ECUACIONES PARAMÉTRICAS

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1 ECUACIONES PARAMÉTRICAS CONTENIDO. De la elise. De la circunferencia 3. De la arábola 4. De la hiérbola 5. Ejercicios 6. Trazado de una curva dadas sus ecuaciones aramétricas Hemos visto, que si un lugar geométrico tiene una reresentación analítica, la cual es una sola ecuación que contiene dos variables. Ahora veremos la reresentación analítica de una curva utilizando dos ecuaciones, que se llaman ecuaciones aramétricas de la curva. Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables, cada una searadamente, están eresadas en función de la misma tercera variable. Según esto, designando or la letra z la tercera variable, comúnmente llamada variable aramétrica, estas ecuaciones se reresentan en la siguiente forma general: = F (z) = F (z) Es mu imortante aclarar que cada dos ecuaciones aramétricas reresentan una sola curva erfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos, como se uede ver en el siguiente ejemlo:. De la elise EJEMPLO. Un segmento de recta de 0 cm de longitud se mueve aoando sus etremos en los ejes de coordenadas. Determinar el lugar geométrico descrito or un unto P(, ) situado sobre el segmento A B a 4 cm del etremo que se aoa sobre el eje de las, como se muestra en la figura adjunta: 0-

2 SOLUCIÓN Observando la figura anterior se tienen las funciones trigonométricas: cos φ = 6 sen φ = 4 Por tanto desejando: = 6 cos φ = 4 sen φ Estas son las ecuaciones aramétricas del lugar geométrico descrito, ero necesitamos transformarlas ara que odamos identificar, e incluso, ara que odamos darnos cuenta de que las dos ecuaciones aramétricas reresentan una sola curva. Elevando al cuadrado las dos ecuaciones anteriores: = cos φ 36 = sen φ 6 Sumando miembro a miembro: + 36 = sen 6 φ + cos Pero se sabe que: sen φ + cos φ = Sustituendo tenemos: + = 36 6 φ Por el resultado obtenido, vemos que el lugar geométrico descrito or P es una elise horizontal, con centro en el origen, cuos semiejes miden 6 4. Este roblema nos hace ver que toda elise como la que acabamos de ver con semiejes a b, esta reresentada or las siguientes ecuaciones aramétricas: = a cos φ... I = b sen φ... I Si la elise es vertical con centro en el origen, sus ecuaciones aramétricas son: = b cos φ... II = a sen φ... II 0-

3 . De la circunferencia: Para el caso de una circunferencia de radio a arámetro ϕ, también con centro en el origen. Si P(, ) es un unto cualquiera de la curva, las ecuaciones aramétricas de acuerdo a la figura adjunta son: Considerando a P un unto cualquiera de la curva a como el radio de la circunferencia. De la figura se tiene: sen φ = cos φ = a a Desejando tendremos las ecuaciones aramétricas: = a sen φ = a cos φ... III... III En este caso observamos que el coeficiente a es el mismo, uesto que reresenta el radio de la circunferencia. 3. De la arábola Se sabe que ara este tio de curva la ecuación es: = () La cual es la ecuación de una arábola horizontal con vértice en el origen. ϕ es el ángulo de inclinación de la tangente a la arábola en el unto P, como se muestra en la figura adjunta. También se sabe que el valor de la endiente m de una recta tangente a una arábola, si se conoce el unto de tangencia, es: tan φ = m =...() 0-3

4 Por lo que de la ecuación (), desejando a : =...(3) Sustituendo (3) en (), se tiene: tan φ = = = Es decir que: tan φ = Por lo tanto la función trigonométrica: cot φ = Desejando a : = cot φ...iv Según la ecuación (3) tendremos: cot = De donde: φ = cot φ...iv Que son las ecuaciones aramétricas de la arábola horizontal con vértice en el origen. De la misma manera, artiendo de la ecuación de la arábola vertical con vértice en el origen, las ecuaciones aramétricas corresondientes son: = tanφ...v = tan φ...v 4. De la hiérbola Trazamos dos circunferencias concéntricas con centro común en el origen, de radio 0-4

5 0 A = a, de radio 0 D = b consideramos un unto P(, ) cualquiera, según la figura siguiente: En el triángulo rectángulo 0AB la función trigonométrica: OB sec φ = = OA a Desejando: = a sec φ VI De la misma forma, en el triángulo rectángulo 0CD, tenemos la función: tang φ = CD = OD b Desejando: = b tan φ...vi Que son las ecuaciones aramétricas de la hiérbola horizontal con centro en el origen. Para obtener la ecuación rectangular de una curva a artir de las ecuaciones aramétricas, se obtiene normalmente eliminando el arámetro, mediante rocedimientos conocimientos vistos en álgebra en la geometría trigonometría como veremos a continuación. 5. Ejercicios.. Obtener la ecuación rectangular de la curva cuas ecuaciones aramétricas son: = 8 t () = 4 t +...() Desejando el arámetro t, tenemos: De (): - 3 t =...(3) 8 De (): - t =...(4) 4 Igualando (3) (4): 0-5

6 - 3 8 = - 4 Quitando denominadores: 4( 3) = 8( ) Haciendo oeraciones 4 = = 0 + = 0 La ecuación reresenta a una línea recta, en su forma general.. Obtener la ecuación rectangular de la curva dada or las ecuaciones: = 3 cos φ = 3 sen φ...()...() De () desejando: cos φ =...(3) 3 De () desejando: sen φ = 3...(4) Sumando (3) (4) miembro a miembro: sen φ + cos φ = Pero como: sen ϕ + cos ϕ =. Por tanto: + = 3 3 Simlificando quitando denominadores: + = 3 Que reresenta a una circunferencia. 3. Encontrar las ecuaciones aramétricas de la curva dada or la ecuación: = 0, con : = t + 0-6

7 SOLUCIÓN Desejando de la ecuación dada tenemos: = Sustituendo el valor de = t + queda: = (t + ) - (t + ) - 3 = t + t + - t = t - 4 Como se indico que: = t + Las ecuaciones aramétricas son: = t + = t Una circunferencia de radio a rueda sobre una recta sin deslizarse. Determinar la traectoria de un unto dado de la circunferencia. Suongamos que en un cierto instante el unto dado M es el unto de contacto de la circunferencia con la recta en cuestión. Tomemos este unto como origen del sistema de coordenadas la recta dada como eje O. Lo que eresamos or medio de la figura adjunta: Suongamos ahora que M es un unto cualquiera de la traectoria buscada, sus coordenadas. Llamemos t al ángulo MCB. Tendremos entonces que: OK = OA - KA...() Y como: OK = ; OA = at ; KA = MB = a sen t Por lo tanto sustituendo en (). = at - a sen t = a (t sen t )...() De la misma forma como: 0-7

8 KM = AB = AC - BC...(3) Pero: KM = ; AC = a ; BC = a cos t Sustituendo en (3) nos queda: = a - a cos t = a ( cos t)...(4) Las ecuaciones aramétricas de la traectoria buscada, que se denominan cicloide son () (4). 6. Trazado de una curva dadas sus ecuaciones aramétricas. En forma directa se le asignan valores ordenados al arámetro con lo cual las ecuaciones aramétricas determinan los valores corresondientes a,, que reresentan las coordenadas de un unto de la curva. Uniendo los untos así determinados resulta una curva, que es la reresentación gráfica de las ecuaciones aramétricas. Así tenemos los siguientes ejemlos. Ejemlo. Trazar la curva cuas ecuaciones aramétricas son: = 6 cos φ Asignamos diferentes valores al arámetro φ, en este caso = 4 sen φ La siguiente tabla de tabulación muestra los valores de en función de φ, los cuales los reresentamos en un sistema de ejes cartesianos. φ La figura siguiente resenta la gráfica de los valores calculados. La gráfica reresenta una elise =π/ =π/ =π/ =π/ =5π/ =π =3π/ =π 0 0-8

9 Ejemlo. Trazar la curva reresentada or las ecuaciones aramétricas: = 4 cos φ, = 4 sen φ Procediendo de acuerdo a lo indicado. La siguiente tabla de tabulación resenta los valores de en función de φ φ 0 ± 0 La siguiente figura muestra los resultados obtenidos. La gráfica reresenta una circunferencia. π/ 0 ± π/3 ± ± 3 π/4 ± ± Ejemlo 3.- Dibujar la curva cuas ecuaciones aramétricas son: = t = t SOLUCIÓN Sustituendo cada uno de los valores asignados al arámetro t en las ecuaciones dadas determinamos las corresondientes a, como se resentan en la tabla de tabulación siguiente. 0-9

10 ± = t 4 ± = ± = 8 Llevando los valores de, al sistema de ejes cartesianos uniendo los diferentes untos tenemos la siguiente figura. La curva es una hiérbola equilátera. ± = ± = ± = 4 ± = ± = ± = ± = ± = 4 ± = ± = 3 ± = 6 ± = 4 ± = 8 ± = ± = 3 Ejemlo 4. Reresentar la curva cuas ecuaciones aramétricas son: = t ; = t 4 3 Sustituendo los valores asignados a t en las ecuaciones aramétricas dadas, obtendremos las corresondientes a,. La siguiente tabla reresenta los valores de,. t Reresentando los valores de, en un sistema de ejes cartesianos uniendo los diferentes untos, trazamos la gráfica. La curva es una arábola semi-cúbica. 0-0

11 Nombre de archivo: ecuaciones arametricas Directorio: C:\Geometria_analitica Plantilla: C:\WINDOWS\Alication Data\Microsoft\Plantillas\Normal.dot Título: ECUACIONES PARAMÉTRICAS Asunto: Autor: Pablo Fuentes Ramos Palabras clave: Comentarios: Fecha de creación: 09/04/0 :0 P.M. Cambio número: 3 Guardado el: 05/06/0 04:54 P.M. Guardado or: Pablo Fuentes Ramos Tiemo de edición:,03 minutos Imreso el: 05/06/0 05:43 P.M. Última imresión comleta Número de áginas: 0 Número de alabras:,500 (aro.) Número de caracteres: 8,554 (aro.)