Formulario de Métodos Matemáticos 1 Coordenadas Curvilineas *

Transcripción

1 * L. A. Núñez ** Centro e Física Funamental, Departamento e Física, Faculta e Ciencias, Universia e Los Anes, Méria 50, Venezuela. y Centro Nacional e Cálculo Científico Universia e Los Anes CeCalCULA, Corporación Parque Tecnológico e Méria, Méria 50, Venezuela Octubre 2007 Versión α 2. Ínice. Disgreción Derivativa 2 2. Curvas y parámetros 4 3. Coorenaas Curvilíneas Generalizaas Coorenaas generalizaas, vectores y formas Velociaes y Aceleraciones Coorenaas Cartesianas Coorenaas Cilínricas Coorenaas Esféricas Otros Sistemas Coorenaos Coorenaas Toroiales Coorenaas Elipsoiales Vectores, Tensores, Métrica y Transformaciones Transformano Vectores Transformano Tensores * ADVERTENCIA: El presente ocumento constituye una guía para los estuiantes e Métoos Matemáticos e la Física e la Universia e Los Anes. Es, en el mejor e los casos, un FORMULARIO y e ninguna manera sustituye a los líbros e texto el curso. La bibliografía e la cual han surgio estas notas se presenta al final e ellas y ebe ser consultaa por los estuiantes. ** nunez@ula.ve Web:

2 . Disgreción Derivativa Los vectores porán ser constantes o variables. Ahora bién esa característica se verificará tanto en las componentes como en la base. Esto quiere ecir que cuano un vector es variable porán variar su móulo, su irección, su sentio o too junto o separao. Obviamente esta variabilia el vector epenerá e la base en la cual se exprese, por lo cual un vector porá tener una componente constante en una base y constante en otra. a t a k t e k t ã k ẽ k t â k t ê k De esta manera, cuano uno piensa en un vector variable a t a t uno rápiamente piensa en establecer un cociente incremental a t+ t a t a t a t lím lím t 0 t t 0 t a t + t a t a t a t lím lím t 0 t t 0 t La misma propuesta se cumplirá para las formas iferenciales t a. Como siempre, las propieaes e esta operación serán a t + b t a t b t + Ahora bien, esto implica que a t a k t e k t α t a t t a b t a t α t a t + α t a t t a b t + a b t t a k t e k t ak t e k t + a k t e k t con lo cual hay que tener cuiao al erivar vectores y cerciorarse e la epenencia funcional e base y componentes. Habrá sistemas e coorenaas bases e vectores que sean constantes y otros con bases variables. Así, el raio vector posición e una partícula genera los vectores velocia y aceleración. ahora bien r r t v t r t a t v t 2 r t 2 r r r P u r x P i + y P j + z P k con u r cos θ i + sen θ j Luis A. Núñez Universia e Los Anes, Méria, Venezuela 2

3 si suponemos que la partícula escribe un movimiento entonces r P r P t x x t y y t ; u r u r t ; θ θ t z z t i const j const k const con lo cual ya que u r u r cos θ t i + sen θ t j sen θ t θ t θ t θ t [ sen θ t i + cos θ t j ] u θ }{{} u θ i + cos θ t θ t j u r u r u r [cos θ t i + sen θ t j ] [cos θ t i + sen θ t j ] y Más aún u θ u θ u θ [ sen θ t i + cos θ t j ] [ sen θ t i + cos θ t j ] u r u θ u θ u r [ sen θ t i + cos θ t j ] [cos θ t i + sen θ t j ] 0 u θ sen θ t i + cos θ t j θ t cos θ t i + sen θ t j u r Con lo cual, una partícula que escribe un movimiento genérico venrá escrita en coorenaas cartesianas por r r x P t i + y P t j + z P t k y su velocia será v t y la aceleración r t x P t a t v xp t r x P t i + y P t j + z P t k i + y P t i + v yp t Mientras que en coorenaas polares será r r r P t u r t v t con lo cual la velocia j + z P t j + v zp t r t P u r t k v xp t i + v yp t j + v zp t k k a xp t i + a yp t j + a zp t k r t P v t v r t P u r t + r t P θ t u θ u r t u r t + r t P Luis A. Núñez Universia e Los Anes, Méria, Venezuela 3

4 y la aceleración a t v t rtp θt u r t + r t P u θ v r t P u r t + θt r t P u θ a t rtp rtp a t + r t P u r t + r t P θ t u r t u θ t + r t P 2 θ t 2 θ t u θ t u θ t + r t P 2 θ t { r t P u r t + 2 r t P θ t 2 } θ t + r t P 2 u θ t Claramente para el caso e un movimiento circular r R const R 0 r t R u r t v t R θt u θ 2 a t R θt ur + R 2 θt t u 2 θ t De aquí poemos ver claramente que velocia v t y posición r t son ortogonales. La velocia, v t, siempre es tangente a la trayectoria r t y en este caso la trayectoria es una circunsferencia. En general el vector r me r t i r t i + t i r t i lím r t i r t r t t 0 i i i es ecir r t lím t 0 i r t i es tangente a la trayectoria. Es claro que xp t r t [x P t i + y P t j + z P t k ] i + y P t j + z P t t t t 2. Curvas y parámetros Poemos generalizar esta afirmación y consierar un parámetro genérico λ, en este caso k r r x P λ, y P λ, z P λ r x P λ r x P λ, y P λ, z P λ + r y P λ + r z P λ λ x P λ λ y P λ λ z P λ λ xp λ r λ x P λ + y P λ r λ y P λ + z P λ r λ λ z P λ Luis A. Núñez Universia e Los Anes, Méria, Venezuela 4

5 con lo cual λ x P λ λ x P λ + y P λ λ y P λ + z P λ λ z P λ con lo cual poemos consierar las cantiaes como las componentes el vector, xp λ λ, y P λ λ, z P λ λ r λ, y en general el operaor λ tangente a la trayectoria parametrizaa con λ. Más aún las cantiaes x P λ, x P λ, z P λ serán los vectores base en esas coorenaas. Así al consierar coorenaas generalizaas q λ, q 2 λ, q 3 λ r r r q λ, q 2 λ, q 3 λ r q λ, q 2 λ, q 3 λ q λ r λ λ q λ + q2 λ r λ λ q 2 λ + q3 λ r λ λ q 3 λ r λ q λ r λ q λ }{{} q + q2 λ λ r q 2 λ }{{} q 2 + q3 λ λ r q 3 λ }{{} q 3 { q one r q λ, q 2 r q 2 λ, } q 3 r q 3 λ, son la base e vectores. Por otro lao el móulo el vector r λ representará la longitu e arco s para esa curva. Por consiguiente s 2 rλ rλ rλ λ rλ λ 2 qi rλ λ λ q i q j rλ λ q j λ 2 rλ q i rλ q i q j λ λ q j }{{} λ λ }{{} q i q j rλ rλ q i q j q i q j one rλ λ es el vector tangente a la curva. Dao que s 2 g ij x i x j g ij x i x j ḡ ij q i q j rλ q i rλ q j } {{ } ḡ ij q i q j ientificamos claramente rλ rλ q i q j ḡ ij Luis A. Núñez Universia e Los Anes, Méria, Venezuela 5

6 Figura : Coorenaas Curvilíneas en 2D. Cuarante I, coorenaas cilínricas x ρ cos ϕ; y ρ sen ϕ; z z Cuarante II, coorenaas cilínricas elípticas x a cosh u cos v; y a senh u sen v; z z Cuarante III coorenaas cilínricas parabólicas x 2 u v 2 ; y uv; z z Cuarante IV coorenaas cilínricas bipolares x 2 + y a cot u 2 a 2 csc 2 u; y 2 a 2 senh 2 v ; z z x a senh v cosh v Coorenaas Curvilíneas Generalizaas Como hemos visto siempre se porá efinir un sistema e coorenaas generalizaas q, q 2, q 3 tales que r r r q, q 2, q 3 r r q q + r q 2 q2 + r q 3 q3 s 2 g ij x i x j r r r r q i q j qi q j g ij r q i ẽ j r q j q j genere una tríaa e vectors base { ẽ j } ortonormales e vectores unitarios tales que ẽ q q ; ẽ 2 q 2 q 2 ; ẽ 3 q 3 q 3 ; los cuales son vectores tangentes a las curvas que efine el raio vector r. Claramente si el sistema es ortogonal los factores e escala son importantes para su categorización h q ; h 2 q 2 ; y h 3 q 3 ; q j Luis A. Núñez Universia e Los Anes, Méria, Venezuela 6

7 con lo cual poemos efinir el elemento e línea como s 2 h q 2 + h2 q h3 q 3 2 rλ q i Es ecir que ientificamos la métrica como rλ q j q i q j g ij q i q j h x q x q g ; h 2 y q 2 x 2 q 2 g 22 ; h 3 z q 3 x 3 q 3 g 33. De tal forma que los casos particulares se recuperan fácilmente. 3.. Coorenaas generalizaas, vectores y formas Recorano como construimos el esplazamiento para una base genérica ortogonal, { ẽ j } e un espacio vectorial con proucto interno, el esplazamiento infinitesimal puee expresarse como s 2 r r x k ẽk x m ẽ m ẽ k ẽ m x k x m x m x m g km x k x m Done hemos utilizao el hecho que la métrica nos permite asociar componentes contravariantes a covariantes y viceversa, es ecir establece una relación entre formas y vectores. Si las bases e formas y vectores son ortogonales la métrica será iagonal y como en general rλ q, j entoces surgen los llamaos factores e escala h i g ii Entonces, una vez más, una forma b o, un vector a cualquiera puee expresarse como una combinación lineal e formas o vectores base con a a j e j ã j ẽ j b b j e j bj ẽj a j e j a ; ã j ẽ j a ; b j b e j ; y b j b ẽ j De esta manera las componentes covariantes y contravariantes estarán relacionaas como a j g jk a k a i h [i] a [i] one h [i] a [i] NO inica suma. En otras palabras, en aquellos sistemas e coorenaas en los cuales la métrica es iagonal pero no viene representaa por la matriz unia, subir y bajar inices puee incluir los camibos e escala Velociaes y Aceleraciones Antes e pasar a analizar los casos particulares haremos un alto para expresar las expresiones e las velociaes y las aceleraciones en coorenaas generalizaas. Para ello recoramos que los vectores velocia y aceleración se representan como V V j e j ẋ j e j Ṽ j ẽ j x j ẽ j y a a j e j ẍ j e j ã j ẽ j x j ẽ j respectivamente. Para eterminar las expresiones e estos vectores en cualquier sistema e coorenaas, es suficiente con encontrar las expresiones e sus componentes contravariantes o contravariantes. Como sabemos, poremos encontrar una a partir e las otras con la ayua e la métrica el sistema e coorenaas. Luis A. Núñez Universia e Los Anes, Méria, Venezuela 7

8 Entonces, el vector velocia en la base cartesiana se puee expresar como V V x î +V y ĵ +V z ˆk ẋ î +ẏ ĵ +ż ˆk ẋ j e j q j ẽ j con e î ; e 2 ĵ ; y e 3 ˆk, claramente las componentes contravariantes el vector velocia en un sistema e coorenaas generalizao son V j q j Para encontrar las componentes covariantes recoramos que para cualquier base generalizaa e vectores o formas se expresan en término e la base cartesiana e vectores o formas como ẽ j xi q j e i y ẽi q i x j e j Entoces las componentes covariantes el vector velocia en una base generalizaa será x Ṽ j V ẽ j ẋ m ẽ m i q j e x m i ẋ m q j ẋ m x m t q j t ẋ m ẋ m q j V mv m Con lo cual resulta fácil expresar las componentes covariantes una vez que conocemos el móulo el vector expresao en ese sistema e coorenaas. El cual siempre viene expresao a partir el iferencial r r Para encontrar la expresión para la aceleración se procee e manera análoga. 2 q j x ã j a ẽ j ẍ m ẽ m i q j e x m i ẍ m q j x ẋ m ẋ m m ẋ m q j q j y otra vez x m q j ẋm q j ã j ẋ ẋ m ẋ m m q j ẋ m q j q j ẋm ẋ m ẋm ẋ m 2 q j 2 y finalmente ã j q j Vm V m Vm V m 2 q j Coorenaas Cartesianas El primer caso, el más trivial, lo constituyen las coorenaas cartesianas. Vale ecir q, q 2, q 3 x, y, z r r x, y, z r r x i + y j + z k r xî + yĵ + zˆk r x + r y + y r z x i + y j + z k Luis A. Núñez Universia e Los Anes, Méria, Venezuela 8

9 cosecuentemente h x h y h z y El elemento e línea viene efinio como y el tensor métricó será s 2 h x 2 + h2 x h3 x 3 2 y ẽ x i ẽ y y ẽ z j k s 2 x 2 + y 2 + z 2 g g xx ; g 22 g yy ; g 22 g zz. El hecho que para el caso e las coorenaas cartesianas h x h y h z significará que las tomaremos como coorenaas base respecto a las cuales expresaremos las emás Coorenaas Cilínricas Las coorenaas cilínricas se expresan como q, q 2, q 3 ρ, ϕ, z ; r x ρ, ϕ i + y ρ, ϕ j + z k r x ρ, ϕ î + y ρ, ϕ ĵ + zˆk r r ρ, ϕ, z r r ρ + ρ r ϕ + r z y estas cantiaes pueen ser ientificaas e las leyes e transformación respecto a las coorenas cartesianas x x ρ, ϕ ρ cos ϕ y y ρ, ϕ ρ sen ϕ x cos ϕρ ρ sen ϕϕ y sen ϕρ + ρ cos ϕϕ z z con lo cual es fácil ientificar ρ,ϕ ρ cos ϕ yρ,ϕ ρ sen ϕ ; ρ 0 y e allí h ρ ρ ρ,ϕ yρ,ϕ z z ρ sen ϕ ρ cos ϕ 0 x ρ, ϕ î + y ρ, ϕ ĵ + zˆk ρ ; y ρ, ϕ î+ ρ ρ,ϕ 0 yρ,ϕ 0 y ρ, ϕ ρ ĵ h ρ cos ϕ î+ sen ϕ ĵ Luis A. Núñez Universia e Los Anes, Méria, Venezuela 9

10 y el mismo moo h ϕ ρ, ϕ î + y ρ, ϕ ĵ r; h z ˆk. mientras que los vectores unitarios serán ẽ ρ ρ ρ ẽ ϕ ρ,ϕ ρ ẽ z El elemento e línea viene efinio como ρ,ϕ ρ î + yρ,ϕ ρ ĵ cos ϕ î + sen ϕ ĵ î + yρ,ϕ ρ,ϕî+yρ,ϕĵ+zˆk ˆk ĵ sen ϕ î + cos ϕ ĵ ; s 2 h x 2 + h2 x h3 x 3 2 s 2 ρ 2 + ρ 2 ϕ 2 + z 2 y el tensor métricó será g g ρρ ; g 22 g ϕϕ ρ 2 ; g 33 g zz Coorenaas Esféricas Para construir el sistema e coorenaas esféricas q, q 2, q 3 r, ϕ, θ r x r, ϕ, θ i + y r, ϕ, θ j + z r, ϕ, θ k x r, ϕ, θ î + y r, ϕ, θ ĵ + z r, ϕ, θ ˆk r r r, ϕ, θ r r r + r r ϕ + r θ θ y estas cantiaes pueen ser ientificaas e las leyes e transformación respecto a las coorenas cartesianas x x r, ϕ, θ r cos ϕ sen θ x cos ϕ sen θr r sen ϕ sen θϕ + r cos ϕ cos θθ y y r, ϕ, θ r sen ϕ sen θ y sen ϕ sen θr + r cos ϕ sen θϕ + r sen ϕ cos θθ z r, ϕ, θ r cos θ z cos θr r sen θθ con lo cual es fácil ientificar r,ϕ,θ r cos ϕ sen θ yr,ϕ,θ r sen ϕ sen θ cos θ r,ϕ,θ r ; r,ϕ,θ yr,ϕ,θ r,ϕ,θ 0 r sen ϕ sen θ r cos ϕ sen θ ; r,ϕ,θ θ yr,ϕ,θ θ r,ϕ,θ θ r cos ϕ cos θ r sen ϕ cos θ r sen θ Luis A. Núñez Universia e Los Anes, Méria, Venezuela 0

11 y e allí h r r x r, ϕ, θ î + y r, ϕ, θ ĵ + z r, ϕ, θ ˆk r h r r, ϕ, θ î+ r y r, ϕ, θ ĵ+ r r, ϕ, θ r h r cos ϕ sen θ î+ sen ϕ sen θ ĵ+ cos θ ˆk cos 2 ϕ sen 2 θ + sen 2 ϕ sen 2 θ + cos 2 θ ˆk y el mismo moo h ϕ x r, ϕ, θ î + y r, ϕ, θ ĵ + z r, ϕ, θ ˆk r, ϕ, θ î+ y r, ϕ, θ ĵ h ϕ r sen ϕ sen θ î+r cos ϕ sen θ ĵ r sen ϕ sen θ 2 + r cos ϕ sen θ 2 r sen θ Finalmente, h θ x r, ϕ, θ î + y r, ϕ, θ ĵ + z r, ϕ, θ ˆk θ h θ r, ϕ, θ θ y r, ϕ, θ î+ θ r, ϕ, θ ĵ+ θ ˆk h θ r cos ϕ cos θ î+r sen ϕ cos θ ĵ sen θ ˆk h θ mientras que los vectores unitarios serán ẽ r r r cos ϕ cos θ 2 + r sen ϕ cos θ 2 + r sen θ 2 r r cos ϕ sen θ î+ sen ϕ sen θ ĵ+ cos θ ˆk ẽ ϕ r sen θ r sen ϕ sen θ î+r cos ϕ sen θ ĵ ẽ θ θ El elemento e línea viene efinio como s 2 h x 2 + h2 x h3 x 3 2 θ r r cos ϕ cos θ î+r sen ϕ cos θ ĵ sen θ ˆk s 2 r 2 + r 2 sen 2 θ ϕ 2 + r 2 θ 2 ; Luis A. Núñez Universia e Los Anes, Méria, Venezuela

12 El tensor métrico será g g rr ; g 22 g ϕϕ r 2 sen 2 θ ; g 33 g θθ r 2. Por completiu, enumeraremos algunos otros sistemas e coorenaas y ejaremos al lector la labor e calcular los vectores unitarios y la métrica el espacio expresaa en estas coorenaas Otros Sistemas Coorenaos Coorenaas Toroiales q, q 2, q 3 λ, µ, α ; r x λ, µ, α î + y λ, µ, α ĵ + z λ, µ, α ˆk con x x λ, µ, α r cos α; con r senh λ cosh λ + cos µ y y λ, µ, α r sen α z z λ, µ, α r con lo cual los vectores unitarios serán ẽ λ λ sen µ cosh λ + cos µ λ λ,µ,αî+yλ,µ,αĵ+zλ,µ,αˆk λ λ,µ,αî+yλ,µ,αĵ+zλ,µ,αˆk λ ẽ µ µ µ ; ẽ α α α Luis A. Núñez Universia e Los Anes, Méria, Venezuela 2

13 λ senh λ cosh λ+cos µ λ cos α î + senh λ cosh λ+cos µ λ sen α ĵ + senh λ cosh λ+cos µ λ sen µ cosh λ+cos µ ˆk λ cosh λ cos µ + cosh 2 λ + 2 cosh λ cos µ + cos 2 µ la métrica quea como cos αî+ sen αĵ λ s 2 r µ 2 senh 2 λ sen µ cosh 2 λ cosh λ cos µ 2 cosh 3 λ + 3 cosh 2 λ cos µ + 3 cosh λ cos 2 µ + cos 3 µ Las superficies λ const representan toros alreeor el eje z; las superficies µ const son esferas con centro sobre el eje z;y finalmente las superficies α const son planos que contiene al eje z Coorenaas Elipsoiales Daos tres números a, b y c; con a > b > c > 0, la ecuación x 2 a 2 + α + y2 b 2 + α + z2 c 2 + α representa las superficies cuáricas homofocales es ecir, con el mismo foco u origen en x 0, y 0, z 0. Depenieno el valor el parámetro α, estas ecuaciones representarán superficies Elipsoies si α > c 2 Hiperboloies e una hoja si c 2 > α > b 2 Hiperboloies e os hojas si b 2 > α > c 2 Esto quiere ecir que por caa punto x, y, z el espacio, pasan tres superficies cuáricas epenieno el valor e α. Conocios a, b y c y el punto, x x 0, y y 0, z z 0, los valores e α vienen aos por las raíces e la ecuación cúbica con x 2 a 2 + α + y2 b 2 + α + z2 c 2 + α α3 + α 2 + Φ α + Ω 0 x y z 2 0 a 2 b 2 c 2 Φ b 2 + c 2 x a 2 + c 2 y a 2 + b 2 z 2 0 a 2 b 2 a 2 + b 2 c 2 Ω x 2 0b 2 c 2 + y 2 0a 2 c 2 + z 2 0a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 Las raíces e esta ecuación α λ; α 2 µ; α 3 ν efinen las coorenaas elipsoiales el punto x, y, z x λ, µ, ν, y λ, µ, ν, z λ, µ, ν q, q 2, q 3 λ, µ, ν ; r x λ, µ, ν î + y λ, µ, ν ĵ + z λ, µ, ν ˆk Nótese que la proyección e estas superficies en el plano x, y representan curvas cónicas homofocales Luis A. Núñez Universia e Los Anes, Méria, Venezuela 3

14 y la ley e transformación quea como por cual la métrica será s 2 x x λ, µ, ν y y λ, µ, ν z z λ, µ, ν λ µ λ ν 4 a 2 + λ b 2 + λ c 2 + λ λ2 + + a 2 + λ a 2 + µ a 2 + ν a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 + λ b 2 + µ b 2 + ν b 2 a 2 b 2 c 2 c 2 + λ c 2 + µ c 2 + ν c 2 b 2 c 2 a 2 ν µ ν λ 4 a 2 + ν b 2 + ν c 2 + ν ν2 µ λ µ ν 4 a 2 + µ b 2 + µ c 2 + µ µ2 4. Vectores, Tensores, Métrica y Transformaciones Nos toca ahora construir expresiones e vectores y tensores a partir e sus leyes e transformación, hemos icho que los vectores y los tensores son inepeniente el sistema e coorenaas la base en la cual se exprese. 4.. Transformano Vectores Así si aa os bases e vectores coorenaos { e, e 2, e 3 } y { ẽ, ẽ 2, ẽ 3 } para el espacio vectorial R 3 Entonces, se cumple que: { } a a j e j ã i e i a a i ẽ i ẽi a ã i ã i a j ẽ i e j ã i i } {{ x j a j } ẽ i e j con ello e cartesianas a cilínricas x x r, ϕ ρ cos ϕ; y y r, ϕ ρ sen ϕ; z z e lo cual se eriva ρ,ϕ ρ yρ,ϕ ρ cos ϕ sen ϕ ρ 0 ; ρ,ϕ yρ,ϕ ρ sen ϕ ρ cos ϕ 0 ; y ρ,ϕ 0 yρ,ϕ 0 Luis A. Núñez Universia e Los Anes, Méria, Venezuela 4

15 Entonces aos a a j e j a e + a 2 e 2 + a 3 e 3 a x i + a y j + a z k a ã i ẽ i ã ẽ + ã 2 ẽ 2 + ã 3 ẽ 3 a r ẽ r + a ϕ ẽ ϕ + a z ẽ z con ẽ ρ ρ ρ ρ,ϕ ρ ẽ ϕ ρ,ϕ ρ î + yρ,ϕ ρ ĵ cos ϕ î + sen ϕ ĵ î + yρ,ϕ ĵ sen ϕ î + cos ϕ ĵ ; ẽ z ρ,ϕî+yρ,ϕĵ+zˆk ˆk Si tenemos en concreto un vector a 5 i + 4 j + 3 k quisiéramos conocer su expresión en coorenaas cilínricas. Hay que hacer la acotación que existe una familia e sistemas e coorenaos cilínricos parametrizaos por el ángulo ϕ y NO un único sistema coorenao. Obviamente se puee especificar el sistema coorenao y entonces tenremos un conjunto e componentes efinito. Así la familia e componentes en cilínricas el vector a serán ã j ẽ j a ẽ j ã ẽ + ã 2 ẽ 2 + ã 3 ẽ 3 ẽ j a e + a 2 e 2 + a 3 e 3 con lo cual al expresar los vectores base ã a ρ ẽ ρ 5 i + 4 j + 3 k cos ϕ î + sen ϕ ĵ 5î + 4ĵ + 3ˆk 5 cos ϕ + 4 sen ϕ ã 2 a ϕ ẽ ϕ 5 i + 4 j + 3 k sen ϕ î + cos ϕ ĵ 5î + 4ĵ + 3ˆk 5 sen ϕ + 4 cos ϕ con lo cual ã 3 a z ẽ z 5 i + 4 j + 3 k k 5 i + 4 j + 3 k 3 a 5 i + 4 j + 3 k 5 cos ϕ + 4 sen ϕ ẽ ρ + 5 sen ϕ + 4 cos ϕ ẽ ϕ + 3 ẽ z one es claro que existen infinitos sistemas cilinricos parametrizaos por el ángulo ϕ, igamos a ρ 5 cos arctan sen arctan ϕ arctan a 5 ϕ 5 sen arctan cos arctan a z 3 con lo cual hemos alineao el eje ẽ ρ a lo largo el vector a. Ese es un sistema e coorenaas cilinrico muy particular. Luis A. Núñez Universia e Los Anes, Méria, Venezuela 5

16 4.2. Transformano Tensores Ilustremos ahora las transformaciones e tensores bajo cambios e la base el espacio vectorial. Consieremos el siguiente tensor 2 3 { e, e 2, e 3 } { i, j, k } Tj i Es ecir es un tensor que hemos expresao en coorenaas cartesianas y queremos pasarlo a cilinricas. Para ello recoramos que x x x ρ, ϕ ρ cos ϕ x 2 y y ρ, ϕ ρ sen ϕ con lo cual es ecir mientras que con lo cual k i T m k k j i m T j i j m ρ 2 one x 3 z z x ρ ρ x, y x 2 + y 2 x 2 ϕ ϕ x, y arctan y x x 3 z z x x 2 +y 2 ρ 2 y y 2 x 2 +y 2 2 y y x 2 +y 2 ρ 3 0 x 2 x 2 +y y cos ϕ sen ϕ 0 k i sen ϕ cos ϕ ρ ρ ρ cos ϕ 2 ρ sen ϕ y ρ sen ϕ 2 y 2 ρ cos ϕ 2 y ρ cos ϕ ρ sen ϕ 0 j m sen ϕ ρ cos ϕ Luis A. Núñez Universia e Los Anes, Méria, Venezuela 6

17 Por lo tanto es ecir T k m k i cos ϕ sen ϕ 0 cos ϕ ρ sen ϕ 0 j m T m k sen ϕ cos ϕ ρ ρ 0 T j i sen ϕ ρ cos ϕ T i j cos ϕ sen ϕ cos ϕ ρ sen ϕ 0 T m k sen ϕ cos ϕ ρ ρ sen ϕ ρ cos ϕ cos 2 ϕ + 3 cos ϕ sen ϕ + 3 ρ sen ϕ cos ϕ 2ρ + 3ρ cos 2 ϕ 3 cos ϕ + 4 sen ϕ T m k cos ϕ sen ϕ+3 cos 2 ϕ ρ 3 cos ϕ sen ϕ + cos 2 ϕ sen ϕ ρ + 4 cos ϕ ρ cos ϕ + 2 sen ϕ ρ sen ϕ + 2ρ cos ϕ 2 Si suponemos que el origen el sistema e coorenaas cilinrico está en el vector anterior. Esto es ρ x 2 + y 2 ρ a 5 i + 4 j + 3 k ϕ arctan y x ϕ arctan 4 5 0,67474 ra y entonces T m k Si consieramos una nueva base ẽ i { ẽ, ẽ 2, ẽ 3 } ẽ 2 i + j ẽ 3 i + j + k 3,8537 2, ,84 4 0, ,95 2 2, ,0 2 ẽ ẽ ẽ ẽ 2 ẽ ẽ 3 ẽ2 ẽ ẽ 2 ẽ 2 2 ẽ 2 ẽ 3 2 ẽ3 ẽ ẽ 3 ẽ 2 2 ẽ 3 ẽ 3 3 para ese mismo espacio R 3 encontraremos una nueva expresión que toma Tj i en esa base. Igualmente encontraremos las expresiones para los siguientes tensores: T j i, T ij, T ij. Nótese que esta nueva base no es ortogonal, ẽ k ẽ i δi k, con lo cual no se cumplen muchas cosas entre ellas ẽ k ẽ k Para encontrar la expersión T j i expresamos los vectores base { e, e 2, e 3 } { i, j, k } en término e la base { ẽ, ẽ 2, ẽ 3 } e i ẽ { e, e 2, e 3 } e 2 j ẽ 2 ẽ recoramos que un vector genérico a a j e j ã j ẽ j e 3 k ẽ 3 ẽ 2 a a j e j ã ẽ + ã 2 ẽ 2 + ã 3 ẽ 3 ã e + ã 2 e + e 2 + ã 3 e + e 2 + e 3 Luis A. Núñez Universia e Los Anes, Méria, Venezuela 7

18 con lo cual y como a e + a 2 e 2 + a 3 e 3 ã + ã 2 + ã 3 e + ã 2 + ã 3 e 2 + ã 3 e 3 a ã + ã 2 + ã 3 a 2 ã 2 + ã 3 a 3 ã 3 ai i k ãk ; ; 2 ; 3 2 0; 2 ; 2 2 ; 3 3 0; 3 0; 3 2 ; 3 Es e hacer notar que ao que la base ortonormal { e, e 2, e 3 } { i, j, k } se tiene que a a j e j ã i ẽ i e i a a j e i e j a j δ i j a i ã k e i ẽ k i k e i ẽ k El mismo proceimiento se puee aplicar para expresar el vector a como combinación lineal e los vectores ẽ j a ã j ẽ j a j e j a e + a 2 e 2 + a 3 e 3 a ẽ + a 2 ẽ 2 ẽ + a 3 ẽ 3 ẽ 2 ; ; 2 0; 3 ã a a 2 ã 2 a 2 a 3 ã 3 a 3 Nótese que, como era e esperarse, i k k j δi j ãk a i k i ; 2 ; 2 2 ; 3 3 0; 3 0; 3 2 ; Con las expresiones matriciales para las transformaciones,estamos en capacia e calcular, componente a componente, las representación el tensor en la nueva base con lo cual T m k k j i m T j i T j i T i j T + 2 T2 + 3 T 3 T T T T3 2 T T3 3 es ecir T T T i j T + 0 T2 + 0 T3 T T T T T T3 3 j i j i T i j T T Luis A. Núñez Universia e Los Anes, Méria, Venezuela 8

19 el mismo moo T 2 j i T i 2 j T T2 + 3 T 2 3 T T T T3 2 T T3 3 es ecir T 2 T i 2 j T + T2 + 0 T3 T 2 + T T T 3 + T T3 j i T 2 j i T i j T + T2 T 2 + T se puee continuar término a término o realizar la multiplicación e las matrices k, T i i j y j provenientes m e la transformación e componentes e tensores. Vale ecir T m k k i Tj i j m hay que resaltar un especial cuiao que se tuvo en la colocacíon e la matrices para su multiplicación. Si bien en la expresión T m k k j i T i k m j las cantiaes son números y no importa el oren con el cual i se multipliquen, cuano se colocan como matrices ebe respetarse la concatenación interna e ínices. Esto es cuano querramos expresar T m k como una matriz, one el ínice contravariante k inica filas y el ínice covariante m las columnas, fijamos primero estos ínices y luego respetamos la concatenación ínices covariantes con los contravariantes. Esta es la convención para expresar la multiplicación e matrices en la notación e ínices 2. Esto es T m k k j i m T j i T k m k i T i j j m Ahora los objetos k, T i i j y j pueen ser sustitios en sus puestos corresponientes por su representación matricial. m k Con lo cual hemos encontrao la respresentación matricial T m e las componentes el tensor T en la base { ẽ, ẽ 2, ẽ 3 } T 0 T 2 2 T 2 3 T T 2 2 T 3 4 T T 2 3 T 3 5 Para encontrar la expresión para T km recoramos que T km g kn T n m es ecir, requerimos las componentes covariantes y contravariantes el tensor métrico g kn que genera esta base. Para ello recoramos que para para una base genérica, { ẽ j }, no necesariamente ortogonal, e un espacio vectorial con proucto interno, 2 Quizá una forma e comprobar si los ínices está bien concatenaos se observa si se bajan los ínices contravariantes pero se colcan e antes que los covariantes. Esto es T i j T ij Así la multiplicación e matrices quea representaa por C i j Ai k Bk j C ij A ik B kj y aquí es claro que íniices consecutivos están concatenaos e inican multiplicación Luis A. Núñez Universia e Los Anes, Méria, Venezuela 9

20 0 poemos efinir la expresión e un tensor 2 que enominaremos tensor métrico como g ẽ i ẽ j,, g ij g ji g ij g ji g [ ẽ i, ẽ j ] ẽ i ẽ j ẽ j ẽ i g ẽ i ẽ j, g ij g ij g ij g ij g ij Es e hacer notar que la representación matricial para la métrica covariante g ij e una base ortonormal { e, e 2, e 3 } { i, j, k } es siempre iagonalesto es con lo cual g e e i i ; g 2 e e 2 i j 0; g 3 e e 2 i j 0; g 2 e 2 e j i 0; g 22 e 2 e 2 j j ñ; g 23 e 2 e 3 j k 0; g 3 e 3 e k i 0; g 32 e 3 e 2 k j 0; g 33 e 3 e 3 k k ; T n m T km g kn T n m T nm g nk T m k one hemos enotao como la representación matricial el objeto Para el caso e la base genérica no ortonormal { ẽ j } tenemos os formas e calcular el tensor las componentes covariantes y contravariantes el tensor métrico. La primera es la forma irecta g ẽ ẽ i i ; g 2 ẽ ẽ 2 i i + j ; g 2 ẽ 2 ẽ i + j i ; g 22 ẽ 2 ẽ 2 i + j i + j 2 g 3 ẽ 3 ẽ i + j + k i ; g 32 ẽ 3 ẽ 2 i + j + k i + j 2; y g 3 ẽ ẽ 3 i i + j + k ; g 23 ẽ 2 ẽ 3 i + j i + j + k 2 g 33 ẽ 3 ẽ 3 i + j + k i + j + k 3 consecuentemente g ij g ji g ij g ij g ij Luis A. Núñez Universia e Los Anes, Méria, Venezuela 20

21 La otra forma e calcular la métrica corresponiente la base ortonormal { e, e 2, e 3 } { i, j, k } y transformarla a la base no ortonormal { ẽ, ẽ 2, ẽ 3 } { i, i + j, i + j + k } esto es g km i k j m g ij g km i k g ij La métrica para el la base ortonormal será iagonal y aemás g ii g ii y g ij g km i k g ij j m ; ; g ij j m, con lo cual ; g i j nótese para conservar la convención e ínices y matrices hemos representao que hemos traspuesto la matriz corresponiente a i. La razón, como ijimos arriba es k g km i k g ij j m g km Π ik g ij Π jm g km Π ki g ij Π jm Para poer representar multipicación e matrices los ínices eben estar consecutivos, por tanto hay que trasponer la represetación matricial para poer multiplicarlar. Ya estamos en capacia e obtener las representacines matriciales para los tensores: T j i, T ij, T ij. T T j i T i j n Tkm g kn T m T T j i ; Tkm T kn T n m g mk T km Referencias [] Apostol, T. M. 972 Calculus Vol 2 Reverté Mari QA300 A66C3 972 [2] Arfken, G. B.,Weber, H., Weber, H.J Mathematical Methos for Physicists 5ta Eición Acaemic Press, Nueva York [3] Borisenko, A.I, y Tarapov I.E. 968 Vector an Tensor Analisys Dover Publications Inc, Nueva York [4] Dennery, P. y Krzywicki, A. 995 Mathematics for Physicists Dover Publications Inc, Nueva York Luis A. Núñez Universia e Los Anes, Méria, Venezuela 2

22 [5] Gel fan, I.M. 96 Lectures on Linear.Algebra John Wiley & Sons Interscience, Nueva York. [6] Lovelock, D, y Run, H. 975 Tensors, Differential Forms & Variational Principles John Wiley Interscience, Nueva York. [7] Santaló, L.A 969 Vectores y Tensores Eitorial Universitaria, Buenos Aires [8] Schutz, B. 980 Geometrical Methos in Mathematical Physics Cambrige University Press, Lonres Luis A. Núñez Universia e Los Anes, Méria, Venezuela 22