MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE # 8

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1 MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE # 8 Teorema del Residuo Si un polinomio P (x) se divide entre x c, entonces, el residuo de la división es P (c). Sin realizar la división, halle el residuo al dividir x + x entre x 4: Sea P (x) = x + x : Como el divisor es de la forma x c con c = 4, por el teorema del residuo, el residuo de la división P (x) x 4 es P (4) = (4) + (4) = = 4: Comprobémoslo mediante división sintética: Observación {z} Residuo Qué sucede si el residuo de la división P (x) x c Al realizar la división obtenemos P (x) es cero? x c = Q(x) + d x P (x) x c = Q(x) o equivalentemente P (x) = (x c)q(x): : Si el residuo d = 0; el resultado de la división es c Esto es, si el residuo es cero, x c es un factor del polinomio P (x): El polinomio P (x) queda factorizado como el producto de los polinomios x c y Q(x): Teorema del Factor Si c R y P (x) es un polinomio, x c es un factor de P (x) si y sólo si P (c) = 0. Pruebe que x + es un factor del polinomio x + x x +. Sea P (x) = x + x x + : Como P ( ) = ( ) + ( ) ( ) + = 0; por teorema del factor, concluimos que x ( ) = x + es un factor de P (x): Cómo hallar el otro factor? Ceros reales de Polinomios Los ceros reales de un polinomio P (x) = a n x n + a n x n ++a x + a 0 o las raíces de la ecuación polinómica P (x) = 0 son los valores c R tales que P (c) = 0:

2 Los ceros del polinomio P (x) = x 5x + 6 son y, pues P () = () 5() + 6 = 0 y P () = () 5() + 6 = 0: Por el teorema del factor sabemos entonces que x y x son factores de P (x) y así: P (x) = x 5x + 6 = (x )(x ): En la grá ca de la función cuadrática y = P (x) = x 5x + 6; vemos que (; 0) y (; 0) son los puntos de intersección de la grá ca con el eje x: Ejercicio Compruebe que el vértice de la parábola y = x 5x + 6 es el punto V ( 5 ; 4 ): Observaciones. Si P (x) es un polinomio en x y c es un número real, entonces, los siguientes enunciados son equivalentes: c es un cero de P (x). x = c es una raíz o una solución de la ecuación P (x) = 0. x c es un factor de P (x). El punto (c; 0) es un punto de intersección de la grá ca de y = P (x) con el eje x.. Si un polinomio P (x) puede factorizarse como P (x) = (x c) m Q(x); donde c no es cero de Q(x) y m es un entero mayor o igual que, decimos que c es un cero de P (x) de multiplicidad m. Si P (x) = (x 4)(x+) (x+) 4, decimos que 4 es un cero de multiplicidad, es un cero de multiplicidad y es un cero de multiplicidad 4. El teorema del factor es muy útil en la factorización de polinomios. Factorizar el polinomio P (x) = x x 0.

3 Al evaluar P (x) en tenemos P () = () () 0 = = 0;luego es un cero de P (x) y, por teorema del factor, x es un factor de P (x): Para hallar el otro factor de P (x) ; dividimos P (x) entre x ; utilizando división sintética. Luego, x x 0 x = x + 6x x, o equivalentemente x x 0 = (x ) x + 6x + 0 : Hallar un polinomio P (x); en x, de grado que tenga como ceros a, 0 y. Por el teorema del factor, x ( ), x 0 y x son factores del polinomio P (x) Luego: P (x) = (x + ) (x 0) (x ) = x(x + )(x ) = x + x (x ) = x x x: Cualquier otro polinomio que sea un múltiplo constante de P (x); es una solución del problema. Supongamos ahora que queremos factorizar un polinomio empleando los teoremas del residuo y del factor y no conocemos sus ceros. El siguiente teorema nos muestra una forma de hallarlos: Teorema de Ceros Racionales Si el polinomio P (x) = a n x n + a n x n + ::: + a x + a 0 tiene coe cientes enteros, entonces, todo cero racional de P tiene la forma p q, donde: p es un factor del coe ciente (constante) a 0. q es un factor del coe ciente a n. Factorice completamente el polinomio P (x) = x 4 5x 5x + x + 0. Por el teorema de los ceros racionales, los posibles ceros de P son de la forma p, donde p es un factor de 0 q y q es un factor de. Factores de 0 : ; ; 5; 0. Factores de :. Posibles ceros: ; ; 5; 0. Para aplicar el teorema del factor, debemos encontrar un cero de P, es decir, un c R tal que P (c) = 0. Evaluemos P (x) en los posibles ceros: P () = 4 5 () 5 () + () + 0 = = 4:

4 Luego, no es cero de P. P ( ) = ( ) 4 5 ( ) 5 ( ) + ( ) + 0 = = : Luego, no es cero de P. P () = 4 5 () 5 () + () + 0 = = : Luego, no es cero de P. P ( ) = ( ) 4 5 ( ) 5 ( ) + ( ) + 0 = = 0: Luego, es cero de P. Como es un cero de P (x), al dividir P (x) entre x ( ), el residuo es cero. Usando división sintética: Luego, x 4 5x 5x + x + 0 = (x + ) x 7x + 9x + 5. Factoricemos ahora x 7x + 9x + 5: Factores de 5 : ; 5. Factores de :. Posibles ceros de x 7x + 9x + 5 : ; 5. Sin embargo, como no son ceros de P, tampoco son ceros de x 7x + 9x + 5. Sólo resta el nuevo polinomio en 5: (5) 7 (5) + 9 (5) + 5 = = 0: Luego, 5 es cero de x 7x + 9x + 5. Mediante división sintética: Luego, x 7x + 9x + 5 = (x 5) x x y P (x) = (x + ) (x 5) x x. Ahora, factoricemos el polinomio cuadrático x x. Encontrar los ceros de este polinomio es sencillo empleando la fórmula cuadrática: x x = 0 () x = p p = = p = p : Por lo tanto, los ceros del polinomio cuadrático son + p y x x = x + p p x. Así: h P (x) = (x + ) (x 5) x + p i h x p. Luego, por el teorema del factor p i : Consideremos el polinomio P (x) = x 5 0x 4 6x + 4x + x 6: Como a 0 = 6 y a 5 =, los valores de p son: ; ; ; 6, y los de q: ; : Entonces los posibles ceros de P (x) son de la forma p q, y son: ;, ;, ; 6. Evaluemos P (x) en estos valores: no es cero de P (x): P () = () 5 0() 4 6() + 4() + () 6 = = ; 4

5 P ( ) = ( ) 5 0( ) 4 6( ) + 4( ) + ( ) 6 = = 0; es cero de P (x): Al hacer la disvisión sintética tenemos: P (x) = (x 4 x + 7x + 7x 6)(x + ): Los posibles ceros de x 4 x + 7x + 7x 6 son los mismos que los de P (x); ya que el primero y el último coe ciente son los mismos. Como no es cero de P (x), tampoco lo es del nuevo polinomio. Evaluemos el nuevo polinomio en : entonces ( ) 4 ( ) + 7( ) + 7( ) 6 = = 0; es un cero del nuevo polinomio. Hagamos de nuevo división sintética: x 4 x + 7x + 7x 6 = (x 6x + x 6)(x + ): Los posibles ceros del polinomio x 6x + x 6 son los mismos de P (x) Por qué? Evaluemos el nuevo polinomio en : ( ) 6( ) + ( ) 6 = 6 6 = 5; entonces no es cero de este nuevo polinomio. Evaluemos este polinomio en ( ) 6( ) + ( ) 6 = = 0; luego es cero del polinomio, usando nuevamente división sintética tenemos: Entonces x 6x + x 6 = (x 5x + 8)(x ): Ahora x 5x + 8 = (x 5x + 6) = (x )(x ): 5

6 Entonces P (x) = x 5 0x 4 6x + 4x + x 6 = (x 4 x + 7x + 7x 6)(x + ) = (x 6x + x 6)(x + )(x + ) = (x 5x + 8)(x )(x + )(x + ) = (x )(x )(x )(x + )(x + ) = (x )(x )(x )(x + ) : P (x) tiene ceros (; y )de multiplicidad y uno( ) de multiplicidad 6