GEOMETRÍA ANALÍTICA 8.2 ECUACIONES DE UNA RECTA. Para determinar una recta necesitamos una de estas dos condiciones

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1 GEOMETRÍA ANALÍTICA 8. ECUACIONES DE UNA RECTA Para determinar una recta neceitamo una de eta do condicione 1. Un punto P(x, y ) y un vector V = (a,b). Do punto P(x, y ), Q(x 1, y 1 ) Un punto P(x, y ) y un vector PQ 8..1 ECUACIÓN VECTORIAL (x,y) = (x, y ) + t.(a,b) t R 8.. ECUACIONES PARAMÉTRICAS x = x y = y + at + bt t R 8..3 ECUACIÓN CONTINUA x x y y = a b 8..4 ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE b b y =.(x x ) m = = pendiente a a y 8..5 ECUACIÓN EXPLÍCITA y = mx + n donde m n e la pendiente e la ordenada en el origen (lo que vale la y cuando x = 8..6 ECUACIÓN IMPLÍCITA a.y y.a = b.x b.x bx ay + a.y b.x = Ax + By + c = n = (A,B) = (b,-a) = vector normal de la recta perpendicular al vector director. NOTA V = (a,b) n = (-b,a) m = b/a n = (A,B) V = (-B,A) m = -A/B

2 8.3 HAZ DE RECTAS HAZ DE RECTAS DE CENTRO P. Al conjunto de toda la recta que paan por un punto P e le llama haz de recta de centro P. La expreión analítica del haz de recta de centro P(x o,y o ) e : a(x x o ) + b(y y o ) = 8.3. HAZ DE RECTAS Si lo que conocemo on do recta perteneciente al haz: r: ax + by + c =, : a x + b y + c =, el haz ponere aí: k(ax + by + c) + k ( a x + b y + c ) = 8.4 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD RECTAS PARALELAS Vectore directore paralelo (proporcionale) Vectore normale paralelo (proporcionale) Mima pendiente (m 1 = m ) 8.4. RECTAS PERPENDICULARES Vectore directore perpendiculare (producto ecalar nulo) Vectore normale perpendiculare (producto ecalar nulo) Producto de la pendiente igual a 1 (m 1.m = -1) 8.5 POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS COINCIDENTES PARALELAS SECANTES FORMA GENERAL r : A x + B y + C = r : A x + B y + C = FORMA EXPLÍCITA y = m.x + n y = m.x + n RESOLVER SISTEMA A B C m = m = = A' B' C' n = n Infinita olucione A B C m = m = A' B' C' n n No tiene olución A B A' B' m m Una olución EL

3 8.6 ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS SI TENEMOS SUS VECTORES DIRECTORES O NORMALES co (r,) = co( v r, v ) = co( n r, n ) = v r. v v r. v n r. n n r. n 8.6. SI TENEMOS SUS PENDIENTES La pendiente de una recta e la tangente del ángulo que forma con el eje OX + tag (β - α) = tagβ tagα 1+ tagβ.tagα = m1 m 1+ m.m 1 ( olucione) 8.7 DISTANCIAS DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La ditancia entre do punto e el módulo del vector que une dicho punto P(x, y ), Q(x 1,y 1 ) d(p,q) = PQ = ( x x ) + ( y ) 1 1 y 8.7. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Ax + By + C d( P(x, y ), Ax + By + C = ) = A + B DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS d( Ax + By + C =, Ax + By + C = ) = C C' A + B

4 GEOMETRÍA ANALÍTICA EJERCICIO 1: Dada la recta que paa por P(-,) y tiene por vector director v (,). Ecribir u ecuación en toda la forma poible. EJERCICIO :Ecribir en forma vectorial y general la ecuacione de la recta: x 3t x 3 y x t a) b) c) y 1 t 5 y t EJERCICIO 3: Dada la recta x 6 y 1 elige un vector director y un punto de dicha recta. Ecríbela en toda, u forma. EJERCICIO 4: Ecribe en toda u forma la ecuación de la recta que paa por M(3,1) N(-,4) EJERCICIO 5: Calcular el vector director de la recta x + 3y - 4 = EJERCICIO 6: Calcula m para que la recta mx m y + m+ 9 = pae por el punto (-1,1) EJERCICIO 7: Dada la recta: a) 3x - y + 5 b) y = (5/3)x - Encuentra u vector director y u pendiente. EJERCICIO 8: Comprueba i lo punto A(,6), B(-1,3) y Q-4,) etán alineado EJERCICIO 9: Dada la recta 3x + 6y + 7 = determinar: a) Vector director b) Pendiente c) Ditancia de] origen de coordenada a la recta. EJERCICIO 1: Dada la recta de ecuación r :4x + 3y + 3 = a) Calcular u pendiente b) Calcular la ecuacione de la recta paralela a r que e encuentran a do unidade de ditancia. EJERCICIO 11: Calcular el valor de m para que la recta r: x+my-4 = y : y = 3t+1 ean: a. Paralela b. Perpendiculare EJERCICIO 1: Hallar la ecuación de la recta que forma un ángulo de 45º con el eje poitivo de abcia y paa por el punto (4,5). EJERCICIO 13: Calcular la ecuacione de la recta paralela a x+3y-4 = que diten unidade M punto (5,7). (Ayuda: Exiten do) EJERCICIO 14: Ecuación de la recta perpendicular a y = x - 3 y que paa por el punto de corte de la recta: r : x + y = r': x =-t; y = t EJERCICIO 15 : Determinar la coordenada de un punto P, abiendo que pertenece a la recta x - y+ 1 = y dita 5 unidade del origen. EJERCICIO 16: Dada la recta r: mx + y + 6 = : nx + y -= 9 Hallar el valor de m y de n para que ean paralela y la recta pae por el punto (18,) EJERCICIO 17: a) Calcular la ecuación de la recta r que paa por lo punto A(,1) y B(4,-3) b) Calcular u pendiente c) Calcular una recta perpendicular a la recta r del apartado a) que pae por el punto (,) d) Ditancia de la recta r al punto (1,) e) Ángulo que forma la recta r con la recta x + y + =

5 EJERCICIO 18: Sea la recta r:x+y-5= y el punto P(6,) a) Ecuación de un recta paralela a r ituada a una ditancia de 3. / b) Ángulo que forma la recta r con la recta que paa por el origen de coordenada y por el punto P. EJERCICIO 19: Dada la recta de ecuación r: a) Calcular u pendiente x 1 3t y t b) Calcular u ecuación egmentaria c) Calcular una recta que forme con r un ángulo de 45a y pae por el punto (,-1). d) Calcular la ecuación de la recta paralela a "r" a do unidade de ditancia. x y EJERCICIO : Dada la recta r: 3 1 Calcular una recta paralela y otra perpendicular a la recta r por el punto de interección de la recta x y r': y x 1 r : 1 EJERCICIO 1: Dada la recta r: x - y + 3 = x t 1 Calcular la ditancia del punto de corte de la recta : x + y = m : a la recta r. y t 6 EJERCICIO : x t a) Calcular m para que la recta r : x + my - 4 = y : y 3t 1 a.l) Paralela a. ) Perpendiculare x y b) Calcular la ecuacione de la recta paralela a r : que ditan do unidade del punto P(5,7). 3 c) Calcular la ecuación de la recta que forma un ángulo de 45 con r : x + 3y = y paa por el punto de ordenada en el origen -3. EJERCICIO 3: Dada la recta r: x+y= 6 a) Calcular el imétrico del punto A(3,) repecto de r. b) Calcular la recta imétrica de r" repecto de r. ean : EJERCICIO 4: Calcular el imétrico del punto (,1) repecto de la recta: 4x +3y+3 = EJERCICIO 5: a) Ecuación de la mediatriz del egmento determinado por lo punto A(1,-) y B(3,) y el ángulo que forma ea mediatriz con el eje OX. b) Calcular el área y el ortocentro del triángulo de vértice A(1, l), B(4,), C = (3,5). EJERCICIO 6: En un triángulo ABC el vértice A e (,5) y el punto medio de BC e (3, 1) y el punto medio del lado AB e (,4). a) Hallar lo vértice B y C b) Hallar el área del triángulo c) Calcular la ecuación de la recta altura correpondiente al vértice A d) Calcular la coordenada del circuncentro. EJERCICIO 7: Sea un paralelogramo de vértice A = (7,4), B = (,), C = (3,5). Calcular el cuarto vértice, u área y u perímetro y la ecuación de una de u diagonale. EJERCICIO 8: En un triángulo ABC, el vértice A tiene de coordenada (,5). El punto medio de BC e (3, 1) y el punto medio del lado AB e (,4). Calcular: a) Lo vértice B y C b) El área del triángulo.

6 GEOMETRÍA ANALÍTICA EJERCICIO 1 : a) Halla la ecuacione paramétrica de la recta r que paa por P(3,) y tiene la mima dirección que el vector v(1,-) b) Obtén tre punto de r c) Comprueba i lo punto A(7,-6) y B(-3,7) pertenecen a r. x 3 k a) r: y k k 1 P1 (4,) b) Dando valore a k obtenemo lo punto k P (5, ) k 1 P3 (6, 4) 7 3 k k 4 c) A =(7,-6) Como coinciden, A pertenece a r 6 k k k k 6 B =(-3,7) 5 Como no coinciden, B no pertenece a r 7 k k EJERCICIO : Halla la ecuacione paramétrica de la recta que paa por A(-1,3) y B(5,-1) r: Punto : A( 1,3) Vector : v AB (6, 4) (3, ) r : x 1 3k y 3 k EJERCICIO 3 : Halla una recta paralela y otra perpendicular a r: el punto M(1,-) x 7 t y 4 3t que paen por Punto : M(1, ) x 1 t Paralela: : : Vector : v paralelo vr (,3) v (,3) y 3t Punto : M(1, ) x 1 3t Perpendicular: p: p : Vector : vp perpendicular a vr (,3) vp (3,) y t EJERCICIO 4 : Dada la recta r 1 x 5 k x 4k x 3 k :, r : y r 3 : y 4k y 1 k y 6 k poición relativa y hallar el punto de corte, i e poible, en lo iguiente cao: a) r 1 y r b) r 1 y r 3 etudiar la a) Reolvemo el itema, cambiando el nombre a un parámetro: 5 k 4t k 4t 5 4k 8t t 11 t 4k 1 t 4k t 1 4k t 1 1 Sitema compatible determinado, exite una olución. Se cortan en un punto (ecante)

7 Para hallar el punto de corte, utituimo el valor de t en r : x P, y b) Reolvemo el itema, cambiando el nombre a un parámetro: 5 k 3 t k t 4k t 4 Sumándola 4k 6 t 4k t 4 4k t 4 Sitema compatible indeterminado, exiten infinita olucione. Son coincidente x 3 t EJERCICIO 5 : Dada la recta r: y : x 3y + 9 =, halla: y 5 3t a) La ecuación implícita de r y u pendiente b) La ecuacione paramétrica de c) El punto de corte de r y Punto P(3,5) a) r : 3x y C 9 1 C C 19 Vector normal : v (-,3) n (3,) 3x + y 19 = m = -3/ Punto : x, y 3 (,3) x 3t b) : Vector : n (, 3) v (3,) y 3 t c) Reolvemo el itema: (3-t)-3(5+3t)+9 = 6-4t-15-9t+9= -13t= t = P(3,5) EJERCICIO 6 : Dada la recta r: 3x y + 6 = y el punto P(5,-1), halla la ecuacione de la recta y p que paen por P y ean: a) paralela a r b) p perpendicular a r a) 3x y + C = 15++C = C = -17 3x y 17 = b) x + 3y + C = C = C = -7 x + 3y 7 = EJERCICIO 7 : Halla el ángulo que forman la recta r: v r = (1,-), n = (1, -1) v = (1,1) x t y 4 t y : x y = co (r,) = co (v r,v ) = v v r r.v. v º33'54' '

8 EJERCICIO 8 : Halla la ecuación de la recta que paa por el punto P(3,5) y forma un ángulo de 45º con la recta r: x + 3y 6 = Punto : P(3,5) : m m r Pendiente :mr tag45º m.m r 1 Do olucione: 1 : y-5 = (x 3) x 5y + = 5 : y 5 = -5(x-3) 5x+ y - = m 3 1 m. 3 3m 1 3 m m m EJERCICIO 9 : En el triángulo de vértice A(,-1), B(8,3) y C(6,-1) calcula la longitud de la altura que parte de B B Altura = d(b,r AC ) A Calculamo la recta r AC : Recta que paa por A y C: Punto : A(, 1) r AC Vector : v AC (6, 1 1) (6,) n (,6) C = 6 6y + 6 = y + 1 = 3 1 Altura = d((8,3), y + 1 = ) = 4 1 C x+6y+c= -6 + C = EJERCICIO 1 : Halla la ecuación de la recta paralela a r: x y + 3 = que ditan de r 5 unidade. Si on paralela a r r : x y + C = 3 C' 3 C' 5 C' d(x-y+3=; x-y+c =) = C' 5 ( 1) 3 C' 5 C' 8 Do olucione: r 1 : x y - = r : x y + 8 = EJERCICIO 11 : En el triángulo de vértice A(-,), B(6,) y C(,-4), halla el circuncentro. El circuncentro e el punto donde e cortan la mediatrice (recta perpendicular a un lado por el punto medio. Mediatriz del lado AB - 6 Punto : Punto medio de AB, (,1) r 1 : 4x y C 8 1 C Vector normal : n AB (6, ) (8., ) (4, 1)

9 C = -7 4x y 7 = Mediatriz del lado AC - 4 Punto : Punto medio de AC, (, 1) r : x 3y C 3 C Vector normal : n AB (, 4 ) (4., 6) (, 3) C = -3 x 3y 3 = Circuncentro : Interección de la mediatrice (Reolvemo el itema) 4x y 7 4x y y 1 y 4x 7 x 1 35 x 3y 3 4x 6y x= C, EJERCICIO 1 : Determina el punto P imétrico de P(3,-) repecto de la recta r: x y+8 = Pao 1 : Hallar la recta : Perpendicular a r por P P M P Punto : P(3, ) : Vector : v n r (, 1) n (1,) x + y + C = C = C = 1 x + y + 1 = Pao : Hallamo el punto M: Interección de r y r x y 8 x y 8 M: 5y 6 x y 1 x 4y y = x 1 M, Pao 3 : M e el punto medio de P y P x y,, P = 49, EJERCICIO 13 :Halla el punto de la recta r:y=-3x+ que equidita de lo punto A(5,1) y B(3,-) El punto P(x, y) pertenece a la recta Cumple d((x, y),(5,1)) d((x, y),(3,-) (x - 5) (y 1) Reolviendo el itema: P= 1 31, la ecuación : y (x 3) - 3x (y )