Métodos en diferencias para problemas de contorno

Transcripción

1 Métodos numéricos de resolución de ecs. en derivadas parciales Curso Prácticas 1 y 2 Métodos en diferencias para problemas de contorno 1 Resultados sobre existencia de solución de un problema de contorno En esta primera parte, se van a resolver aproximadamente problemas de contorno lineales en ecuaciones diferenciales del tipo u (x) + p(x)u (x) + q(x)u(x) = r(x), x (a, b), (PC) a 0 u(a) a 1 u (a) = α, b 0 u(b) + b 1 u (b) = β, con a 0 + a 1 0, b 0 + b 1 0. Proposición 1 Si el problema de contorno lineal (PC) cumple que: 1. p(x), q(x) y r(x) son funciones continuas en [a, b], 2. q(x) 0 en [a, b], 3. a 0 + b 0 0; a 0 a 1 0 y b 0 b 1 0, entonces el (PC) tiene solución única. Proposición 2 (Principio del máximo) Se considera el siguiente problema de contorno lineal con condiciones de contorno de tipo Dirichlet { u (P CD) (x) + p(x)u (x) + q(x)u(x) = r(x), x (a, b), u(a) = α, u(b) = β, donde las funciones p(x), q(x) y r(x) son continuas en [a, b] y q(x) 0 en el intervalo [a, b]. Por la proposición anterior este problema tiene solución única, u(x). Si u(x) es una función no constante posee las siguientes propiedades: 1. Si r(x) 0 entonces u(x) no tiene ni máximos positivos ni mínimos negativos en (a, b). 2. Si r(x) q(x) 0 entonces u(x) no tiene ni máximos ni mínimos en (a, b). En adelante tomaremos una constante positiva M > 0 tal que p(x) M, en [a, b].

2 2 Algunos resultados sobre existencia y unicidad de sistemas de ecuaciones Definición Una matriz A n n es estrictamente diagonal dominante si a ii > n a ij, i = 1,..., n. j=1 j i Una matriz A n n es diagonal dominante si a ii n a ij, i = 1,..., n. (1) j=1 j i Proposición 3 Si A es estrictamente diagonal dominante, entonces es inversible. Por tanto, el sistema Au = b tiene solución única. Proposición 4 Sea A una matriz tridiagonal tal que a ii > 0, i = 1, 2,..., n, a i,i+1 < 0, i = 1, 2,..., n 1, a i+1,i < 0, i = 1, 2,..., n 1. Si la matriz A es diagonal dominante con la desigualdad (1) estricta al menos para una fila de la matriz, entonces A es inversible, luego el sistema Au = b tiene solución única.. 3 Diferencias finitas Se realiza una partición uniforme del intervalo [a, b] a = x 1 < x 2 < x 3 <... < x n < x n+1 = b, donde x i = a+(i 1) h, i = 1,..., n+1 son los nodos de la malla y h es el paso de discretización. Aplicando la ecuación diferencial del (PC) en los nodos interiores se obtienen las ecuaciones u (x i ) + p(x i )u (x i ) + q(x i )u(x i ) = r(x i ), i = 2,..., n. (2) Existen distintas formas de aproximar las derivadas de una función en un punto. Ejemplos de fórmulas para la primera y segunda derivada son las siguientes: u (x) u (x) u (x) u (x) u(x + h) 2u(x) + u(x h) h 2, (3) u(x + h) u(x h), 2h (4) u(x + h) u(x), h (5) u(x) u(x h). h (6)

3 Se denota por u i a la aproximación de la solución en el nodo x i. Entonces, al sustituir en cada punto interior de la malla x i la ecuación diferencial (2) por la ecuación discreta resultante de aproximar las derivadas por alguna de las fórmulas anteriores se obtiene (junto con las condiciones de contorno) un sistema de ecuaciones lineales tridiagonal. Definición Un esquema en diferencias finitas se dice que es convergente si [ ] max u(x i ) u i = 0, i lim h Método de diferencias centrales Consiste en utilizar las siguientes aproximaciones de las derivadas: u (x) u (x) u(x + h) 2u(x) + u(x h) h 2, u(x + h) u(x h). 2h Proposición 5 Supongamos que en el problema (PCD) las funciones p, q y r son continuas y que q(x) 0, en [a, b] Sea M como antes y supongamos que M h < 2. Entonces se cumplen las siguientes propiedades. 1. Si r(x) 0, la solución numérica obtenida por diferencias centrales o es constante o no puede alcanzar ni un máximo positivo ni un mínimo negativo en ningún nodo interior de la malla. 2. Si r(x) q(x) 0 entonces la solución numérica o es constante o no puede alcanzar ni máximos ni mínimos en el interior del dominio. 3. Supóngamos que u C 4 ([a, b]) es la solución del problema (PCD) y que existe w > 0 tal que q(x) w en [a, b]. Sea u i, i = 1,..., n+1 la solución numérica obtenida por el método de diferencias centrales. Entonces donde max i M 3 = max a x b u (x), u(x i ) u i C h2 12 (M 4 + 2MM 3 ), M 4 = max a x b uiv (x) C = max(1, 1/w). Las conclusiones 1. y 2. reciben el nombre de Principio del máximo discreto.

4 3.2 El método upwind La segunda derivada se aproxima como antes y la primera se aproxima en función del signo de p(x i ) u (x) u (x) u (x) u(x + h) 2u(x) + u(x h) h 2, u(x + h) u(x), h si p(x) < 0 u(x) u(x h), h si p(x) > 0. Proposición 6 Supongamos que en el problema (PCD) las funciones p, q y r son continuas y que q(x) 0, en [a, b] y sea M como antes. Entonces se cumplen las siguientes propiedades. 1. Si r(x) 0, la solución numérica obtenida por el método upwind o es constante o no puede alcanzar ni un máximo positivo ni un mínimo negativo en ningún nodo interior de la malla. 2. Si r(x) q(x) 0 entonces la solución numérica o es constante o no puede alcanzar ni máximos ni mínimos en el interior del dominio. 3. Supóngamos que u C 4 ([a, b]) es la solución del problema (PCD) y que existe w > 0 tal que q(x) w en [a, b]. Sea u i, i = 1,..., n + 1 la solución numérica obtenida por el método upwind. Entonces max i u(x i ) u i C h 12 (hm 4 + 6MM 2 ), donde M 2 = max a x b u (x), M 4 = max a x b uiv (x) C = max(1, 1/w). Las conclusiones 1. y 2. reciben de nuevo el nombre de Principio del máximo discreto.

5 4 Preliminares La notación que se va a usar es la siguiente: Extremos inferior y superior del intervalo de trabajo: a y b. Número de subintervalos de la malla: n. Paso de discretización h. u i es la aproximación numérica en el nodo i. Cuando discretices cualquier problema de la primera parte de la práctica vas a obtener un sistema tridiagonal de ecuaciones lineales. Tanto en el guión como en los ficheros escritos en MATLAB nos referiremos como: matriz(i, i) al elemento diagonal de la matriz correspondiente a la fila i o lo que es lo mismo el coeficiente de u i cuando se discretiza la ecuación diferencial en el nodo i. matriz(i, i + 1) es el elemento superdiagonal de la matriz correspondiente a la fila i o lo que es lo mismo el coeficiente de u i+1 cuando se discretiza la ecuación diferencial en el nodo i. matriz(i, i 1) es el elemento subdiagonal de la matriz correspondiente a a la fila i o lo que es lo mismo el coeficiente de u i 1 cuando se discretiza la ecuación diferencial en el nodo i. tind(i) es la componente i del vector de términos independientes del sistema. El esquema básico utilizado para resolver numéricamente los problemas de esta primera práctica contiene tres partes: Inicialización, donde se definen los parámetros del problema. Resolución, donde se define y se resuelve el sistema de ecuaciones. Resultados, donde se muestran las soluciones numéricas obtenidas. Importante. Los programas con los que se acompaña esta práctica están estructurados de forma que con muy pocos cambios vas a poder resolver cualquier problema de contorno lineal utilizando distintos esquemas. No te dediques exclusivamente a hacer los ejercicios que aquí se proponen. Llévate los ficheros MATLAB y haz los ejercicios y ejemplos que se vayan proponiendo en clase.

6 5 Ejercicios propuestos 5.1 Problema de difusión Se considera el problema: u (x) = e x, x (0, 2), (P1) u(0) = 1, u(2) = e Justifica que la única solución del problema (P1) es la función u(x) = e x. 2. Utiliza el método de diferencias finitas para discretizar el problema (P1) e indica cuáles de términos independientes. matriz(i, i 1) = matriz(i, i) = matriz(i, i + 1) = tind(i) = i = 2,..., n. matriz(1, 1) = tind(1) = matriz(n + 1, n + 1) = tind(n + 1) = 3. Estudia si el sistema anterior tiene solución única. 4. Edita el fichero edp1.m y observa lo siguiente: (a) Se definen: Extremos inferior y superior del intervalo de trabajo : a y b. Número de subintervalos de la malla: n. Paso de discretización: h. Coordenadas de cada uno de los nodos de la malla: x(i), i = 1,..., n + 1. Los coeficientes no nulos de la matriz del sistema: matriz(i, i 1), matriz(i, i), matriz(i, i + 1), i = 2,... n, matriz(1, 1) y matriz(n + 1, n + 1). (Compáralos con los obtenidos en el apartado (2)). El vector de términos independientes del sistema: tind(i), i = 1,..., n + 1. (Compáralo con el obtenido en el apartado (2)). (b) Se resuelve el sistema de ecuaciones. (c) Se calcula el error máximo y se dibuja tanto la solución numérica como la exacta.

7 5. Completa la siguiente tabla: n Error máximo 10 e 10 = e 20 = 40 e 40 = 80 e 80 = 160 e 160 = 6. Utilizando los resultados de la tabla anterior comprueba el orden del método. 5.2 Problema de reacción difusión Se considera el problema: u (x) + x 2 u(x) = x 6 + x 4 12x 2 2, x ( 1, 1), (P2) u( 1) = 2, u(1) = Justifica que la única solución del problema (P2) es la función u(x) = x 4 + x Utiliza el método de diferencias finitas para discretizar el problema (P2) e indica cuáles de términos independientes. matriz(i, i 1) = matriz(i, i) = matriz(i, i + 1) = tind(i) = i = 2,..., n. 3. Modifica el fichero edp1.m adecuadamente de forma que resuelva el problema (P2).

8 4. Completa la siguiente tabla: n Error máximo 10 e 10 = e 20 = 40 e 40 = 80 e 80 = 160 e 160 = 5.3 Problema de convección difusión. Se considera el problema: 1 (P3) 100 u (x) + u (x) = 0, x (0, 1), u(0) = 0, u(1) = Justifica que la única solución del problema (P3) es la función u(x) = e100(x 1) e e 100. Cumple la solución del problema (P3) el principio del máximo? 2. Utiliza el método de diferencias centrales para discretizar el problema (P3) e indica cuáles de términos independientes. matriz(i, i 1) = matriz(i, i) = matriz(i, i + 1) = tind(i) = i = 2,..., n. 3. Modifica el fichero edp1.m adecuadamente de forma que resuelva el problema (P3) por el método de diferencias centrales. Ejecuta el programa para n = 10. Cumple la solución numérica el principio del máximo discreto? Construye una malla de forma que se asegure que la solución numérica cumpla el principio del máximo.

9 4. Completa la siguiente tabla: n Error máximo 10 e 10 = e 20 = 40 e 40 = 80 e 80 = 160 e 160 = 5. Utiliza el método upwind para discretizar el problema (P3) e indica cuáles son los elementos no nulos de la matriz del sistema lineal que resulta, así como su vector de términos independientes. matriz(i, i 1) = matriz(i, i) = matriz(i, i + 1) = tind(i) = i = 2,..., n. 6. Modifica el fichero edp1.m adecuadamente de forma que resuelva el problema (P3) por el método upwind. Ejecuta el programa para n = 10. Cumple la solución numérica el principio del máximo discreto? 7. Completa la siguiente tabla e indica el orden de convergencia n Error máximo 40 e 40 = e 80 = 160 e 160 = 320 e 320 = 640 e 640 = 5.4 Condición de tipo Neumann En este ejercicio vamos a modificar el programa de forma que resuelva el siguiente problema de contorno con condiciones de contorno mixtas: u (x) + x 2 u(x) = x 6 + x 4 12x 2 2, x ( 1, 1), (P4) u ( 1) = 6, u(1) = 2.

10 4.1a Se considera la siguiente aproximación para u ( 1): u ( 1) u( 1 + h) u( 1) h Utiliza el método de diferencias finitas para discretizar el problema (P4) e indica cuáles de términos independientes. matriz(i, i 1) = matriz(i, i) = matriz(i, i + 1) = tind(i) = i = 2,..., n. matriz(1, 1) = tind(1) = matriz(1, 2) = 4.1b Modifica convenientemente el programa edp1.m y completa la siguiente tabla: n Error máximo 10 e 10 = e 20 = 40 e 40 = 80 e 80 = 160 e 160 = 4.1c Utiliza la tabla anterior para deducir el orden de convergencia. 4.2a Ahora se considera la aproximación : u ( 1) u( 1 + h) u( 1 h) 2h Utiliza el método de diferencias finitas para discretizar el problema (P4) e indica cuáles de términos independientes.

11 matriz(i, i 1) = matriz(i, i) = matriz(i, i + 1) = tind(i) = i = 2,..., n. matriz(1, 1) = tind(1) = matriz(1, 2) = 4.2b Modifica convenientemente el programa edp1.m y completa la siguiente tabla: n Error máximo 10 e 10 = e 20 = 40 e 40 = 80 e 80 = 160 e 160 = 4.2c Utiliza la tabla anterior para deducir el orden de convergencia. 4.3 Compara los órdenes de convergencia y razona a qué puede deberse esta diferencia. 5.5 La ecuación de Poisson Se considera el problema: { u = 12(x (P5) 2 + y 2 ), (x, y) Ω = (0, 1) (0, 1), u(x, y) = x 4 + y 4, (x, y) Ω = Γ. 1. Clasifica el problema de ecuaciones en derivadas parciales. 2. Utiliza el método de diferencias finitas para discretizar el problema (P5) e indica cuáles

12 de términos independientes. matriz(nodo, nodo 1) = matriz(nodo, nodo + 1) = matriz(nodo, nodo (n + 1)) = matriz(nodo, nodo + (n + 1)) = matriz(nodo, nodo) = tind(nodo) = matriz(nodo, nodo) = tind(nodo) = si el nodo es interior si el nodo está en la frontera 3. Edita el fichero edp2.m y observa lo siguiente: (a) Se definen: Los vértices del rectángulo: a, b, c y d. Número de subintervalos de la malla en la dirección x e y: n y m. Paso de discretización en la dirección x e y: h y k. Coordenadas de cada uno de los nodos de la malla: (x, y) Los coeficientes no nulos de la matriz del sistema. Compáralos con los obtenidos en el apartado (2)). El vector de términos independientes del sistema. Compáralo con el obtenido en el apartado (2)). (b) Se resuelve el sistema de ecuaciones. (c) Se calcula el error máximo y se dibuja tanto la solución numérica como la exacta. 4. Completa la siguiente tabla: n m Error máximo e 10,10 = e 20,20 = e 40,40 = e 80,80 = e 160,160 = 5. Utilizando los resultados de la tabla anterior comprueba el orden del método.

13 5.6 Una ecuación elíptica general con condiciones de contorno Dirichlet Se considera el problema: { u + ux + u (P6) y = 120xy + 60(x 2 y 2 ), (x, y) Ω = (0, 1) (0, 1), u(x, y) = 60 x 2 y 20 y 3, (x, y) Ω = Γ. 1. Utiliza el método de diferencias centrales para discretizar el problema (P6) e indica cuáles de términos independientes. matriz(nodo, nodo 1) = matriz(nodo, nodo + 1) = matriz(nodo, nodo (n + 1)) = matriz(nodo, nodo + (n + 1)) = matriz(nodo, nodo) = tind(nodo) = matriz(nodo, nodo) = tind(nodo) = si el nodo es interior si el nodo está en la frontera 2. Modifica el fichero edp2.m adecuadamente de forma que resuelva el problema (P6) por el método de diferencias centrales. Ejecuta el programa para n = m = 10. Cumple la solución numérica el principio del máximo discreto? Construye una malla de forma que se asegure que la solución numérica cumpla el principio del máximo. 3. Completa la siguiente tabla: n m Error máximo e 10,10 = e 20,20 = e 40,40 = e 80,80 = e 160,160 = 4. Utilizando los resultados de la tabla anterior comprueba el orden del método.