Capítulo 7. Subterráneo

Transcripción

1 Capítulo 7 Solución n Numérica de la Ecuación n de Flujo Subterráneo Teoría a de Flujo Subterráneo Semestre Alberto Rosas Medina 1

2 Índice Polinomios de Lagrange Diferencias Finitas en una Dimensión Diferencias Finitas en dos Dimensiones 2

3 Teoría a de Aproximación Polinomial Motivación El punto de partida es la definición n de un polinomio. Un polinomio es un expresión n matemática tica que consiste de una suma de potencias en una o más m s variables cada una multiplicada por un coeficiente. Ejemplo, un polinomio de una variable. Polinomio de dos variables 3

4 Interpolación polinomial Suponga que se dan n+1 puntos como donde son las absicas de los puntos (de la malla) con separación n arbitraría. a. Entonces el polinomio de orden n que pasa por los n+1 puntos puede escribirse como una serie de potencias 4

5 El ajuste de serie de potencias a los n+1 puntos da un sistema de ecuaciones Aunque los coeficientes a i pueden determinarse resolviendo el sistema de ecuaciones. No es factible debido a que primero se necesita un programa para resolver ecuaciones lineales y segundo por que el orden de los polinomios puede ser tan grande que induzca errores de redondeo. 5

6 Polinomios de Lagrange Los polinomios de Lagrange de mayor interés s son los de primero, segundo y tercero orden. Ejemplo de Polinomio lineal Supóngase que se tiene solo dos puntos en la malla, entonces la manera más m s sencilla de ajustar un polinomio es utilizando polinomios lineales, es decir, 6

7 Datos propuesta de funciones lineales Entonces se necesita plantear un polinomio lineal que será el que ajuste los dos puntos utilizando y 7

8 Polinomio lineal Entonces el polinomio lineal es Equivalente a la ecuación n de la recta dados 2 puntos. 8

9 Polinomio de Orden n Para ilustrar la aproximación n con polinomios de orden n. se considera n=2. Se tienen 3 puntos x 0, x 1, x 2. Se necesita tres polinomios de orden 2. 9

10 Entonces el polinomio que se ajusta a los tres datos es 10

11 Entonces de manera general se tiene De manera abreviada es Por lo tanto el polinomio de ajuste es 11

12 Un punto importante a considerar es el error de aproximación, es decir, se tiene que Donde es el polinomio de aproximación 12

13 Método de Diferencias Finitas El método m de diferencias fintas representa derivadas continuas para una ecuación n diferencial parcial con expresiones envolviendo la evaluación n de la función desconocida en puntos discretos. La consecuencia natural de esta acción n es la transformación n de un problema envolviendo derivadas clásicas a uno envolviendo ecuaciones algebraicas. 13

14 El primer paso es representar f(x) ) usando y derivando esta expresión n para aproximar la derivada Se deriva el polinomio de aproximación La derivada es solo en el polinomio, n es el grado del polinomio de Lagrange.. El término t f(x j ) es el valor especifico de f(x)en el punto x j. 14

15 Si se considera un polinomio de orden n=2 y j=o para esta expresión Se obtiene 15

16 Al hacer la derivada se obtiene Si se considera el punto x j, se obtiene Usando similarmente para j=1,2 se tiene 16

17 El siguiente paso es saber donde se quiere la derivada evaluada, sea x=x 0, entonces se tiene Entonces la derivada de la función f en x 0 está dada por Donde el error es proporcional al cuadrado de. 17

18 El procedimiento anterior se hace de manera semejante para x 1 y x 2. Lo importante es notar el resultado para x 1. Entonces evaluando x 1 en Se obtiene 18

19 Simplificando la ecuación n anterior se obtiene Nótese que en esta aproximación n la información n la información n en el nodo en el cual se está aproximando no aparece en la fórmula. f 19

20 Para encontrar la derivada de segundo orden Si se considera j=0, y teniendo en cuenta que n=2 20

21 Desarrollando para j=1,2 Un punto importante a notar es que la segunda derivada en el punto x 1 tiene un error de aproximación n cuadrático. Esto es derivando 2 veces y evaluando x 1 en la siguiente expresión n se obtiene el orden del error. Cosa que no pasa con x 0 y x 2 21

22 Si se consideran polinomios lineales esto es Se obtiene la primera derivada 22

23 Si se evalúa a en x=x 0 se obtiene Nótese que debido a que se usaron sólo s dos nodos, el error de truncamiento es y es mayor que. 23

24 Para finalizar se plantea una manera que facilita las expresiones de ecuaciones en diferencias finitas. Ejemplo 24

25 Representación n de la Ecuación n de Flujo Subterráneo con Diferencias Finitas Ecuación n de flujo en un medio poroso saturado Usando la notación n de la tabla anterior se tiene Donde 25

26 Expandiendo y se define h ik =h(x i, t k ) se tiene Asociado a esta fórmula f podemos resolver para h(x i, t k+1 Véase la siguiente figura +1 ) 26

27 Esquema computacional de Diferencias finitas. Para hallar el valor un valor desconocido al tiempo k+1 27

28 Comparación n de las ecuaciones El término t A corresponde al espacio en el nivel de tiempo k, y el término t B es la derivada en tiempo y está en diferencia hacía a adelante (forward( forward), está localizado en i,k y es proyectadoal nivel de tiempo k+1 28

29 Si se considera un tiempo inicial k=0, entonces en la ecuación n se modifican los subíndices y se tiene Es decir, el sistema se resolverá para k+1 29

30 Problema bien planteado Para resolver el sistema de ecuaciones se necesita que el problema este bien planteado, es decir, que tenga condiciones de iniciales y de frontera y la solución dependa continuamente de estas y sea única. Condiciones de Frontera Dirichlet h(z,t)=f 1 (t), z =0,L En términos t de diferencias finitas h(z i,t)= )=h i i=0 y L 30

31 Condiciones Neumann: : condiciones de flujo Teniendo presente que Entonces se tiene que La representación n de derivadas en los nodos finales puede puede emplearse para diferencias centradas forward y backward 31

32 Condiciones Robin Simplificado se tiene La ecuación n anterior describe la salida o escape en un acuífero cuando k es considerado como el coeficiente de salida, h 0 (z) es el valor de la carga en el exterior, y h(z,t) ) es la carga en el acuífero. 32

33 Sistema de ecuaciones de las diferencias finitas Del sistema discretizado Se puede escribir de manera abreviada como Donde f son las condiciones de frontera, estas modifican la matriz K en el primer y último renglón. n. 33

34 De manera general K está dada por Y la matriz S por 34

35 Se tiene que resolver el siguiente sistema de ecuaciones Se factoriza el término t h k+1 y se tiene Sea entonces se tiene Y se resuelve el sistema por un método m efectivo excepto hallando c

36 Método de Diferencias Finitas en dos Dimensiones Se extiende el problema a dos dimensiones, para ello considérese la ecuación Tal que Reescribiendo la ecuación n del operador se tiene 36

37 La aproximación n del operador en diferencias finitas es Donde Considere que el coeficiente de trasmisividad es menor en xy entonces se anula el tercer sumando de la ecuación 37

38 El esquema de discretización es 38

39 39

40 Ejemplo de la ecuación n de flujo en dos dimensiones Para el caso de un acuífero isotrópico y homogenero: Es decir: Considerando el estado estacionario: Lo que es igual a: 40

41 El método m de diferencias finitas En este método, m el valor de la función n desconocida en cada nodo es aproximada por su desarrollo en series de Taylor Esta ecuación n se aplica en cada nodo incógnita 41

42 Obtenemos un sistema Ax=b, de n ecuaciones con n incógnitas x y una matriz A como la siguiente: Donde el vector b contiene a las condiciones de frontera y no todas sus entradas son cero. Resolviendo el sistema obtenemos los valores de la función n buscada que es solución n de la ecuación n diferencial parcial 42

43 Experimento 1 Se tiene una porción n de un acuífero confinado, homogéneo e isotrópico pico,, en el estado estacionario. Se quiere conocer la distribución n de la carga hidráulica h en toda la región. Esta se encuentra limitada por un rectángulo como el siguiente: lo que nos da las condiciones ciones de frontera condiciones de Dirichlet 43

44 Gráfica de la solución n del experimento 1 Longitud de los lados: XL=YL=100L. La malla tiene 35x35 rectángulos y 36x36 nodos. Solución n analítica: 44

45 Experimento 2 Tenemos un acuífero como el del caso anterior. Las condiciones de frontera en el problema se modifican de la siguiente manera: Y en uno de los lados tenemos una condición n de Neumann 45

46 Solución n experimento 2 Longitud de los lados: XL=4L YL=3L. La malla tiene 35x35 rectángulos y 36x36 nodos. Solución n analítica es igual que en el caso anterior. 46

47 Experimento 3 Condiciones de frontera: 47

48 Experimento 4 Tenemos el cuadrado unitario en cuyo centro está ubicado el punto (1/2,1/2). Esto representa una isla con un pozo en su centro. El movimiento del agua que circula por debajo de esta región n está gobernado por la misma ecuación 48

49 Sabemos que: Sustituyendo la velocidad de Darcy,, y el area de la superficie del cilindro Despejando E integrando Esta ultima igualdad es solución n de la ecuación n diferencial parcial que gobierna el fenómeno, así: 49

50 Nuestra condición n de frontera es la siguiente: Así Donde: Esta solución n esta compuesta por dos funciones, una de ellas no está determinada, y es precisamente la que encontraremos con el algoritmo desarrollado 50

51 Solución Esta es la gráfica de: Aquí vemos la gráfica encontrada: 51

52 Y finalmente la suma de las dos anteriores es la solución n al problema planteado 52

53 Aproximación n en series de Taylor 53

54 54

55 Diferencias progresivas 55

56 Diferencias progresivas 56

57 Diferencias progresivas 57

58 Diferencias Regresivas 58

59 Diferencias Centrales 59

60 Diferencias Centrales 60

61 61

62 Resumen 62

63 Bibliografía Referencia Principal, George F. Pinder y Michael A. Celia, Subsurface Hydrology, Jhon wiley & Sons,, Inc., Hoboken New Jersey,, 2006 Desarrollo de un algoritmo para evaluar el suministro de agua subterranea Nora Isabel Pérez P Quezadas. Tesis de Lic. en Matemáticas, ticas, Facultad de Matemáticas. ticas. UV. México M ://mmc2.igeofcu.unam.mx/norapeq/ 63