MATEMÁTICA TICA SUPERIOR APLICADA. Ejemplos de Ecuaciones No Lineales en

Transcripción

1 MATEMÁTICA TICA SUPERIOR APLICADA Ejemplos de Ecuaciones No Lineales en Ingeniería a Química Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Rosario

2 Ejemplos de Aplicación A continuación n se presentan algunos ejemplos de aplicación n de métodos m numéricos en la resolución n de problemas típicos t de Ingeniería Química. Obviamente, estos ejemplos no cubren todos los campos que pueden analizarse en un curso de este tipo. 2

3 Ecuación n de Estado Soave-Redlich Redlich-Kwong: Determinar el volumen específico V de un gas a T y P dadas: 3

4 Underwood: Relación n de mínimo m reflujo de una columna de destilación n múltiple m etapa: Colebrook: Factor de fricción n para el flujo turbulento a través s de una tubería a de un fluido incompresible : 4

5 Método de los Operadores Diferenciales para la Determinación n de Soluciones Analíticas de Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Lineales de Orden n: 5

6 Tipos de Raíces y su Aproximación 6

7 Tipos de Raíces y su Aproximación 7

8 Tipos de Raíces y su Aproximación 8

9 Tipos de Raíces y su Aproximación 9

10 Solución n Numérica de Ecuaciones No Lineales Ejemplos y Archivos.m Ejemplo_01.m: Calcula el factor de fricción n a partir de la Ecuación n de Colebrook mediante Aproximaciones Sucesivas (XGX.m( XGX.m). Interpolación n Lineal (LI.m( LI.m). Newton-Raphson (NR.m). Ejemplo_02.m: Resuelve la ecuación n de estado Soave-Redlich Redlich- Kwong mediante el método m de Newton-Raphson para polinomios (NRpoly.m). Ejemplo_03.m: Resuelve polinomios de grado n y funciones de transferencia utilizando el método m de Newton-Raphson con división n sintética tica (NRsdivision.m( NRsdivision.m). 10

11 Solución n Numérica de Ecuaciones No Lineales Ejemplos y Archivos.m Métodos XGX.m: Método de Aproximaciones Sucesivas para determinar una raíz z de una ecuación n no lineal. LI.m: Método de Interpolación n Lineal para determinar una raóz de una ecuación n no lineal. NR.m: Método Newton-Raphson para determinar una raíz z de una ecuación n no lineal. NRpoly.m: Método Newton-Raphson para determinar una raíz z de una ecuación n polinomial. NRsdivision.m: Método Newton-Raphson con división sintética tica para determinar todas las raíces de una ecuación n polinomial. 11

12 Solución n Numérica de Ecuaciones No Lineales Ejemplos y Archivos.m Funciones Colebrookg.m: Contiene la Ecuación n de Colebrook expresada en forma que pueda resolverse mediante Aproximaciones Sucesivas (utilizada en el Ejemplo_01.m). Colebrook.m: Contiene la Ecuación n de Colebrook expresada en forma que pueda resolverse mediante Interpolación n Lineal o Newton-Raphson (utilizada en el Ejemplo_01.m). 12

13 Ejemplo 1: Solución n de la Ecuación n de Colebrooke Determinar la Solución n de la Ecuación n de Colebrook Mediante los métodos de: Sustitución n Directa o Aproximaciones Sucesivas Interpolación n Lineal Newton-Raphson Desarrollar una función n de MATLAB para resolver ecuaciones no lineales mediante los métodos m de sustitución n directa, interpolación n lineal y Newton-Raphson Raphson. Utilice estas funciones para calcular el factor de fricción n de la Ecuación n de Colebrook para el flujo a través s de una tubería a con /D = 10 4 y Re = Compare estos métodos. m 13

14 Ejemplo 1 Calculating the friction factor from the Colebrook equation Reynolds No. = 1e5 Relative roughness = 1e-4 1 ) Successive substitution 2 ) Linear Interpolation 3 ) Newton Raphson 0 ) Exit Choose the method of solution : 1 Function containing the Colebrook equation : 'Colebrookg' Colebrookg' Starting value =

15 Iteration x g(x) f = Ejemplo 1 15

16 x=g(x): fcn and path to root, (*: initial; o: root) g(x) [-- : y=x] x 03/12/

17 1 ) Successive substitution 2 ) Linear Interpolation 3 ) Newton Raphson 0 ) Exit Choose the method of solution : 2 Function containing the Colebrook equation : 'Colebrook' First starting value = 0.01 Second starting value = 0.03 Ejemplo 1 17

18 Iteration x f(x) e f = Ejemplo 1 18

19 Linear Interpolation: fcn and path to root (*: initial;o: root) f(x) x 03/12/

20 Ejemplo 1 1 ) Successive substitution 2 ) Linear Interpolation 3 ) Newton Raphson 0 ) Exit Choose the method of solution : 3 Function containing the Colebrook equation : 'Colebrook' Starting value =

21 Starting value = 0.01 Iteration x f(x) e e f = Ejemplo 1 21

22 Newton-Raphson: fcn and path to root (*: initial; o: root) f(x) x 03/12/

23 Ejemplo 2: Determinación n de una raíz z de un polinomio de grado n mediante el método m de Newton Raphson aplicado a la Ecuación n de Estado Soave-Redlich Redlich-Kwong. Desarrollar una función n de MATLAB para calcular una raíz z de una ecuación n polinomial mediante el método m de Newton-Raphson Raphson. Calcular el volumen específico de un gas puro a una dada presión n y temperatura utilizando la Ecuación n de Estado Soave-Redlich Redlich-Kwong: 23

24 Las constantes a y b de la Ecuación n se obtienen de la siguiente manera donde Tc y Pc representan la temperatura crítica y la presión n crítica respectivamente. La variable es una función n empírica de la temperatura: El valor de S es función n del factor acéntrico ntrico,,, del gas: 24

25 Las propiedades físicas f del n-butano n son: La constante general de los gases es: Calcular el volumen específico del vapor de n-butanen a 500K y a presiones de 1 a 40 atm. Comparar los resultados gráficamente con aquellos obtenidos utilizando la Ley de los Gases Ideales. Qué conclusión n saca de esta comparación? 25

26 Ejemplo 2 Input the vector of pressure range (Pa) = [1:40]* Input temperature (K) = 500 Critical temperature (K) = Critical pressure (Pa) = 3797e3 Acentric factor = RESULTS: Pres. = Ideal gas vol. = Real gas vol. = Pres. = Ideal gas vol. = Real gas vol. = Pres. = Ideal gas vol. = Real gas vol. = Pres. = Ideal gas vol. = Real gas vol. = Pres. = Ideal gas vol. = Real gas vol. =

27 Specific Volume, m 3 /kmol Newton-Raphson: fcn and path to root (*: initial; o: root) Ideal SRK Pressure, kpa 03/12/

28 Ejemplo 3: Solución n de un Polinomio de Grado n y Función n de Transferencia Utilizando el Método M Newton-Raphson con División n Sintética tica y Método M de Autovalores. Consideremos el reactor isotérmico continuo tanque agitado (CSTR) como el que se muestra en la siguiente Figura: 28

29 Las componentes A y R alimentan al reactor a tasas Q y (q Q), respectivamente. En el reactor se desarrolla el siguiente esquema de reacción: 29

30 Este problema fue analizado por Douglas para ilustrar las diversas técnicas t de diseño o de sistemas de control simple con retroalimentación n En su análisis Douglas hizo las siguientes hipótesis: 1) La componente R está presente en el reactor en exceso de manera que las velocidades de reacción n puedan aproximarse por expresiones de primer orden. 2) Las componentes B, C, D y E de la alimentación n son cero. 3) Se elige un conjunto particular de valores de velocidades y de concentraciones de la alimentación, n, constantes cinéticas y volumen del reactor. 4) Las perturbaciones se deben a cambios en la composición n de la componente R en el recipiente. 30

31 El objetivo del control es mantener la composición n de la componente C tan próxima como sea posible al valor de diseño o en estado estacionario, a pesar del hecho que ingresen perturbaciones al sistema. Este objetivo se alcanza mediante la medición n de la composición n real de C utilizando la diferencia entre el valor deseado y el valor medido para manipular el caudal de entrada Q de la componente A. Douglas desarrolló la siguiente función n de transferencia para el reactor con un sistema de control proporcional: 31

32 Kc es la ganancia del controlador proporcional. Este sistema de control es estable para valores de Kc que suministran raíces de la función n de transferencia con parte real negativa. Utilizando el método m de Newton-Raphson con división sintética tica o el método m de los autovalores, determine las raíces de la función n de transferencia para un rango de valores de Kc y calcule el valor crítico de Kc por encima del cual el sistema se vuelve inestable. Escribir el programa de manera que pueda utilizarse para resolver polinomios de grado n o funciones de transferencia del tipo mostrado en la Ecuación n anterior. 32

33 Obsérvese lo siguiente: 33

34 Algoritmo de la División n Sintética tica 34

35 Método de los Autovalores 35

36 Vector of coefficients of the numerator polynomial = [2.98, 6.705] Vector of coefficients of the denominator polynomial = [1, 11.5, 47.49, , ] Lower limit of the range of search = 0 Upper limit of the range of search = ) Newton-Raphson with synthetic division 2 ) Eigenvalue method Method of root finding = 1 36

37 Kc = Roots = Kc = Roots = i i 5.701i Kc = Roots = i i Kc = Roots = i i Kc = Roots = i i 5.445i 37

38 Kc = Roots = i i Kc = Roots = i i Kc = Roots = i i Kc = Roots = i i Kc = Roots = i i 38

39 Kc = Roots = i i Kc = Roots = i i 5.166i Kc = Roots = e i e i 5.167i Kc = Roots = i i 5.167i Kc = Roots = i i 5.167i 39

40 Kc = Roots = e i 3.438e i 5.167i Kc = Roots = e i e i Kc = Roots = e i 1.412e i 5.167i Kc = Roots = e i 3.985e i 40