UNIDAD Nº 5: GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

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1 I.E.S. Ciudad de Ajona Depatamento de Matemática. º BAC UNIDAD Nº 5: GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA. VECTORES. DEFINICIÓN Y OPERACIONES Definición: Un ecto fijo AB e un egmento oientado ue tiene u oigen en el punto A y u extemo en el punto B. Módulo: e la ditancia ente A y B (longitud del egmento AB. AB Diección: E la diección de la ecta ue paa po A y B. (do ectoe tienen la mima diección i e encuentan en ecta paalela. Sentido: cada diección tiene do entido, uno de A a B y oto de B a A. Do ectoe on iguale i tienen el mimo módulo, la mima diección y el mimo entido. Lo ectoe e epeentan po leta u,,,..., o bien mediante uno de u epeentante, deignando el oigen y u extemo con una flecha encima AB. Poducto de un ecto po un númeo: El poducto de un númeo k po un ecto e oto ecto k ue tiene: Módulo: k k. Diección: la mima de. Sentido: el mimo de i k>0, o el opueto de i k<0. Suma de ectoe: Paa uma do ectoe u + e coloca el ecto u y a continuación el ecto, de manea ue el extemo de u coincida con el oigen de. La uma u + tendá el oigen de u y el extemo de. (La eta u e la uma de u con el opueto de ( u u + ( Combinación lineal de do ectoe: a u + b (E uma lo ectoe au y b. COORDENADAS DE UN VECTOR Y OPERACIONES Bae: E un conjunto de do ectoe β { x, y } ue on linealmente independiente y on un itema de geneadoe. (e deci, cualuie ecto del plano e puede obtene como una única combinación lineal de lo ectoe x e y Vectoe linealmente independiente: En el plano e educe a ue no tienen la mima diección. Ningún ecto e combinación lineal de lo oto. Vectoe linealmente dependiente:. Algún ecto e combinación lineal de lo oto. Sitema de geneadoe: Un conjunto de ectoe e un itema de geneadoe i cualuie ecto e puede pone como combinación lineal de eto ectoe. Si β { x, y } e una bae cualuie ecto e expea de una única manea como a x + b y. Se dice ue la coodenada on ( a, b OPERACIONES CON VECTORES: Poducto de un ecto po un númeo: λ u λ ( a, b ( λa, λb Suma de ectoe: u + ( u, u + (, ( u +, u + Ejemplo: Vamo a expea el ecto (,3 como combinación lineal de u (,0 y (, a + b b 3 a u + b (,3 a(,0 + b(, (,3 ( a + b, b 3 b u + 3 a 3. PRODUCTO ESCALAR Y PROPIEDADES Se llama poducto ecala de do ectoe u y a: u u co u,, donde u e el módulo del ecto u. Popiedade: El poducto ecala e un númeo. Si u y on ditinto del ecto 0.

2 I.E.S. Ciudad de Ajona Depatamento de Matemática. º BAC u y on pependiculae u u 0 Popiedad conmutatia: u u Aociatia: λ( u ( λu u ( λ Ditibutia: u ( + u + u u u u (ya ue el ángulo ue foman e 0 Paa pode calcula cualuie poducto ecala de do ectoe e neceaio abe el módulo de lo ectoe de la bae y el ángulo ue foman: β x, y, u ax + by ; a y { } ( ax + by ( a y aa xx + ab xy + ba yx + bb yy u Ejemplo: Sea β { x, y } una bae con x, y 4 y, x y 60º. Sea u x + y (,; 3x y (3,- Calcula: a u ( ( u x + y 3x y 6xx 4xy + 3yx yy xx x 4 ; yy y 6, x y x y co 60º 4 / 4 b u u u ( x + y ( x + y 4xx + xy + yx + yy x y 3x y 9xx 6xy 6yx + 4yy c u, co, u u 0 4, u 04º u 48 5 d Un ecto paalelo a u : E cualuie ecto λ u, po ejemplo i λ3 3 u 3 ( x+ y 6x + 3y e Un ecto unitaio a : E un ecto paalelo a con módulo eá 3 x y 5 5 f Un ecto pependicula a x + ay e ii 0 0 ( x + ay ( 3x y 3xx xy + 3ayx yy a a 3a 0 0a 4 a a x + y BASE ORTONORMAL: β { x, y } e una bae otonomal i x, y y x y x, y 90 º ( ( 5 La opeacione en una bae otonomal on má encilla: PRODUCTO ESCALAR: u ax + by ;(a,b a y (a,b u ax + by a y aa xx + ab xy + ba yx + bb yy aa + b MÓDULO: u u u a + b COSENO DEL ÄNGULO: co u aa bb u, + u a + b a + b u a b VECTOR UNITARIO:, u a + b a + b VECTOR ORTOGONAL: Un ecto otogonal a u ( a, b e ( b, a Ejemplo: Sea β { x, y } una bae otonomal Sea u x 3y (,-3; x + 4y (,4 Calcula: a u u (, 3 (,4 + ( xx x 4 ; yy y 6, x y x y co 60º 4 / 4 ( ( b

3 I.E.S. Ciudad de Ajona Depatamento de Matemática. º BAC b u + ( c u 0, co, u u 0 676, u 3º u 3 7 d Un ecto paalelo a u : E cualuie ecto u u e Un ecto unitaio a : E un ecto paalelo a 4 con módulo eá, 7 7 4, f Un ecto pependicula a ( λ, po ejemplo u ( 4, 6 ó 3 ( 6,9 Ejemplo: Sea u, 4 y, u 60º Calcula u + u + ( u + ( u + uu + u ; uu u 4, u u co60º 5 / 5 DESIGUALDAD DE SCHWARTZ: u + u + (En el ejemplo SISTEMA DE REFERENCIA EN EL PLANO Un itema de efeencia en el plano { O, x, y } B x, y po una bae de ectoe del plano { } otonomal. R etá fomado po un punto O (llamado Oigen, y (a pati de ahoa conideaemo ue e una bae A cualuie punto P le hacemo coeponde el ecto de poición OP, y a, ete la coodenada epecto de la Bae B { x y} OP a x + b y P(a,b A. Vecto ue une do punto AB Si miamo el dibujo obeamo ue: OA + AB OB, (depejamo AB AB OB OA Si A(a,a y B(b,b AB ( b, b Ejemplo: A(,3, B(,4 AB (,4 3 (, BA (,3 4 (, B. Condición paa ue te punto etén alineado: Te punto A, B y C etá aliado i lo ectoe ue foman ente ello tienen la mima diección, e deci on paalelo, po lo ue u coodenada on popocionale: Si A(a,a, B(b,b y C(c,c AB ( b b ; BC ( c b c b c b b c, a b Ejemplo: A(,-, B(6, y C(8, AB ( 4, (,, b BC 4// Etán alineado C. Punto medio: M e el punto medio de egmento AB, po lo tanto el AB AM b, b x, y x a + b a b x b + a x y a + b a b y b + a y Si A(a,a y B(b,b, M(x,y ( (

4 I.E.S. Ciudad de Ajona Depatamento de Matemática. º BAC 5. ECUACIONES DE UNA RECTA Una ecta iene deteminada po un punto P(a,b y un ecto diecto (,. Un punto genéico X de la ecta e define como: OX OP + λ OX OP + λ ( x, y ( a, b + λ( ECUACIÓN VECTORIAL: Tomando cada coodenada obtenemo la Ecuación Paamética ECUACIÓN PARAMÉTRICA: x Si depejamo λ de lo do e igualamo : λ ; λ ECUACIÓN CONTINUA, x a + λ b + λ y b x y b y b x y + b ( Si paamo todo a un lado del igual: ( x a 0 A; B; b a C Si enombamo ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA Ax + By + C 0 El ecto n ( A, B Si depejamo la y e llama ecto nomal y e pependicula al ecto diecto ( y A C x B B y mx + n y enombando A m B y C n A, ECUACIÓN EXPLÍCITA m pendiente y n odenada en el oigen A De la ecuación continua i depejamo y-b y b ( x de donde m B ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE y b m( x Ejemplo: Calcula la ecuacione de la ecta ue paa po el punto P(,- y tiene ecto diecto ( 3,5 x + 3λ x y + Ec. Vectoial ( x, y (, + λ( 3,5, Ec. Paamética: Ec. Continua + 5λ Ec. Geneal 5 x 0 3y x 3y 3 0 ; Ec. Explícita 5 x 3 3y y x Ec. Punto pendiente: y + ( x 3 ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS La ecuación de la ecta ue paa po do punto A ( a,a y B ( b,b e la ecta ue paa po el punto A y tiene ecto diecto el ecto AB ( b, b ( x, y A + λ AB. HAZ DE RECTAS Haz de ecta paalela: Son toda la ecta ue tienen la mima diección Ax + By+" C" 0 con C aiando. Ejemplo: El haz de ecta paalela a la diección del ecto ( 3,5 e: 5 x 3y + C 0 (el ecto nomal n ( 5, 3 e pependicula al diecto La ecta ue paa po el punto P(,- la obtenemo utituyendo el punto en la ecuación paa halla C. 5 3 ( + C C 0 C 3 Recta e 5 x 3y 3 0 Haz de ecta ue paan po un punto: Utilizamo la ecuación punto-pendiente. Lo ue aía e la y b " m" x pendiente (

5 I.E.S. Ciudad de Ajona Depatamento de Matemática. º BAC SIGNIFICADO DE LA PENDIENTE: La pendiente de una ecta e el incemento de la odenada (y cuando la abcia (x aumenta una unidad. También la pendiente e la tangente tigonomética del ángulo ue foma la ecta con la pate poitia del eje de la x (e deci la tangente del ángulo ue foma el ecto diecto con el ecto x de la bae. tag α m 6. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Do ecta en el plano pueden e: SECANTES: Si e cotan en un olo punto. PARALELAS: Si no tienen ningún punto en común. COINCIDENTES: Si tienen todo u punto comune. A. RECTAS EN FORMA GENERAL Tendemoαα ue dicuti el itema de ecuacione fomado po la do ecta Ax + By + C 0 A x + B y + C 0 olución: SECANTES (SCD infinita olucione: COINCIDENTES (SCI Sin olución: PARALELAS (SI A B A B C A B C Geneal A B A B C A B C B. RECTAS EN FORMA PARAMËTRICA O VECTORIAL Tenemo ue e la elación ente lo ectoe diectoe y el ecto ue une lo punto (uno de cada ecta x p + x + p λ + λ λ + λ olución: SECANTES (SCD Vectoe de ditinta diección Paamética C. RECTAS EN FORMA EXPLÍCITA ( ; (,, infinita olucione: COINCIDENTES (SCI Lo te ectoe con la mima diección Auí no bata con e i tiene o no la mima pendiente. Explícita olución: SECANTES (SCD m m 7. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Sabiendo lo ectoe diectoe o nomale y mx + n y m x + n infinita olucione: COINCIDENTES (SCI m m n n El ángulo ue foman do ecta e el meno de lo ángulo ue definen. ( ^ e toma el má peueño etaá ente 0º y 90º, ademá eá el ángulo ^ u fomado po lo ectoe diectoe de la ecta ( ^ ( ^ u u PQ (, p Sin olución: PARALELAS (SI Lo ectoe diectoe con la mima diección y el ecto une lo punto ditinta Sin olución: PARALELAS (SI y m m y n n co( Se toma alo aboluto paa ue el ángulo eté ente 0º y 90º. Si en ez de tene lo ectoe diectoe tenemo lo ectoe nomale, el ángulo e calcula de la mima foma con lo ectoe nomale. Ya ue i lo ectoe diectoe foman un ángulo lo nomale fomaán el mimo, ya ue etán giado 90º. n co( ^ n n n

6 I.E.S. Ciudad de Ajona Depatamento de Matemática. º BAC Sabiendo la pendiente α + β γ α + β γ β tgα tg ( γ β tgγ tgβ + tgγ tgβ m m + m m Tomamo alo aboluto paa ue el ángulo eté ente 0º y 90º. 8. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD y on paalela (// i: Vectoe diectoe tienen mima diección // Vectoe nomale tienen mima diección n // n Tienen la mima pendiente m m El ángulo ue foman e de ( ^ 0º Nota: Do ectoe on pependiculae i u poducto ecala e DISTANCIAS A. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La ditancia ente do punto ( x, y γ y tg β m tg m y on pependiculae ( i: Vectoe diectoe on pependiculae Vectoe nomale on pependiculae n n El poducto del a pendiente m m - P ( x, y ( P, Q PQ ( x x + ( y y dit B. DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA La ditancia del punto ( x 0, y 0 El ángulo ue foman e de ( m ^ 90º Q e el módulo del ecto ue une lo do punto PQ. P a la ecta Ax + By + C e: ( dit P, Ax + By C. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS (La meno Pimeo etudiamo la poición elatia de la do ecta: Si y e cotan d(,0 Si y on coincidente d(,0 Si y on paalela Cogemo un punto de una ecta, y calculamo la ditancia de ete punto a la ota ecta P d(,d(p, 0. SIMETRIAS A. SIMETRÍA DE UN PUNTO RESPECTO A OTRO. P (x,y e el punto imético de P(x,y epecto del punto A(a,b. Entonce A e el punto medio ente P y P. x + x y a + y b Ejemplo: Calcula el punto imético de P(,4 epecto al punto A(-,6. + x 4 + y P (x,y 4 x x 6 ; 4 y 8 P (-6, y B. SIMETRÍA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA RECTA Pao paa calcula P, imético de P epecto la ecta : e Pao: Halla la ecta, pependicula a ue paa po P. º Pao: Halla el punto de inteección de y. 3 e Pao: Se halla el imético de P epecto al punto de inteección. A + B + C m

7 I.E.S. Ciudad de Ajona Depatamento de Matemática. º BAC. PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO Mediana: Recta ue une un étice y el punto media del lado opueto. Baicento: Punto de inteección de la mediana. Altua: Recta pependicula a un lado ue paa po el étice opueto. Otocento: Punto de inteección de la altua. Mediatiz: Recta pependicula a un lado ue paa po u punto medio Cicuncento: Punto de inteección de la mediatice. Biectiz: Recta ue diide a cada ángulo en do iguale. Incento: Punto de inteección de la biectice. ÁREA DEL TRIÁNGULO: b h A AB b, h d( C, AB A AB d ( C, AB