MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN EXPRESIONES ALGEBRAICAS

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1 MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN EXPRESIONES ALGEBRAICAS (Tomado de: Stewart, James. "Precálculo". Quinta Edición. Sección.3.) Una exresión algebraica es una combinación de constantes (números) y variables (elementos genéricos de un conjunto numérico, reresentados or letras), mediante suma, resta, multilicación, división y otenciación con exonentes enteros o racionales. Generalmente las variables se reresentan con las últimas letras del alfabeto: u; v; w; x;... son exresiones algebraicas. 3x + 4x 5; x + z y + x ; y 4z z + y ; Un olinomio en la variable x es una exresión algebraica de la forma a n x n + a n x n + + a x + a 0 ; donde a 0 ; a ; ; a n son números reales, llamados coe cientes del olinomio y n es un entero no negativo. Si a n 6= 0, se dice que el olinomio es de grado n; es decir, el grado de un olinomio corresonde al mayor exonente de la variable que aarece en el olinomio. Ejemlo: 7x 5 3x 4 + x + x + es un olinomio en la variable x de grado 5. El término en x 3 no se escribe orque su coe ciente es 0: Suma de olinomios Para sumar (o restar) olinomios, utilizamos las roiedades de la suma y el roducto de números reales. Ejemlo: Sumar 3x + 7x 9 con 5x 3 5 x + x 5: Solución: (3x + 7x 9) + ( 5x 3 5 x + x 5) = (3x + ( 5 )x ) + (7x + x) + ( 9 + ( 5) + ( 5x 3 ) Usamos las roiedades asociativa y conmutativa de la suma. Este aso en álgebra se conoce como "Agruación de términos semejantes". 5 ))x + (7 + )x + ( 9 5) + ( 5x 3 ) Usamos la roiedad distributiva del roducto con resecto a la suma, es decir, "sumamos términos semejantes". = (3 + ( (3x + 7x 9) + ( 5x 3 5 x + x 5) = 3(5) x + 8x + ( 4) + ( 5x 3 ) 5 = 4 5 x + 8x 4 5x 3 = 5x x + 8x 4:

2 Ejemlo: a) Sumar 3x + x + con x 3x 5 b) De 3x + x + restar x 3x 5 : Solución: a) 3x + x + + x 3x 5 = 3x + x + (x 3x) + ( 5) = (3 + )x + ( 3)x + ( 5) = x x 4 b) 3x + x + x 3x 5 = 3x +x+ x +3x+5 = (3 )x +(+3)x+(+5) = x +4x+6: Producto o multilicación de olinomios Para multilicar olinomios usamos las roiedades de la suma y el roducto de números reales, y las leyes de los exonentes. Ejemlo:. (3x 4) x + x = 3x(x + x) + ( 4)(x + x) or roiedad distributiva de la suma con resecto al roducto = 3x x + 3x x 4x 4x or roiedad distributiva del roducto con resecto a la suma = 3x 3 + 3x 4x 4x or leyes de exonentes = 3x 3 + x (3 4) 4x or roiedad distributiva del roducto con resecto a la suma = 3x 3 x 4x:. t + 5 t = 5 t t t = t t + 0: Productos notables Algunos roductos se usan frecuentemente y or ello es fácil memorizar el resultado. Sean a y b números reales o exresiones algebraicas.. (a + b) (a b) = a b. (a + b) = a + ab + b 3. (a b) = a ab + b 4. (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 5. (a b) 3 = a 3 3a b + 3ab b 3 : Estos resultados ueden veri carse realizando los roductos, así: 3. (a b) = (a b)(a b) = a:a + a( b) + ( b)a + ( b)( b) = a ab ba + b = a ab + b : 4. (a b) 3 = (a b)(a b) = (a b)(a ab+b ) = a:a +a( ab)+a:b +( b):a +( b)( ab)+( b)b = a 3 a b + ab a b + ab b 3 = a 3 3a b + 3ab b 3 :

3 Interretación geométrica: (a + b) = a + ab + b (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 Ejemlo: Utilizar los roductos notables ara obtener los siguientes roductos. a) c + c ; c 6= 0 b) a a + ; b 6= 0 b b c) ( y) 3 : 3

4 Solución: a) Alicando, tenemos: c + c = c + (c) + c = c + c c c + c = c + + c b) Alicando, tenemos: a a + = a b b = a b b c) Alicando 5, con a = y b = y, obtenemos: ( y) 3 = 3 3 () (y) + 3 () (y) (y) 3 = 6y + y 8y 3 : División de Polinomios Si P (x) y D (x) son olinomios tales que el grado de P (x) es mayor o igual que el grado de D (x) y si D (x) 6= 0, entonces existen olinomios Q (x) y R (x) tales que con grado de R (x) menor que grado de D (x). P (x) R (x) = Q (x) + D (x) D (x) ; Los olinomios P (x) y D (x) se llaman dividendo y divisor resectivamante, Q (x) es el cociente y R (x).es el residuo. Si en la ecuación anterior, multilicamos en ambos lados or D (x) obtenemos la ecuación equivalente P (x) = D(x):Q(x) + R(x): Veamos, en el siguiente ejemlo, cómo hallar Q (x) y R (x) dados P (x) y D (x). Ejemlo Dividir 5x 3 x + entre x +. Solución En este caso, P (x) = 5x 3 x + es el dividendo y D(x) = x + es el divisor. Para hallar el cociente Q(x) y el residuo R(x) se rocede así: Se ordenan ambos olinomios con resecto a las otencias de x y si falta alguna otencia se agrega con coe ciente 0: En este caso, sólo falta agregar 0x al dividendo y la división se indica así: Para obtener el rimer término del cociente, se divide el rimer término del dividendo entre el rimer término del divisor. En este caso, 5x3 x = 5x (Éste será el rimer término del cociente). 4

5 Se multilica el divisor or el rimer término del cociente: (x + ) 5x = 5x 3 + 5x y este resultado se resta del dividendo: Se reite el rocedimiento anterior, considerando el olinomio del último renglón, 5x x + ; como dividendo: El roceso termina cuando el olinomio que se obtiene en el último renglón es de menor grado que el divisor. En este caso, como el divisor es un olinomio de grado y el olinomio del último renglón es de grado 0; el roceso de división terminó y ecribimos el resultado así: 5x 3 x + x + = 5x 5x x + ; donde Q(x) = 5x 5x + 3 es el cociente y R(x) = es el residuo de la división. Este resultado también se uede escribir como 5x 3 x + = (x + )(5x 5x + 3) ; que se obtiene de multilicar ambos lados de la ecuación anterior or x + : Ejemlo Dividir x 6 + x 4 + x + entre x + : Solución Luego, o equivalentemente x 6 + x 4 + x + x + x 6 + x 4 + x + x + = x x + = x 4 + ; x 6 + x 4 + x + = (x + )(x 4 + ): En este caso el residuo de la división es igual a 0 y en la última ecuación el divisor x + es un factor del dividendo x 6 + x 4 + x + : 5

6 División Sintética La división sintética es un método ráido ara dividir olinomios cuando el divisor es de la forma x c un número real (c R): c; con Ejemlo Dividir x 4 3x + x 5 entre x +, usando división sintética. Solución Sólo se escriben los coe cientes del dividendo y el valor de c (en este caso c = ). Si falta alguna otencia de x se escribe 0 como coe ciente. Se traza una línea horizontal debajo del los coe cientes del olinomio, dejando un esacio, se escribe el rimer coe ciente, debajo de la línea, se multilica or c ( = ) y el resultado se escribe en el esacio intermedio, debajo del segundo coe ciente y se suman estos dos números (0 + ( ) = ): El resultado se multilica or c y se suma al tercer coe ciente. Se reite este roceso hasta terminar los coe cientes del dividendo. {z } Coe cientes del cociente {z} Residuo El residuo es el último número del último renglón ( R (x) = 5) y el cociente es el olinomio de un grado menor que el dividendo y cuyos coe cientes son los números del último renglón, exceto el último (En este caso, Q (x) = x 3 x + x + 0). Escribimos: o equivalentemente x 4 3x + x 5 x + = x 3 x + x + 5 x + x 4 3x + x 5 = (x )(x 3 x + x) 5: Ejercicio Haga la división del rimer ejemlo utilizando división sintética. Observaciones Si el divisor es de la forma x c; c R; como x c es un olinomio de grado entonces el residuo de la división P (x) es un olinomio de grado 0, esto es, el residuo es una constante, R(x) = d; d R y así: x c P (x) x c = Q(x) + d x c o equivalentemente P (x) = (x c)q(x) + d: Además, si evaluamos el olinomio P (x) en c tenemos que es el residuo en esta división P (c) = (c c)q(c) + d = d; 6