Una función constante. Figura 7.1

Transcripción

1 Caítulo 7 Ecuación de la recta Vamos a ver que, si a y b son dos números reales, el gráfico de la función f() =a+b es una recta. Si a =0entonces f() =bes la función constante: su gráfico, (figura 7.1) es una recta aralela al eje. b 0 Una función constante Figura 7.1 Suongamos a 6= 0y b=0, entonces el gráfico de f() =a es una recta que asa or (0; 0), como en la figura 7., ues basta observar que: Si 6= 0; (; y) recta () y = tan = a y Una recta or el origen Figura 7. El número a = tan se llama la endiente de la recta. Si a 6= 0y b6=0entonces el gráfico de f() =a + b es una recta aralela a la anterior que asa or el unto (0; b), como en la figura 7.3. Diremos que la ecuación y = a + b es la ecuación de una recta, o que la recta es el lugar geométrico de los untos del lano que satisfacen la ecuación. Esto significa que un unto P de coordenadas (0; y0), está en la recta, si y sólo si sus coordenadas satisfacen la igualdad: y0 = a0 + b. En la ecuación y = a+b aarece la y «desejada». En general, una ecuación lineal A+By+C =0, donde A y B no son nulas simultaneamente, reresenta una recta, orque si B 6= 0, desejando y obtenemos y = A B C B, que es la recta de endiente C A B.SiB =0y A6=0la ecuación A + C =0 reresenta la recta aralela al eje y or el unto. A En una recta vertical, es decir donde el ángulo ángulo es diremos que tiene «endiente infinita». Esta recta vertical no es el gráfico de ninguna función, (figura 7.4). Por esta razón es referible

2 94 Ecuación de la recta y b y=a+b y=a b a Recta con endiente a, que corta el eje de las ordenadas (eje y) en el unto (0; b) Figura 7.3 tan = a -C/A Figura 7.4 Recta vertical ensar en términos de «ecuación de la recta» o de «lugar geométrico» como un conjunto de untos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación, en vez de ensar en términos de gráficos (de funciones). Obtenemos así todas las rectas del lano, incluso las verticales. 7.1 Geometría Analítica: método de las coordenadas El introducir coordenadas en el lano, y caracterizar conjuntos de untos como curvas o regiones mediante ecuaciones, nos ermite estudiar las roiedades geométricas de esos conjuntos, usando ara ello las roiedades de las ecuaciones que las reresentan. Este método se llama Geometría Analítica, y fue rouesto indeendientemente or Pierre Fermat ( ) y or René Descartes ( ). No es realmente una nueva geometría sino un método ara estudiar geometría. Vamos a comenzar estudiando las rectas y circunferencias en el lano. El rimer roblema es encontrar la ecuación de una recta que tiene ciertas roiedades o restricciones. 7. Ecuación de una recta que asa or un unto P Si el unto P tiene coordenadas (0; y0) y la recta y = a + b tiene que asar or P, entonces las coordenadas (0; y0)deben satisfacer la ecuación, es decir y0 = a0 + b. Eliminando b de las ecuaciones, esto es, restando miembro a miembro y = a + b y0 = a0 + b obtenemos y y0 = a( 0), que es la ecuación general de la recta que asa or P, (figura 7.). Observe que si la recta no es vertical, es decir 0 6= 0 entonces odemos dividir or 0 y obtenemos que a = y y0 es la endiente de la recta. 0

3 7.3 Recta que asa or dos untos 9 y y 0 P 0 Recta or un unto P (0; y0) Figura 7. Por suuesto que hay infinitas rectas que asan or P. Cada valor arbitrario que demos a la endiente a, determina una recta or P. Observación Interesante: El número de rectas que asa or un unto P es infinito. La endiente, el número a, da una biyección entre R y todas las rectas no verticales or P. Hay entonces un «continuo» de rectas or P, ero las roiedades «geométricas» de este continuo difieren de las de R, uesto que eiste una recta vertical. Si trazamos una circunferencia de centro P, cada recta or P está determinada or dos untos ouestos q y q 0 en la circunferencia, (figura 7.6) y la recta vertical determinada or el diámetro vertical. La geometría de las rectas or P se arece más a la de la circunferencia que a la de P Q' Q Todas las rectas or un unto Figura 7.6 R. 7.3 Recta que asa or dos untos Si tenemos dos untos distintos, P1 de coordenadas (1; y1) y P de coordenadas (; y), entonces eiste una única recta que asa or ambos. Para encontrar la ecuación de esta recta, escribimos la ecuación de una recta genérica que ase or P1: y y1 = a( 1), (figura 7.7) y onemos la condición de que esta recta ase or P: y y1 = a( 1) entonces, si la recta no es vertical, es decir si 1 6= 0, odemos calcular a = y y1 y y1 = ( 1) 1 y y1 1 y obtenemos entonces finalmente la ecuación Si la recta es vertical, es decir si = 1, la ecuación es: = 1 (= ) 7.4 Rectas Paralelas Dos rectas no verticales, son aralelas si y sólo si tienen la misma endiente. Las ecuaciones serán y = a + b y y = a + b 0. Por ejemlo: halle la ecuación de la recta aralela a una dada y que asa or el unto P de coordenadas (0; y0). Dada la recta y = k + b, escribimos la ecuación general de las rectas que asan or P, (figura 7.8) y y0 = a( 0) y fijamos el valor a = k. la ecuación y y0 = k( 0) esta totalmente determinada or el valor k R. Hemos encontrado una eresión

4 96 Ecuación de la recta y-y 1 P 1 P La recta or dos untos Figura P y=k+b Recta aralela or un unto P Figura 7.8 analítica del ostulado de Euclides: or un unto eterior a una recta, se uede trazar una única recta aralela a ella. Si la recta hubiera sido vertical, de ecuación = c, entonces la aralela or P hubiera tenido ecuación = Rectas Perendiculares Veamos que dos rectas (no verticales) con endientes a y a 0, son erendiculares si y sólo si las endientes satisfacen la relación a = 1 a 0 (o aa0 = 1) (figura 7.9). En efecto, si la recta y = a 0 + b 0 es erendicular a la recta y = a + b entonces 0 a = tan( + ) = 1 = 1 tan a π/ γ=π/+ Pendientes de rectas erendiculares Figura 7.9

5 7. Rectas Perendiculares 97 Ejemlo: Hallar la ecuación de la recta que asa or P (0; y0)y es erendicular a la recta y = a + b. Sabemos que la ecuación general de la recta que asa or el unto P es y y0 = m( 0). Luego, como esta recta debe ser erendicular a la anterior, entonces m = 1 a y, or lo tanto, la ecuación es y y0 = 1 a ( 0). 1. Determinar cuáles de los untos (3; 1), (; 3), (6; 3), ( 3; 3), (3; 1), ( ; 1) están situados en la recta 3y 3=0y cuáles no lo están.. Los untos A; B; C; D; E están situados en la recta 3 y 6=0sus abcisas son 4, 0,, -, -6 resectivamente. Determinar las ordenadas de esos untos. 3. Determinar los untos de intersección de la recta 3y 1=0con los ejes coordenados y dibujar la recta en el lano. 4. Hallar los untos de intersección de las rectas 3 4y = 9 +y = 19. Los lados de un triángulo están sobre las rectas 4 +3y =; 3y+10=0; = Determinar las coordenadas de sus vértices. 6. Un aralelogramo tiene dos de sus lados sobre las rectas 8 +3y+1=0;+ y=1y una de sus diagonales sobre la recta 3 +y+3=0determinar las coordenadas de sus vértices. 7. Dada la recta +3y+4=0, hallar la ecuación de la recta que asa or el unto (,1) y es (a) aralela a la recta dada. (b) erendicular a la reta dada 8. Hallar las ecuaciones de las rectas que asan or los vértices del triángulo A(; 4), B( 1; 3), C( 3; ) y son aralelas al lado ouesto. 9. Dados los untos medios de los lados de un triángulo M1(; 1), M(; 3), M3(3; 4) hallar las ecuaciones de sus lados. 10. La altura es la recta que asa or un vértice del triángulo y es erendicular al lado ouesto. Dados los vértices del triángulo A(; 1), B( 1; 1), C(3; ) hallar las ecuaciones de sus alturas. 11. La mediana es la recta que une un vértice de un triángulo con el unto medio de su lado ouesto. Dados los vértices del triángulo A(1; 1), B( ; 1), C(3; ) hallar la ecuación de la erendicular bajada desde el vértice A a la mediana trazada desde el vértice B. 1. Hallar las ecuaciones de los lados y de las medianas del triángulo que tiene como vértices A(3; ), B(; ), C(1; 0). 13. Dados los vértices consecutivos de un cuadrilátero conveo A( 3; 1), B(3; 9), C(7; 6), D( ; 6) determinar el unto de intersección de sus diagonales. 14. Hallar en la recta y =0un unto P de manera que la suma de sus distancias a los untos ( 7; 1), ( ; ) sea mínima. 1. Hallar la endiente y la ordenada en el origen, b, de la recta 3 +y= Pruebe que la ecuación de la recta que corta al eje X en (a; 0) yalejey en (0; b)es + y =1. a b ( Hay restricciones?). 17. Hallar la ecuación de la recta que asa or P ( 1; ) y es aralela a la recta que asa or A( ; 1) y B( 3; ). 18. Halle la ecuación de la recta que asa or A( ; ) y que es erendicular a la recta + y = 4. Encontrar el unto de corte de ambas rectas. 19. Dibuje las rectas 4 + y =1y 8 + y =1. Son estas rectas erendiculaes o aralelas? 10

6 98 Ecuación de la recta 0. Encuentre una fórmula ara el ángulo entre dos rectas que se cortan y = a + b y y = c + d, en términos de a y c (las endientes de las rectas dadas). 1. Halle el ángulo de corte de las dos rectas 3 y 1=0y 4 y=1. Determinar el ángulo formado or las rectas: (a) y +7=0; 3 +y =0 (b) 3 y +7=0; +3y 3=0 (c) y 47 = 0; 4y +3=0 (d) 3 y 1=0; y+3=0 3. El unto ( 4; ) es un vértice del cuadrado cuya diagonal está en la recta 7 y =0. Hallar las ecuaciones de los lados y de la otra diagonal. 4. Desde el unto ( ; 3) se dirige hacia el eje un rayo de luz con una inclinación de un ángulo. Se sabe que tan =3. Hallar las ecuaciones de las rectas en las que están los rayos incidente y reflejado.. Demostrar que la ecuación de la recta que asa or el unto M y es aralela a la recta A + By + C =0, uede escribirse A( 1) +B(y y1)=0 6. La mediatriz es la recta que trazada or el unto medio de un lado de un triángulo es erendicular a dicho lado. Hallar las mediatrices del triángulo que tiene como vértices A(3; ), B(; ), C(1; 0). 7. Si ; son enteros ositivos, demostrar que las coordenadas del unto P (; y) el cual divide al segmento de recta P1P en la razón, es decir, jp1pj jp1pj =, vienen dadas or las fórmulas +( = )1 y +( )y1 ; y= siendo (1; )las coordenadas del unto P1 y (; y)las del unto P. 8. Escribir las ecuaciones de las mediatrices de los lados del triángulo de vértices A(; 3), B( ; 1), C(3; ) y determinar las coordenadas del circuncentro (se llama así al unto en que se cortan las mediatrices y es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo dado). 9. Hallar las ecuaciones de las dos rectas que forman ángulo de 4 con la recta y + =0y que asan or el origen de coordenadas. 30. Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo formado or las rectas r1 y r definidas de la siguiente forma: r1 asa or el unto A(1; ) y forma un ángulo de 4 con la dirección ositiva del eje, r asa or el unto B(; 6) y corta el eje en un unto c tal que el área del triángulo ABC es igual a Dada la recta r1 de ecuación y 3 =4y el unto P (1; 3) (a) Hallar la ecuación de la recta que ara or P y es erendicular a r1. (b) Hallar una fórmula ara la distancia desde un unto Q =(0;y0)a una recta r = fa + by + c =0g, donde a; b; c; 0; y0 R. 3. Hallar las ecuaciones de las medianas del triángulo de vértices A(3; ), B(3; 4), C( 1; 1) y comrobar que las tres medianas se intersectan en un unto. 33. Demostrar que los segmentos de recta que unen los untos medios consecutivos de los lados de un cuadrilátero cualquiera forman un aralelogramo. 34. Por un unto P cualquiera del lano asan infinitas rectas. El conjunto de estas infinitas rectas se llama haz de rectas de vértice P. Sea r1 una recta de ecuación A1 + B1y + C1 = 0yrotra recta de ecuación A + By + C =0(no aralela a la anterior) y sea un número real cualquiera. Demostrar que la ecuación: A1 + B1y + C1 + (A + By + C) =0 reresenta un haz de rectas cuyo vértice es el unto de intersección de r1 y r.

7 7. Rectas Perendiculares Utilizando lo arendido en el ejercicio anterior y sin hallar las coordenadas del unto de intersección de r1 y r contestar las siguientes reguntas, siendo las ecuaciones de r1 : +3y =0 yder : 3 +y 8=0 (a) Hallar la recta del haz que asa or (1; 3). (b) Hallar la recta del haz aralela al eje. (c) Idem aralela el eje y. (d) Idem erendicular a la recta + y 7=0. (e) Hallar la recta del haz que forma un triángulo isósceles con los ejes de coordenadas. ejercicio 36 Figura Determinar un triángulo ABC conociendo un unto A, la longitud del lado BC, la endiente de la recta sobre la que se encuentra el lado BC y sabiendo que ^B = ^C y que el unto P está sobre la recta BC. Datos: A(; 3); P(0; 1); mbc = 1 ;jbcj = Solución: la recta r está comletamente determinada ues conocemos un unto y la endiente. El roblema se reduce a trazar desde A dos rectas AB y AC que forman ángulos iguales con r y tales que determinen un segmento sobre r de longitud dada igual a. Una forma simle de resolverlo, vea la figura 7.10, teniendo en cuenta que la altura AL asa or el unto medio de BC, es determinar las coordenadas del unto L y llevar a cada lado de L segmentos de longitud jbcj y hallando los untos B y C. Ecuación de la recta AL que asa or A y es erendicular a r: mal = 1 mbc = AL : y 3= ( ) ) y = +7 Ecuación recta BC : y 1= 1 ( 0) ) y = +1 Coordenadas del unto L, intersección de AL y BC: y = +7 y= =) +1 8 < : 0= 1 +6)= ; y = 11 L( 1 ; 11 ) jblj = jlcj = 1 jbcj = 1 = Como se conoce la endiente de BC, mediante una simle regla de tres, que resulta de alicar el teorema de Thales, se determinan los incrementos que debemos dar a la abcisa y ordenada de L ara obtener las coordenadas de C y B

8 100 Ecuación de la recta ejercicio 36 Figura 7.11 = ) = 1 = ) y = y XC = L + B =L YC =yl+y yb =yl y C = 1 + B = 1 yc = 11 + yc = 11 Queda determinado el triángulo ABC or las coordenadas de los tres vértices: 1 A (; 3); B 11 1 ; ; C + 11 ; + :