y=y + *f(x,y); x=x+; Ejemplo. Escribir un programa en MATLAB para calcular m=0 puntos espaciados en una distancia= 0.1 del ejercicio anterior con la fórmula de Euler f=inline('y - x^ + x + 1'); x=0; y=1; m=0; =0.1; for i=1:m [x,y]=euler(f,x,y,); u(i)=x; v(i)=y; end Si el programa se almacenó con el nombre ed. Los siguientes comandos permiten visualizar la solución y compararla con la solución analítica exacta >> ed >> plot(u, v, 'o'), grid on, old on u, v contienen los puntos calculados >> g=dsolve('dy-y-x+x^-1=0','y(0)=1','x') Obtención de la solución analítica. g = x+x^+exp(x) >> old on; >> ezplot(g,0,); Solución analítica Solución analítica y solución numérica para el ejemplo anterior Se observa la acumulación del error de truncamiento

4 Fórmula mejorada de Euler o fórmula de Heun Sea la EDO de primer orden con una condición en el inicio: y (x) = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 La fórmula de Heun o fórmula mejorada de Euler usa los tres primeros términos de la serie de Taylor y un artificio para sustituir la primera derivada de f(x, y) 3 3 y i+1 = y i + y i +! y i + 3! y (z) = y i + f(x i, y i ) +! f (x i, y i ) + 3! y (z), x i z x i+1 y i+1 = y i + f(x i, y i ) + f (x i, y i ) + O( 3 ) f Para evaluar f (x i, y i ) usamos una aproximación simple: f i = i + f 1 i + O() y i+1 = y i + f i + [ f i + 1 fi + O()] + O( 3 ) = y i + f i + f i+1 - f i + O( 3 ) y i+1 = y i + (f i + f i+1 ) + O( 3 ) Para evaluar f i+1 = f(x i+1, y i+1 ) se usa y i+1 calculado con la fórmula de Euler como aproximación inicial: y i+1 = y i + f(x i, y i ) y i+1 = y i + (f(x i, y i ) + f(x i+1, y i+1 )) x i+1 = x i +, i = 0, 1,,... Valor usado como una aproximación Valor mejorado con la fórmula de Heun Esta fórmula se puede re-escribir como se muestra en la definición: Definición: Fórmula de Heun K 1 = f(x i, y i ) K = f(x i +, y i + K 1 ) y i+1 = y i + 1 (K 1 + K ) x i+1 = x i +, i = 0, 1,,... 3 E = 3! y (z) = O(3 ), x i z x i+1 (Error de truncamiento en cada paso) Algoritmo para calcular puntos de la solución de una EDO de primer orden con la fórmula de Heun 1) Defina f(x,y) y la condición incial (x 0, y 0 ) ) Defina y la cantidad de puntos a calcular m 3) Para i =1,,..., m 4) K 1 = f(x i, y i ) 5) K = f(x i +, y i + K 1 )) 6) y i+1 = y i + 1 (K 1 + K ). 7) x i+1 = x i + 8) fin Ejemplo. Obtener dos puntos de la solución de la siguiente ecuación diferencial con la fórmula de Heun. Use = 0.1 y - y - x + x - 1 = 0, y(0) = 1

5 191 Ecuación diferencial y = f(x, y) = x - x + y + 1, x 0 = 0, y 0 = 1, = 0.1 Cálculos i=0: K 1 = f(x 0, y 0 ) = 0.1 f(0, 1) = 0.1 ( ) = 0.000; K = f(x 0 +, y 0 + K 1 ) = 0.1 f(0.1, 1.) = 0.1 [ ] = 0.90 y 1 = y (K 1 + K ) = ( ) = x 1 = x 0 + = = 0.1 i=1: K 1 = f(x 1, y 1 ) = 0.1 f(0.1, 1.145) = 0.1 ( ) =0.305; K = f(x 1 +, y 1 + K 1 ) = 0.1 f(0., ) = 0.1 [ ] = y = y (K 1 + K ) = ( ) = x = x 1 + = = 0. Para comprobar comparamos con la solución exacta: y(x) = x + x + e x y(0.1) = 1.15 y(0.) = El error de truncamiento en cada paso está en el orden de los milésimos, coincidiendo aproximadamente con E=O( 3 ) Instrumentación computacional de la fórmula de Heun Se define una función que recibe un punto de la solución y entrega el siguiente: function [x,y] = eun(f, x, y, ) k1=*f(x,y); k=*f(x+, y+k1); y=y+0.5*(k1+k); x=x+; Ejemplo. Escriba un programa en MATLAB para calcular m=0 puntos espaciados en una distancia =0.1 del ejercicio anterior usando la fórmula de Heun f=inline('y - x^ + x + 1'); x=0; y=1; m=0; =0.1; for i=1:0 [x,y]=eun(f,x,y,); u(i)=x; v(i)=y; end % La solución es almacenada % en los vectores u, v Si el programa se almacenó con el nombre ed3. Los siguientes comandos permiten visualizar la solución y compararla con la solución analítica exacta >> ed3 >> plot(u, v, 'o'), grid on, old on % u, v contienen los puntos calculados >> g=dsolve('dy-y-x+x^-1=0','y(0)=1','x') % Obtención de la solución analítica. g = x+x^+exp(x) % Solución analítica de MATLAB >> ezplot(g,0,);

6 19 Solución analítica y solución numérica para el ejemplo anterior Se observa una reducción significativa del error de truncamiento Fórmulas de Runge-Kutta Estas fórmulas utilizan artificios matemáticos para incorporar más términos de la serie de Taylor. Describimos la más popular, denominada fórmula de Runge-Kutta de cuarto orden, la cual incluye los cinco primeros términos de la Serie de Taylor. Sea la ED de primer orden con una condición en el inicio: y (x) = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 Definición: Fórmula de Runge-Kutta de cuarto orden K 1 = f(x i, y i ) K = f(x i + /, y i + K 1 /) K 3 = f(x i + /, y i + K /) K 4 = f(x i +, y i + K 3 ) y i+1 = y i (K 1 + K + K 3 + K 4 ) x i+1 = x i +, i = 0, 1,,... 5 E = 5! y(5) (z) = O( 5 ), x i z x i+1 (Error de truncamiento en cada paso) Algoritmo para calcular puntos de la solución de una EDO de primer orden con la fórmula de Runge-Kutta 1) Defina f(x,y) y la condición incial (x 0, y 0 ) ) Defina y la cantidad de puntos a calcular m 3) Para i =1,,..., m 4) K 1 = f(x i, y i ) 5) K = f(x i + /, y i + K 1 /) 6) K 3 = f(x i + /, y i + K /) 7) K 4 = f(x i +, y i + K 3 ) 8) y i+1 = y i (K 1 + K + K 3 + K 4 ). 9) x i+1 = x i + 10) fin

7 193 Ejemplo. Obtenga un punto de la solución de la siguiente ecuación diferencial con la fórmula de Runge-Kutta de cuarto orden. Use = 0.1 y - y - x + x - 1 = 0, y(0) = 1 Ecuación diferencial y = f(x, y) = x - x + y + 1, x 0 = 0, y 0 = 1, = 0.1 Cálculo de los puntos i=0: K 1 = f(x 0, y 0 ) = 0.1 f(0, 1) = 0.1 ( ) = 0.000; K = f(x 0 + /, y 0 + K 1 /) = 0.1 f(0.05, 1.1) = 0.1 ( ) = K 3 = f(x 0 + /, y 0 + K /) = 0.1 f(0.05, ) = 0.1 ( ) = K 4 = f(x 0 +, y 0 + K 3 ) = 0.1 f(0.1, 1.155) = 0.1 ( ) = y 1 = y (K 1 + K + K 3 + K 4 ) = [0. + (0.148)+(0.155)+0.305] = x 1 = x 0 + = = 0.1 Para comprobar comparamos con la solución exacta: y(x) = x + x + e x y(0.1) = 1.15 El error de truncamiento en cada paso está en el orden de los cienmilésimos, coincidiendo aproximadamente con E=O( 5 ). Los resultados tienen una precisión aceptable para la solución de problemas prácticos, por lo cual esta fórmula es muy utilizada Instrumentación computacional de la fórmula de Runge-Kutta Se define una función que recibe un punto de la solución y entrega el siguiente: function [x,y]=rk4(f, x, y, ) k1=*f(x,y); k=*f(x+/, y+k1/); k3=*f(x+/, y+k/); k4=*f(x+, y+k3); y=y+1/6*(k1+*k+*k3+k4); x=x+; Ejemplo. Un programa en MATLAB para calcular m=0 puntos espaciados en una distancia =0.1 del ejercicio anterior usando la fórmula de Runge-Kutta de cuarto orden f=inline('y - x^ + x + 1'); x=0; y=1; m=0; =0.1; for i=1:m [x,y]=rk4(f,x,y,); u(i)=x; v(i)=y; end Si el programa se almacenó con el nombre ed4. Los siguientes comandos permiten visualizar la solución y compararla con la solución analítica exacta >> ed4 >> plot(u, v, 'o'), grid on, old on u, v contienen los puntos calculados >> g=dsolve('dy-y-x+x^-1=0','y(0)=1','x') Obtención de la solución analítica. g = x+x^+exp(x) Solución analítica >> ezplot(g,0,);

8 194 x x exp(x) Solución analítica 6 4 Solución numérica x Solución analítica y solución numérica para el ejemplo anterior Encontrar la diferencia entre la solución numérica y analítica cuando x=1 >> yn=v(10) Solución numérica en el vector v yn = >> x=1; >> ya=eval(g) Solución analítica ya = >> e=yn-ya e = e-006