Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Simulación con Matlab

Transcripción

1 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Simulación con Matlab L. Héctor Juárez Valencia y M a Luisa Sandoval Solís Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa, D. F., México 5 o Coloquio del Departamento de Matemáticas Enero de Metepec, Atlixco, Puebla

2 Contenido Conceptos básicos Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales Simulación de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

3 Conceptos básicos Definición Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial lineal de primer orden sujeta a una condición inicial, y se escribe como dx(t) dt = f (t, x), t [a, b], x(a) = x 0. (1) Definición Se dice que una función f (t, x) satisface la condición de Lipschitz en la variable x en un conjunto D R 2, si existe una constante L > 0 con la propiedad siguiente: f (t, x 1 ) f (t, x 2 ) L x 1 x 2, siempre que (t, x 1 ), (t, x 2 ) D. A L se le llama constante de Lipschitz para f.

4 Conceptos básicos Teorema Supongamos que D = {(t, x) a t b, < x < y que f (t, x) es continua en D. Si f satisface una condición de Lipschitz en D en la variable x, entonces el problema de valor inicial (1) tiene una solución única x(t), para a t b. Teorema Si D es convexo y f x (t, x) L (t, x) D, entonces f es Lipschitz en D.

5 Conceptos básicos Definición El problema de valor inicial (1) está bien planteado si: 1 Tiene solución única; 2 Para cualquier ε > 0, existe una constante positiva k(ε) tal que ε 0 < ε y δ(t) continua con δ(t) < ε en [a, b], el problema dz dt = f (t, z) + δ(t), a t b, z(a) = x 0 + ε 0 (2) tiene solución única z(t), además z(t) x(t) < k(ε)ε, t [a, b].

6 Conceptos básicos Teorema Sea D = {(t, x) a t b, < x < }. Si f es continua y es Lipschitz en D, entonces el problema de valor inicial (1) estará bien planteado.

7 Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias La solución aproximada del problema (1) consistirá de aproximaciones individuales a los valores de x en un conjunto discreto de tiempos, tales como a = t 0 < t 1 < t 2 < < t N 1 < t N = b. Notación: x(t i ) denota la solución real en t = t i y x i la solución aproximada. Definición La forma general para un método de un paso explícito es donde h i = t i+1 t i. x i+1 x i h i = φ(t i, x i ; h i )

8 Método de Euler x i+1 = x i + hf (t i, x i ) i = 0, 1,..., N 1.

9 Método de Euler Modificado x i+1 = x i + hf (t i, x i ) x i+1 = x i + h 2 [f (t i, x i ) + f (t i+1, x i+1 ))] i = 0, 1,..., N 1.

10 Métodos de Taylor Si x(t) es solución exacta del problema (1) e infinitamente diferenciable, entonces x(t) = x(t 0 ) + x (t 0 )(t t 0 ) + x (t 0 )(t t 0 ) x (k) (t 0 )(t t 0 ) k + 2 k! = x 0 + f (t 0, x 0 )(t t 0 ) + f (t 0, t 0 )(t t 0 ) f (k 1) (t 0, x 0 )(t t 0 ) k + k! donde t 0 [a, b] y f (t, x) = f t + f x x = f t + f x f ; similarmente se calculan las derivadas de orden más alto, las cuales cada vez serán más complicadas. Si a = t 0, h = b a N y t i = t 0 + ih se tiene x(t 1 ) = x(t 0 ) + f (t 0, x 0 )h + f (t 0, x 0 )h 2 donde ξ está entre t 0 y t hk+1 (k + 1)! f (k) (ξ, x(ξ)) + + f (k 1) (x 0, t 0 )h k k!

11 Métodos de Taylor donde x(t 1 ) = x(t 0 ) + ht k (t 0, x 0 ) + hk+1 (k + 1)! f (k) (ξ, x(ξ)) T k (t, x) = f (t, x) + 1 2! f (t, x) + hk 1 f (k 1) (t, x) (3) k! es el Polinomio de Taylor de orden k. Error local de truncamiento de O ( h k)

12 Método de Taylor de orden k Algoritmo Escoger h = b a N y calcular t i = a + ih, i = 0, 1,..., N La aproximación a la solución x(t) se construye generando los puntos de la sucesión {x i+1 } recursivamente mediante x i+1 = x i + ht k (t i, x i ) i = 0, 1,..., N 1 donde T k (t, x) está definido en (3) Desventaja: cálcular las derivadas f (t, x), f (t, x),..., f (k 1) (t, x)

13 Métodos de Runge Kutta El método de Euler modificado se puede reescribir como [ 1 x i+1 = x i + h 2 f (t i, x i ) + 1 ] 2 f (t i+h, x i + hf (t i, x i )) Generalizando: x i+1 = x i + [w 1 hf (t i, x i ) + w 2 hf (t i + ah, x i + bhf (t i, x i ))]. (4) Es decir, donde x i+1 = x i + [w 1 hk 1 + w 2 hk 2 ] k 1 = f (t i, x i ) k 2 = f (t i + ah, x i + bk 1 ) con w 1, w 2, a y b constantes a determinar.

14 Métodos de Runge Kutta Igualando la expresión (4) para x i+1 con el algoritmo de Taylor del mayor orden posible, por ejemplo de O(h 3 ) x i+1 = x i + hf + h2 2 [ft + fx f ] + h3 4 Esto es, primero se realiza el desarollo de Taylor para la función f [ ftt + 2f tx f + f 2 x f + f tf y ] + O(h 4 ) (5) f (t i + ah, x i + bk 1 ) = f (t i, x i ) + ahf t(t i, x i ) + bk 1 f x (t i, x i ) y se sustituye la relación anterior en la ecuación (4) + a2 h 2 2 ftt(t i, x i ) + abk 1 hf tx (t i, x i ) + b2 k fxx (t i, x i ) + O(h 3 ); x i+1 = x i + w 1 hf (t i, x i ) + w 2 h[f (t i, x i ) + ahf t(t i, x i ) + bk 1 f x (t i, x i ) + a2 h 2 2 ftt(t i, x i ) + abk 1 hf tx (t i, x i ) + b2 k fxx (t i, x i ) + ].

15 Métodos de Runge Kutta Ahora, se comparan los coeficientes de la igualdad anterior con la ecuación (5), y se obtiene el siguiente sistema w 1 h + w 2 h = h aw 2 h 2 = h2 2 bk 1 hw 2 = h2 2 f Si w 1 = w 2 = 1 2 se recupera Euler modificado. De igual forma, si w 1 = 1 4 y w 2 = 3 4 se tiene el método de Heun x i+1 = x i + h [ ( f (t i, x i ) + 3f t i h, x i + 2 )] 3 hf (t i, x i ) Ambas técnicas, Euler modificado y Heun, son métodos de Runge-Kutta de segundo orden, es decir, el error local es proporcional a h 2.

16 Método de Runge Kutta de cuarto orden donde x i+1 = x i + h 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) i = 0, 1, 2,..., N 1 k 1 = f (t i, x i ) ( k 2 = f t i + h 2, x i + 1 ) 2 k 1 ( k 3 = f t i + h 2, x i + 1 ) 2 k 2 k 4 = f (t i+1, x i + k 3 ) Error local de truncamiento: O(h 4 ). Método de un paso. Desventaja: varias evaluaciones de la función por paso. Por ejemplo en RK4 se evalua a f cuatro veces.

17 Métodos de encajamiento (Runge-Kutta-Fehlberg) Idea: generar dos métodos encajados Dado que y(t + h) y(t) + h φ(t, y; h), (orden p) y (t + h) y(t) + h φ (t, y; h), (orden p + 1). y(t + h) y(t) φ(t, y; h) = T (t, y; h) = τ(t, y)h p + O(h p+1 ), h φ y(t + h) y(t) (t, y; h) = T (t, y; h) = O(h p+1 ), h al restar y dividir por h p, se obtiene de tal forma que 1 h p [φ(t, y; h) φ (t, y; h)] = τ(t, y) + O(h), (6) r(t, y; h) = 1 h p [φ(t, y; h) φ (t, y; h)] (7) es una aproximación de orden O(h) de la función principal del error τ(t, y) para el método de orden p con φ(t, y; h).

18 Método de Runge Kutta Fehlberg de tercer orden Consideremos donde y i+1 = y i + h φ(t i, y i ; h), con T (t, y; h) O(h 2 ), y i+1 = y i + h φ (t i, y i ; h), con T (t, y; h) O(h 3 ), φ(t, y; h) = α 1 k 1 (t, y; h) + α 2 k 2 (t, y; h) + α 3 k 3 (t, y; h), φ (t, y; h) = α 1 k 1(t, y; h) + α 2 k 2(t, y; h) + α 3 k 3(t, y; h) + α 4 k 4(t, y; h). Nótese que en la construcción de φ se necesita un valor adicional k 4. Así, k 1 = f (t, y), k 2 = f (t + µ 2 h, y + hλ 21 k 1 ), k 3 = f (t + µ 3 h, y + h[λ 31 k 1 + λ 32 k 2 ]), k 4 = f (t + µ 4 h, y + h[λ 41 k 1 + λ 42 k 2 + λ 43 k 3 ]), Las constantes µ r, λ rj, con r = 2, 3, 4, y 1 j r 1, así como α r, α r, r = 1, 2, 3, 4, se calculan de tal forma que los errores de truncamiento sean O(h 2 ) para φ(t, y; h) y O(h 3 ) para φ (t, y; h). Además µ r = r 1 j=1 λ rj, r = 2, 3, 4

19 Método de Runge Kutta Fehlberg de tercer orden Resolver, α 1 + α 2 + α 3 = 1, α 1 + α 2 + α 3 + α 4 = 1, µ 2 α 2 + µ 3 α 3 = 1 2, µ 2α 2 + µ 3α 3 + µ 4α 4 = 1 2, µ 2 2 α 2 + µ2 3 α 3 + µ2 4 α 4 = 1 3, µ 2λ 32 α 3 + (µ 2λ 42 + µ 3 λ 43 )α 4 = 1 6. Restricciones adicionales: k 4 del i ésimo paso debe usarse como k 1 en el (i + 1) ésimo paso. Es decir, entonces f (t + h, y + hφ) f (t + µ 4 h, y + h[λ 41 k 1 + λ 42 k 2 + λ 43 k 3 ]), µ 4 = 1, λ 41 = α 1, λ 42 = α 2, λ 43 = α 3. Se pueden imponer restricciones adicionales para minimizar los coeficientes de la función principal del error.

20 Método de Runge Kutta Fehlberg de tercer orden r µ r λ r1 λ r2 λ r3 α r α r / / /4 1/4 1/ /40 189/ / / / /891 1/33 650/891 1/78 Método RKF-23: k 1 = f (t i, y i ), k 2 = f (t i + h 4, y i + h 4 k 1), k 3 = f (t i h, y i hk hk 2), k 4 = f (t i + h, y i hk hk hk 3), y i+1 = y i + h 891 (214k k k 3 ), y i+1 = y i + h 2106 (533k k 3 27k 4 ). Observe que solo se requieren tres evaluaciones de f por paso: k 4 (t i, y i ; h) = f (t i + h, y i + hφ(t i, y i ; h)) = f (t i+1, y i+1 ) = k 1 (t i+1, y i+1 ; h)

21 Control de paso Si y i+1 y i+1 = h[φ(t i, y i ; h)) Φ (t i, y i ; h))] = h 3 r(t i, y i ; h), entonces y i+1 y i+1 = h3 r(t i, y i ; h) ɛ. (8) Para que el nuevo paso del tiempo h new sea un error menor a ɛ, se debe satisfacer Pero, salvo errores de orden h, r(t i+1, y i+1 ; h) h 3 new ɛ. (9) r(t i+1, y i+1 ; h) r(t i, y i ; h) = y i+1 y i+1 h 3 por (8). Sustituyendo esta expresión en (9), obtenemos y i+1 yi+1 h 3 hnew 3 ɛ Por lo tanto, para garantizar que el error global sea menor a ɛ en cada paso debemos escoger ( ) 1/3 ɛ h new h y i+1 yi+1

22 Control de paso Para el caso general, ( ) 1/(p+1) ɛ h new h y i+1 yi+1 (10) Se recomiendan hacer el siguiente ajuste h new q h con ( ) 1/p ɛh q = α y i+1 yi+1 y α 0.9

23 Método de Runge Kutta Fehlberg de cuarto orden k 1 = f (t i, y i ) ( k 2 = f t i + h 4, y i + h ) 4 k 1 ( k 3 = f t i + 3h 8, y i hk ) 32 hk 2 ( k 4 = f t i + 12h [ , y i + h 2197 k k ]) 2197 k 3 ( [ 439 k 5 = f t i + h, y i + h 216 k 1 8k k ]) 4104 k 4 ( k 6 = f t i + h [ 2, y i + h 8 27 k 1 + 2k k k 4 11 ]) 40 k 5 ( 25 y i+1 = y i + h 216 k k k 4 1 ) 5 k 5 ( 16 yi+1 = y i + h 135 k k k k ) 55 k 6

24 Método de Runge Kutta Fehlberg de cuarto orden El paso de tiempo nuevo en cada iteración se calcula por medio de ( ) 1/4 ɛh h new = 0.84 h y i+1 yi+1 donde ɛ es la tolerancia deseada para el error global. En ocasiones, en lugar de calcular yi+1 se calcula directamente la diferencia e i+1 = y i+1 yi+1. Por ejemplo, en el caso del método RKF-45 (Runge Kutta Fehlberg de cuarto orden), se tiene e i+1 = h k k k k k 6

25 Ecuaciones diferenciales de alto orden El problema de valor inicial de orden n x (n) (t) = f (t, x, x, x,, x (n 1) ) x(a) = α 1, x (a) = α 2, x (a) = α 3,, x (n 1) (a) = α n (11) Se puede transformar a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden realizando el siguiente cambio de variables: x 1 (t) = x(t) x 2 (t) = x (t) x 3 (t) = x (t). x n(t) = x (n 1) (t)

26 Ecuaciones diferenciales de alto orden Luego, x 1 (t) = x (t) = x 2 (t) x 2 (t) = x (t) = x 3 (t) x 3 (t) = x (t) = x 4 (t). x n (t) = x (n) (t) = f (t, x 1, x 2, x 3,, x n), junto con las condiciones iniciales asociadas x 1 (a) = α 1, x 2 (a) = α 2, x 3 (a) = α 3,..., x n(a) = α n. En forma de vector, el problema (11) se escribe como donde ẋ(t) = f(t, x) x 1 (t) x 2 (t) x(t) = y f(t, x) =. x n (t) x 2 (t) x 3 (t). f (t, x 1,..., x n).