Método de potencia directo e inverso

Transcripción

1 Clase No. 12: Método de potencia directo e inverso MAT 251 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 20

2 Método de la potencia Este método puede encontrar el eigenvalor más grande en valor absoluto y su correspondiente eigenvector. El algoritmo es el siguiente: Método de la potencia Dado un vector inicial v 0 y fijando k = 0, repetimos hasta convergencia los siguientes pasos: y k+1 = Av k v k+1 = y k+1 / y k+1 λ k+1 = (v k+1 ) Av k+1 k = k + 1 El criterio de convergencia puede ser que λ k+1 λ k < tol. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 20

3 Ejemplo de los círculos de Gershgorin A = Calculando la intersección de los círculos C r definidos por los radios que dan las filas la matriz, y los círculos C c definidos por los radios que dan las columnas, tenemos C r C c σ(a) = {5, (1 ± 5 5)/2} {5, , }. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 20

4 Ejemplo A Usando la matriz A del ejemplo anterior e inicializando con v 0 = (1, 1, 1) se obtiene el valor en 103 iteraciones con Av λv λ Av λv Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 20

5 Ejemplo B A = λ Av λv λ = , Av λv en 15 iteraciones Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 20

6 Ejemplo C A = λ Av λv λ = 5.0, Av λv en 949 iteraciones Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 20

7 Comparación de los ejemplos B y C c( rmax 0.25, rmax ) c(dmin, dmax) c( rmax 0.25, rmax ) c(dmin, dmax) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 20

8 Ejemplo D (I) A = λ Av λv Av λv 5.56 en 100 iteraciones Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 20

9 Ejemplo D (II) c( rmax 0.25, rmax ) c(dmin, dmax) Ejemplo Eigenvalores B , , , , C , , , , D , , , , Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 20

10 Convergencia del método de la potencia (I) Supongamos que (λ i, v i es un eigenpar de A R n n con λ 1 > λ 2 λ 3 λ n. Dado x 0 R n, se debe tener que x 0 = n i=1 β iv i. Así A k x (0) = n β i λ k i v i. i=1 1 n λ k A k x (0) λ k i = β 1 v 1 + β i 1 i=2 λ k v i. 1 Como λ 1 > λ i para i = 2,..., n, tenemos que Entonces λ k i λ k 1 0 si k 1 λ k A k x (0) = β 1 v 1 + ε (k) con ε (k) 0 si k 1 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 20

11 Convergencia del método de la potencia (II) Sea u un vector tal que u v 1 = 0. Entonces u A k+1 x (0) u A k x (0) Pues que Av 1 = λ 1 v 1, entonces = λ k+1 1 (β 1 u v 1 + u ε (k+1) ) λ k 1 (β λ 1 si k 1u v 1 + u ε (k) ) λ 1 = v 1 Av 1 v 1 v, 1 una elección natural para el vector u es De esta forma tenemos que u = A k x (0) (A k x (0) ) A k+1 x (0) (y(k)) Ay(k) (y(k)) Ay(k) y (k) (A k x (0) ) A k = x (0) (y (k) ) y (k) = y (k) 2 = y (k) A y(k) y (k) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 20

12 Convergencia del método de la potencia (III) (A k x (0) ) A k+1 x (0) (A k x (0) ) A k = (v (k) ) Av (k) x (0) Las suposiciones importantes para que método converja son Hay un eigenvalor dominante, es decir, λ 1 > λ i para i = 2,..., n. El vector inicial x (0) no puede ser ortogonal a v 1. Hay que notar otro aspecto importante para el método de la potencia, que se ilustra en el siguiente ejemplo. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 20

13 Ejemplo E (I) A = λ Av λv Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 20

14 Ejemplo E (II) Av λv 1.1 en 1000 iteraciones Los eigenvalores del matriz anterior son , i, i, , c( rmax 0.25, rmax ) x x x x x c(dmin, dmax) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 20

15 Ejemplo F (I) A = λ Av λv Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 20

16 Ejemplo F (II) λ = , Av λv en 37 iteraciones Los eigenvalores del matriz anterior son , i, i , c( rmax 0.25, rmax ) x x x x x c(dmin, dmax) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 20

17 Observaciones (I) Si V = [ v 1 v 2 v n ] es la matriz que tiene por columnas los eigenvectores de A, y D = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ) la matriz diagonal con los eigenvalores de A, entonces AV = VD. Proposición Supongamos que (λ i, v i ) es un eigenpar de A, con v i = 1 y que λ 1 tiene multiplicidad 1. Si x es un vector tal que x v 1 = 1, entonces B = A λ 1 v 1 x tiene por eigenvalores 0, λ 2,..., λ n, y eigenvectores v 1, w 2,..., w n, donde para i = 2, 3,..., n. v i = (λ i λ 1 )w i + λ 1 (x w i )v 1 (λ i λ 1 )w i + λ 1 (x w i )v 1 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 20

18 Método de la potencia inversa (I) En lugar de aplicar las iteraciones a la matriz A, el método de la potencia inversa opera con la matriz (A σi) 1. El método converge al eigenvalor más cercano a σ. El algoritmo es el siguiente: Método de la potencia Dado un vector inicial x 0 y fijando k = 0, repetimos hasta convergencia los siguientes pasos: y k+1 = (A σi) 1 x k x k+1 = y k+1 / y k+1 λ k+1 = (x k+1 ) Ax k+1 k = k + 1 Es necesario calcular la inversa de A σi? Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 20

19 Convergencia del método de la potencia inversa El argumento es el mismo que el usado para el método de la potencia. Note que A σi tiene los mismos eigenvectores que A. Si λ i es un eigenvalor de A, entonces λ i σ es un eigenvalor de A σi. Los eigenvalores de (A σi) 1 son de la forma 1 λ i σ Eligiendo de manera apropiada σ podemos hacer que eigenvalor dominante. 1 λ i σ sea el Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 20

20 Ejemplo (I) A = C r C c Tomamos x 0 = (1, 1, 1). Para diferentes valores de σ se obtiene lo siguiente para una tolerancia 10 8 : σ es Valor al que converge Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 20