( ) m RELATIVIDAD GALILEANA: ( t) = v. ( t) = r B,0. ( t) = a. ( t) = r ( ) = ( t) r

Transcripción

1 RELATIVIDAD GALILEANA: Un automóvil A viaja hacia el Este a una velocia constante e 5 km/h. Cuano pasa por el cruce representao en la figura arranca el automóvil B irigiénose hacia el Sur con una aceleración constante e 1. m/s. Calcular la posición, velocia aceleración e B relativas a A cinco segunos espués e que A pase por el cruce. 30 m A B Solución: I.T.I. 93, I.T.T. 0, 05 Si ponemos nuestro origen e coorenaas en el cruce, los ejes coorenaos X e Y horizontal vertical respectivamente ponemos a cero el cronómetro cuano A pasa por el cruce, las posiciones velociaes e los os automóviles serán: ( t) v A t r A v A 6.94 m / s i ˆ r B ( t) r B,0 + 1 a B t, r B,0 30 m ˆ j, v B ( t) a B t a B 1. m / s ˆ j La posición velocia relativa e B respecto a A será: r BA v BA ( t) r B ( t) r A ( t) r B,0 v A t + 1 a B t ( t) ( t) ( t) a B t v B v A v A En el momento que nos pien, t t a 5 s: r BA v BA ( ) t a ( ) t a r B,0 v A t a + 1 a B t a 34.7ˆ i +15 ˆ j a B t a v A 6.94i ˆ 6 ˆ j ( ) m ( ) m / s Física Movimiento Relativo Página 1

2 Las partículas 1 se mueven con velociaes constantes v 1 v por os líneas rectas, mutuamente perpeniculares, hasta su punto e intersección O. En el momento t 0 0 las partículas se encontraban a las istancias l 1 l e O. Al cabo e qué tiempo la istancia entre las partículas resultará ser mínima? Cuál será icha istancia? Solución: I.T.T. 96, 01, 04 Tenieno en cuenta las coniciones que nos an en el enunciao, los vectores e posición e las os partículas serán: r 1 ( l 1 + v 1 t) i, r ( l + v t) j La istancia entre las partículas será. l( t) r 1 r 1 r r 1 l 1 + v 1 t ( ) + ( l + v t) V 1 V La istancia será mínima cuano: l 0 t t mín. l 1v 1 + l v t tmín. v 1 + v l mín. l( t mín. ) l 1 v l v 1 v 1 + v El vector e posición e una partícula en un sistema e coorenaas O viene ao por la epresión r ( t) ( 6t 4t) i ˆ 3t 3 ˆ j + 3k ˆ. Determinar cómo es el movimiento relativo el sistema O ʹ con respecto a O si la posición e la partícula con relación a O ʹ se mie como r ʹ ( t) 6t + 3t i 3t 3 ˆ j + 3k ˆ. ( ) ˆ Solución: I.T.T. 97, 99, 0, 05 La relación entre las posiciones e la partícula meias por O r ( t) r ʹ ( t) + OO ʹ ( t) La posición e OO ʹ ( t) O ʹ respecto e O será: r O ʹ O La velocia relativa será: ( t) r ( t) r ʹ ( t) 7ti ˆ O ʹ es: Física Movimiento Relativo Página

3 v O ʹ O r ʹ t O O 7 ˆ i Como vemos O ʹ se mueve respecto e O con un movimiento rectilíneo uniforme a lo largo el eje X. Un tren cua longitu es e 350m empieza su recorrio por una vía recta con una aceleración constante e m/s. Pasao un tiempo e 30s espués e haberse iniciao el movimiento se hace sonar el silbato e la locomotora (suceso 1) transcurrio un tiempo e 60s ese este momento se enciene la lampara e cola el tren (suceso ). Hallar la istancia entre los puntos en que se proujeron estos sucesos en un sistema e referencia ligao al tren, íem para la tierra. Cómo a qué velocia constante respecto a la tierra ebe esplazarse un tercer sistema e referencia para que en él ambos sucesos tengan lugar en un mismo punto? Solución: I.T.T. 96, 01, 04 Consieremos los siguientes observaores: Observaor O: Observaor situao en el arcén quieto respecto e éste. Observaor O ʹ : Observaor situao entro el tren quieto respecto e éste. Observaor O ʹ ʹ : Observaor el tercer sistema e referencia que nos pien. Vamos a suponer que en el instante en que arranca el tren (velocia inicial nula) los tres observaores ponen en marcha sus cronómetros, que los orígenes e sus sistemas e referencia coincien que los tres orientan su eje X en la misma irección sentio a lo largo e las vías el tren. La posición el origen e coorenaas e O ʹ respecto e O será: ʹ consieramos el origen e coorenaas en el sistema e tenemos que: O O ( t) 1 a tren t. Si O ʹ en la cabeza el tren 1 er suceso ( t t 1 30s): 1 ʹ ʹ + t O ʹ O( 1) 1 ʹ + 1 a t tren m o suceso ( t t 90s): ʹ 350m ʹ + t O ʹ O( ) ʹ + 1 a t tren 8.5m La istancia entre los sucesos para O es: 1 La istancia entre los sucesos para O ʹ es: ʹ 1 ʹ ʹ 4m 350m ( ) v ʹ ʹ La posición el origen e coorenaas e O ʹ ʹ respecto e O será: t t. O ʹ ʹ O O O Done v O ʹ ʹ O es la velocia e O ʹ ʹ respecto e O, con lo cual para los os sucesos tenemos: Física Movimiento Relativo Página 3

4 1 1 ʹ ʹ 1 ʹ ʹ + O ʹ ʹ O ( t 1 ) 1 ʹ ʹ + v O ʹ ʹ O t 1 ʹ ʹ + O ʹ ʹ O ( t ) ʹ ʹ + v O ʹ ʹ O t ʹ ʹ v O ʹ ʹ O 1 t t m / s Este tercer sistema e referencia poría ser por lo tanto un seguno tren moviénose en sentio contrario al primero ( v < 0). O ʹ ʹ O Un automóvil viaja hacia el este a 50 km/h. Cuano el coche está parao, el conuctor ve que las trazas e las gotas e lluvia son verticales, cuano va a la velocia anterior, las trazas forman un ángulo e 60 con la vertical. Calcular la velocia e la lluvia respecto a) al automóvil en marcha, b) respecto a la tierra. Solución: I.T.I. 9, 98, 01, 03, 04, I.T.T. 95, 00, 03 Vamos a consierar los siguientes observaores: Observaor O: Observaor situao en el anen e la carretera quieto respecto e ésta. Observaor O ʹ : Observaor situao entro el coche. Si orientamos el eje X positivo hacia el Este, la velocia relativa e O ʹ respecto e O cuano el coche se encuentra en marcha se puee epresar como: v O ʹ O 50km / h V i. θ La relación entre las velociaes V V ʹ e las gotas e lluvia vistas por los os observaores es: V V ʹ + 0 ʹ O O v ʹ V senθ + v O ʹ O V ʹ cosθ V V ʹ V km / h 8.87km / h v ʹ O O Un hombre que conuce a través e una tormenta a 80 Km/h, observa que las gotas e lluvia ejan trazos en las ventanas laterales hacieno un ángulo e 30 con la vertical hacia la parte trasera, cuano va a 100 Km/h aumenta a 45. Calcular la velocia e las gotas el ángulo e caía meios por un peatón parao en el arcén. Solución: I.T.T. 97, 99, 0, 05 Vamos a consierar los siguientes observaores: Observaor O: Observaor situao en el anen e la carretera quieto respecto e ésta. Observaor O ʹ : Observaor situao entro el coche. Si orientamos el eje X positivo en el sentio e movimiento el coche, la velocia relativa e O ʹ respecto e O cuano el coche se encuentra en marcha se puee epresar como: v v V O ʹ O coche i. θ ϕ Física Movimiento Relativo Página 4 v O ʹ O

5 La relación entre las velociaes observaores es: V V ʹ e las gotas e lluvia vistas por los os V V ʹ + v V senϕ V ʹ senθ + v coche O ʹ O V cosϕ V ʹ cosθ Planteano estas ecuaciones en los os casos propuestos en el enunciao: V senϕ V 1 ʹ senθ 1 + v coche,1 V cosϕ V 1 ʹ cosθ 1 V senϕ V ʹ senθ + v coche, V cosϕ V ʹ cosθ Tenemos un sistema e cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Su solución es: V 70.8km / h V 1 ʹ 54.6km / h ϕ 48º 4 ʹ V ʹ 66.9km / h El agua e un río flue con una velocia e 0.5 m/s. Un joven naa río arriba una istancia e un km regresa al punto e partia. El joven naa en agua tranquila a una velocia e 1. m/s. a) Qué tiempo invierte en hacer el recorrio? b) Compararlo con el tiempo que tararía hacer el mismo recorrio sobre agua tranquila. Solución: I.T.I. 9, I.T.T. 95, 00, 03 a) Vamos a consierar los siguientes observaores: Observaor O: Observaor situao en la ribera el río quieto respecto e ésta. Observaor O ʹ : Observaor situao entro el agua ejánose arrastrar por la. La velocia relativa e O ʹ respecto e O venrá aa por la velocia e la en el río: v O ʹ O v. La relación entre las velociaes observaores es: V V ʹ + v O ʹ O V ʹ + V el naaor vistas por los os Física Movimiento Relativo Página 5

6 V IDA V ʹ VUELTA V Y los tiempos invertios en la ia en la vuelta serán: Δt 1,ia V ia El tiempo total invertio será:, Δt V ʹ + v 1,vuelta V vuelta V ʹ V ʹ Δt 1 Δt 1,ia + Δt 1,vuelta V ʹ 33 min s b) El tiempo que tararía si no hubiese el agua estuviera el calma sería (hacemos 0 en la epresión anterior): Δt 7 min s Un pescaor esea cruzar un río e 1 km e ancho el cual tiene una e 5 km/h hacia el norte. El pescaor está sobre el lao oeste. El bote lleva una rapiez e 4 km/h respecto al agua. a) En qué irección ebe apuntar para hacer el recorrio en un tiempo mínimo? b) Qué tiempo tarará en cruzar? c) Qué velocia lleva el bote respecto e un observaor en la orilla? Solución: I.T.I. 9, 97, I.T.T. 95, 00, 03 a) Vamos a consierar los siguientes observaores: Observaor O: Observaor situao en la ribera el río quieto respecto e ésta. Observaor O ʹ : Observaor situao entro el agua ejánose arrastrar por la. Vamos tomar el eje X en la irección sentio e la el eje Y en la irección transversal. La velocia relativa e O ʹ respecto e O venrá aa por la velocia e la en el río: v O ʹ O v. La relación entre las velociaes V V ʹ el naaor vistas por los os observaores es: V V ʹ + v O ʹ O V ʹ + Física Movimiento Relativo Página 6

7 Según la figura: V ʹ V ʹ senθ i ˆ + V ʹ cosθ ˆ j con lo que la velocia vista por O será: V ( V ʹ senθ + ) ˆ i + V ʹ cosθ ˆ j Para que cruce e un lao a otro en un tiempo mínimo la componente e la velocia ebería ser lo maor posible. Ello se consigue cuano: θ 0 V ʹ θ V b) Si llamamos a la anchura el río, el tiempo invertio al cruzar será: Δt V 15 min. c) La velocia respecto e O será: V i ˆ + V ʹ ˆ j, V + V ʹ 6.4 km / h Dos naaores tienen que atravesar un río ese el punto A en una e las orillas hasta el punto B situao en la orilla opuesta, enfrente el primero. Para esto, uno e ellos resolvió atravesar el río según la recta AB, mientras que el otro eciió mantenerse too el tiempo perpenicularmente a la, la istancia a la cual ella le esvíe, realizarla por la orilla a pie con una velocia igual a u. Con qué valor e u ambos naaores alcanzarán el punto B al mismo tiempo, si la velocia e la es e.0 km/h la velocia e caa naaor con respecto al agua es e.5 km/h? Solución: I.T.T. 96, 00, 03 Vamos a consierar los siguientes observaores: Observaor O: Observaor situao en la ribera el río quieto respecto e ésta. Observaor O ʹ : Observaor situao entro el agua ejánose arrastrar por la. Vamos tomar el eje X en la irección sentio e la el eje Y en la irección transversal. La velocia relativa e v O ʹ O v O ʹ respecto e O venrá aa por la velocia e la : Física Movimiento Relativo Página 7

8 La relación entre las velociaes V i V i ʹ e los os naaores (i 1, ) vistas por los os observaores es: V i V i ʹ + v O ʹ O V i ʹ + v El iagrama e velociaes corresponiente para caa naaor será: 1 B Naaor 1 V 1 B l Naaor θ V C A El tiempo invertio por el naaor 1 para cruzar el río será: A Δt 1 V 1 V 1 ʹ El tiempo invertio por el naaor será: Δt Δt A C + Δt C B Δt A C / cosθ V Δt C B l u tgθ u u V ʹ Δt 1+ u Si imponemos que los os tiempos son iguales, tenieno en cuenta que V 1 ʹ V ʹ, tenemos que: 1 V 1 ʹ 1ʹ 1+ u V 1 u 1 V 1ʹ km / h Física Movimiento Relativo Página 8

9 Un naaor intenta cruzar perpenicularmente un río naano con una velocia e 1.6 m/s respecto al agua tranquila. Sin embargo llega a la otra orilla en un punto que está 40m más lejos en 1a irección e la. Sabieno que el río tiene una anchura e 80m. a) Cuál es la velocia e la el río? b) Cuál es la velocia el naaor respecto a la orilla? c) En qué irección ebería naar para llegar al punto irectamente opuesto al punto e partia? Solución: I.T.I. 01, 04, I.T.T. 01, 04 a) Vamos a consierar los siguientes observaores: Observaor O: Observaor situao en la ribera el río quieto respecto e ésta. Observaor O ʹ : Observaor situao entro el agua ejánose arrastrar por la. La velocia relativa e O ʹ respecto e O venrá aa por la velocia e la en el río: v O ʹ O v. La relación entre las velociaes V v V ʹ el naaor vistas por los os observaores es: V V θ ʹ + v O ʹ O i + V ʹ V j El tiempo que ha tarao en atravesar el río (istancia Δ) será: V V ʹ Δ Δt Δt Δ 50s En ese tiempo se ha esplazao horizontalmente una istancia Δ: V Δ Δt 0.8m / s b) El móulo e V será: V V +V + V ʹ 1.789m / s El ángulo que formará con la irección transversal al río será: tgθ V V V ʹ 1 θ 6º 34 ʹ c) En este caso el iagrama e velociaes será el siguiente: V 0 V ʹ senθ ʹ + 0 senθ ʹ V ʹ 1 θ ʹ 30º θ ʹ V ʹ V Física Movimiento Relativo Página 9

10 Un bote navega por un río a una velocia que es.0 veces menor que la e la e éste. Qué ángulo respecto a la ebe mantener el bote para que ésta lo arrastre lo menos posible en su intento e pasar e una orilla a la otra? Solución: I.T.I. 0, 05, I.T.T. 96, 99, 01, 04 Vamos a consierar los siguientes observaores: Observaor O: Observaor situao en la ribera el río quieto respecto e ésta. Observaor O ʹ : Observaor situao entro el agua ejánose arrastrar por la. Vamos tomar el eje X en la irección sentio e la el eje Y en la irección transversal. La velocia relativa e v O ʹ O v O ʹ respecto e O venrá aa por la velocia e la : La relación entre las velociaes V V ʹ el bote vistas por los os observaores es: V V ʹ + v O ʹ O V ʹ + v, V ʹ Si llamamos h a la anchura el río, el tiempo que tara en atravesarlo será: θ V V V ʹ h Δt Δt hʹ h V V ʹ senθ En ese tiempo se ha esplazao horizontalmente una istancia s: V + V ʹ cosθ s Δt ( ) ( Δt v + V ʹ cosθ ) s + V ʹ cosθ V ʹ senθ h ( + cosθ) h senθ Lo que nos pien es que icha istancia sea mínima, lo cual se proucirá cuano θ θ mín. : s θ θ θ mín. 0 cosθ mín. 1 θ mín. 10º Si calculamos la erivaa seguna e s cuano θ θ mín. 10º nos a un valor positivo, luego se trata el mínimo que estamos buscano. Física Movimiento Relativo Página 10

11 Dese una boa, que se encuentra en el meio e un ancho río, partieron los botes A B tomano irecciones perpeniculares entre sí, el bote A a lo largo el río el bote B a lo ancho. Habiénose separao una misma istancia e la boa los botes emprenieron el regreso. Hallar el cociente entre los tiempos consumios por los botes en el recorrio si la velocia e caa uno (respecto al agua) es e 1. veces la velocia e la en el río. Solución: I.T.I. 0, 05, I.T.T. 96, 99, 01, 04 Vamos a consierar los siguientes observaores: Observaor O: Observaor situao en la ribera el río quieto respecto e ésta. Observaor O ʹ : Observaor situao entro el agua ejánose arrastrar por la. Vamos tomar el eje X en la irección sentio e la el eje Y en la irección transversal. La velocia relativa e v O ʹ O v O ʹ respecto e O venrá aa por la velocia e la : La relación entre las velociaes V i V i ʹ e los os botes (i A, B) vistas por los os observaores es: V i V i ʹ + v O ʹ O V i ʹ + v El iagrama e velociaes corresponiente para caa bote será: IDA VUELTA B V B A V A V B B A V A Si llamamos a la istancia que los os botes se separan e la boa los iferentes tiempos empleaos por los botes serán: Δt A,ia V A,ia Δt V A ʹ + v B,ia V B,ia V B ʹ Δt A,vuelta V A,vuelta Δt V A ʹ v B,vuelta V B,vuelta V B ʹ V ʹ Δt A Δt A,ia + Δt A,vuelta A V A ʹ Δt v B Δt B,ia + Δt B,vuelta V B ʹ Física Movimiento Relativo Página 11

12 Como las velociaes e los os botes A B respecto el agua son iguales, V A ʹ V B ʹ 1., el cociente entre los tiempos será: Δt A Δt B Un río tiene 1 Km e ancho. La velocia e la es e Km/h. Determinar el tiempo que le llevaría a un hombre para llevar traer, remano, un bote a través el río e una orilla a la otra. Comparar este tiempo con el que es necesario para escener 1 Km en la irección e la remontar nuevamente. La velocia el bote respecto al agua es e 4 Km/h. Si la iferencia e tiempos entre la ia la vuelta fuese e 10 minutos eterminar la velocia e la. Solución: I.T.T. 97, 0, 05 Vamos a consierar los siguientes observaores: Observaor O: Observaor situao en la ribera el río quieto respecto e ésta. Observaor O ʹ : Observaor situao entro el agua ejánose arrastrar por la. Vamos tomar el eje X en la irección sentio e la el eje Y en la irección transversal. La velocia relativa e v O ʹ O v O ʹ respecto e O venrá aa por la velocia e la : La relación entre las velociaes V V ʹ el bote vistas por los os observaores es: V V ʹ + v O ʹ O V ʹ + Si el bote va e una orilla a la otra por el camino más corto el iagrama e velociaes es el que se muestra en la figura: IDA VUELTA V V En ambos casos tenemos que: V V ʹ Y los tiempos invertios en la ia en la vuelta serán (llamano a la anchura el río): Física Movimiento Relativo Página 1

13 Δt 1,ia Δt 1,vuelta V V ʹ El tiempo total invertio será: Δt 1 Δt 1,ia + Δt 1,vuelta V ʹ h 34.6 min. Si el bote esciene a lo largo el río una istancia 1 km (eactamente igual a la anchura el río) luego vuelve, el iagrama e velociaes es el que se muestra en la figura: V IDA V ʹ VUELTA V Y los tiempos invertios en la ia en la vuelta serán: Δt,ia V ia El tiempo total invertio será:, Δt V ʹ + v,vuelta V vuelta V ʹ V ʹ Δt Δt,ia + Δt,vuelta V ʹ 3 h 40 min. Si ahora los atos que nos an es la iferencia e tiempos nos pien calcular el valor e la velocia e la, utilizano los resultaos anteriores: V ʹ Δt Δt 1 T 10 min. T V ʹ V ʹ Despejano resolvieno la ecuación e seguno grao: V ʹ 1 a + a 1+ a 1, a ʹ V T Con los valores que nos an: m / s.45 km / h Física Movimiento Relativo Página 13

14 Y los tiempos invertios serían en este caso: Δt min., Δt 47.9 min. En un sistema e coorenaas fijo en la tierra observamos una bala isparaa ese la cola e un aeroplano con una velocia e 300 m/s respecto a este, el cual se esplaza a 50 m/s. a) Describir el movimiento e la bala respecto al sistema e coorenaas e la tierra. b) Determinar el ángulo bajo el cual se ebe apuntar e moo que la componente horizontal el movimiento e la bala respecto e la tierra sea nula. Solución: I.T.I. 93, I.T.T. 97, 0, 05 Vamos a consierar los siguientes observaores: Observaor O: Observaor situao en tierra quieto respecto e ésta. Observaor O ʹ : Observaor situao entro el avión quieto respecto e éste. θ La velocia relativa e O ʹ respecto e O venrá aa por la velocia el avión, si tomamos el eje X en la irección sentio el movimiento el avión el eje Y vertical hacia arriba tenremos: c) V V ʹ + v avión v avión V ʹ cosθ i + V ʹ senθ ˆ j ( ) ˆ ) Si imponemos que V 0: v avión V ʹ cosθ 0 θ ar cos v avión V ʹ 33.6º Un avión vuela a la velocia e 50 km/h respecto al aire en reposo. Un viento sopla a 80 km/h en irección 45º al este el Norte. En qué irección ebe volar el avión para que su rumbo sea Norte? Cuál es en este caso la velocia el avión respecto al suelo? Solución: I.T.I. 96, 00, I.T.T. 0, 05 Vamos a consierar los siguientes observaores: Observaor O: Observaor situao en tierra quieto respecto e ésta. Observaor O ʹ : Observaor moviénose conjuntamente con el viento. V θ La velocia relativa e O ʹ respecto e O venrá aa por la velocia el viento, si tomamos el eje X hacia el Este el eje Y hacia el Norte tenremos: v viento Física Movimiento Relativo Página 14

15 V V ʹ + v viento V ʹ senθ v viento sen45º θ 13.1º V V ʹ cosθ + v viento cos 45º 300 km / h Los instrumentos e un avión inican que respecto al aire se mueve hacia al este a una velocia e 560 km/h. Al mismo tiempo un raar en tierra inica al avión que se esta movieno a 50 km/h en una irección que forma 8 con el este hacia el norte. Determinar la velocia el viento relativa a la tierra. Solución: I.T.I. 93, I.T.T. 97, 0, 05 Vamos a consierar los siguientes observaores: Observaor O: Observaor situao en tierra quieto respecto e ésta. Observaor O ʹ : Observaor moviénose conjuntamente con el viento. La velocia relativa e O ʹ respecto e O venrá aa por la velocia el viento, si tomamos el eje X hacia el Este el eje Y hacia el Norte tenremos: v viento ϕ θ V V V ʹ + v viento V cosθ V ʹ v viento senϕ V senθ v viento cosϕ ϕ 31.9º v viento 85.5 km / h Un barco en el ecuaor navega hacia el Este con una velocia e 30 km/h. Dese el Sueste hacia el ecuaor sopla un viento con una velocia e 15 km/h formano un ángulo e 60 con el ecuaor. Hallar la velocia el viento respecto al barco el ángulo entre el ecuaor la irección el viento en el sistema e referencia ligao al barco. Solución: I.T.T. 96, 99, 01, 04 Vamos a consierar los siguientes observaores: Observaor O: Observaor situao en la costa quieto respecto e ésta. Observaor O ʹ : Observaor situao entro el barco quieto respecto e éste. La velocia relativa e O ʹ respecto e O venrá aa por la velocia el barco, si tomamos el eje X hacia el Este el eje Y hacia el Norte tenremos: v O ʹ O v barco 30km / h i La relación entre las velociaes V V ʹ el viento vistas por los os observaores es: V V ʹ + v O ʹ O V ʹ + v barco V ʹ V v barco Física Movimiento Relativo Página 15 V V ʹ

16 V ʹ V ʹ V ʹ ( V v barco ) V ( v barco ) V + Vv barco cosθ + v barco Para el cálculo e ϕ : 39.67km / h V ʹ V V ʹ senϕ V senθ ϕ 19º 6 ʹ Un tren pasa por una estación a 30 m/s. Una bola ruea sobre el piso el tren con una velocia e 15 m/s irigia: a) en el sentio el movimiento el tren, b) en sentio contrario, c) en irección perpenicular al movimiento el tren. Encontrar en caa caso la velocia e la bola respecto a la estación. Solución: I.T.I. 95, 00, I.T.T. 0, 05 Consieremos los siguientes observaores: Observaor O: Observaor situao en el arcén quieto respecto e éste. Observaor O ʹ : Observaor situao entro el tren quieto respecto e éste. La velocia relativa e O ʹ respecto e O venrá aa por la velocia el tren. La ecuación que relaciona las velociaes e la bola meias por O O ʹ será: V V ʹ + v tren Para caa caso tenremos los siguientes iagramas a) V v tren V V ʹ + v tren 45 m / s b) V v tren V V ʹ v tren 15 m / s c) V v tren V V ʹ + v tren 33.5 m / s Física Movimiento Relativo Página 16

17 Una persona en un ascensor ve un tornillo que cae el techo. La altura el ascensor es e 3 m. a) Si el ascensor se nueve hacia arriba con una aceleración constante e 4.0 m/s irigia hacia arriba cuánto tiempo tarará el tornillo en chocar contra el suelo? Solución: I.T.T. 00, 03 Vamos a consierar los siguientes observaores: Observaor O: Observaor situao fuera el ascensor quieto respecto el eificio. Observaor O ʹ : Observaor situao entro el ascensor. Vamos tomar el eje Y en la irección vertical sentio hacia abajo. La aceleración relativa e a O ʹ O a ascensor O ʹ respecto e O venrá aa por la aceleración el ascensor: La relación entre las aceleraciones e la gravea g g ʹ con las que cae el tornillo vistas por los os observaores es: g g ʹ + a O ʹ O g ʹ + Es ecir, para el observaor a ascensor g ʹ g a ascensor 9.8 m / s ˆ j O ʹ, el tornillo cae con una aceleración e la gravea: ( ) ( 4.0 m / s ˆ j ) 13.8 m / s ˆ j La altura h el ascensor será recorria por el tornillo en un tiempo Δt: h 1 g ʹ ( Δt) Δt h g ʹ 0.66 s La cabina e un ascensor e.7 m e altura comienza a elevarse con una aceleración constante e 1. m/s. A los.0 s espués el inicio e la ascensión el techo e la cabina se esprene un perno. Hallar: a) el tiempo e la caía libre el perno. b) el esplazamiento el recorrio el perno urante la caía libre en un sistema e referencia ligao al foso el ascensor. Solución: I.T.T. 96, 01, 04 ) Vamos a consierar los siguientes observaores: Observaor O: Observaor situao en el foso el ascensor. Observaor O ʹ : Observaor situao entro el ascensor. Física Movimiento Relativo Página 17

18 Vamos a orientar el eje X horizontal el eje Y vertical, vamos a poner en marcha el cronómetro cuano el ascensor inicie su movimiento e ascensión. La aceleración relativa e O ʹ respecto e O será la aceleración que nos an en el enunciao: a 1. m / O ʹ O s j. La relación entre las aceleraciones meias por los os observaores será: a a ʹ + a O ʹ O En particular para la aceleración e la gravea en caía libre meia por los os observaores tenremos: g g ʹ + a O ʹ O g ʹ g a 11m / O ʹ O s j Para el observaor O ʹ, cuano él ve caer algo entro el ascensor lo ve caer con una aceleración e 11 m/s, maor que la aceleración e la gravea usual. El movimiento es uniimensional a lo largo el eje Y, toas las posiciones velociaes aceleraciones en las siguientes epresiones harán por lo tanto referencia a componentes. Llamemos h a la altura el ascensor. Durante la caía libre las ecuaciones el movimiento para el perno en el sistema e referencia e O ʹ serán: t 0 t espren..0s, 0 ʹ h.7m, v ʹ 0 0, a ʹ g ʹ 11m / s ( ) ʹ ( t) h 1 g ʹ t t espren. En el instante t t choque el perno impacta contra el suelo el ascensor: ( ) 0 h 1 g ʹ ( t t choque espren.) t choque.7s ʹ t choque El tiempo urante el cual el perno ha estao en caía libre será: Δt t choque t espren. 0.7s e) Las ecuaciones el movimiento para el perno en el sistema e referencia e O ʹ para t t espren. s serán: t 0 0, 0 h.7m, v 0 0, a a ascensor 1.m / s ( t) h + 1 a ascensort, v( t) a ascensor t La altura h ʹ la velocia u ʹ el perno en el momento e esprenerse el techo, t t espren., serán: Física Movimiento Relativo Página 18

19 h ʹ ( t espren. ) h + 1 a ascensort espren. 5.1m u ʹ v( t espren. ) a ascensor t espren..4m / s (está subieno) Después e soltarse, t t espren. s, las ecuaciones el movimiento para el perno en el sistema e referencia e O ʹ serán: t 0 t espren..0s, 0 ( t) h ʹ + u ʹ t t espren. h ʹ 5.1m, v 0 u ʹ.4 m / s, a g 9.8m / s ( ) 1 g ( t t espren.), v t ( ) ( ) u ʹ g t t espren. En el instante en que el perno choca contra el suelo el ascensor, t t choque, la altura h ʹ ʹ la velocia u ʹ ʹ el perno serán: h ʹ ʹ ( t choque ) h ʹ + u ʹ ( t choque t espren. ) 1 g ( t choque t espren. ) 4.4m u ʹ ʹ v( t choque ) u ʹ g( t choque t espren. ) 4.5m / s (está bajano) El esplazamiento realizao por el perno será: Δ ( t choque ) ( t espren. ) h ʹ ʹ h ʹ 0.7m Para calcular el recorrio realizao por el perno, es ecir la istancia que recorre, ese el punto e vista el observaor O vamos a calcular la altura máima h ʹ ʹ ʹ que alcanza en el instante t t má.altura : v( t má.altura ) 0 u ʹ g( t má.altura t espren. ) 0 t má.altura.s h ʹ ʹ ʹ ( t má. altura ) h ʹ + u ʹ ( t má.altura t espren. ) 1 g ( t má. altura t espren. ) 5.4 m La istancia recorria será la que recorre al subir más la que recorre al bajar: ( h ʹ ʹ ʹ h ʹ ) + h ʹ ʹ ʹ h ʹ ʹ ( ) 1.3m Física Movimiento Relativo Página 19

20 Un trineo a reacción se prueba sobre una vía recta que se ha construio a lo largo e un meriiano. Sabieno que la vía está situaa a 40 norte calcular la aceleración e Coriolis el trineo cuano su velocia es e 900 km/h. Solución: I.T.I. 9, I.T.T. 95, 00, 03 Daa la figura, one se muestran los iferentes vectores, la aceleración e Coriolis será: a Coriolis ω V ʹ ω V ʹ senθ k ˆ m / s ˆ k θ θ ω La caja e un ascensor e una mina esciene con una velocia constante e 1 m/s. Calcular el móulo, irección sentio e la aceleración e Coriolis e la caja si el ascensor está situao: a) en el ecuaor, b) a 40 e latitu norte, c) a 40 e latitu sur. Solución: I.T.I. 9, 93, 98, I.T.T. 95, 00, 03 En la figura se refleja la orientación e los iferentes vectores. Los tres casos que nos pien analizar corresponen a los valores e θ 40º, θ 0º θ 40º respectivamente. a Coriolis ω V ʹ ω V ʹ cosθ k ˆ θ ω m / s ˆ k θ 40º m / s ˆ k θ 0º m / s ˆ k θ 40º Un río flue hacia i) el Norte, ii) el Sur, iii) el Este a 9 km/h en la latitu 40º Norte. a) Hallar la aceleración e Coriolis en los tres casos. b) En qué lao presionará el agua proucieno maor erosión?. c) Repetir el problema cuano el río se encuentra en la latitu 40º Sur. Solución: I.T.T. 99, 01, 04 Vamos a orientar el eje X positivo hacia el Este, el eje Y positivo hacia el Norte el eje Z positivo perpenicular a la superficie hacia arriba. La velocia angular e rotación Física Movimiento Relativo Página 0

21 e la tierra es: ω ra / s. El vector velocia angular puee escribirse en función e la latitu λ como ω ω cosλ j +ω senλ k, one la latitu λ se consiera positiva si es Norte negativa si es Sur. La aceleración e Coriolis viene aa por la epresión: a Coriolis ω V. a) En el hemisferio Norte tenremos: i) V V j a Coriolis m / s i ii) V V j a Coriolis m / s i iii) V V i a Coriolis ωv cosλ k ω Vsenλ j ( k j )m / s a Coriolis m / s b) En el hemisferio Norte la aceleración e Coriolis hace que el agua presione más en la ribera erecha. c) En el hemisferio Sur tenremos: i) V V j a Coriolis m / s i ii) V V j a Coriolis m / s i iii) V V i a Coriolis ωv cosλ k ω Vsenλ j ( 4 k j )m / s a Coriolis m / s En el hemisferio Sur la aceleración e Coriolis hace que el agua presione más en la ribera izquiera. Un pequeño cuerpo en el ecuaor cae libremente a la superficie e la tierra ese una altura e 500 m. espreciano la resistencia el aire eterminar a qué istancia hacia qué lao e la vertical se esviará icho cuerpo. Solución: I.T.T. 96, 04 Si orientamos el eje X hacia el Este, el eje Y hacia el Norte el eje Z perpenicular al suelo hacia arriba, ponemos el origen e coorenaas en el suelo justo ebajo el objeto que cae: ω ω ĵ V gt ˆk a Coriolis ω V ω gt î con lo que la componente e la aceleración el cuerpo urante la caía será: Física Movimiento Relativo Página 1

22 a ω gt Integrano sucesivamente tenieno en cuenta que V 0, 0, 0 0: ( t) 1 3 ω gt3 Tenieno en cuenta que cuano el cuerpo llega al suelo si resolvemos las ecuaciones el movimiento vertical tenemos que: Error!Marcaor no efinio. tenemos que en ese momento la esviación respecto e la vertical valrá: ( t suelo ) 1 3 ω gt 3 suelo 1 3 ω g h g 3/ 0.45 m Para un cuerpo que cae libremente ese una altura h calcular aproimaamente cual es la esviación respecto e la vertical ebio a la aceleración e Coriolis: a) si la caía se realiza en un punto e la superficie terrestre e latitu λ norte, b) si la caía se realiza en un punto e la superficie terrestre e latitu λ sur. Solución: I.T.T. 0, 05 Si orientamos el eje X hacia el Este, el eje Y hacia el Norte el eje Z perpenicular al suelo hacia arriba, ponemos el origen e coorenaas en el suelo justo ebajo el objeto que cae: a) Si nos encontramos en el hemisferio Norte: ω ω cosλ ˆ j + ω senλ ˆ k V g t ˆ k a Coriolis ω V ω cosλ g ti ˆ con lo que la componente e la aceleración el cuerpo urante la caía será: a ω cosλ g t Integrano sucesivamente tenieno en cuenta que V 0, 0, 0 0: ( t) 1 ω cosλ g t3 3 Tenieno en cuenta que cuano el cuerpo llega al suelo si resolvemos las ecuaciones el movimiento vertical tenemos que: Física Movimiento Relativo Página

23 t suelo h g tenemos que en ese momento la esviación respecto e la vertical valrá: ( t suelo ) 1 3 ω cosλ gt 3 suelo 1 3 ω cosλ g h 3/ g b) Si nos encontramos en el hemisferio Sur: ω ω cosλ ˆ j ω senλ k ˆ V gt k ˆ a Coriolis ω V ω cosλ gt ˆ i con lo que la componente e la aceleración el cuerpo urante la caía será: a ( t) ω cosλ gt Integrano sucesivamente tenieno en cuenta que V 0, 0, 0 0: ( t) 1 ω cosλ g t3 3 Tenieno en cuenta que cuano el cuerpo llega al suelo si resolvemos las ecuaciones el movimiento vertical tenemos que: t suelo h g tenemos que en ese momento la esviación respecto e la vertical valrá: ( t suelo ) 1 3 ω cosλ gt 3 suelo 1 3 ω cosλ g h 3/ g Por lo que se puee comprobar el resultao no epene el hemisferio one se realice la caía. Física Movimiento Relativo Página 3

24 Una barra se mueve en un plano horizontal con ω t ra/s. Un punto sobre la barra se mueve respecto a ésta con v ʹ 4 m/s. Calcular la velocia aceleración absoluta el punto. En el instante t 0 la barra se encuentra sobre el eje OX el punto a 1 m e O. Particularizar para el instante t 1 s. O v' ω Solución: I.T.I. 9, 97, 98, I.T.T. 95, 04 Llamemos θ al ángulo que forma la barra con el eje X. Inicialmente icho ángulo es nulo, en un tiempo t cualquiera: θ t ( ) θ 0 + ω t t ( )t t t t 0 t 0 Llamemos O a un observaor cuos ejes son los que se representan en la figura, llamemos O ʹ a un observaor montao en la barra con su eje X ʹ a lo largo e la barra, su eje Y ʹ perpenicular a X ʹ en el plano e la figura, su eje Z ʹ perpenicular a la figura hacia fuera el papel (coincie con el eje Z). La relación entre los vectores unitarios el sistema e referencia e aa por: i ˆʹ cos( θ) î + sen( θ) ĵ cos t ˆʹ j sen( θ) î + cos( θ) ĵ sen t k ˆʹ ˆk Dese el punto e vista e r i ˆʹ, ʹ v 4ˆʹ i 0 ( ) : ʹ r ( t) r0 + v ʹ t t 0 ( )î + sen ( t ) ĵ ( )î + cos t ( ) ĵ O ʹ los e O viene O ʹ el vector e posición el punto en función el tiempo será i ˆʹ + 4t i ˆʹ ( 4t + 1) i ˆʹ ( ) ʹ ( ) (los os coincien en el vector Recorano que para los os observaores r t r t e posición el punto) poemos calcular la velocia la aceleración el punto respecto e O: v v ʹ + ω r 4ˆʹ i + t k ˆʹ ( 4t + 1) i ˆʹ 4ˆʹ i + t ( 4t + 1) ˆʹ j 4 cos( t )î + sen ( t ) ĵ + t ( 4t + 1 ) sen ( t )î + cos ( t ) ĵ 4 cos( t ) t ( 4t + 1)sen ( t ) î + 4sen ( t ) + t ( 4t + 1)cos t ( ) ĵ Física Movimiento Relativo Página 4

25 a a ʹ + ω v ʹ + ω ω r 0 + t k ˆʹ 4ˆʹ i + t kˆʹ 16t ˆʹ j + t k ˆʹ t 4t + 1 ( ) ˆʹ ( ) + α r { t k ˆʹ ( 4t + 1) i ˆʹ } + k ˆʹ ( ) ˆʹ j ( ) ˆʹ j ( ) ˆʹ + 4t + 1 4t 4t + 1 i + 1t + 1 j 4t ( 4t + 1) cos( t )î + sen ( t ) ĵ + 1t + 1 4t ( 4t + 1)cos( t ) ( 1t + 1)sen ( t ) î + + 4t ( 4t + 1)sen ( t ) + ( 1t + 1)cos( t ) ĵ ( ) sen t ( )î + cos t ( ) ˆʹ 4t + 1 i ( ) ĵ one α ω es la aceleración angular e la barra. (El resultao e la aceleración se t puee obtener e una forma más sencilla simplemente erivano la epresión e la velocia: a v t ) Particularizano para t 1 s: v 1 ( ) 6.5î ĵ a 1 ( ) 3.7î.78 ĵ La grúa que se inica en la figura gira con una velocia angular constante ω ra/s. Simultáneamente la pluma o brazo se eleva con una velocia angular ω 0.5 ra/s respecto e la cabina. Sabieno que la longitu e la pluma es l OP 1 m, calcular: a) la velocia e su etremo P, b) la aceleración e icho etremo. ω Y ω1 30 P X Z Solución: I.T.I. 9, I.T.T. 97, 00, 03 Vamos a consierar los siguientes observaores: Observaor O: Observaor situao fuera e la grúa quieto respecto el suelo. Observaor O ʹ : Observaor situao entro e la grúa. a) La velocia angular con la que el observaor O ʹ su sistema e referencia giran respecto al sistema e referencia e O es ω 1 con lo que la relación entre las velociaes e P vistas por los os será: Física Movimiento Relativo Página 5

26 V V ʹ + ω 1 r Por otro lao O ʹ ve al punto P realizar un movimiento circular uniforme con velocia angular ω, con lo que la velocia V ʹ que ve será: V ʹ ω r Sustitueno en la epresión anterior tenieno en cuenta que ω 1 ω ˆ 1 j, ω ω ˆ k, r l cosθ, senθ, 0 ( ) θ 30º obtenemos que la velocia que ve O es: V ω 1 + ( ) ω r ω l senθ i ˆ +ω l cosθ ˆ j ω 1 l cosθ k ˆ 3.00ˆ i ˆ j 3.1 ˆ k b) La relación entre las aceleraciones e P vistas por los os será: a a ʹ + ω 1 V ʹ + ω 1 ω 1 r ( ) Como hemos icho O ʹ ve al punto P realizar un movimiento circular uniforme con velocia angular ω, con lo que la velocia V ʹ aceleración a ʹ que ve serán: V ʹ ω r, a ʹ ω ω r ( ) Sustitueno en la epresión anterior tenemos que: a ω 1 + ( ) ( ω r ) + ω ( ) ω 1 ω 1 r ω ( 1 +ω )lcosθ i ˆ ω lsenθ ˆ j + ω 1 ω l senθ k ˆ 3.53ˆ i 1.50 ˆ j ˆ k Un sistema e coorenaas O ʹ : X ʹ, Y ʹ, Z ʹ, gira respecto a un sistema e coorenaas fijo en el espacio (ambos con el mismo origen) con una velocia angular ω ˆ i ʹ. El vector e posición e una partícula en el instante t respecto al sistema O ʹ viene ao por r ʹ ( t +1) i ˆ ʹ 6t ˆ j ʹ + 4t 3 k ˆ ʹ. a) Hallar la velocia e la partícula para t 1 s respecto al sistema fijo. b) Hallar la aceleración. Solución: I.T.T. 99, 0, 05 Con los atos que nos an: Física Movimiento Relativo Página 6

27 r ʹ t t ˆ i ʹ 6 ˆ j ʹ +1t ˆ k ʹ ω r ʹ 8t 3 ˆ j ʹ 1t k ˆ ʹ V ʹ a ʹ t i ˆ ʹ + 4t k ˆ ʹ ω V ʹ 48t ˆ j ʹ 4 k ˆ ʹ ω ω r ʹ ( ) 4t ˆ ʹ j 16t 3 k ˆ ʹ V ( t) V ʹ + ω r ʹ t ˆ i ʹ ( 6 + 8t 3 ) ˆ j ʹ +1t( t 1) k ˆ ʹ a ( t) a ʹ + ω V ʹ + ω ( ω r ʹ ) i ˆ ʹ + 4t ( 1 t) ˆ j ʹ 8 ( t 3 3t + 3) k ˆ ʹ En t t a 1 s tenemos para la velocia la aceleración vistas por O: V ( t a ) i ˆ ʹ 14 ˆ j ʹ, a ( t a ) i ˆ ʹ 4 ˆ j ʹ 16 k ˆ ʹ Obsérvese que la solución e lo que mie O está epresaa en función e los vectores unitarios i ˆ ʹ, ˆ j ʹ k ˆ ʹ el sistema e referencia e O ʹ. O puee epresar sus meias utilizano los ejes vectores unitarios que quiera. Si quisiera epresar sus meias según los vectores unitarios i ˆ, ˆ j k ˆ e su sistema e referencia ebería realizar un cambio e base e coorenaas. Una partícula se mueve a lo largo el bore e un isco circular e raio R con velocia constante en móulo v (respecto al isco). En ese mismo instante el isco está girano alreeor e un eje perpenicular a él por su centro, con velocia angular ω aceleración angular α (respecto e un sistema e referencia anclao al suelo), e forma que los sentios e ambos se oponen al movimiento e P sobre el isco (ver figura). Hallar la velocia aceleración e P respecto el sistema e referencia anclao al suelo en icho instante. Solución: I.T.T. 99, 0, 05 Con los atos que nos an, según la figura: r R i ˆ V ʹ V ʹ ˆ j ω ω k ˆ α α k ˆ V V ʹ + ω r V ʹ ω R a a ʹ + ω V ʹ + ω ω r ( ) ˆ j ( ) + α r V ʹ R + ω V ʹ ω R ˆ i α R ˆ j Física Movimiento Relativo Página 7

28 Física Movimiento Relativo Página 8

29 Un isco se mueve girano alreeor e su centro con una velocia angular e ra/s, una mosca comienza a anar sobre el bore el isco con velocia e m/s. Calcular la velocia aceleración absolutas e la mosca sabieno que el raio el isco es 1m la mosca parte con posición inicial el eje OX. El sentio e movimiento e la mosca es el mismo que el el isco contrario a las agujas el reloj Solución: I.T.T. 97, 03 Vamos a consierar los siguientes observaores: Observaor O: Observaor situao fuera el isco quieto respecto el suelo. Observaor O ʹ : Observaor situao entro el isco. La velocia e la mosca vista por O será: ω r V V ʹ + ω r 4m / s ˆ j La aceleración e la mosca vista por O será: a a ʹ + ω V ʹ + ω ω r ( ) Tenieno en cuenta que la mosca realiza un movimiento circular uniforme visto por la aceleración que ve éste será: a ʹ V ʹ r ( i ˆ ) 4m / s i ˆ Sustitueno toos los valores en la epresión e a tenemos que: a 16 m / s i ˆ O ʹ, En el sistema motor e la figura la manivela AB tiene una velocia angular constante e 000 rpm en el sentio e las agujas el reloj. Calcular para la posición inicaa e la manivela: a) la velocia la aceleración angular e la biela BD, b) velocia aceleración el pistón P A 3 cm B 40 8 cm β D P Solución: I.T.I. 9 Teto solución Física Movimiento Relativo Página 9

30 Una compañía e caetes, formaa en cuaro e 0 m e lao (ver figura), avanza con paso regular. La mascota e la compañía, un pequeño fo-terrier, parte el etremo izquiero Β e la última fila (solao A en la figura), echa un trotecillo en línea recta hacia el etremo izquiero e la fila e la cabeza (solao B), regresa el mismo moo hasta el etremo izquiero e la última fila. En el momento e alcanzar al solao A los caetes han recorrio eactamente 0 m. Suponieno que el perro corra con velocia constante que Α no piera tiempo en los giros cuántos metros ha recorrio? Repita el cálculo si en lugar e moverse hacia elante hacia atrás la mascota corre con velocia constante alreeor el cuaro manteniénose tan próimo a los caetes como le es posible. Se supone, como en el cálculo anterior, que cuano el perro regresa al solao A la formación ha avanzao 0 m. Nota: La ecuación X 4 4X 3 X + 4X tiene solución para X Solución: I.T.T. 05 Si llamamos L a la longitu el cuarao que forma la compañía e caetes tenemos en cuenta que el tiempo invertio en el movimiento por los caetes será el mismo que invierte el perro, la istancia que habrá recorrio éste será: Δt Δt L v caetes L X L v caetes one hemos llamao X al cociente entre las velociaes el perro e los caetes (no es necesario conocer en etalle el valor e las velociaes para eterminar la istancia recorria por el perro, basta con conocer su cociente). Vamos a consierar los siguientes observaores: Observaor O: Observaor en reposo respecto el suelo. Observaor O ʹ : Observaor moviénose conjuntamente con los caetes. La relación entre las velociaes v perro v ʹ perro vistas por los os observaores es: v ʹ perro + v Oʹ O v ʹ perro + v caetes El perro va e A a B: Δt A B L L vʹ perro v caetes El perro va e B a A: Δt B A L L vʹ perro + v caetes A B v caetes vperro vperro ʹ vperro ʹ v caetes B A Física Movimiento Relativo Página 30

31 Calculano el tiempo total obtenemos finalmente la istancia recorria por el perro: Δt Δt A B + Δt B A v caetes L L + v caetes + v caetes L X X 1 L v caetes X X 1 Δt X X 1 1 X ( ) L 48.3 m Para el seguno caso, enominano A, B, C D a los caetes en las esquinas e la formación: El perro va e A a B: Δt A B L L vʹ perro v caetes El perro va e B a C: Δt B C L vʹ perro L v caetes El perro va e C a D: Δt C D L L vʹ perro + v caetes El perro va e D a A: Δt D A L vʹ perro L v caetes v caetes ʹ B C vperro ʹ D A v caetes Calculano el tiempo total obtenemos finalmente la istancia recorria por el perro: Δt Δt A B + Δt B C + Δt C D + Δt D A L L + + v caetes + v caetes L v caetes + v caetes v caetes L X X 1 + X 1 L v caetes X X 1 + Δt X 1 X X X 1 X 4 4X 3 X + 4X L 83.6 m Física Movimiento Relativo Página 31