PRODUCTOS, COCIENTES NOTABLES Y FACTORIZACIÓN 36 CAPÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA

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1 36 CAPÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA Otros polinomios pueden tener tres variables, por ejemplo x, y, z o bien, para el caso, cualquier número de variables. La adición, sustracción y multiplicación se realizan usando propiedades de números reales, igual que para polinomios con una variable. El siguiente ejemplo ilustra la división de un polinomio entre un monomio. EJEMPLO 4 División de un polinomio entre un monomio Exprese como un polinomio en x y y: SOLUCIÓN 6x 2 y 3 4x 3 y 2 10xy 2xy 6x 2 y 3 4x 3 y 2 10xy 2xy 6x2 y 3 2xy 4x3 y 2 10xy 2xy 2xy 3xy 2 2x 2 y 5 divida cada término entre 2xy simplifique Los productos que se listan en la siguiente tabla se presentan con tal frecuencia que merecen especial atención. El lector puede comprobar la validez de cada fórmula por multiplicación. En (2) y (3), usamos ya sea el signo superior en ambos lados o el signo inferior en ambos lados. Así, (2) es en realidad dos fórmulas: x y 2 x 2 2xy y 2 y x y 2 x 2 2xy y 2 Del mismo modo, (3) representa dos fórmulas L Fórmulas de productos (1) (2) (3) Fórmula Ejemplos x y x y x 2 y 2 2a 3 2a 3 2a a 2 9 x y 2 x 2 2xy y 2 2a 3 2 2a 2 2 2a a 2 12a 9 x y 3 x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3 2a 3 3 2a 3 3 2a a a 3 36a 2 54a 27 Otras ilustraciones de las fórmulas del producto se dan en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 5 Encuentre el producto: Uso de fórmulas del producto 2c 1 2 (a) 2r 2 2s 2r 2 2s (b) 2c (c) 2a 5b 3 1

2 1.3 Expresiones algebraicas 37 SOLUCIÓN (a) Usamos la fórmula 1 del producto, con x 2r 2 y y 2s: (b) Usamos la fórmula 2 del producto, con x 2c y y 1 2c : 2c 2r 2 2s 2r 2 2s 2r 2 2 2s 2 4r 4 s 2c 1 2 2c 2 2 2c 1 2c 2c 1 2 c 2 1 c Nótese que la última expresión no es un polinomio. (c) Usamos la fórmula 3 del producto, con x 2a y y 5b: 2a 5b 3 2a 3 3 2a 2 5b 3 2a 5b 2 5b 3 8a 3 60a 2 b 150ab 2 125b 3 L Si un polinomio es un producto de otros polinomios, entonces cada polinomio del producto es un factor del polinomio original. Factorizar es el proceso de expresar una suma de términos como producto. Por ejemplo, como x 2 9 x 3 x 3, los polinomios x 3 y x 3 son factores de x 2 9. La factorización es un proceso importante en matemáticas, puesto que se puede usar para reducir el estudio de una expresión complicada al estudio de varias expresiones más sencillas. Por ejemplo, las propiedades del polinomio x 2 9 se pueden determinar al examinar los factores x 3 y x 3. Como veremos en el capítulo 2, otro importante uso de la factorización está en hallar soluciones de ecuaciones. Vamos a estar interesados principalmente en factores no triviales de polinomios, es decir, factores que contengan polinomios de grado positivo. No obstante, si los coeficientes se restringen a enteros, entonces por lo general eliminaremos un factor común entero de cada término del polinomio. Por ejemplo, 4x 2 y 8z 3 4 x 2 y 2z 3. Un polinomio con coeficientes en algún conjunto S de números es primo o irreducible sobre S, si no se puede escribir como producto de dos polinomios de grado positivo con coeficientes en S. Un polinomio puede ser irreducible sobre un conjunto S pero no sobre otro. Por ejemplo, x 2 2 es irreducible sobre los números racionales, puesto que no se puede expresar como producto de dos polinomios de grado positivo que tengan coeficientes racionales. Sin embargo, x 2 2 no es irreducible sobre los números reales, ya que podemos escribir x 2 2 x 22 x 22. 2

3 38 CAPÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA Del mismo modo, x 2 1 es irreducible sobre los números reales, pero, como veremos en la sección 2.4, no sobre los números complejos. Todo polinomio ax b de grado 1 es irreducible. Antes que factoricemos un polinomio, debemos especificar el sistema numérico (o conjunto) del cual se han de escoger los coeficientes de los factores. En este capítulo usaremos la regla de que si un polinomio tiene coeficientes enteros, entonces los factores serán polinomios con coeficientes enteros. Factorizar un polinomio significa expresarlo como producto de polinomios irreducibles. El máximo factor común (mfc) de una expresión es el producto de los factores que aparecen en cada término, con cada uno de estos factores elevado al mínimo exponente diferente de cero que aparezca en cualquier término. Al factorizar polinomios, es aconsejable factorizar primero el mfc, como se ve en la siguiente ilustración. ILUSTRACIÓN Polinomios factorizados 8x 2 4xy 4x 2x y 25x 2 25x x 2 x 6 25 x 3 x 2 4x 5 y 9x 3 y 3 x 3 y 4x 2 9y 2 x 3 y 2x 3y 2x 3y Suele ser difícil factorizar polinomios de grado mayor a 2. En casos sencillos, pueden ser útiles las siguientes fórmulas para factorizar. Cada fórmula se puede verificar al multiplicar los factores del lado derecho del signo igual. Se puede demostrar que los factores x 2 xy y 2 y x 2 xy y 2 en la diferencia y suma de dos cubos, respectivamente, son irreducibles sobre los números reales. Fórmulas de factorización Fórmula (1) Diferencia de dos cuadrados: x 2 y 2 x y x y (2) Diferencia de dos cubos: x 3 y 3 x y x 2 xy y 2 (3) Suma de dos cubos x 3 y 3 x y x 2 xy y 2 Ejemplos 9a a a 4 3a 4 8a a a 3 2a 2 2a a 3 4a 2 6a 9 125a 3 1 5a a 1 5a 2 5a a 1 25a 2 5a 1 Otras ilustraciones del uso de fórmulas de factorización se dan en los dos ejemplos siguientes. 3

4 1.3 Expresiones algebraicas 39 EJEMPLO 6 Diferencia de dos cuadrados Factorice cada polinomio: (a) 25r 2 49s 2 (b) 81x 4 y 4 (c) 16x 4 y 2z 2 SOLUCIÓN (a) Aplicamos la fórmula de la diferencia de dos cuadrados, con y 7s x 5r y 25r 2 49s 2 5r 2 7s 2 5r 7s 5r 7s (b) Escribimos 81x 4 9x 2 2 y y 4 y 2 2 y aplicamos dos veces la fórmula de la diferencia de dos cuadrados: 81x 4 y 4 9x 2 2 y 2 2 9x 2 y 2 9x 2 y 2 9x 2 y 2 3x 2 y 2 9x 2 y 2 3x y 3x y (c) Escribimos 16x 4 4x 2 2 y aplicamos la fórmula de la diferencia de dos cuadrados: 16x 4 y 2z 2 4x 2 2 y 2z 2 4x 2 y 2z 4x 2 y 2z 4x 2 y 2z 4x 2 y 2z L EJEMPLO 7 Suma y diferencia de dos cubos Factorice cada polinomio: (a) a 3 64b 3 (b) 8c 6 27d 9 SOLUCIÓN (a) Aplicamos la fórmula de la suma de dos cubos, con x a y y 4b: a 3 64b 3 a 3 4b 3 a 4b a 2 a 4b 4b 2 a 4b a 2 4ab 16b 2 (b) Aplicamos la fórmula de la diferencia de dos cubos, con x 2c 2 y 3d 3 : y 8c 6 27d 9 2c 2 3 3d 3 3 2c 2 3d 3 2c 2 2 2c 2 3d 3 3d 3 2 2c 2 3d 3 4c 4 6c 2 d 3 9d 6 L 4

5 40 CAPÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA Comprobación de un resultado de factorización TI-83/4 Plus TI-86 Podemos comprobar un resultado de factorización al multiplicar la respuesta propuesta y compararla con la expresión original. Aquí sustituiremos valores para las variables y evaluaremos la expresión original y la respuesta propuesta. 4 STO ALPHA A ALPHA : 4 7 STO ALPHA B ENTER ALPHA 7 ALPHA 64 ALPHA B MATH 3 ENTER 64 ALPHA B 3 ( ( A ALPHA ALPHA MATH A A x ALPHA B ) ( ALPHA A 4 4 ALPHA A ALPHA B 4 16 ALPHA B x 2 ) ENTER 16 ( STO ALPHA ALPHA ALPHA ALPHA A A STO A B A 2nd x 2 B 3* x 2 ALPHA ) : ENTER ENTER ALPHA B ENTER B ) *No hay función especial de cubo para la TI-86. No escoja valores como son 0, 1, o 2 para A y B es demasiado fácil obtener el mismo valor para la expresión original y la respuesta propuesta. Por ejemplo, si sustituimos 1 por A y 0 por B e incorrectamente factorizamos A 3 64B 3 como A 4B A 2 16B 2, ambas expresiones serían igual a 1 y nos confundiríamos al pensar que correctamente habíamos factorizado A 3 64B 3. Una factorización de un trinomio px 2 qx r, donde p, q y r son enteros, debe ser de la forma px 2 qx r ax b cx d, donde a, b, c y d son enteros. Se deduce que ac p, bd r, y ad bc q. Sólo un número limitado de opciones para a, b, c y d satisfacen estas condiciones. Si ninguna de las opciones funciona, entonces px 2 qx r es irreducible. Tratar las diversas posibilidades, como se describe en el ejemplo siguiente, recibe el nombre de método de prueba y error. Este método también es aplicable a trinomios de la forma px 2 qxy ry 2, en cuyo caso la factorización debe ser de la forma ax by cx dy. 5

6 1.3 Expresiones algebraicas 41 EJEMPLO 8 Factorice 6x 2 7x 3. SOLUCIÓN Si escribimos Factorización de un trinomio por prueba y error 6x 2 7x 3 ax b cx d, entonces las siguientes relaciones deben ser verdaderas: ac 6, bd 3, y ad bc 7 Si suponemos que a y c son ambas positivas, entonces todos los posibles valores se dan en la tabla siguiente: a c Por tanto, si 6x 2 7x 3 es factorizable, entonces una de las siguientes igualdades es verdadera: 6x 2 7x 3 x b 6x d 6x 2 7x 3 6x b x d 6x 2 7x 3 2x b 3x d 6x 2 7x 3 3x b 2x d A continuación consideramos todos los valores posibles para b y d. Como bd 3, éstos son como sigue: b Al intentar varios (posiblemente todos) valores, llegamos a b 3y d 1; esto es, 6x 2 7x 3 2x 3 3x 1. Como prueba, el lector debe multiplicar la factorización final para ver si se obtuvo el polinomio original. L El método de prueba y error que se ilustra en el ejemplo 8 puede ser largo y tedioso si los coeficientes de los polinomios son grandes y tienen muchos factores primos. En la sección 2.3 demostraremos un método de factorización que se puede usar para factorizar cualquier trinomio de la forma parecida a la del ejemplo 8, cualquiera que sea el tamaño de los coeficientes. Para casos sencillos, con frecuencia es posible llegar rápidamente a la selección correcta. 3 d EJEMPLO 9 Factorice: Factorización de polinomios (a) 12x 2 36xy 27y 2 (b) 4x 4 y 11x 3 y 2 6x 2 y 3 6

7 42 CAPÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA SOLUCIÓN (a) Como cada uno de los términos tiene 3 como factor, empezamos por escribir Una factorización de 4x 2 12xy 9y 2 como producto de dos polinomios de primer grado debe ser de la forma con 12x 2 36xy 27y 2 3 4x 2 12xy 9y 2. 4x 2 12xy 9y 2 ax by cx dy, ac 4, bd 9, y ad bc 12. Si usamos el método de prueba y error, como en el Ejemplo 8, obtenemos 4x 2 12xy 9y 2 2x 3y 2x 3y 2x 3y 2. Entonces, 12x 2 36xy 27y 2 3 4x 2 12xy 9y 2 3 2x 3y 2. (b) Como cada uno de los términos tiene x 2 y como factor, empezamos por escribir 4x 4 y 11x 3 y 2 6x 2 y 3 x 2 y 4x 2 11xy 6y 2. Por prueba y error, obtenemos la factorización 4x 4 y 11x 3 y 2 6x 2 y 3 x 2 y 4x 3y x 2y. L Si una suma contiene cuatro o más términos, puede ser posible agrupar los términos en una forma apropiada y luego hallar una factorización mediante el uso de propiedades distributivas. Esta técnica, llamada factorización por agrupación, se ilustra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 10 Factorice: (a) (c) 4ac 2bc 2ad bd x 2 16y 2 10x 25 SOLUCIÓN Factorización por agrupación (b) (a) Agrupamos los primeros dos y los últimos dos términos y luego procedemos como sigue: 4ac 2bc 2ad bd 4ac 2bc 2ad bd 2c 2a b d 2a b En esta etapa no hemos factorizado la expresión dada porque el lado derecho tiene la forma 2ck dk con k 2a b. No obstante, si factorizamos k, entonces 3x 3 2x 2 12x 8 2ck dk 2c d k 2c d 2a b. 7

8 1.3 Expresiones algebraicas 43 Por lo tanto, 4ac 2bc 2ad bd 2c 2a b d 2a b 2c d 2a b. Nótese que si factorizamos 2ck dk como k 2c d, entonces la última expresión es 2a b 2c d. (b) Agrupamos los primeros dos y los últimos dos términos y luego procedemos como sigue: 3x 3 2x 2 12x 8 3x 3 2x 2 12x 8 x 2 3x 2 4 3x 2 x 2 4 3x 2 Por último, usando la fórmula de la diferencia de dos cuadrados para x 2 4, obtenemos la factorización: 3x 3 2x 2 12x 8 x 2 x 2 3x 2 (c) Primero reacomodamos y agrupamos términos, luego aplicamos la fórmula de la diferencia de dos cuadrados, como sigue x 2 16y 2 10x 25 x 2 10x 25 16y 2 x 5 2 4y 2 x 5 4y x 5 4y x 4y 5 x 4y 5 L 1.3 Ejercicios Ejer. 1-44: Exprese como polinomio x 3 4x 2 7x 1 9x 3 4x 2 6x 7x 3 2x 2 11x 3x 3 2x 2 5x 3 4x 3 5x 3 3x 3 2x 2 5x 7 6x 3 2x 2 x 2 8x 2 x 2 5 2x 5 3x 7 6 3x 4 2x 9 7 5x 7y 3x 2y 8 4x 3y x 5y x 4 x 3 x 2 6 t 2 2t 5 3t 2 t 2 r 2 8r 2 r 2 3r 1 x 1 2x 2 2 x 3 5 2x 1 x 2 5 x x 2 y 3 10x 3 y 2x 2 y 18 6a 3 b 3 9a 2 b 2 3ab 4 3ab u 3 u 4 4u u 2 3u 1 u 2 7u u 1 3u 3 v 4 2u 5 v 2 u 2 v u 3 v 2 6x 2 yz 3 xy 2 z xyz 11 3x 5 2x 2 9x x 3y 2x 3y 22 5x 4y 5x 4y 8

9 44 CAPÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA 23 x 2 2y x 2 2y 24 3x y 3 3x y r 2 25t r 2 16t 2 25 x 2 9 x x 2 1 x z 4 64w y 4 121x x 2y x 4y 2 71 x 4 4x 2 72 x 3 25x 29 x 2 3y x 2 5y x x x 2 2 x x y 2 x y x 2 48y x 2 36y x 2y 2x 2y 77 64x x x 2y 2 2x 2y x 3 y x 9 125y x 1/3 y 1/3 x 2/3 x 1/3 y 1/3 y 2/3 x 1/3 y 1/3 x 2/3 x 1/3 y 1/3 y 2/3 37 x 2y 3 38 x 3y x 3y x 4y 3 41 a b c 2 42 x 2 x x y 3z 2 44 x 2y 3z 2 Ejer : Factorice el polinomio. 45 rs 4st 46 4u 2 2uv x 3 y x ax 6bx ay 3by 2ay 2 axy 6xy 3x 2 3x 3 3x 2 27x 27 5x 3 10x 2 20x 40 x 4 2x 3 x a 3 a 2 b ab 2 b 3 92 x 6 27y 3 x 3 64 x 4 3x 3 8x 24 6w 8 17w a 2 b 2 6a 2 b 48 10xy 15xy x 2 y 3 9x 3 y x 5 y 2 8x 3 y x 3 y 5 25x 4 y 2 10x 6 y r 3 s 4 77r 2 s 4 55r 4 s x 2 53x x 2 10x 8 55 x 2 3x x 2 4x x 2 7x x 2 x x 2 29x x 2 41x x 2 20x x 2 24x z 2 30z z 2 56z x 2 38xy 8y x 2 45xy 18y 2 93 a 6 b 6 94 x x 2 4x 4 9y 2 96 x 2 4y 2 6x 9 97 y 2 x 2 8y y 2 9 6y 4x 2 99 y 6 7y c 6 19c x x 3 4x 2 x Ejer : Los antiguos griegos dieron pruebas geométricas de las fórmulas de factorización para la diferencia de dos cuadrados y la diferencia de dos cubos. Establezca la fórmula para el caso especial descrito. 103 Encuentre las áreas de las regiones I y II de la figura para establecer la fórmula de la diferencia de dos cuadrados para el caso especial x y. 9

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