Introducción. a4 + b 4 = a + b es una proposición falsa j ) No! no es proposición. Ejercicio 1.-

Transcripción

1 L 0 G I C A P R 0 P O S I C I O N A L Introducción Podemos considerar la lógica como ciencia y técnica a la vez. Técnica orue está relacionada con la destreza ara interretar el razonamiento correcto y criticar el razonamiento incorrecto y ciencia orue investiga, desarrolla y establece los rinciios fundamentales y rovee los métodos ara distinguir el razonamiento correcto del incorrecto. Razonar es un roceso mental mediante el cual se llega a establecer una conclusión, ue se basa en una o mas roosiciones suuestas o acetadas reviamente llamadas remisas,( ostulados, axiomas) ue constituyen el unto de artida del roceso. En general, la ciencia de la lógica se interesa or las relaciones legitimas ue uedan encontrarse entre roosiciones suuestas o acetadas y otras inferidas como conclusiones de las rimeras. Las osibilidades ue ofrece la lógica es ue artiendo de verdades se ueden obtener nuevas verdades. Sólo estudiaremos la lógica relativa a las roosiciones y or tal motivo, este tema, recibe el nombre de Lógica Proosicional, y distinguiremos dos tios de valores de verdad, ue anotamos o, o bien, 1 ó 0. De nición Una roosición u oración declarativa, es una frase del lenguaje usual a la cual se le uede asignar un valor de verdad ( o ) sin ambigüedad. Las anotaremos con las letras,, r, s,..., etc. Para oder decidir si estamos frente a una roosición, basta reguntar Es verdadero o falso ue...? Ejemlos: a ) 0 < 1 es una roosición verdadera b ) Qué hora es? no es roosición c ) = 6 es una roosición falsa d ) erde no es roosición e ) Uf, ué calor! no es roosición f ) Los gatos ladran de noche es roosición falsa g ) = 2 0 es una roosición falsa h ) ( 2 + b) 2 = 4 + b 2 es una roosición falsa i ) 4 a4 + b 4 = a + b es una roosición falsa j ) No! no es roosición Ejercicio 1.- 1

2 1.- Indiue cual de las siguientes oraciones son roosiciones a.- Ud. está haciendo un curso de matemática... b.- El dijo la verdad.... c.- Me duele mucho la cabeza!... d.- Si llueve, me resfrío... e.- La Lógica es ciencia exacta.... f ) Que asó?... g ) Ruanda es un aís caribeño... h) Carlos uentes es un músico mexicano... j) Cincuenta... k ) Hugo Chavez es Presidente de enezuela... l) Camilo Cela es Premio Nobel de Literatura... m) Ay!... n) ( Z ; * ) Es gruo abeliano... ñ ) No sé si vendrá... o ) 51 es un número rimo... ) Misa en Re - mayor de Mozart... ) 24 = 8... r) Ayer... s) Thomas Mahn es un escritor Inglés Determine el valor de verdad de las siguientes roosiciones Nota a) 1 en un número rimo b) [ a + b ] 2 = a 2 + b 2 c) " La Ciudad y los Perros " es una obra de Mario argas Llosa. d ) 0 0 = 1 e ) 1001 es un número rimo f ) "L a Coral" es una de las nueve sinfonías de Beethoven g) Haver está bién escrito h) J. M. Balmaceda fue un Presidente de Chile i ) a 1200 = 0 j) - 8 > - 2 l) El lago O Higgins está en la X región m) 5 es múltilo de 1 n) Todos los números distintos de 0 dividen al 1 ñ ) = 16 o) 2 x + 1 = 4 no tiene solución enterra 2

3 Las roosiciones las simbolizaremos con las letras minúsculas,, r, s, t,... Ejemlos a ) : 4 3 = 12 b ) : Neruda fue un oeta chileno c ) r : 2 0 = 1 d ) s : 25 = 5 e ) t : La ballenas son mamiferos acuáticos Las roosiciones ueden ser verdaderas o falsas, no ueden tener ambos valores de verdad a la vez, es decir El grá co anterior es la llamada tabla de verdad de la roosición Observación a ) Si es verdadero excluye el falso b ) Si es falso excluye el verdadero De nición Sea una roosición entonces ; o N es la negación de la roosición y es tambien una roosición. Ejemlo a ) : 2 4 =16 ; : 2 4 6= 16 b ) : J.P. sastre fue un lósofo francés : J.P. Sastre no fue un lósofo francés c ) r : - 5 es un número natural r : - 5 no es un número natural d ) s : La Habana es la caital de Cuba s : La Habana no es la caital de Cuba e ) t : 2 > - 7 ; t : 2-7 Ejercicio 2.- Escriba la negación de las roosiciones del Ejercicio 1-2 Proosición 1.- 3

4 ( ) amolleta Si un roosición entonces ( ) = Demostración Las tablas de verdad de y ( ) son iguales Conectivos Lógicos Las alabras : " y " ; " 0 " ; " y / o " : " si " ; " entonces " ; " sí y sólo " del lenguaje usual, sirven ara unir dos o más roosiciones simles, se llaman conectivos lógicos. La unión de dos o mas roosiciones simles son llamadas roosiciones comuestas y el valor de verdad deende de las roosiciones comonentes. 1.- Conjunción ( ^ ) Consideremos el siguiente circuito electrico comuesto or dos interrutores ( y ) y una amolleta, de modo ue si éstos están cerrado sea y si están abierto sea. Para ue la amolleta esté encendida, ambos interrutores deben estar cerrados y en cualuier otro caso la amolleta estará aagada, luego, la roosición comuesta ^ es verdadera si y sólo si y son verdaderas y la tabla de verdad está dada or: Ejemlos a ) : 5 1 = 1 ; : ( 1) 6 = ( 1) 12 = 1 luego ^ es, dado ue ambas roosiciones son verdaderas b ) r : Roma es la caital de rancia 4

5 s : 0 0 = 1 luego r ^ s es falsa, dado ue s es falsa c ) t : desolación es un oema escrito or G. Mistral u : J.L. Borges fue un escritor argentino luego t ^ u es, dada ue ambas roosiciones son verdaderas e ) Si ^ es y es entonces es falsa f ) Si es y es entonces ^ es falsa Proiedades de la conjunción Sean,, r roosiciones a ) ^ ^ conmutativa b ) ( ^ ) ^ r ^ ( ^ r) asociativa c ) ^ d ) ^ (Contradicción) Demostración ( Mediante tablas de verdad ) a ) b ) Nota Las roosiciones ue siemre son falsas se llaman contradicción Ejercicios Indiue el valor de verdad de las siguientes roosiciones comuestas: a ) ( 5 < 2 ) ^ Paris es la caital de rancia b) Existe la división or 0 y José Luis Borges fue un escritor 5

6 ( ) ( ) 6

7 mejicano c) mcm ( 7 ; 5 ) = 35 ^ 1 es divisor de todos los números d ) (2 + 5 = 3) y La velocidad de la luz es Km / seg e ) Sartre fue un ilosofo francés y La Luna es un laneta f ) ( 5 < 3) ^ ( - 3 > - 5 ) g ) Z = Q y Cali es una ciudad colombiana h ) El consecutivo de 2k es 2 ( k + 1 ) ^ 5k + 2 es múltilo de 2 i) mcd ( 2x ; 4x ) = 2x ^ 20 = 2 10 ^ (21 es divisor de 63) j ) No es cierto ue si Paris está en Canada y Roma está en Ecuador 2.- Encuentre el valor de verdad de las siguientes roosiciones comuestas a ) Si es, es y r es ; Hallar el valor de verdad de: i ) ^ f ^ ( r)g ii ) ^ [r ^ ( )] b ) Si es, es, r es y t es f ; Hallar el valor de verdad de: i ) f t ^ [ ^ ( ^ r)]g ii ) ^ ft ^ [ ^ r]g c ) Si ^ ( ) es y es. Cuál es el valor de verdad de? d ) Si ^ ( ^ r) es y es. Qué valores ueden tomar y r? 2.- Disyunción incluyente ( _ ) Consideremos el siguiente circuito electrico comuesto or dos interrutores ( y ) y una amolleta, de modo ue si éstos están cerrado sea y si están abierto sea. Para ue la amolleta esté encendida, es reciso ue a lo menos una de los interrutores esté conectado, de modo ue, si ambos interrutores están abierto, entonces la amolleta no se enciende, luego la tabla de validez es: Ejemlos a ) : La nieve es blanca ; : Africa es un aís luego 7

8 amolleta 8

9 b ) c ) _ es, uesto ue es, es r : 2 1 = 2 ; s = J. Cortazar fue un escritor Uruguayo luego r _ s es, uesto ue ambas roosiciones son t : Caracas es la caital de enezuela u : es divisible or 11 luego t _ u es, uesto ue ambas son roosiciones Proiedades de la disyunción inclusiva Sean, y r roosiciones a ) conmutativa b ) ( _ ) _ r _ ( _ r) asociativa c ) _ d ) _ Demostración c ) De nición Si una roosición simle o una roosición comuesta es siemre verdadera se dice ue se trata de una tautologia. Ejercicios Indiue el valor de verdad de las siguientes roosiciones comuestas: a ) ( 5 < 2 ) _ Paris es la caital de rancia b) Existe la división or 0 _ José Luis Borges es unescritor mejicano c) mcm ( 7 ; 5 ) = 35 _ 1 es divisor de todos los números d ) (2 + 5 = 3) _ La velocidad de la luz es Km / seg 9

10 e ) Sartre fue un ilosofo francés _ La Luna es un laneta f ) ( 5 < 3) _ ( - 3 > - 5 ) g ) Z = Q _ Cali es una ciudad colombiana h ) El consecutivo de 2k es 2 ( k + 1 ) _ 5k + 2 es múltilo de 2 i) mcd ( 2x ; 4x ) = 2x _ 20 = 2 10 _ (21 es divisor de 63) j ) No es cierto ue Paris está en Canada _ Roma está en Ecuador 2.- Encuentre el valor de verdad de las siguientes roosiciones comuestas a ) Si es, es y r es ; Hallar el valor de verdad de: i ) _ f _ ( r)g ii ) _ [r _ ( )] b ) Si es, es, r es y t es f ; Hallar el valor de verdad de: i ) f t _ [ _ ( _ r)]g ii ) _ f t _ [ _ r]g c ) Si _ ( ) es y es. Cuál es el valor de verdad de? d ) Si _ ( _ r) es y es. Qué valores ueden tomar y r? Leyes de Morgan a ) ( ^ ) _ b ) ( _ ) ^ Demostración a ) ( ^ ) _ b ) ( _ ) ^ 10

11 Ejemlos a ) : 4 = 2 ; : C. uentes es un escritor mejicano luego i ) ( _ ) ii ) ( ^ ) b ) r : 0 es divisible or 10 s : t es una letra vocal luego i ) ( r _ s) ii ) ( r ^ s) c ) Si ( _ ) y es entonces es d ) Si ( ^ ) es y es entonces es Ejercicios 5.- a ) : 14 es múltilo de 3 ; : Julio Cortazar escribió Rayuela r : 3 1 = 1 3 s : ( a - b) 3 = a 3 b 3 4 t : a 4 + b 8 = a + b 2 u : CO 2 es un gas del calentamiento global Encuentre los valores de verdad de : i ) ( ^ ) ii ) ( s ^ u) iii ) f r ^ [ ^ ( t _ )]g iv ) r _ fs _ [ ^ ( u ^ )]g v ) t ^ f u _ [ ^ ( u _ )]g b ) Si ( ^ ) es y es entonces es... c ) Si ^ es y es entonces ( ^ ) es... d ) Si [ ^ ( _ r)] es Cuáles son los robables valores de, y r? ( justi ue ) e ) Si [ _ ( ^ r)] es. Cuáles son los robables Proiedades distributivas Sean, y r roosiciones valores de, y r ( justi ue ) a ) _ ( ^ r) ( _ ) ^ ( _ r) b ) ^ ( _ r) ( ^ ) _ ( ^ r) Demostración ( Sólo a ) a ) 11

12 r a m o l l e t a r a m o l l e t a r _ ( ^ r) ( ^ ) _ ( ^ r) de Gra camente, las roiedades distributivas se ueden reresentar en forma circuito de la siguiente forma a ) _ ( ^ r ) b ) ^ ( _ r ) Ejercicios 5.- Describa usando simbología lógica los siguientes circuitos a ) b ) c ) d ) De nición 12

13 s t s r t t u r s v w x y 13

14 Las roosiciones comuestas ue no son tautologias ni contradicciones se llaman contingencias. 4.- Disyunción excluyente ( Y) Consideremos el siguiente ejemlo : Hoy a las tres iré al teatro : Hoy a las tres iré a la laya luego Hoy a las tres iré al teatro o iré a la laya claramente "o" es excluyente dado ue no se ueden cumlir ambas roosiciones a la vez, luego la tabla de verdad ara Y está dada or: Y De la tabla de verdad, se uede concluir ue la roosición Y es si y sólo si una de ellas es y falsa en los otros casos. Ejemlos 8 a) : 2 +2 = 5 : es un número racional 9 luego Y es una roosición veradera b) : = 4 ; : 0 0 =1 ; r : alaraíso es atrimonio de la humanidad luego ( ^ r ) Y ( _ r) es una roosición ( Poruè?) Proiedades a) Y ( Y r) ( Y ) Y r b) Y contradicción c) Y tautología d) Y, Y son contingencias Ejercicio 6.- a) Encuentre las tablas de verdad de : i) Y ( Y r) ii) Y ( _ r) y ( Y ) _ ( Y r ) Qué concluye? iii) Y ( ^ r) y ( Y ) ^ ( Y r ) Qué concluye? b) Sean ( ), ( ) ; r ( ) Encuentre el valor de verdad de : 14

15 i) Y ( Y r) ii) Y ( ^ r) iii) _ ( Y r) iv) [ Y ( Y r)] c) Sean : 8 = 2 ; : ( a + 1) 2 = a ; r : 2 4 :2 2 =2 6 1 s: 2 :2 = 4 Hallar el valor de verdad de: i) Y ( Y s) ii) Y [(s Y r) ^ ] iii) ^ [( Y r) Y s] iv) Y [ Y ( r ^ s)] 5.- Condicional ( )) Sean y roosiciones, la roosición " si, entonces ",se llama roosición condicional y se anota: ) donde es el antecedente o hiotesis es el consecuente o tésis Consideremos el siguiente ejemlo: " Si me saco el loto,entonces me comro un auto " eamos las 4 osibilidades. a) Me saué el loto y me comré el auto En este caso se cumlió la romesa y la roosición si, entonces es, es decir, ) b) Me saué el loto y no comré el auto En este caso no se cumlió la romes y la roosición si, entonces es, es decir, ) c) No me saué el loto, ero me comre el auto En este caso se cumlió la romesa a esar de no haberse sacado el loto y la roosición si, entonces es, es decir, ) d) No me saué el loto y no me comré el auto En este caso no se romió la romesa y la roosición si, entonces es. 15

16 ) Considerando el ejemlo, odemos decir ue la tabla de verdad de ), es: existen ) Las roosiciones condicionales son muy imortantes en matemática y varias maneras de enunciarlas, entre ellas 8 Si, entonces >< sólo si ) : si es su ciente ara >: es necesario ara Ejemlos a) Si dos rectas no son aralelas en un lano, entonces se intersectan en un unto Esta roosición en Geometría se uede escribir usando la lógica simbólica: L 1 ;L 2 2 }; L 1 / L 2 ) L 1 \ L 2 = f Pg b) Si a es un entero ositivo, entonces a 2 es mayor ue cero a 2 Z + ) a 2 > 0 c) Si estudias clase a clase, entonces te hará mas fácil la comrensión de los temas. d) Si x = 0 entonces tiene solución vacía en reales. Si x = 0 ) S = c/ R Proiedades de la condicional a) ) _ b) f( )) ^ ( )r ) g ) ( )r ) Proiedad transitiva La roiedad transitiva es conocida también como el método directo de demostración. c) ( ) ) d) ( ) ) e) ( ) ) ( ) ) llamado contraositivo 16

17 Esta roiedad es conocida también como el método indirecto de demostración. f) [ ) ( _ )] es decir es una tautología g) [( )) ^ ( )] es una contradicción y también es un método de demostración, observe ue se niega la hiotésis y se mantiene el valor de verdad de la tésis, llegando a una contradicción, la ue nace de haber negado la hiotésis. h) [ ^ ( ))] ) Modus Ponens i) [ ^ ( ))] ) Modus Tolens 5.- BICONDICIONAL La roosición comuesta obtenida al unir dos roosiciones simles or medio de la alabras "...Si y sólo si... ", se llama bicondicional y se utiliza el símbolo,. Esta roosición comuesta es euivalente a la forma: Sean, roosiciones, [ ( )) ^ ( ))] De lo anterior se establece la siguiente tabla de verdad:, Otra forma de exresar la bicondicional en el lenguaje usual es, " es condición necesaria y su ciente ara " Proiedades de la bicondicional Sean, y r roosiciones transitiva a) (, ), [ ( ) ) ^ ( ) )] b) [(, ) ^ (, r )],(, r ) Proiedad c) (,), (,) d) [ ^ ( _ )], [ _ ( ^ )], Princiios de absorción 17

18 ( ) ( ) ( ) ( ) i ) x z ii ) z r y Ejercicio Indiue el valor de verdad de las siguientes roosiciones comuestas: i ) 5 < 2 ó Paris es la caital de rancia ii) Existe la división or 0 y José Luis Borges es un escritor argentino seg iii ) mcm ( 7 ; 5 ) = 35 y 1 es divisor de todos los números iv ) = 3 y La velocidad de la luz es Km / v) Enriue Lafourcade es un escritor y Neruda es un oeta contemoráneo vi ) Sartre fue un ilosofo francés o La Luna es un laneta vii ) (5 < 3) ^( - 3 > - 5 ) viii ) Z Q y Cali es una ciudad colombiana múltilo de 2 de cáncer está x ) xi) Eduardo González ix ) El consecutivo de 2k es 2 ( k + 1 ) ^ (5k + 2)es Si Colo Colo es un euio brasilero, entonces el tróico en el hemisferio sur No es cierto ue si Neruda es dramaturgo si y sólo si escribió La Divina Comedia Si,,r son roosiciones verdaderas y x,y,z son roosiciones falsas, encuentre el valor de verdad de las siguientes roosiciones comuestas. 3.- i ) Qué valor deben tener r y de modo ue la roosición ii ) Qué valor debe tener ara ue la roosición iii ) Qué valor deben tener y de modo ue la roosición Sea falsa iv ) Qué valor de verdad debe tener r y s de modo ue la roosición 18

19 [( ) ( )] ( ) ( ) {[ ( ) ] } [( ) ] ( ) ( ) [ ( )] [ ] iii) r x y r z iv) x y r v ) x r vi ) z x vii ) r x z { [ ( )]} { } viii ) x r y z [( ) ( ) ] ix ) x y r x [ { ( )}] r sea? ( ) sea? ( )? [ { }] ( ) r s r s r sea? 19

20 u ( u u) sea? ( [ ]) r sea alsa? v ) Qué valor de verdad debe tener u de modo ue la roosición vi ) Qué valor de verdad debe tener deben tener, y r de modo ue la roosición 4.- i) Si =) ( r =)) es una roosición falsa, determine el valor de verdad de: ( ^ ) () [ Y ( r _ )] ii) Se sabe ue es verdadero. determine ara ue valores de y r la roosición Observación ( =)r) =) ( _ ) ( _ ) ( _ ) iii) Para ué valores de y la siguiente roosición es falsa? () _ iv) Se sabe ue es una roosición falsa. Qué valor de verdad debe tener ara ué la siguiente roosición sea verdadera? ( =) ) ^ ( ()) v) Para ué valores de,, r, la siguiente roosición sea falsa? h i ( ^ ) =) Y r () (= 5.- Escriba la negación de las siguientes roosiciones 6.- Simli ue las siguientes exresiones a) c) b) ( ) r ( ) r d) ( ) r 20

21 ( ) f) ( ) ( r) e) g) ( ) ( ) h) ( ) r [ ] [ ] ( ( )) ( ) ( ) [( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) {( ) ( )} ( ) ( ) a ) b ) ( ) ( ) c) d ) e) f ) g) h) r r [ { }] ( ) [ ( ) ] [ ( ( ) )] {( ) ( )} ( ) i ) r { } { } j ) k ) l ) r r r ( ) ( ) ( ) ( ) m) [ ] n) 21

22 [ ] [ ] ( ( )) ( ) ( ) [( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) {( ) ( )} ( ) ( ) a ) b ) ( ) ( ) c) d ) e) f ) g) h) r r [ { }] ( ) [ ( ) ] [ ( ( ) )] {( ) ( )} ( ) i ) r } { } j ) k ) l ) r r r ( ) ( ) ( ) ( ) m) [ ] n) o 7.- Simli ue las siguientes exresiones 5.- determine si las siguientes roosiciones son tautologia,contradicciones contingencias. 6.- Comletar las siguientes roosiciones 22

23 ( ) ( ) a ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) c) d ) [ ] ( ) e) a) c) e) g)... b)... d)... f )... [ ( ) ].... ( )... h) [ ]