MA1018: MATEMÁTICAS II

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1 MA1018: MATEMÁTICAS II Departamento académico que la ofrece: Matemáticas C - L - U: Programas académicos en los que se imparte: 2 LAE11, 2 LEM11, 2 LCDE11, 2 LIN11, 2 LCPF11, 2 LLN11, 2 LAC11, 2 LMC11, 2 LAS11, 2 LATI11, 2 LDN11, 2 LAE16 Requisitos: ( Haber aprobado MA1016 ) Intención del curso en el contexto general del plan de estudios: Es un curso básico en el área de estudio de las Matemáticas, que busca desarrollar en el alumno las capacidades de análisis, reflexión y abstracción a través de la modelación y resolución de problemas de las áreas de negocios que requieran la aplicación del cálculo integral de funciones de una variable, del cálculo diferencial de funciones de varias variables y del álgebra matricial, de tal manera que estas herramientas le permitan formular estrategias de negocios y fundamentar cuantitativamente el proceso de toma de decisiones. Requiere conocimientos previos de Aritmética, Algebra elemental, comportamiento gráfico de funciones y Cálculo diferencial en una variable. Como resultado del aprendizaje se espera que el alumno mediante el uso adecuado del lenguaje matemático y de los contenidos del curso, resuelva problemas de mediana complejidad, interprete los resultados obtenidos y los exprese en forma oral y escrita. Objetivo general de la materia: Al finalizar el curso el alumno será capaz de: - Resolver problemas básicos de optimización, con y sin restricciones, mediante el uso del cálculo diferencial de funciones de varias variables. - Resolver problemas que involucran ecuaciones diferenciales de variables separables utilizando las herramientas básicas del cálculo integral en una variable. - Obtener el cambio acumulado de una cantidad y aplicar las herramientas del álgebra matricial para resolver problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales. Para ello se consideran los siguientes contenidos: cálculo diferencial, optimización, integrales, matrices determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Temas y subtemas del curso: 1. La integral. 1.1 Anti derivadas de funciones básicas. 1.2 Integración por regla de la cadena y por sustitución. 1.3 Método de integración por partes. 1.4 Ecuaciones diferenciales de variables separables. 1.5 Aplicaciones de la integral en los negocios. 2. La integral definida.

2 2.1 Aproximación de la integral definida mediante sumas de Riemann. 2.2 La integral definida y sus propiedades. 2.3 Teorema fundamental del cálculo. 2.4 Aplicaciones de la integral definida: área, cambio total y valor promedio. 2.5 Integral impropia. 3. Funciones de varias variables. 3.1 Definición de función de varias variables y sus aplicaciones. 3.2 Derivadas parciales y su interpretación práctica. 3.3 Derivadas de orden superior. 3.4 Máximos y mínimos relativos de funciones de dos variables. 3.5 Uso del criterio de la segunda derivada para resolver problemas de optimización aplicados al área de negocios. 3.6 Optimización de funciones con restricciones usando multiplicadores de Lagrange. 3.7 Uso de los multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de optimización con restricciones. 4. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. 4.1 Definición de matriz y algunos tipos especiales de matrices. 4.2 Operaciones con matrices: suma, multiplicación por escalar, multiplicación de matrices. 4.3 Determinante de una matriz. 4.4 Desarrollo por cofactores. 4.5 Solución de sistemas de ecuaciones lineales usando la matriz inversa. 4.6 Solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante la regla de Cramer. 4.7 Solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss. 4.8 Solución de problemas aplicados en el área de negocios que involucren sistemas de ecuaciones lineales. Objetivos específicos de aprendizaje por tema: 1. LA INTEGRAL 1.1. Antiderivadas y fórmulas de antiderivadas Comprender el concepto de antiderivada de una función Establecer y aplicar la fórmula para integrar funciones potencia x n Establecer y aplicar la fórmula para integrar la función exponencial e x Establecer y aplicar la fórmula para integrar la función exponencial a x Establecer y aplicar las propiedades: antiderivada de una suma de funciones y antiderivada de una constante por una función Integración por cambio de variable Establecer y aplicar la regla de la cadena para la antiderivada de una función compuesta Calcular integrales utilizando el método de cambio de variable o sustitución Método de Integración por partes.

3 Establecer y aplicar el método de integración por partes para calcular integrales Plantear y resolver problemas de oferta, demanda, población, costo, ingreso, producción, utilidad marginal, inversiones, etcétera, en donde se requiera utilizar los métodos de integración por cambio de variable y por partes Ecuaciones Diferenciales de Variables Separable Definir y comprender el concepto de ecuación diferencial Definir solución general y solución particular de una ecuación diferencial y comprender su diferencia Obtener la solución general de una ecuación diferencial de variables separables Obtener la solución particular de una ecuación diferencial con una condición inicial Establecer la ecuación diferencial de variables separables que modela un problema relacionado con el área de negocios y determinar su solución. 2. LA INTEGRAL DEFINIDA 2.1. Aproximación del cambio total de una función mediante sumas de Riemann Estimar el cambio total de una función a partir de la gráfica de su derivada Estimar el cambio total de una función a partir de una tabla de valores de su derivada Dada la derivada de una función aproximar su cambio total mediante la suma de Riemann La integral definida y sus propiedades Definir el concepto de integral definida Usar la notación sigma para abreviar las sumas de Riemann (izquierda y derecha) Encontrar un valor aproximado de integrales definidas utilizando la definición con un número finito de intervalos Usar una calculadora para obtener el valor de una integral mediante la definición y con un número de intervalos superiores a Reconocer las siguientes propiedades de la integral definida: Linealidad (Integral de una suma de funciones y de una constante por una función) Aditividad con respecto al intervalo (la suma de las integrales en los intervalos [a,c] y [c,b] es igual a la integral en el intervalo [a,b]) Antisimetría respecto al intervalo (la integral del valor a al valor b es igual al negativo de la integral del valor b al valor a) La integral en un punto (la integral en el intervalo [a, a] es cero) 2.3. Teorema Fundamental del Cálculo Establecer y comprender el Teorema Fundamental del Cálculo Utilizar el teorema fundamental del Cálculo para evaluar integrales definidas de funciones potencia, exponenciales y algebraicas La integral definida como área y como promedio.

4 Reconocer las condiciones que deben cumplirse para que la integral definida represente el área Interpretar la integral definida en términos de sumas y diferencias de áreas Obtener el área bajo una curva y el área entre curvas Calcular el cambio total de una función dada su derivada Encontrar el valor promedio de una función en un intervalo Utilizar la integral definida para resolver problemas aplicados en el área de negocios Integral impropia Calcular integrales impropias con al menos un límite infinito de integración, donde el integrando sea una función exponencial o potencia con exponente negativo Utilizar la integral impropia para resolver problemas aplicados en el área de negocios (valor presente, flujos continuos, etc.) 3. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 3.1. Definición de función de varias variables y sus aplicaciones Describir el espacio coordenado tridimensional Definir el concepto de función de dos, tres o n-variables Definir y obtener el dominio de una función de dos variables Encontrar el valor de una función de varias variables en un punto Aplicar las funciones de varias variables en la solución de problemas del área de negocios 3.2. Derivadas parciales y su interpretación práctica Definir el concepto de derivada parcial de una función de dos o tres variables Encontrar las derivadas parciales de una función con respecto a cada una de sus variables independientes Describir verbalmente el significado de las primeras derivadas parciales de una función Utilizar derivadas parciales para resolver problemas aplicados en el área de negocios 3.3. Derivadas parciales de orden superior Encontrar derivadas parciales de orden superior y derivadas mixtas de una función de dos o tres variables independientes Máximos y mínimos relativos de funciones de dos variables Definir punto crítico de una función de dos o tres variables independientes Determinar los puntos críticos de una función de dos o tres variables independientes Definir el concepto de extremo local para una función de dos o tres variables independientes Uso del criterio de la segunda derivada para resolver problemas de optimización Establecer y utilizar el criterio de la segunda derivada para clasificar los puntos críticos de funciones de dos variables independientes Utilizar el criterio de la segunda derivada para resolver problemas de optimización en el área de negocios, en donde la función a optimizar requiera ser planteada.

5 3.6. Optimización de funciones con restricciones usando Multiplicadores de Lagrange Establecer el método de multiplicadores de Lagrange para obtener puntos críticos de una función de dos variables independientes sujeta a una restricción Utilizar el método de multiplicadores de Lagrange, para encontrar puntos críticos de una función de dos o tres variables independientes con una o dos restricciones Utilizar el método de multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de optimización del área de negocios, en donde la función a optimizar y/o la restricción requiera ser planteada. 4. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 4.1. Definición de Matriz y algunos tipos especiales de Matrices Destacar la importancia de la representación matricial para el manejo de datos, a través del análisis de situaciones reales Establecer la definición de matriz Definir y obtener el orden de una matriz Definir y obtener la diagonal principal de una matriz Definir y reconocer los siguientes tipos especiales de matrices: Matriz renglón (vector renglón), Matriz columna (vector columna), Matriz cuadrada, Matriz identidad, Matriz nula, Matriz reducida (o escalonada) Operaciones con matrices: suma, multiplicación por un escalar y multiplicación de matrices Definir y efectuar operaciones básicas de matrices: suma de matrices, multiplicación de matrices, multiplicación de una matriz por un escalar y transposición de una matriz Resolver problemas aplicados al área de negocios en donde se utilicen las operaciones con matrices Utilizar calculadora o el paquete Excel para resolver problemas del área de negocios que involucren operaciones con matrices Determinante de una matriz Definir el determinante de una matriz de orden 2 ó Obtener determinantes de matrices de orden 2 ó Utilizar el paquete Excel o calculadora para encontrar el determinante de una matriz de cualquier orden Solución de sistemas de ecuaciones lineales usando la Matriz inversa Dado un sistema de ecuaciones reconocer si es lineal o no lo es Representar un sistema de ecuaciones lineales mediante notación matricial Definir la inversa de una matriz Obtener la inversa de una matriz Utilizar el método de la matriz inversa para resolver sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas Utilizar el método de la matriz inversa y la calculadora o el paquete Excel para resolver sistemas de ecuaciones lineales de orden n.

6 4.5. Solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante la Regla de Cramer Establecer y utilizar la regla de Cramer para resolver sistemas de dos y tres ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas Solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el Método de eliminación Gauss Definir matriz aumentada (o ampliada) Definir las operaciones elementales de renglón Establecer y utilizar el método de eliminación de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales con diferente número de incógnitas y ecuaciones Determinar cuándo un sistema de ecuaciones lineales es consistente ó inconsistente Solución de problemas aplicados en el área de negocios que involucren sistemas de ecuaciones lineales Dado un problema en el área de negocios que involucre sistemas de ecuaciones lineales, establecer el modelo matemático que lo representa, resolverlo e interpretar las implicaciones de los resultados. Tiempo estimado por tema. Tema 1. Tema 2. Tema 3. Tema 4. Exámenes Total 12 horas 11 horas 11 horas 11 horas 3 horas 48 horas Evaluación: Para la evaluación del curso se seguirán los porcentajes de la tabla siguiente. Evaluación del curso Primer registro 30% Segundo registro 30% Tercer periodo 40%

7 Evaluación del primer registro Primer examen de este registro 35% Segundo examen de este registro 35% Tareas 10% Retos 15% Quiz 5% Evaluación del segundo registro Primer examen de este registro 35% Segundo examen de este registro 35% Tareas 10% Retos 15% Quiz 5% Evaluación del tercer periodo Examen final del curso 80% Tareas 10% Quizes 10%