METODOS NUMERICOS TALLER 3, SEMESTRE

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1 y y METODOS NUMERICOS 67 TALLER SEMESTRE Tema: Método de Newton para resolver FX)= Métodos iterativos de Jacobi Gauss-Seidel y relajación Se recomienda realizar los ejercicios propuestos en el teto guía en particular los siguientes: Sección 66: 6- Sección : 7 8- Sección 7: Sección 7: - 8 Sección 7: -8 Considere los siguientes sistema de ecuaciones no lineales { y = { e + y = y = + + y = a) Teniendo en cuenta que las gráficas de las funciones para cada sistema están dadas por Cuántas soluciones tiene cada sistema? b) Escriba los sistemas no lineales en su forma vectorial es decir en forma FX) = Además escriba la ecuación de iteración del método de Newton para aproimar las solucionesxde los sitemasfx)= es decir X k+) =X k) JFX k) ) FX k) ) c) Obtener aproimaciones a cada una de las raices mediante el método de Newton tomando una aproimación inicial obtenida de la gráfica Realice solamente dos iteraciones Utilice el método de Newton para aproimar uno de los puntos críticos de la función Fy)= + y + con aproimación inicial p q )=) Realice solamente dos iteraciones [ ] Considere la matriz A = Demuestre que A no es estrictamente diagonal dominante pero que los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel para resolver cualquier sistema con matriz A convergen [ ] s Sea Bajo qué condiciones sobre s convergen las iteraciones de Jacobi y Gauss-Seidel? s Considere el sistema b con A no singular con diagonal no nula Deseamos resolver este sistema por un método iterativo ya sea Jacobi o Gauss-Seidel Suponga que DLU donde D es la matriz diagonal con la diagonal de A como diagonal L es el negativo de la parte estrictamente triangular inferior de A y U es el negativo de la parte estrictamente triangular superior de A

2 a) Qué condición sobre la matriz D L+U) garantiza la convergencia de uno de los dos métodos para cualquier vector inicial? Cuál es el método que tiene que ser convergente en este caso? b) Establezca condiciones que garantizan la convergencia del método de Gauss-Seidel para cualquier vector inicial c) Suponga que se sabe que la iteración de Gauss-Seidel converge para cualquier vector inicial pero la iteración de Jacobi no converge para cualquier vector inicial Puede ser A una matriz estrictamente diagonal dominante? 6 Considere el método iterativo k+ = T k + c para resolver el sistema b Si T = de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) T < T > y ρt)= b) T > T < y ρt)= c) T < T > y ρt)=ma { } d) T < T < y ρt)=ma { } 7 Considere el sistema de ecuaciones lineales b tal que: a) El polinomio característico de la matriz de iteración de Jacobi asociado al sistema es: pλ)= λ ) λ ) λ 7 ) 7 77 Qué puede decir sobre la convergencia del método de Jacobi? 7 8 cuál b) Si la matriz de iteración y el vector de términos independientes del método de Gauss-Seidel asociada al sistema son: 7 7 T g = y c g = 7 Qué puede decir sobre laconvergencia del método de Gauss-Seidel? Calcule la primera iteración tomando como vector inicial ) = 8 Considere el sistema de ecuaciones lineales b donde sabemos que el polinomio característico de A esta dado por pλ)=λ λ + 7λ 66λ + 6= λ 6 ) λ ) λ 66 ) λ 7 ) a) Qué puede decir sobre la convergencia del método de SOR? b) Qué puede decir sobre la convergencia del método de Gauss-Seidel? c) Qué puede decir sobre la convergencia del método de Jacobi? Ayuda: El espectro de T j es σt j )={876}

3 Considere un sistema de ecuaciones lineales b donde y b= Si las matrices de iteración del método de SOR asociadas al sistema con parámetros ω = 8 y son: T ω= = T ω=8 = T ω= = y sus respectivos espectros son: y c ω= = 7 8 y c ω=8 = y c ω= = σt ω= )={±i8±866i8} σt ω=8 )={7±7i68878±687i} σt ω= )={78668±86i} a) Qué puede decir sobre la convergencia del método de SOR? b) Teóricamente cuál de los convergentes) es más rápido? c) Obtenga la primera aproimación a la solución del sistema empleando el método de SOR sólo los convergentes) Tome como vector inicial ) = Calcule la norma del residual r = A apro b para cada una de las aproimaciones obtenidas en el item anterior Cuál es la mejor aproimación? Diga si la condición definida es verdadera o falsa En caso de ser falsa encuentre la forma de volverla verdadera a) Para < ω < el método de SOR converge para cualquier vector ) si la matriz A es simétrica definida positiva b) La condición de matriz A estrictamente diagonal dominante es definida como a ii > n j i a i j i c) El método de Jacobi converge si la matriz de iteración T j = D L+U) es estrictamente diagonal dominante d) Para que el método de Gauss-Seidel converja es necesario que el radio espectral de la matriz de iteración T g =DL) U sea menor que

4 e) En el método de Gauss-Seidel es suficiente que la matriz de iteración T g tenga una norma menor a para ser un método convergente Considere el sistema b donde y b= a) Eaminando la matriz A qué se puede concluir acerca de la convergencia de los métodos de Jacobi y Gaus- Seidel? b) Cuando se construye la matriz de iteración de Jacobi T j se obtiene el polinomio característico pλ)=λ + λ Si uno de los ceros del polinomio es λ = 877 qué se puede concluir acerca de la convergencia del método de Jacobi? c) Construya la matriz de iteración de Gauss-Seidel Es este método convergente a la solución del sistema dado? d) Ahora conoce la convergencia de los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel para el sistema dado Use las rutinas jacobim ygseidm para hallar las respectivas aproimaciones a la solución del sistema tomando como vector inicial = tolerancia? y una tolerancia para el error de e En que iteración se satisface la condición de la e) Considere la solución eacta del sistema que se obtiene con MATLAB mediante el comando e = A\b Calcule el error absoluto y relativo de cada una de las aproimaciones obtenidas con relación a la solución eacta Ayuda: Recuerde que el error absoluto y relativo estan dados por E abs = e apro E rel = e apro e donde apro es la aproimación de la solución Considere el sistema b donde Sea y b= a) Qué se puede afirmar acerca de la convergencia de los métodos de Jacobi y Gaus-Seidel? b) Con ayuda de MATLAB halle los valores propios de la matriz A Qué se puede concluir acerca de la convergencia del método SOR? c) Use las rutinas jacobim gseidm y sorm con parámetro ω = para aproimar la solución del sistema Tome como vector inicial = y considere una tolerancia para el error de e6 En que iteración se satisface la condición de la tolerancia? d) Calcule la norma del residual r= A apro b para cada una de las aproimaciones obtenidas en el item anterior Cuál es la mejor aproimación? e) Calcule el parámetro óptimo ω para el método de SOR Ejecute nuevamente la rutina de sorm con parámetro ω y compare la rapidez del método Ayuda: Recuerde que el parámetro óptimo ω para el método de SOR cuando A cumple con las hipótesis del teorema está dado por ω = + [ρt j )] [ f X) FX)= f X) ] = 7 8 [ + c + c ] [ = Las funciones f X) y f X) representan parábolas La solución del sistema no lineal es el punto de intercepción de las parábolas Si c= y encuentre las soluciones del sistema para cada valor de c usando la rutina de MATLAB newdimm Para ello elija un punto inicial desde la gráfica un delta y épsilon de e y un máimo de iteraciones de 7 ]

5 Considere la ecuación fy)= + y++y) a) Cuántos puntos críticos tiene la función dada? b) Aproime todos los puntos críticos de la función usando el método de Newton escogiendo aproimaciones iniciales apropiadas para satisfacer Se desea resolver el sistema no lineal X k+ X k < o FX k ) < f y)= + y = f y)=y= a) Determine cuántas soluciones tiene el sistema dado a partir de la construcción gráfica para el rectángulo R = [ ] [ ] b) Qué problemas podrian aparecer para encontrar una solución mediante el método de Newton? c) Resuelva el problema mediante el método de Newton con el vector inicial adecuado para una tolerancia del error menor a e 6 Utilice el método de Newton para aproimar las) soluciónes) del sistema cos = e ) sen = 7 Se desea utilizar los métodos de Jacobi Gauss-Seidel y SOR ω = ) para resolver sistemas b donde A las respectivas matrices de iteración las llamaremos T j T g y T ω a) Calcular T T T para T = T j T g y T ω b) Encuentre los polinomios característicos y los valores propios para T = T j T g y T ω 8 Aproime la solución del sistema b donde n n y b=a para n= empleando los métodos iterativos de Jacobi Gauss-Seidel y SOR con una tolerancia de 8 a) Qué cantidad de iteraciones fueron necesarias para que se cumpla la condición de tol = 8? b) Calcule la norma del error para cada aproimación obtenida c) Calcule la norma del residual para cada aproimación obtenida d) Que aproimación se acerca más a la solución del sistema? Sugerencia: eplore las instrucciones toeplitzv) para v R n onesn) y zerosn) para n N) Aproime la solución del sistema b por medio de los métodos iterativos de Jacobi Gauss-Seidel y SOR donde y b=a de matrices) gallery tridiag ) gallery poisson ) gallery dorr ) gallery lehmer ) Empleando la instrucción doc gallery en la línea de comandos podemos eplorar diferentes tipos n