Diferenciación numérica: Método de Euler implícito Métodos tipo Runge-Kutta

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1 Clase No. 24: Diferenciación numérica: Método de Euler implícito Métodos tipo Runge-Kutta MAT 251 Dr. Alonso Ramírez Manzanares CIMAT A.C. cimat.mx web: Dr. Joaquín Peña Acevedo CIMAT A.C. cimat.mx Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

2 Estabilidad del método de Euler Para el PVI dy dx = λy y(0) = y 0 donde λ C, tenemos que es estable si Re(λ) 0. Este caso lim y y(x) = 0. Para el método de Euler, y k+1 = (1 + hλ) k y 0 tenemos que es numéricamente estable si Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

3 Estabilidad del método de Euler Para el PVI dy dx = λy y(0) = y 0 donde λ C, tenemos que es estable si Re(λ) 0. Este caso lim y y(x) = 0. Para el método de Euler, y k+1 = (1 + hλ) k y 0 tenemos que es numéricamente estable si y k+1 = y k + hλy k = 1 + hλ 1. c( 1.25, 1.25) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

4 Ejemplos (I) Ejemplo 1. Para el PVI dy dx = 5y y(0) = 1 se tienen los siguientes resultados c(min(vs, vy), max(vs, vy)) c(min(vs, vy), max(vs, vy)) h = c(0, 0.41 vx[n + 1]) h = c(0, 0.39 vx[n + 1]) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

5 Ejemplos (II) Se puede ver que la solución es estable para h < 0.4. c(min(vs, vy), max(vs, vy)) h = 0.1 c(0, vx[n + 1]) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

6 Ejemplos (III) Ejemplo 2. Para el PVI dy dx = y y(0) = y 0 Para h = 0.1 construimos la soluciones para y 0 = 1 y ŷ 0 = 1.1, y se muestran los resultados obtenidos: c(min(vy1, vy2), max(vy1, vy2)) vy1 vy y k c(0, yvx[n ŷ+ k 1]) ŷ k vx y k Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

7 Ejemplos (IV) vy1[ii] vy2[ii] ŷ k vx[ii] y k Se puede determinar h a partir de que se tiene que cumplir que para k = 1,..., n. 1 + hλ k y 0 ŷ 0 ε Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

8 Estabilidad del método trapezoidal (I) Analizamos la estabilidad del método y k+1 = y k + h 2 [f (x k, y k ) + f (x k+1, y k+1 )] con el PVI dy dx = λy y(0) = y 0 y k+1 = y k + h 2 [λy k + λy k+1 ] = 1 h2 λ y k+1 = 1 + h2 λ y k y k+1 = 1 h2 λ h2 λ k+1 y 0 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

9 Estabilidad del método trapezoidal (II) De donde, el método es estable si 1 h2 1 λ 1 + h 2 λ h 2 λ 1 h 2 λ c( 1.25, 1.25) La región de estabilidad es el semiplano negativo Re(λ) < c( 2.5, 1) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

10 Método de Euler implícito (I) Desde el punto de vista de integración, y(x k+1 ) = y(x k ) + xk+1 x k f (x, y) dx, podemos aproximar la integral usando ahora el rectángulo con altura f (x k+1, y k+1 ), y obtenemos el método de Euler implícito: y k+1 = y k + hf (x k+1, y k+1 ) Para analizar la estabilidad del método, consideramos el PVI dy dx = λy y(0) = y 0 tenemos que y k+1 = y k + hλy k+1, es decir y k+1 = 1 1 hλ y k = 1 (1 hλ) k+1 y 0 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

11 Método de Euler implícito (II) La solución es estable para hλ = 1 1 hλ c( 1.5, 1.5) c( 1, 2.5) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

12 Un resultado (I) Proposición Supongamos que para i = 0, 1,..., n 1, los números E i satisfacen E i+1 A E i + B, para algunas constantes A y B, con A = 1. Entonces E i A i E 0 + Ai 1 B i = 1,..., n. A 1 Demostración por inducción: Para i = 1 se cumple Supongamos que se cumple E 1 A E 0 + B = a E 0 + A 1 A 1 B. E i A i E 0 + Ai 1 B i = 1,..., k. A 1 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

13 Un resultado (II) Entonces E k+1 A E k + B A A k E 0 + Ak 1 A 1 B + B = A k+1 E 0 + Ak+1 1 A 1 B Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

14 Convergencia de los métodos Considere el PVI y = f (x, y), x [a, b] y(a) = y 0. Generamos una discretización uniforme: a = x 0 < x 1 < < x n = b, h = x i+1 x i. Aplicamos un método para calcular los valores y k,h de la solución numérica en los nodos x k. Definición Un método de solución es convergente si la solución numérica aproxima a la solución analítica del PVI. Es decir, max k y k,h y(x k ) 0 si h 0. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

15 Convergencia del método de Euler (I) Proposición Supongamos que el PVI y = f (x, y), x [a, b] y(a) = y 0, tiene solución única, que las funciones y y y son continuas y que existen constantes L y M tales que f (x, y) es Lipschitz en y con constante L, y (x) M x [a, b]. Entonces el método de Euler es convergente. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

16 Convergencia del método de Euler (II) Sean {y k } los valores en los nodos de una discretización uniforme de tamaño h, calculados mediante el método de Euler. Definimos E k = y(x k ) y k. E k+1 = y(x k+1 ) y k+1 = y(x k) + hy (x k ) + h2 2 y (ξ) y k hf (x k, y k ) = [y(x k) y k ] + h[f (x k, y(x k )) f (x k, y k )] + h2 2 y (ξ) E k + hl y(x k ) y k + h2 2 M = (1 + hl) E k + h2 2 M Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

17 Convergencia del método de Euler (III) Por la proposición anterior, tenemos E k (1 + hl) k E 0 + (1 + hl)k 1 h 2 hl 2 M = (1 + hl)k 1 Mh. 2L Por tanto, se debe tener que E k 0 si h 0, para todo k, es decir, el método de Euler es convergente. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

18 Consistencia de métodos de 1 paso (I) Tenemos el PVI y = f (x, y), y(a) = y 0. Queremos resolverlo con un método de un paso. La forma general de éstos es y k+1 = y k + hϕ(h, x k, y k, y k+1 ) donde ϕ es una función que depende de f. Para el método de Euler, ϕ = f (x k, y k ). En el método trapezoidal, ϕ = 1 2 [f (x k, y k ) + f (x k+1, y k+1 )]. En general, si ϕ = ϕ(h, x k, y k ), el método es explícito. En cualquier otro caso, el método es implícito. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

19 Consistencia de métodos de 1 paso (II) Si se sustituye en el esquema de solución el valor de la solución analítica del problema se tiene un error ε k+1 : El error lo expresamos como y(x k+1 ) = y(x k ) + hϕ(h, x k, y(x k ), y(x k+1 ) ) + ε k+1 ε k+1 = hτ k+1 (h), donde τ k+1 (h) se llama el error de truncamiento local en el nodo k + 1. El error de truncamiento global es τ(h) = max τ k+1 (h). k Si lim h 0 τ(h) = 0, se dice que el método numérico es consistente. Decimos que el método de solución es convergente si para cualquier PVI, con una función f que es Lipschitz, se tiene que lim max ε k (h) = 0. h 0 k Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

20 Consistencia de métodos de 1 paso (III) Para el método de Euler: ε k+1 (h) = y(x k+1 ) y(x k ) hf (x k, y(x k )) = y(x k+1 ) y(x k ) hy (x k ) Si = y(x k ) + hy (x k ) + h2 2 y (ξ) y(x k ) hy (x k ) = h2 2 y (ξ). y es acotada por M en todo el intervalo, entonces Definición ε k+1 (h) = h2 2 y (ξ) h2 2 M = O(h2 ) Un método de solución es consistente con la ecuación diferencial si el error de truncamiento tiende a cero cuando el tamaño de paso h tiende a cero. Como h2 M 0 si h 0, el método de Euler es consistente de orden 1. 2 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

21 Consistencia y convergencia (I) Consistencia no implica convergencia. Para ver esto, consideremos el PVI y = f (x, y) y(x 0 ) = y 0 y lo queremos resolver numéricamente mediante Note que y i+1 = 3 2 y i + 3y i y i 2 + 3hf (x, y i ) 2y(x + h) = 2y(x) +2hy (x) +h 2 y (x) + h3 3 y(3) (x) +O(h 4 ) 6y(x h) = 6y(x) +6hy (x) 3h 2 y (x) +h 3 y (3) (x) +O(h 4 ) y(x 2h) = y(x) 2hy (x) +2h 2 y (x) 4h3 3 y(3) (x) +O(h 4 ) 3y(x) = 3y(x) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

22 Consistencia y convergencia (II) Sumando las ecuaciones 2y(x + h) + 3y(x) 6y(x h) + y(x 2h) = 6hy (x) + O(h 4 ) 2y(x + h) + 3y(x) 6y(x h) + y(x 2h) = y (x) + O(h 3 ) 6h Así, la expresión de la izquierda converge a y de orden h 3. Ese es el error de truncamiento. y(x + h) 3 2 y(x) + 3y(x h) 1 2 y(x 2h) + 3hy (x). Se tiene que el método es consistente y que tiene un orden mayor que el método de Euler. Vamos a aplicarlo a un caso particular. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

23 Consistencia y convergencia (III) Ejemplo. Si y = f (x, y) = 2x(1 + y 2 ) y(0) = 0 La solución del problema es y(x) = tan(x 2 ). Aplicando el método de Euler y el esquema propuesto se obtiene lo siguiente: Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

24 Consistencia y convergencia (IV) c(0, max(vs)) c(0, max(vs)) c(0, h * n) n = 60, h = 0.02 c(0, h * n) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

25 Consistencia y convergencia (V) c(0, max(vs)) c(0, max(vs)) c(0, h * n) n = 120, h = 0.01 c(0, h * n) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

26 Métodos de Runge-Kutta Los métodos tipo Runge-Kutta tratan de imitar a los métodos basados en series de Taylor, que tienen la desventaja de requerir el cálculo de derivadas de orden superior (y, y,...). Los métodos tipo Runge-Kutta sólo usan la función f del PVI. El desarrollo de Taylor para f (x, y) es donde 1 f (x + h, y + l) = h i! x + l i f (x, y) y i=0 h x + l 0 f = f y h x + l 1 f = h f y x + l f y h x + l 2 f = h 2 2 f y x 2 + 2hl 2 f x y + 2 f l2 y 2 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

27 Método de Runge-Kutta de 2o. orden (I) Este método requiere la evaluación de dos funciones K 1 = f (x, y) K 2 = f (x + αh, y + βhk 1 ) para calcular el valor de y en x + h mediante una combinación lineal de estos valores: y(x + h) = y(x) + hw 1 K 1 + hw 2 K 2. El objetivo es determinar los valores de α, β, w 1, w 2 que hacen que la ecuación anterior se cumpla de la manera más precisa posible. Reescribiendo la expresión anterior: y(x + h) = y(x) + w 1 hf (x, y) + w 2 hf (x + αh, y + βhf (x, y)) Tenemos que Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

28 Método de Runge-Kutta de 2o. orden (II) f (x + αh, y + βhf (x, y)) = f (x, y) + αhf x + βhf f y αh x + βhf 2 f y Entonces y(x + h) = y + (w 1 + w 2 )hf + αw 2 h 2 f x + βw 2 h 2 f f y + O(h 3 ) Por otra parte, como y = dy dx = df (x,y) dx = f x + f y y = f x + f f y, entonces y(x + h) = y(x) + hy (x) h2 y (x) + O(h 3 ) = y + hf h2 (f x + f f y ) + O(h 3 ). Comparando las expresiones, debemos tener que Una solución puede ser w 1 + w 2 = 1, αw 2 = 1 2, βw 2 = 1 2 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

29 Método de Runge-Kutta de 2o. orden (III) w 1 = 1 2, w 2 = 1, α = 1, β = 1. 2 Entonces, el método de Runge-Kutta de segundo orden es donde y k+1 = y k + h 2 f (x k, y k ) + h 2 f (x k+1, y k + hf (x k, y k )) = y k + h 2 (K 1 + K 2 ) K 1 = f (x k, y k ) K 2 = f (x k + h, y k + hk 1 ) Así, hay que evaluar la función f dos veces en cada paso. Podemos escoger otros valores para los coeficientes. Por ejemplo, α puede ser arbitrario, y en ese caso β = α, w 1 = 1 1 2α, w 2 = 1 2α. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

30 Método de Runge-Kutta de 2o. orden (IV) Se puede ver que el error del método de Runge-Kutta de orden 2 es h α x + f 2 f + h3 y 6 f y x + f f. y Podemos elegir α = 2/3. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

31 Método de Runge-Kutta de 4o. orden El método de cuarto orden es donde y k+1 = y k (K 1 + 2K 2 + 2K 3 + K 4 ) K 1 = h f (x, y) K 2 = h f (x + h/2, y + K 1 /2) K 3 = h f (x + h/2, y + K 2 /2) K 4 = h f (x + h, y + K 3 ) Para obtener esta fórmula, hay que comparar con el desarrollo de Taylor de y(x + h) que incluye al término h 4. Así, se espera que el error sea O(h 5 ). Se consigue mayor precisión pero en cada paso hay que evaluar la función f cuatro veces. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

32 Ejemplo Consideremos el PVI y = 2 + (y x 1) 2, x(1) = 2. La solución analítica es y(x) = 1 + x + tan(x 1). Cada línea muestra la diferencia entre la solución analítica y la numérica, y(x k ) y k, donde y k es calculado usando R-K de orden 2 y R-K de orden 4. En este caso, n = 8. c(dmin, dmax) 4e 04 3e 04 2e 04 1e 04 0e+00 R K 2 R K c(a, b) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

33 Métodos explícitos de orden 2 (I) La forma general de estos métodos es y k+1 = y k + h(w 1 K 1 + w 2 K 2 ) donde K 1 = f (x k + c 1 h, y k ) K 2 = f (x k + c 2 h, y k + a 21 hk 1 ) Si tomamos w 1 = 0 w 2 = 1, c 2 = 1/2, a 21 = 1/2, se tiene el método de Euler modificado y k+1 = y k + h K 2 K 1 = f (x k, y k ) K 2 = f (x k + h/2, y k + K 1 /2) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

34 Regiones de estabilidad de métodos explícitos RK de orden 2 RK de orden 3 RK de orden 4 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34

35 Métodos implícitos tipo Runge-Kutta (I) y k+1 = y k + h(w 1 K 1 + w 2 K 2 ) K 1 = f (x k + c 1 h, y k + h(a 11 K 1 + a 12 K 2 )) K 2 = f (x k + c 2 h, y k + h(a 21 K 1 + a 22 K 2 )) Para obtener la fórmula hay que calcular el desarrollo de Taylor para K i, sustituir en el esquema de solución y comparar la expresión resultante con el desarrollo de Taylor de y(x k + h). Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 34