GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO.

Transcripción

1 TEMA 6: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO Introducción al plano vectorial. 6.. Operaciones con vectores Dependencia e independencia lineal. Base Producto escalar: Definición, propiedades. 6.5 Ecuaciones de la recta. 6.6 Posiciones relativas. 6.7 Ángulo entre dos rectas. 6.8 Medidas en el plano. 6.9 Aplicaciones INTRODUCCIÓN AL PLANO VECTORIAL. Hasta ahora nuestros cálculos se han limitado a áreas, volúmenes temperatura,... etc. Llamadas medidas escalares. Pero en física necesitamos hablar de fuerzas, en los mapas meteorológicos de vientos y para ambas cosas necesitamos hablar de dirección, sentido e intensidad. Llamadas magnitudes vectoriales las cuales se representan mediante vectores. Euclides de Alejandría ( a.c.) recogió en su obra Elementos gran parte del conocimiento geométrico de la época griega al que habían contribuido Tales, Pitágoras, Hipócritas de Quío,... Esta obra continua en vigor. Esta se construye a partir de pocos axiomas que se desarrollan para formar la geometría. Descartes ( ) da paso a la geometría analítica que es la unión de la geometría y el análisis, los números. Lo que pretendemos este año es conocer el plano (dos dimensiones), todos los conceptos y procedimientos que aprendamos este año nos será de mucha utilidad para el estudio del espacio (3 dimensiones) que realizaremos el año que viene. En años anteriores, sin darnos cuenta, hemos realizado ejercicios en el plano: dibujar puntos en el plano en el sistema de coordenadas (eje de abscisas y de ordenadas), después dibujar puntos en el plano (pizarra) A, B, C,.. y formar vectores a partir de ellos, poner los puntos de forma que de lugar a vectores paralelos, perpendiculares, equipolentes,... Se llama vector fijo de origen A y extremo B al segmento orientado que queda determinado por A=(a 1, a ) y B=(b 1, b ). Lo designaremos por AB. Un vector fijo no nulo AB en el plano queda caracterizado por un par de ptos. A y B, o bien por su módulo, dirección y sentido junto con el origen, siendo: Módulo del vector fijo AB es la longitud 1

2 del segmento de extremos los ptos. A y B. Y se denota por AB (El módulo en la fuerza representa la intensidad de la fuerza y en el viento la velocidad). Dirección del vector fijo AB a la dirección de la recta que pasa por A y B. (No es lo mismo empujar una mesa por su lateral que por una esquina, no es lo mismo ir de Cádiz a Málaga que de Cádiz a Sevilla). Sentido del vector fijo AB al sentido de recorrido de la recta AB cuando nos trasladamos desde A hacia B. (No es lo mismo trasladar la mesa de la dcha. hacia la izqda. que al revés, no es lo mismo ir de Algeciras a Los Barrios que a la inversa). Cada dirección tiene dos sentidos opuestos. Aquel vector fijo cuyo origen coincide con su extremo es el vector nulo AA. Sus coordenadas son (0,0). El módulo del vector nulo es cero. Se dice que un vector fijo es unitario si su módulo es la unidad, 1. Dos vectores fijos son paralelos AB y CD si tienen la misma dirección, es decir, si las rectas en las que se apoyan son paralelas. Y se denota por AB fijos AB y se denota por AB // CD. Dos vectores CD son ortogonales si las rectas en las que se apoyan son perpendiculares. Y CD. Dos vectores fijos AB y CD son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Y se denota por ABCD. Geométricamente, quiere decir que si ambos no están en la misma recta, uniendo A y C, B y D se obtiene un paralelogramo. Dado un vector fijo AB podemos formar un conjunto con todos los vectores equipolentes a él, a dicho conjunto se le llama vector libre. Se denotan por letras minúsculas u, v,.. (Son como nuestros vectores fijos pero los podemos trasladar por todo el espacio, el vector fijo se caracteriza por módulo, dirección, sentido y punto de origen y el vector libre por módulo, dirección y sentido). El vector libre nulo tiene módulo 0 y carece de dirección y sentido. Y se denota por O. Si AB es un vector fijo del plano y O un punto cualquiera del plano, existe un único representante de este vector que tiene su origen en el pto OPERACIONES CON VECTORES. Es difícil hacerles ver las coordenadas, cómo se referirían a un punto situado en la pizarra, plano vectorial? Necesitamos una referencia, nuestros ejes de coordenadas (hacerles ver que hay otros) y las características de nuestro sistema de referencia O, i y j. A B = { i, j } le llamamos base canónica. Al par de números reales (x,y) que permiten expresar el vector u en función de los vectores de la base canónica, le

3 llamaremos coordenadas cartesianas del vector u. A cada vector u le corresponde un único par de números reales (x, y), es decir, u = x i + y j. Señalar la diferencia entre punto y vector, ver las coordenadas del vector al trasladarlo a O y ver que AB = OB OA. (extremo menos origen). Las coordenadas del vector AB se calculan de la siguiente forma (b 1 a 1, b - a ). Ejercicio 1: Dibuja el vector v= (,-3). Dibuja AB siendo A = (,) y B = (4,-1). Observa que ocurre con las coordenadas de vectores equipolentes. Ejercicio : Dibuja los puntos A (3,0), B(,-) y C(1,3). Calcula las coordenadas de los vectores AB, BA, AC, CA y BC. Ejercicio 3: Cuáles son las coordenadas del vector nulo? Ejercicio 4: Sabiendo que el vector AB coordenadas del punto A. Ejercicio 5: Sabiendo que el vector AB coordenadas del punto B. = (5,-) y el punto B = (1,-3), calcula las = (8,0) y el punto A = (-1,1), calcula las Dados dos puntos A y B llamamos punto medio a M siendo M = A B. Hacer dibujo. A y A son puntos simétricos respecto de M si M es el punto medio del segmento AA. Ejercicio 6: Si A = (5,7) y M el punto medio de A y B es (4,3), calcula B. Ejercicio 7: Siendo A y A simétricas respecto de M y A = (4,-) y M = (,6), calcula A. Ejercicio 8: Sabemos que en un triángulo el punto medio de A y B es P = (-,0), El de B y C es Q=(-1,-) y el de A y C es R = (-1,). Calcular A, B y C. Es mucho más fácil operar con vectores teniendo en cuenta sus coordenadas cartesianas (analíticamente) pero no olvidemos la forma geométrica, que nos será de mucha utilidad en la asignatura de Física. SUMA DE VECTORES, Geométricamente: b a a+ b b > o bien, a b a+ b Analíticamente: a= (x,y) y b = (x,y ) entonces a+ b = (x + x, y + y ). Sumamos la primera componente con la primera y la segunda con la segunda. a 3

4 Ejercicio 9: Suma los vectores a= (,5) y b = (3,-1). No nos olvidemos de dibujar. La suma verifica las siguientes propiedades: 1.- Operación interna (la suma de dos vectores es otro vector).- Asociativa: ( a+ b )+ c = a+ ( b + c ). Demostrarlo geométricamente. 3.- El elemento neutro de la suma es el vector nulo. 4.- El vector opuesto al vector a es otro vector de igual dirección y módulo de sentido opuesto, se denota por - a. Se cumple a + (- a) = O 5.- Conmutativa: a+ b = a+ b. La diferencia de vectores es sumar el opuesto del vector. Geométricamente: b a a-b a b > o bien, b a+ b Ejercicio 10: Sean los vectores a= (,5) y b = (3,-1), calcular b - a. Aprovechar este ejercicio para explicar que lo correcto es escribir AB = OB OA y no AB = B A. a PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR. Geométricamente: a a - a -4 a Dado un vector libre a, no nulo, del plano vectorial y un número real, no nulo, k, se llama producto del número real k por el vector a, al vector que tiene de módulo k a, la dirección de a y el mismo sentido que a si k > 0 y sentido opuesto al vector a si k < 0. Si k = 0 o a = 0 el producto será el vector nulo. Analíticamente tendríamos que k nº real y a = (x, y), entonces k a = (kx, ky). Propiedades 1. Es una operación externa.. Distributiva respecto de la suma de vectores: k ( a + b ) = k a + kb. 3. Distributiva respecto de la suma de escalares: (k + n) a = k a + n a 4. Asociativa mixta: (k. n ) a = k (n a) a = a 4

5 En V con una operación interna (+) y otra externa ( IR) y las propiedades ya mencionadas, obtenemos la terna (V, +, IR) cuya estructura se llama espacio vectorial y por ello a sus elementos se les llama vectores. Ejercicio 11: Halla x e y para que se cumplan las siguientes igualdades: a) 3(x,y) = (-1,5) b) (-1,y) = 6(x,x-y) Ejercicio 1: Efectuar las siguientes operaciones: a) (5,) + (-,3) b) (-,3) + (5,) c) [(6,-1) + (-3,5)] + (,4) d) (6,-1) + (-3,5) + (,4) e) (7,5) + (0,0) f) (7,5) + (-7,-5) Ejercicio 13: Efectuar las siguientes operaciones: a) (3,4) + (7,-1) b) (3,4) + (-) (7,-1) c) (-5+3) (4,-1) d) 5(4,-1) + 3(4,-1) e) 6 [3 (,-4)] f) (6. 3) (,-4) g) 1 (3,-4) Ejercicios de clase: página 157, ejercicios 5 y 6. Voluntarios: 1, y 4. Ejercicio 14: Observa la siguiente figura y escribe las coordenadas de los vectores a, b, c, e,f y g. Ejercicio 15: Dados los vectores de la figura, decir cuáles de las siguientes igualdades son ciertas, escribe sus coordenadas. Ejercicio 16: Sobre el paralelepípedo de la figura, decir cuál de las siguientes afirmaciones es cierta: Ejercicio 17: Dado los vectores libres a y 3a - b. Dibujando a (6,0) y b (3,5). b de la figura, calcular: a + b, a - b, 3 a y 5

6 6.3 COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES. BASE. Se dice que un vector c es combinación lineal de los vectores a y b, si existen números reales k y k tales que c = k a + k b. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes (l.d.) si uno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los demás. En caso contrario se dice que son linealmente independientes. Conclusiones: a) Si dos vectores a y b son ld entonces los vectores tienen la misma dirección. b) Si dos vectores tienen la misma dirección entonces son ld. c) Si dos vectores tienen distinta dirección, entonces son linealmente independientes. d) a b si y solo si a = kb e) Un vector no nulo es linealmente independiente. f) Dos vectores que no tienen la misma dirección y no nulos, son linealmente independientes. g) Un conjunto de vectores que contiene al vector nulo es ld. h) Tres o más vectores son linealmente dependientes. Ejercicio 18: Averigua cuáles de los siguientes conjuntos son l.d. y cuáles son l.i.: a) B = { a 1 =(,1), a =(0,3), a 3 =(-1,3), a 4 =(4,5)} b) B = { u=(1,3), v=(,-1)} c) B = { u=(1,1), v=(,)} d) B = { u=(3,1), v=(,3)} e) B = { u=(,-1), v=(6,-3)} f) B = { u=(,-1), v=(0,0)} g) B = { u=(1/3,1/), v=(,3)} h) B = { u= (3,1) } u ( 1, ), u (, 3), u ( 0, 1) i) B = 1 3 j) B = { u=(,-5/7), v=(-7,5/)} Cuántos vectores necesitamos para construir el plano vectorial?. Uno es insuficiente, dos que vean que pueden construir cualquiera geométricamente y con 3 nos sobrarían. Por ello se define base como un conjunto de vectores que son linealmente independientes y cualquier vector c se puede expresar como combinación lineal de ellos (sistema generador). Al conjunto B = { i, j } que es una base, le llamamos base canónica. Ejercicio 19: Di qué conjuntos del ejercicio 18 son bases. Ejercicio 0: Dado el vector a = (3,) respecto de la base canónica, calcula sus coordenadas respecto de las bases que has encontrado en el ejercicio anterior. 6

7 Ejercicio 1: Calcular a para que u y v sean l.d. a) u= (a,1) y v = (-1,3) b) u = (,3) y v = (a,-1) c) u= (0,1) y v = (,a) y para que sean l.i.?. Ejercicio : La combinación lineal de dos vectores paralelos, es necesariamente otro vector paralelo a ellos? Ejercicio 3: Calcula m para que los vectores u = (-3,4) y v= (1,m) sean l.d. cuándo son l.i.? Ejercicios de clase: página 157, ejercicios 11 y 1. Voluntarios: 7, 8, 9, 10, 13, 14 y PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES. Se define el producto escalar de dos vectores u y v, y se denota por u. v, como un número, dicho número es cero si u o v es el vector nulo y es u. v. cosα, siendo α el ángulo que forman u y v, ambos vectores no nulos. Interpretación Geométrica del producto escalar: v v u u. v = u. v. cosα u. v = u. Proyde vsobre u u. v = v Proyde usobre v u Propiedades del producto escalar: 1. Es una operación externa.. u. u 0 3. Conmutativa u. v = v. u 4. K ( u. v) = (ku). v = u. (kv) 5. Distributiva del p. e. respecto de la suma de vectores: u. ( v + w ) = u. v + u.w 7

8 Expresión analítica del producto escalar. Sea B = { i, j } la base canónica de V, u y v dos vectores del espacio vectorial, siendo las coordenadas de u = (x, y) y las de v = (x, y ) entonces se tiene que: u. v = (x i + y j ) (x i + y j ) = xx i i + xy i j + yx, j i + yy j j = xx + yy u. v = xx + yy Ejercicio 4: Calcular el producto escalar de u y v sabiendo que u =, v = 3 y que forman un ángulo de 30º. Ejercicio 5: Calcular el producto escalar de u y v sabiendo que u = (, 3) y v= (-1, 0). Módulo de un vector. Ángulo de dos vectores.. u y Geometricamente: u. u = u u cos0º = u, entonces u = u Es decir, u = + u u Analíticamente: si u = (x, y) entonces u. u = x x + y y = x + y, es decir, u = + x y El ángulo de dos vectores varía entre 0º y 180º, despejando el coseno del producto u v xx yy escalar obtenemos: cosα = u v x y x y Ejercicio 6: Halla la proyección del vector v = (5,3) sobre el vector u = (1,1). Ejercicio 7: Calcular el ángulo formado por los vectores: a) u=(5,) y v=( -5,-) b) u =(4,6) y v=(,3) a) u=(4,6) y v=( 3,-) d) u =(-1,0) y v=(0,3) Ejercicio 8: Las coordenadas de u y v respecto de la base canónica son u =(-,1) y v=(3,4). Calcular u. v, v. u, u. u. v. v, los módulos de u y v, y el ángulo que forman. Ejercicio 9: Hallar el ángulo formado por los vectores u = -5 i + 1 j y v= 8 i - 6 j. 8

9 Ejercicio 30: Dados los vectores OA = i + j, OB = 5 i + 5 j, OC = -3 i - j y OD = -6 i -5 j demostrar que la figura ABCD es un paralelogramo y calcular su perímetro. Ejercicio 31: Hallar la proyección del vector u = -3 i +5 j sobre el vector v = -7 i - j. Ejercicio 3: Dos fuerzas f 1 y f de intensidades 0 y 30 N, respectivamente, actúan sobre el mismo cuerpo y forman entre ellas un ángulo de 60º. Cuál será la intensidad de una fuerza f 3 de manera que establezca el equilibrio? Ejercicio 33: Hallar el ángulo que forman las fuerzas f 1 = ( Kg,3 Kg) y f =(1 Kg,5 Kg). Ejercicio 34: Dado los vectores u= (,4) y v= (3,1), hallar el módulo del vector u - v. Ejercicio 35: Dos vectores u y v son tales que u = 10, v = 10 3 y u v = 0. Hallar el ángulo que forman los vectores uy v. Ejercicio 36: Puede ser el módulo del vector suma de dos vectores de módulos 10 y 5, respectivamente, mayor que 15? Y menor que 4? Ejercicio 37: Dados los vectores u= (7,4) y v= (4, x), calcula x para que: a) sean perpendiculares b) sean paralelos c) formen un ángulo de 30º Como consecuencia del producto escalar, tenemos las siguientes afirmaciones sobre el módulo de un vector y el ángulo de dos vectores: a) Cómo obtener a partir de un vector u cualquiera otro vector de la misma dirección, sentido y de módulo uno?. Dado un vector u, no unitario, para obtener un vector de igual dirección, sentido y de módulo uno debemos calcular: v u = x y, u x y x y b) Si dos vectores son ortogonales (sus direcciones son perpendiculares) forman un ángulo de 90º, por tanto u. v = 0. Podemos afirmar que u v si y solo si u. v = 0. 9

10 c) Si dos vectores son paralelos formaran un ángulo de 0º ó 180º, por tanto u. v = u v, el signo depende si tienen el mismo sentido o sentido contrario. Ejercicio 38: Dado u = (4,3): a) Dibuja y calcula las coordenadas de un vector de la misma dirección, sentido y de módulo uno. b) Las coordenadas de un vector con la misma dirección, sentido y de módulo 3. Ejercicio 39: Dado el vector u= (4,-7), encontrar dos vectores que tengan la misma dirección que u y que sean unitarios. Ejercicio 40: Calcular el valor de m y n para que los vectores u = (1/, m) y v = a) sean unitarios. b) Para que usea ortogonal a a= (,3) Ejercicio 41: Calcular x para que el vector u = (1,3) sea ortogonal a v = (x,)., n Ejercicio 4: Resuelve los siguientes apartados: a) Determina un vector ortogonal a u = (5,3). b) Determina todos los vectores ortogonales a v = (4,3). c) Determina todos los vectores ortogonales a v = (4,3) y con módulo igual que v. d) Determina todos los vectores ortogonales a v = (4,3) y con módulo uno. Ejercicio 43: Lo mismo de los apartados c y d para los vectores c =( 3,-7). : a= (-1,1), b =(11,4) y Ejercicio 44: Dado los vectores u= (1,) y v = (3,5), expresa v como suma de dos vectores, uno con la misma dirección que u y otro ortogonal a v. Ejercicio 45: Calcula un vector unitario y ortogonal a u = (1, ). Ejercicio 46: Calcula un vector de módulo 10 y paralelo a u = (3, 4). Ejercicio 46 bis: Calcula un vector de módulo y ortogonal a u = (-1, ). Para clase: página 157: ejercicios:, 3, 6, 7, 3, 33 Para ellos: página 157: ejercicios: 16 al 1, 4, 8, 9,

11 6.5 ECUACIONES DE LA RECTA. Una recta queda determinada por un punto y un vector, o bien, por un par de puntos. Hacerles ver que se pueden dibujar muchas rectas que pasan por un punto pero solo hay una recta que pasa por dos puntos distintos. Cómo son los demás puntos que están en una recta?. Sea r la recta que pasa por A y lleva la dirección del vector no nulo u. Sea X un punto de r, entonces AX y u tienen la misma dirección, es decir, son proporcionales. A u se le llama vector director: AX = λ v λ IR, x - a = λ v x = a + λ v λ IR Ecuación Vectorial (Dándole valores a t obtenemos los distintos puntos de r). Sustituyendo las coordenadas v = (v 1, v ) y A = (a 1, a ), obtenemos: x a y a 1 v1 v Ecuaciones Paramétricas Despejando λ, obtenemos: x a v 1 1 y a v Ecuación Continua Despejando obtenemos una ecuación de la forma Ax + By + C = 0 llamada ecuación General o Ímplicita. Observa que el vector n = (A, B) es ortogonal al vector director y a la recta, es decir, el vector director de la recta es de la forma u =(-B,A). Depejando de la ecuación general obtenemos y = mx + n Ecuación Explícita, u siendo m la pendiente de r con m = tgα =, siendo el ángulo α formado por la recta u con la parte positiva del eje x y n el punto de corte con el eje y. Ejercicio 47: Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A = (,3) y tiene como vector director u = 3 i j. Desarrollando por última vez paso por paso. 1 Ejercicio 48: Calcula las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A = (3,1) y B = (7,-1). Ejercicio 49: Hallar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto A=(3,5) y lleva de dirección al vector u =(,-4). 11

12 Ejercicio 50: Halla la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos: a) A=(-3,) y B=(1,-4) b) A = (0, 3) y B = (0, 5) Ejercicio 51: Calcular dos puntos y un vector director de las siguientes rectas. Sería interesante representarlas, enseñándoles a calcular los puntos de corte: x 3 a) IR y - 3 x b) y 3 c) x = (1,-5) + t(,3) t IR d) y = -3x + e) x + 3y 7 = 0 f) y = g) x = -4 Ejercicio 5: Hallar la ecuación continua de r sabiendo que es perpendicular al segmento de extremos A=(5,6) y B=(1,8) y que pasa por el punto medio de dicho segmento. Ejercicio 53: Pasar a forma explícita las siguientes rectas y calcula sus pendientes e indica un vector director de cada una de ellas: x 3 y 5 y 5 3t a) b) 5x + 3y + 6 = 0 c) 1 x t Ejercicio 54: Determina si los puntos A=(3,1), B=(5,) y C=(1,0) están alineados. Otra ecuación muy importante, despejando de la ecuación continua, obtenemos: x a u 1 1 y a u Ecuación punto pendiente. u (x a1 ) u, y a, y a (x a1 ), y a m(x a1 ) u u 1 1 Otra ecuación importante es la que se obtiene a partir de los puntos de cortes de la recta con los ejes de coordenadas A=(a,0) y B=(0,b) entonces la ecuación segmentaria x y quedaría de la forma: 1. a b Ejercicio 55: Calcular la ecuación punto-pendiente de la recta r que pasa por el punto A=(-, 1/3) y tiene pendiente igual que la recta s que pasa por los puntos P = (, 1) y Q=(3, 4). Ejercicio 56: Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A=(,1) y forma un ángulo de 10º con la parte positiva del eje x. Ejercicio 57: Dada la recta 5x 3y + 7 = 0, hallar la longitud de los segmentos que determina sobre los ejes. Calcular su ecuación segmentaria. 1

13 Ejercicio 58: Hallar el área limitada por la recta 5x + y 5 = 0, el eje de abscisas y el eje de ordenadas. Calcular su ecuación segmentaria. Para clase: página 157, ejercicios 37, 38, 40, 4. Voluntarios: 35, 36, 39, POSICIONES RELATIVAS. a) DE UN PUNTO Y UNA RECTA. Se trata de saber si el punto está o no en dicha recta, para ello se observa si al sustituirlo en la ecuación de la recta cumple o no dicha igualdad. Ejercicio 59: Estudia si los puntos A=(3,-1) y B=(0,3) pertenecen o no a las siguientes rectas: x 1 y 1 x t 3 a) r: b) s: x + y 6 = 0. c) t: y 3t 1 Ejercicio 60: Calcular el valor de C sabiendo que la recta r: 4x 3y + C = 0 pasa por el punto A = (-1, 0). b) DE DOS RECTAS. Dos rectas pueden ser secantes (se cortan en un punto), paralelas (no hay ningún punto en común) y coincidentes (tienen todos los puntos en común). Hacer los dibujos. Observaciones: 1) Para ver la posición relativa de dos rectas debemos comparar sus vectores directores y en caso de que sean paralelos ver la pertenencia o no del punto. Ejemplo. ) Comparando las ecuaciones generales, debemos tener en cuenta que si A B C A B C A B C son coincidentes, son paralelas y si son A B C A B C A B C secantes. Ejemplo. 3) Si son secantes y queremos calcular el punto de corte debemos tener las ecuaciones generales de la recta y resolver el sistema. Ejercicio 61: Estudia la posición relativa (dos a dos) de las rectas y calcula el punto de corte cuando sean secantes: a) r:3x + y 1 = 0 y s:5x y + 7 = 0 b) r: x 3y + 7 = 0 y s: -4x + 6y = 0 x c) r:8x y + = 0 y s: -4x + y 1 = 0 d)r: y 3 x 1 y s: 1 y 5 3 e) r:(x,y) = (,-1) + t(1,-1) y s:-x + y + 5 = 0 f) r: x y 5 1 y s: -x 5y + 1 = 0 13

14 Se llama haz de rectas secantes de vértice P = (a, b) al conjunto de todas las rectas que pasan por el punto P. Dichas rectas tienen de ecuación y b = m (x a) con m nº real. Se llama haz de rectas paralelas a la recta r: Ax + By + C = 0 al conjunto de todas las rectas paralelas a r cuya ecuación es de la forma Ax + By + k = 0 con k nº real. Ejercicio 6: Hallar el punto de corte, si es posible, de las rectas: a) r: 8x y 0 = 0 y s: 3X + Y 13 = 0 b) r: x y = 30 y s: x y = 14 c) r: 3x + y 19 = 0 y s: 5x + y 0 = 0 Ejercicio 63: Dadas las rectas r: x y + 4 = 0 y s: 3x + y 9 = 0: a) Hallar su punto de intersección. b) Las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (-3,4) y son paralelas a cada una de las dadas. Ejercicio 64: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de r y r siendo r: x + 3y 5 = 0 y r : x + y = 0, y el punto de intersección de las rectas s y s, siendo s: x + 5y 3 = 0 y s : -x + y 3 = 0. Ejercicio 65: Dadas las rectas: r determinada por el punto A=(,1) y el vector u =(a,4) y s determinada por el punto B=(-1,4) y el vector v =(5,3), determinar a para que r y s sean paralelas. Para qué valores de a las rectas r y s son secantes? Pueden ser coincidentes? Ejercicio 66: Dadas las rectas r: 3x + by 8 = 0 y s: ax 3y + 1 = 0, determinar a y b para que se corten en el punto P = (,-3). Sea r una recta y A un punto del plano vectorial. Se dice que A es el punto simétrico de A respecto de r si la recta r pasa perpendicularmente por el punto medio del segmento AA. Ejercicio 67: Calcula el punto simétrico de A = (,3) respecto de r: x + y 3 = 0. Ejercicio 68: Hallar la ecuación de la recta s paralela a r : 3x + y 4 = 0 y pasa por A = (,3). Ejercicio 69: Dadas las rectas r: 3x + my 7 = 0, s: 4x + y 14 = 0 y t: 7x + y 8 = 0 determinar m para que las tres sean rayos de un mismo haz de secantes. 14

15 Ejercicio 70: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A=(,3) y es: a) paralela al eje x b) paralela al eje y c) paralela a la bisectriz del primer cuadrante d) paralela a la bisectriz del º cuadrante e) paralela a la recta de ecuación 5x + y = 0 Ejercicio 71: Un paralelogramo tiene por vértices A = (-1,-3), B = (6,0) y C = (8,). Determinar el cuarto vértice. Calcula su perímetro, su área y el ángulo A. Ejercicio 7: La recta r: y + = m(x +3) pasa por el punto de intersección de las rectas s: x + 3y + 5 = 0 y t: 5x y 16 = 0. Calcular m. Para clase: página 157, ejercicios 45, 47, 48, 57 Voluntarios: 43, 44, 46, 49 al 54, 56, 58, ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS. Si dos rectas r y s son secantes, el ángulo que forman es el menor de los ángulos determinados por dichas rectas. Cos(rs) = cos( uv ) = u v AA BB siendo u el u v A B A B vector director de r y v el vector director de s, r: Ax + B y + C = 0 y s:a x + Bý + C = 0 En consecuencia: a) El ángulo de dos rectas varía entre 0º y 90º. b) Si dos rectas son coincidentes o paralelas forman un ángulo de 0º. c) Dos rectas son perpendiculares si forman un ángulo de 90º. Se denota por r s. 1 Si r y s son perpendiculares, las pendientes verifican m r =. d) También podemos calcular el ángulo de dos rectas r y s utilizando las pendientes, tg tg ms mr teniendo en cuenta: tag tag( ) 1 tgtg 1 m m s r m s Ejercicio 73: Calcular el ángulo formado por las rectas: a) r: x y + 4 = 0 y s: 3x y 1 = 0 b) r: x y = 3 y s: x + y = 1 c) r: x 3 y 1 y s: y = x + 3 d) r: x 3 y y s: x + y 1=0 15

16 e) r: x 1 y 1 3 y s: -3x + y = 4 Ejercicio 74: Hallar los ángulos del triángulo de vértices A=(-,), B=(5,3) y C=(,15). Ejercicio 75: Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto A=(-3,0) y forman con la recta de ecuación s: 3x 5y + 9 = 0 un ángulo cuya tangente vale 1/3. Para clase: página 157, ejercicio 88 Voluntarios: 8 al DISTANCIAS EN EL PLANO. a) LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS A y B del plano es el módulo del vector AB. Es decir, d(a,b) = AB. Observaciones: a) d(a,b) = 0 si, y sólo si, A = B b) d(a,b) = d(b,a) c) d(a,b) < d(a;c) + d(c,b) Ejercicio 76: Hallar la distancia entre estos pares de puntos: a) A(5,4) y B(-,3) b) C(0,4) y D(0,-7) c) E(3,0) y F(-,0) Ejercicio 77: Hallar los lados del triángulo de vértices: A(-,), B(5,3) y C(,15). Ejercicio 78: Hallar los lados y los ángulos del rombo de vértices: A(,5), B(6,), C(9,6) y D(5,9). b) DISTANCIA DE UN PUNTO P A UNA RECTA r: Claramente, si el punto P pertenece a la recta d(p,r) = 0. Si el punto P no pertenece a r, se define la distancia de P a la recta r como el módulo del vector QP siendo Q la proyección perpendicular de P sobre r. Hacer dibujo. Es decir: d(p,r) = A r P.n r n r Aa Bb C A B Ejercicio 79: Hallar la distancia de los siguientes puntos a las rectas dadas: a) P(,3) y r: x 3y + 5 = 0 x 1 y 4 b) Q(-1,3) y s: 3 16

17 x 5 c) R(,-4) y t: IR y 3 Ejercicio 80: Los puntos C = (-1,3) y B = (-3,3) son los vértices de un triángulo isósceles que tiene el tercer vértice A en la recta r: x + y 6 = 0, siendo AB y AC los lados iguales. Calcular las coordenadas de A y el área del triángulo. c) DISTANCIAS ENTRE RECTAS: Si las rectas se cortan o son coincidentes, se considera que la distancia es nula. Si r y s son dos rectas paralelas, la distancia de r a s coincide con la distancia de un punto de r a la recta s, es decir, d(r,s) = siendo r: Ax + By + C = 0 y s: Ax + By + C = 0 C C A B Ejercicio 81: Calcular la distancia entre las siguientes rectas: a) r: x y + 4 = 0 y s: 3x y 1 = 0 b) r: x y = 3 y s: y = x + 3 x 3 y 1 x 3 c) r: y s: y = ½ x + 3 d) r: IR 4 y y s: x + y 1 = 0 x 1 y 1 d) r: y s: -3x + y = 4 3 Para clase: página 157, ejercicios 63, 68, 7, 74. Voluntarios: 61, 6, 64, 66, 67, 75, APLICACIONES. Hay elementos del triángulo que debemos conocer, pero antes debemos recordar que la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento y que pasa por el punto medio de dicho segmento, es decir, es el lugar geométrico de los puntos que distan los mismos de los extremos del segmento. Y la bisectriz del ángulo determinado por dos rectas es la recta que divide al ángulo en dos partes iguales, es decir, es el lugar geométrico de los puntos que distan lo mismo de las dos rectas que forman el ángulo. Puntos Notables del triángulo ABC: Mediana de A es la recta que pasa por el vértice A y el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se cortan en un punto llamado baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo. Se calcula de la siguiente forma a b c a b c G = El punto de corte de las tres mediatrices es el circuncentro T, es el centro de la circunferencia circuscrita. El incentro I es el punto de corte de sus bisectrices, es el centro de la circunferencia inscrita. 17

18 La altura del lado AC es la recta perpendicular al lado AC y que pasa por el vértice B. El punto de corte de las tres alturas es el ortocentro H. En todo triángulo, el ortocentro, circuncentro y baricentro están alineados. Además el baricentro está situado entre el ortocentro y el circuncentro y a doble distancia del primero que del segundo. Ejercicio 8: Por el punto A(,6) se trazan dos rectas perpendiculares a las bisectrices del primer cuadrante y del segundo cuadrante. Hallar: a) las ecuaciones de dichas rectas. b) Las coordenadas de los vértices del triángulo formado por el eje x con dichas rectas. Ejercicio 83: Hallar la ecuación de la recta que, pasando por el punto P(,-3), forma un ángulo de 45º con la recta 3x 4y + 7 = 0. Profundizar. Ejercicio 84: Dados los puntos A(4,-) y B(10, 0), hallar el punto de la bisectriz de los cuadrante º y 4º que equidista de los dos. Ejercicio 85: Calcular el pie de la perpendicular trazada por el punto P(-1,) a la recta 3x 5y 1 = 0, y la distancia de dicho pie al punto en que esta recta corta al eje OX. Ejercicio 86: El baricentro del triángulo ABC es el punto G(,1). El punto medio del segmento AB es M(3,0) y el punto medio del segmento BC es N(1,5). Calcular los vértices del triángulo. Ejercicio 87. Dado el triángulo de vértices A(,5), C(3,1) y B(,-1). a) Calcular las coordenadas del baricentro G del triángulo ABC. b) Calcular las coordenadas de los puntos medios M, N y P de los lados del triángulo. c) Calcular el baricentro G del triángulo MNP. d) Compara G con G. Ejercicio 88: Dado el triángulo de vértices A(,3), B(4,7) y C(7,-1), hallar los puntos medios de los lados AB y BC. Hallar la ecuación de la recta que une estos puntos medios. Cuál es la posición relativa de dicha recta respecto de la recta que pasa por A y C? Ejercicio 89: Calcular el área del círculo circunscrito al triángulo que la recta r: 4x + 3y 4 = 0 determina con los ejes de coordenadas. Página 157, ejercicios: 91, 9, 96. Voluntarios: 89, 90, 93, 95, 98, 100,