VECTORES. 4º E.S.O. Académicas VECTOR FIJO EN EL PLANO VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO. COORDENADAS DE UN VECTOR

Transcripción

1 VECTOR FIJO EN EL PLANO VECTORES 4º E.S.O. Acaémica Un vector fijo e un egmento orientao y quea eterminao por o punto, uno como comienzo A yotro como final B. Se repreenta como AB A AB Móulo: Ditancia entre A y B. Se repreenta AB Dirección: E la e la recta que paa por A y por B. Sentio: El e recorrio el vector. De A a B o e B a A. Origen: A. Extremo: B. B VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO. COORDENADAS DE UN VECTOR b OP P (a, b) z (, 3) t (0, 3) w ( 0 5, 4) u ( 3, ) p (5, ) v ( 4, 0) O a t z v u p OP Vector e poición el punto P OP (a, b) w

2 Coorenaa el vector que une o punto. A (x,y ) B (x,y ) COORDENADAS DE UN VECTOR AB (x x, y y ) Hallar la coorenaa e PQ y e QP abieno que P( 5, 3) y Q(7, ) PQ (7, ) ( 5, 3) (, ) QP ( 5, 3) (7, ) (, ) VECTORES LIBRES EN EL PLANO Do vectore on equipolente i tienen el mimo móulo, irección y entio. Un vector libre e el conjunto formao por un vector y too u equipolente. Se repreentan con uno cualquiera e lo vectore que pertenece al conjunto encerrao entre llave, o con letra minúcula. {AB} u B AB D A CD C u AB CD {AB} {CD} u VECTORES LIBRES EN EL PLANO Inica lo vectore que on equipolente: VECTORES Y SUS OPERACIONES Proucto e un vector por un número. AB RS KL D B H S u u 0u 0 EF CD PQ MN TU GH IJ C A J I K F E L G N M Q R P U T 3u 0,5u El vector u e eigna por u y e llama opueto e u u (x, y ) k u (k x, k y )

3 u (, ) VECTORES Y SUS OPERACIONES Proucto e un vector por un número. VECTORES Y SUS OPERACIONES Suma y reta e vectore. u v 3u (6, 3) u u + v v u v u v u v u u (x, y ) u ± v (x ± x, y ± y ) v(x, y ) VECTORES Y SUS OPERACIONES Suma y reta e vectore. u (, 3) v (5, ) u + v (7, ) COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Dao o vectore, x, y, y o número, a, b, el vector ax+by e combinación lineal e x e y. u y 3x + y v x

4 Exprear un vector como combinación lineal e vectore. u COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES v v u w v w x + y Se ice que u, v y w on linealmente epeniente. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Si u (, 3) ; v (3, ) y w (8, ), halla el valor e a y b para que e verifique que w au + bv 8 a + 3b + + 3a b ( 8,) a (, 3) b ( 3, ) ( 8,) ( a 3b, 3a b ) a Reolvieno el itema b w u + v Se llama proucto ecalar e o vectore u y v a: Propieae: u v u v co(u, v) ) u v 0 u v i u 0 y v 0 (u, v) aguo u v > 0 ) (u, v) obtuo u v < 0 3) u v v u 4) λ (u v) ( λu ) v u ( λ v) 5) u (v + w ) u v + u w Expreión analítica el proucto ecalar: i (, 0) j (0,) u (x, y ) v(x, y ) B B u v x i y j x i y j ( + ) ( + ) ( x x )( i i ) ( x y )( i j ) ( yx )( j i ) ( yy )( j j ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x + x y 0 + y x 0 + y y x x + y y u v x x + y y i i i i co( i, i ) i j i j co( i, j) 0

5 Dao lo iguiente vectore: u (, 3) v (5, 4) w (k, 7) u v a) Calcular b) Averiguar el valor e k para que v w a) u v (, 3) (5, 4) 5 + ( 3) 4 0 b) v w (5, 4) (k, 7) 5 k k v w 5k k Móulo e un vector (en una bae ortonormal): u (x, y) B j u u u u co(u, u ) u co 0 u i u x u u u x + y u x + y u x + y y Ángulo e o vectore (en una bae ortonormal): u (x, y ) v(x, y ) B B u v x x + y y u x + y v x + y u v u v co(u, v) co(u, v) u v u v co(u, v) x x + y y x + y x + y Sean lo vectore: u (, 5) v (, ) a) Calcular u y v b) Hallar el ángulo e u y v c) Hallar un vector ortogonal a u ) Hallar un vector unitario ortogonal a v a) u v + 5 b) 5 9 co(u, v) 0 ' 6536 (u, v) 49º '5, 7 '' c) ( 5, ) ( 5k, k) k 0 ) (, ) e perpenicular a v. El móulo e El vector,, e ortogonal a v y unitario

6 Ecuación vectorial e la recta. Dato: Punto P e la recta y vector irector e la recta P (p, p ) p X (x, y) x p Dato: Punto P e la recta y vector irector e la recta x p i Ecuacione paramétrica e la recta. (x, y) (p, p ) (, ) x p y p j O i x x p y p Ecuación continua e la recta. Dato: Punto P e la recta y vector irector e la recta x p x p λ y p y p λ x p y p x p y p Ecuación general o implícita e la recta. Dato: Punto P e la recta y vector irector e la recta x p y p (x p ) (y p ) x y p + p 0 Ax + By + C 0 Ax + By + C 0

7 Ecuación explícita e la recta. Peniente e la recta. Ax C A C Ax + By + C 0 y y x + B B B X P A Peniente e r tgα B A tgα m B Vectorial: Paramétrica: Continua: x p x p y p x p y p O α α y mx + n m peniente e la recta. n orenaa en el origen. Implícita: Explícita: Ax + By + C 0 y mx + n Exprear e toa la forma poible la ecuación e la recta que paa por A(, ), y B(5, 4). AB (5, 4) (,) (7, 3) Vectorial: x (,) (7, 3) Paramétrica: Continua: Implícita: Explícita: x + 7λ y + 3λ x + y 7 3 3(x + ) 7(y ) 3x 7y y x Exprear e toa la forma poible la ecuación e la recta r: x y + 0 AB (, 0) (0, ) (, ) ó (, ) Vectorial: x (, 0) (, ) Paramétrica: Continua: Implícita: Explícita: A (, 0) B (0, ) x y λ x + y (x + ) y x y + 0 y x +

8 POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Secante Paralela Coinciente x 5 λ r : y 3 λ x : y 6 3 λ x 5 y r : 3x + y Punto e corte (7, 6) r (, 3) r Se cortan (, 3) ( ) ( ) λ λ + 6 3λ 5 0 3λ λ 4 x r : y 5 3 λ r (, 3) Son paralela r o coinciente x λ (, 6) : y 3 6 λ λ λ Punto e r (,5) Son paralela 5 3 6λ λ 3 POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS r : x 5y 0 x + 3λ : y λ ( ) ( ) + 3λ 5 λ 0 + 6λ 0 + 5λ 0 λ 44 n r (, 5) r r y e cortan (3, ) λ 4 Punto e corte (, ) POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS r : 3x + 4y 5 0 : x 3y 6 0 n r (3, 4) nr n r y e cortan n (, 3) r : 3x + 4y 5 0 3x + 4y 5 3x + 4y 5 : x 3y 6 0 x 3y 6 3x + 9y 8 Punto e corte (3, ) 3y 3 y x 3

9 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD Do recta on paralela o perpeniculare i lo on u vectore irectore. Ejemplo : En paramétrica o continua. x 5 3λ x y r ( 3, ) r : : r r y + λ 6 (6, ) Ejemplo : En forma implícita. r : x + 3y 3 0 n r (, 3) r (3, ) r r : 3x + y n ( 3, ) (,3) PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD Hallar una recta paralela y otra perpenicular a r que paen por P(6, 4). x 3+ 5λ r : y 7 λ La recta paralela a r que pae por P(6, 4) e: x 6 + 5λ r : y 4 λ La recta perpenicular a r que pae por P(6, 4) e: x 6 λ r : y 4 5 λ