VECTORES: RECTAS Y PLANOS

Transcripción

1 ECTORES: RECTAS Y LANOS Determinar la ecuación e la recta que pasa por los puntos (3, 1, 0) y (1, 1, 2). Solución: I.T.I. 93, I.T.T. 04 Sea un punto A genérico e la recta e coorenaas ( x, y, z), los vectores A y son vectores contenios en la recta y por lo tanto paralelos luego: A = λ ( x 3, y 1, z) = λ( 2, 0, 2) ( x, y, z) = ( 3 2λ, 1, 2λ) Determinar la ecuación e la recta que pasa por los puntos (x 1, y 1, z 1 ) y (x 2, y 2, z 2 ). Solución: I.T.I. 94 Sea un punto A genérico e la recta e coorenaas ( x, y, z), los vectores A y son vectores contenios en la recta y por lo tanto paralelos luego: A = λ ( x x 1, y y 1, z z 1 ) = λ( x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) ( [ ]) ( x, y, z) = x 1 + λ[ x 2 x 1 ], y 1 + λ[ y 2 y 1 ], z 1 + λ z 2 z 1 Hallar la ecuación e la recta que pasa por los puntos A (2, 3, 9) y B (0, 6, 1). Solución: I.T.I. 04 Sea un punto genérico e la recta e coorenaas ( x, y, z), los vectores A y AB son vectores contenios en la recta y por lo tanto paralelos luego: A = λ AB ( x 2, y 3, z + 9) = λ( 2, 3, 8) ( x, y, z) = ( 2 2λ, 3 + 3λ, 9 + 8λ)

2 Determinar la istancia el punto e coorenaas (6, 4, 4) a la recta que pasa por los puntos A y B e coorenaas (2, 1, 2) y (3, 1, 4) respectivamente. Solución: I.T.I. 95, I.T.T. 04 La istancia que nos pien será, según la figura, = A sen. El valor e lo poemos obtener a partir el proucto vectorial: B Jose Javier Sanonís Ruiz 6/10/04 09:15 Eliminao: A AB = A AB sen A = A AB AB = 3 uni. e longitu Determinar la istancia el punto e coorenaas (5, 5, 3) a la recta que pasa por los puntos A y B e coorenaas (1, 0, 1) y (2, 2, 3) respectivamente. Solución: I.T.I. 96, 00, 06, I.T.T. 96, 00, 03, 06 La istancia que nos pien será, según la figura, = A sen. El valor e lo poemos obtener a partir el proucto vectorial: B Jose Javier Sanonís Ruiz 6/10/04 09:11 Eliminao: Jose Error! Javier Bookmark Sanonís not efine. Ruiz 6/10/04 09:13 Eliminao: A AB = A AB sen A = A AB AB = 3 uni. e longitu

3 Determinar la istancia el punto (4, 1, 5) a la recta que pasa por los puntos A (1, 2, 0) y B (1, 1,4). Solución: I.T.I. 92, 93, 94, 03, I.T.T. 95, 99, 02, I.I. 94 La istancia que nos pien será, según la figura, = A sen. El valor e lo poemos obtener a partir el proucto vectorial: B A AB = A AB sen A = A AB AB = uni. e longitu Calcular la ecuación e la recta que pasa por los puntos A (2, 1, 5) y B (3, 0, 4). Determinar la istancia el punto (1, 2, 1) a icha recta. Solución: I.T.I. 97, I.T.T. 97, 01, 05 Sea un punto cualquiera e la recta, e coorenaas (x, y, z) (respecto el origen e coorenaas en O). La ecuación paramétrica e la recta venrá aa por: O = OA + A A AB A = λ AB O = OA + λ AB ( x, y, z) = ( 2, 1, 5) + λ ( 1,1, 1) x = λ + 2 y = λ 1 z = 5 λ La istancia que nos pien será, según la figura, = A sen. El valor e lo poemos obtener a partir el proucto vectorial: B A AB = A AB sen A = A AB AB = 74 3 uni. e longitu

4 Si A = (3, 1, 2) y B = (1, 2, 4) son los vectores e posición e los puntos y respectivamente, hallar: a) la ecuación el plano que pasa por y es perpenicular a la recta, b) la istancia el punto ( 1, 1, 1) al plano. Solución: I.T.I. 93, 95, I.T.T. 04 a) Sea M e coorenaas (x, y, z) un punto cualquiera el plano. El vector M es un vector contenio en el plano que nos pien y por lo tanto ebe ser perpenicular al vector = B A : M = 0 2x + 3y 2z = 12 b) Según la figura la istancia el punto S (cuyas coorenaas nos inican en el enunciao) al plano será: = S cos. El valor e, ángulo con la vertical al plano, lo poemos obtener a partir el proucto escalar: S S = S cos = S = 11 uni. e long. 17

5 Hallar la ecuación el plano que contiene a los puntos 1 (2, 1, 1), 2 (3, 2, 1), 3 ( 1, 3, 2) Solución: I.T.I. 93, 01, I.T.T. 02 Como los vectores 1 2 = (1, 3, 2) y 1 3 = ( 3, 4, 1) están contenios en el plano el vector = = 11, 5,13 ( ) será un vector perpenicular al plano. Sea A e coorenaas (x, y, z) un punto cualquiera el plano. El vector 1 A es un vector contenio en el plano que nos pien y por lo tanto ebe ser perpenicular al vector : 1 A = 0 11x + 5y +13z = 30

6 Encontrar la ecuación el plano perpenicular al vector = (4, 2, 1) y que pasa por el punto e coorenaas (2, 1, 5). Determinar la istancia el punto e coorenaas (3, 0, 4) a icho plano. Solución: I.T.I. 96, 00, 02, 05, 06, I.T.T. 96, 00, 03, 06 Sea A e coorenaas (x, y, z) un punto cualquiera el plano. El vector A es un vector contenio en el plano que nos pien y por lo tanto ebe ser perpenicular al vector : A = 0 4x 2y z = 5 Según la figura la istancia el punto al plano será: = cos. El valor e, ángulo con la vertical al plano, lo poemos obtener a partir el proucto escalar: = cos = = 3 uni. e longitu 7

7 Calcular la ecuación el plano que contiene a los vectores A = (3, 2, 1) y B = (1, 3, 5) y pasa por el punto e coorenaas (2, 2, 3). Determinar la istancia el punto e coorenaas (1, 2, 1) a icho plano. Solución: I.T.I. 97, I.T.T. 97, 01 Como los vectores A = A B = 7, 14, 7 y B están contenios en el plano el vector ( ) será un vector perpenicular al plano. Sea C e coorenaas (x, y, z) un punto cualquiera el plano. El vector C es un vector contenio en el plano que nos pien y por lo tanto ebe ser perpenicular al vector : C = 0 x + 2y + z =1 Según la figura la istancia el punto al plano será: = cos. El valor e, ángulo con la vertical al plano, lo poemos obtener a partir el proucto escalar: = cos = = 3 uni. e longitu 2

8 Obtener la ecuación el plano que pasa por el punto e coorenaas (1, 1, 1) y es perpenicular al vector e componentes (1, 3, 2). Determinar la istancia el origen a icho plano. Solución: I.T.I. 99, 03, 05, I.T.T. 99, 02 Sea A e coorenaas (x, y, z) un punto cualquiera el plano. El vector A es un vector contenio en el plano que nos pien y por lo tanto ebe ser perpenicular al vector : A = 0 x 3y 2z = 4 O Según la figura la istancia el origen O al plano será: = O cos. El valor e, ángulo con la vertical al plano, lo poemos obtener a partir el proucto escalar: O = O cos = O = 4 uni. e longitu 14

9 Hallar la ecuación el plano perpenicular al vector = (2, 3, 6) y que pasa por el punto e coorenaas (1, 5, 3). Determinar la istancia el origen a icho plano. Solución: I.T.I. 92, 94, 98, 01, I.T.T. 95, 05, I.I. 94 Sea A e coorenaas (x, y, z) un punto cualquiera el plano. El vector A es un vector contenio en el plano que nos pien y por lo tanto ebe ser perpenicular al vector : A = 0 2x + 3y + 6z = 35 O Según la figura la istancia el origen O al plano será: = O cos. El valor e, ángulo con la vertical al plano, lo poemos obtener a partir el proucto escalar: O = O cos = O = 35 7 uni. e longitu